精品解析：浙江省杭州观成教育集团2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025学年第一学期九年级数学学科暑假自学反馈 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 函数y＝x2－4的图象与y轴的交点坐标是（ 　） A. （2，0） B. （－2，0） C. （0，4） D. （0，－4） 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意分析之，该函数与y轴有交点，则有x=0，此时的点是（0，－4）， 故选D 【点睛】本题考查函数图象的基本知识和函数图象与坐标轴的交点 2. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据，其对称轴为解题即可． 【详解】解： 那么其对称轴为， 故选：A． 3. 下列线段能成比例线段的是（ ） A. 、、、 B. 1cm、、、4cm C. 、、、1cm D. 、、、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段．依次对每组的四条线段长度按从小到大顺序排列好，然后分别计算前两项的比值和后两项的比值，如果两个比值相等，则说明四条线段成比例，否则不成比例． 【详解】解：A、，故四条线段是不成比例线段，不符合题意； B、，故四条线段是成比例线段，符合题意； C、，故四条线段是不成比例线段，不符合题意； D、，故四条线段是不成比例线段，不符合题意； 故选：B． 4. 已知线段，，线段是和的比例中项，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. ±4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【详解】解：线段，，线段是和的比例中项， ， ， ， （舍去负值）， 故选：B． 5. 在一个不透明的盒子中装有8个白球，4个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，掌握概率的定义是解题的关键． 根据概率的定义解答即可． 【详解】解：由题意可知，白球个数占球总数的， 故随机摸出一个球为白球的概率是．   故选：A． 6. 已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（ ） A. AB2＝AC2+BC2 B. BC2＝AC•BA C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】黄金分割定义知，，所以AC2=AB． 设AB=1，AC=x， ， 解得：x=． ． 故选：C． 7. 在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是关键．由题意可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C． 8. 二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何平移可得到y＝﹣2x2的图象（　　） A. 向左平移1个单位，向上平移3个单位 B. 向右平移1个单位，向上平移3个单位 C. 向左平移1个单位，向下平移3个单位 D. 向右平移1个单位，向下平移3个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，可得顶点式解析式，根据平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案． 【详解】解：二次函数y＝﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0）， 只需将函数y＝﹣2x2+4x+1的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位即可． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象变换，讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可． 9. 如图是二次函数过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①，②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（　　） A. ②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴公式可以判定②的正误；由图象与x轴有交点，结合对称轴公式，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出，即，则可判断①的正误；由x=-1时y有最大值，由图象可知y≠0，则③的正误也就知道了． 【详解】①∵图象与x轴有交点，对称轴为x=−=-1，与y轴的交点在y轴的正半轴上， 又∵二次函数的图象是抛物线， ∴与x轴有两个交点， ∴， 即，正确； ②∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0， ∵对称轴为x=−=-1， ∴2a=b， ∴2a+b=4a，a≠0， 错误； ③∵x=-1时y有最大值， 由图象可知y≠0，错误； ④把x=1，x=-3代入解析式得a+b+c=0，9a-3b+c=0，两边相加整理得 5a-b=-c＜0，即5a＜b，正确． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 10. ，点是函数图象上任意一点，（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】将对称轴公式为，代入，得到最小值，从而可以得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴该函数图象的对称轴为直线， 把代入，此时y有最小值，最小最为 ， ∵， ∴顶点处为最小值， ∵点是函数图象上任意一点． ∴， 即A、B选项都不对， 当时，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，所以黄灯的概率是 故答案是： 12. 若二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的图像确定相应方程的根，二次函数图像上点的纵坐标相等时，横坐标关于对称轴对称是解题关键. 根据二次函数图像上点的纵坐标相等时，横坐标关于对称轴对称，可得答案. 【详解】解：二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线， 关于的一元二次方程的一个解. ∵与关于对称， , 即， ∴. 故答案为：. 13. 在“”中，任选一个字母，这个字母为“”的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现种结果，那么事件的概率．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：在“”中，共有14个字母，其中“”出现4次，那么这个字母为“”的概率为． 故答案为：． 14. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的性质是解题的关键； 利用分式的性质，将化为，再整理得，即可求解． 【详解】解：由得，， 整理得， ． 故答案为：． 15. 抛物线与y轴交点的坐标为_______，与x轴交点的坐标为_______． 【答案】 ①. ②. ， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点坐标，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键； 抛物线与y轴交点满足横坐标为0，把代入解析式可求得y的值，进而可得交点坐标， 抛物线与x轴交点满足纵坐标为0，把代入解析式可求得x的值，进而可得交点坐标． 【详解】当时，， 抛物线与y轴交点的坐标为； 当时，由解得，， 抛物线与x轴交点的坐标为，； 故答案为：；，． 16. 如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论，其中正确结论的编号是_______． ①无论x取何值， 的值总是正数；②；③当时，；④当时，；⑤． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．利用平方的非负性，可判断①；将点代入，可判断②；当时，分别算出，，即可判断；将代入，可发现，从而推翻其结论；将代入，算出坐标，即可判断． 【详解】解：①， ， 无论x取何值， 的值总是正数；故①正确； ②抛物线与交于点， ， ，故②正确； ③分别将代入抛物线与，得到 ，， ，故③错误； ④当时，，， 当时，； 故④错误； ⑤当时，代入， 那么，解得，， ，， 当时，代入， 那么，解得，， ， ，， ，故⑤正确； 故正确的有：①②⑤； 故答案为：①②⑤． 三、解答题（共72分） 17. 小丹、小林是某中学八年级的同班同学，在升入九年级时，要重新分班，他们将被随机编入A，B，C三个班； （1）请你用画树状图法或列表法，列出所有可能的结果； （2）求两人再次成为同班同学的概率． 【答案】（1） 解：画树状图如下： 由树状图可知所有可能的结果为． （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，正确画出树状图或列表是解题的关键． （1）根据题意列出树状图即可； （2）利用概率公式解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知两人再次成为同班同学的概率为：． 18. 已知a：b：c=3：5：6，且2a+b﹣c=10，求abc的值． 【答案】720． 【解析】 【详解】试题分析：首先设a=3m，则b=5m，c=6m，根据已知条件得出a、b、c的值，从而得出答案． 试题解析：设a=3m，则b=5m，c=6m，则6m+5m-6m=10，解得：m=2， ∴a=6，b=10，c=12， ∴abc=6×10×12=720． 19. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1） （2）顶点坐标，对称轴 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，二次函数的顶点坐标与对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解题即可； （2）将其表达式变成顶点式，然后根据，其对称轴为，顶点坐标为解题即可． 【小问1详解】 解：已知二次函数的图象经过点，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 顶点坐标，对称轴． 20. 一个斜抛物体的水平运动距离记为，对应的高度记为，与之间具有函数关系（常数，）．已知当时，；当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平运动距离． 【答案】（1） （2）斜抛物体的最大高度为，达到最大高度时的水平距离为 【解析】 【分析】（1）将当时，；当时，，代入解析式，可求解； （2）由，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，；当时，， ， 解得，， 关于的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：， 斜抛物体的最大高度为，达到最大高度时的水平距离为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式． 21. 口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有个红球，个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： （1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求和的值． （2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 【答案】（1）； （2）取走3个白球． 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． （1）根据红球与白球的数量的情况即可求解； （2）设取走个白球，根据概率公式列出关于的方程，解出的值即可． 【小问1详解】 解：摸到红球与摸到白球的可能性相等，且， ； 【小问2详解】 解：设取走个白球，放入个红球，则口袋中现在有白球个，红球个， 根据题意得，， 解得， 答：取走3个白球． 22. 如图，用长为的细铁丝围成一个矩形（）．若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比）． （1）求该矩形的长．（结果保留根号） （2）求该矩形的面积．（结果保留根号） 【答案】（1）该矩形的长为 （2）该矩形的面积为 【解析】 【分析】本题考查了矩形的周长，矩形的面积，黄金比，解分式方程，分母有理化，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，那么，然后根据与之比等于黄金比，代入解方程即可； （2）利用长乘以宽，直接计算出答案即可． 【小问1详解】 解：设，那么， 经检验，是原方程的根， ， 答：矩形的长为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， 矩形的面积为：（）． 答：该矩形的面积为． 23. 在一次高尔夫球的练习中，小成在O处击球，其飞行路线满足抛物线，其中是球的飞行高度，是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m． （1）请求出抛物线的顶点坐标； （2）请求出球洞离击球点的距离； （3）若小成再一次从O处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式， 【答案】（1）（4，）（2）10m；（3）y＝-（x−5）2＋. 【解析】 【分析】（1）用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标； （2）令y＝0，解出x1，x2的值，则球飞行的最大水平距离|x1−x2|＋2即可得到结论； （3）用待定系数法求出二次函数的解析式． 【详解】（1）= ∴抛物线的顶点为（4，）； （2）令y＝0，得：＝0 解得：x1＝0，x2＝8， ∴球飞行的最大水平距离是8m， ∴球洞离击球点的距离为8＋2＝10m； （3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m ∴抛物线的对称轴为直线x＝5，顶点为（5，） 设此时对应的抛物线解析式为y＝a（x−5）2＋ 又∵点（0，0）在此抛物线上， ∴25a＋＝0，a＝− ∴y＝-（x−5）2＋， 即其解析式为y＝-（x−5）2＋. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了一元二次方程的解法和求二次函数的顶点坐标等知识，难度不大． 24. 已知抛物线（a，b为常数，且）． （1）当，时，直接写出顶点坐标_______；当，时，直接写出顶点坐标_______． （2）抛物线的顶点坐标随a、b的取值而改变，若，当抛物线的顶点在最低位置时： ①求a与b满足的关系式； ②抛物线上有两点，，当时，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，二次函数的图象与性质等，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式是解题的关键． （1）代入a与b的值，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可求顶点坐标； （2）①利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而可得顶点纵坐标为，再结合题中条件推出a与b满足的关系式； ②结合函数图象即可求m的取值范围． 【小问1详解】 当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为； 当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为． 【小问2详解】 ①，顶点纵坐标为， 若，则， 当抛物线的顶点在最低位置时，取最小值， ，， a与b满足的关系式为； ②由（1）知，，抛物线的解析式为，对称轴为，作图如下： 由对称性可知，和对应的函数值相同，都等于． 当时，必有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级数学学科暑假自学反馈 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 函数y＝x2－4的图象与y轴的交点坐标是（ 　） A. （2，0） B. （－2，0） C. （0，4） D. （0，－4） 2. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 3. 下列线段能成比例线段的是（ ） A. 、、、 B. 1cm、、、4cm C. 、、、1cm D. 、、、 4. 已知线段，，线段是和的比例中项，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. ±4 D. 8 5. 在一个不透明的盒子中装有8个白球，4个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（ ） A. AB2＝AC2+BC2 B. BC2＝AC•BA C. D. 7. 在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何平移可得到y＝﹣2x2的图象（　　） A. 向左平移1个单位，向上平移3个单位 B. 向右平移1个单位，向上平移3个单位 C. 向左平移1个单位，向下平移3个单位 D. 向右平移1个单位，向下平移3个单位 9. 如图是二次函数过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①，②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（　　） A. ②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③ 10. ，点是函数图象上任意一点，（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为_______． 12. 若二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解____________． 13. 在“”中，任选一个字母，这个字母为“”的概率为_______． 14. 已知，则_______． 15. 抛物线与y轴交点的坐标为_______，与x轴交点的坐标为_______． 16. 如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论，其中正确结论的编号是_______． ①无论x取何值， 的值总是正数；②；③当时，；④当时，；⑤． 三、解答题（共72分） 17. 小丹、小林是某中学八年级的同班同学，在升入九年级时，要重新分班，他们将被随机编入A，B，C三个班； （1）请你用画树状图法或列表法，列出所有可能的结果； （2）求两人再次成为同班同学的概率． 18. 已知a：b：c=3：5：6，且2a+b﹣c=10，求abc的值． 19. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个图象的顶点坐标和对称轴． 20. 一个斜抛物体的水平运动距离记为，对应的高度记为，与之间具有函数关系（常数，）．已知当时，；当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平运动距离． 21. 口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有个红球，个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： （1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求和的值． （2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 22. 如图，用长为的细铁丝围成一个矩形（）．若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比）． （1）求该矩形的长．（结果保留根号） （2）求该矩形的面积．（结果保留根号） 23. 在一次高尔夫球的练习中，小成在O处击球，其飞行路线满足抛物线，其中是球的飞行高度，是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m． （1）请求出抛物线的顶点坐标； （2）请求出球洞离击球点的距离； （3）若小成再一次从O处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式， 24. 已知抛物线（a，b为常数，且）． （1）当，时，直接写出顶点坐标_______；当，时，直接写出顶点坐标_______． （2）抛物线的顶点坐标随a、b的取值而改变，若，当抛物线的顶点在最低位置时： ①求a与b满足的关系式； ②抛物线上有两点，，当时，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $