精品解析：黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学2025-2026学年八年级上学期开学数学试卷

开学测试 一、选择题 1. 点到轴的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答即可． 【详解】解：∵点， ∴点到轴的距离是， 故选：B． 【点睛】本题考查点到坐标轴的距离，解题关键是理解点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值． 2. 已知线段轴，若点M坐标为，则N点坐标为( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行于y轴的线段的坐标特征及两点间距离公式的应用，解题的关键是明确平行于y轴的两点横坐标相等，且两点间距离等于纵坐标之差的绝对值． 先根据轴得出M、N两点横坐标相同，确定N点横坐标为，排除横坐标不符的选项；再根据，利用平行于y轴的两点间距离公式（即纵坐标之差的绝对值）列出方程，求解得出N点的两个可能纵坐标，进而确定N点坐标． 【详解】∵平行于y轴的线段上所有点的横坐标相等，已知M坐标为， ∴N点横坐标必为． ∵M、N横坐标相同，两点间距离等于纵坐标之差的绝对值． ∴设N点纵坐标为，则： 当时，，此时N为； 当时，，此时N为． ∴N点坐标或， 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第四象限点的横坐标大于0，纵坐标小于0列出不等式组求解即可． 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得． 故选：C． 4. 如图，若，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由全等三角形的性质可知，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 5. 如图所示，，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 先证明，得到，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 6. 已知三角形三个内角的比为，则这个三角形三个外角的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角与内角和定理，先设三角形三个内角分别为，，，再根据三角形的内角和定理列式，得出每个具体的角，再算出对应的外角，最后化简，即可解答． 【详解】解：三角形三个内角的比为， 设这三个内角分别为，，， ， 解得， 这三个内角分别为，，， 这三个内角的外角分别为，，， 这个三角形三个外角的比为，即， 故选：B 7. 在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中原点变换后的坐标规律，先确定点相对于点的位置，再根据相对位置关系求出以为原点时点的坐标即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为， 故选：B． 8. 如图，中，，，直线经过点，，，垂足分别为，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，垂直定义，同角的余角相等，根据全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质得出，，进而解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 9. 如图，是的角平分线，于点D，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，属于简单题，表示出是解题关键． 根据角平分线定义求出，根据垂线定义求出，相减即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 10. 如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、大于为长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，若，P为上一动点，则的最小值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，垂线段最短，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由作法可知，平分，由垂线段最短可知，当时有最小值，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作法可知，平分， 由垂线段最短可知，当时有最小值， ， ，即的最小值为2， 故选：C 二、填空题 11. 三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2、7、a， ∴a的取值范围是：，即． 故答案为：． 12. 点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，掌握x轴上的点纵坐标为0是解题关键．根据点在直角坐标系的x轴上，求出的值，即可得到点P的坐标． 【详解】解：点在直角坐标系的x轴上， ， 解得， ， 点P的坐标为， 故答案为：． 13. 已知平面直角坐标系中，两点，将线段平移至，点与点对应．若，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段在直角坐标系中的平移，关键要通过已知点的平移分别找出横纵坐标移动的规律． 【详解】解：由题可知：点平移至， 点向右平移了7个单位，向上平移了3个单位； ， 平移后． 故答案为：． 14. 如图所示，在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用坐标表示位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．根据“帅”和“马”的坐标，建立平面直角坐标系，由此即可得． 【详解】解：如图，由“帅”位于点，“马”位于点，建立平面直角坐标系如下（每一格表示1个单位长度）： 则“兵”位于点， 故答案为：． 15. 一副三角板如图所示摆放，若， 则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，三角形内角和定理等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．由题意知，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，， ， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，点为边的中点，过点作，过点作直线交于点，交直线于点，若，，的面积为30，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、平行线的性质．本题可先证明三角形全等，得出线段关系，再通过中点与三角形面积公式求解． 【详解】解：点为边的中点，， ，，， ， ， ，； 点为边的中点， ， 的高为2， ， 的面积为6． 17. 如图，中，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线，垂足分别为D、E，若，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：7 18. 中，边上的中线，则a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到，使，连接，证明，得到，利用三角形三边关系得到，代入求解即可，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：延长到，使，连接，如图： ∵是中线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围是， 故答案为：． 19. 如图，点C在上，，则的度数是________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，由证出，得，再由三角形内角和定理即可推出结果． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 如图交于M，交于D，交于N，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和：先通过三角形内角和以及角的等量代换得，因为，则通过证明，即可知道，；接着通过证明，即可作答．正确掌握全等三角形的判定性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， ∵ ∴ ∴，故①正确； ∵，，， ∴ ∴，，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∴，故④不正确 所以正确结论有①②③． 故答案为：①②③． 二、解答题 21. 解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解； （2）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解． 【小问1详解】 解： 由②得到，③ 由得：， 解得 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 整理得：， 由得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 22. 解不等式组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组解集为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）将向右平移5个单位，向下平移2个单位得到； （2）直接写出面积______； （3）请在图中找到一点D，使，请直接写出点D的坐标______． 【答案】（1）见解析 （2）1.5 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，割补法求面积，勾股定理，全等三角形的判定，根据相关知识正确作图即可． （1）根据平移的性质作图即可； （2）利用割补法求面积即可； （3）取点，利用勾股定理证明边相等，即可得到全等． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：的面积 【小问3详解】 解：如图，点即为所求作． ，，， ， 24. 已知中，平分，交于点E，平分，交于点D，与交于点O． （1）如图1．求证：； （2）如图2，连接，求证：平分； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，角平分线的性质和判定，熟练掌握角平分线的性质和判定是关键． （1）根据角平分线和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过O作于点F，作于点G，作于点H，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵平分，平分， ∴设，∠， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 证明：过O作于点F，作于点G，作于点H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴平分． 25. 某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需620元；若购进A种商品6件和B种商品8件需1000元： （1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？ （2）若该商店准备用不超过1170元购进A种商品的数量比B种商品数量的多3个，问至多购进B种商品多少件？ 【答案】（1）A、B商品每件进价分别为60元、80元； （2）最多购进B种商品8件． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设A、B商品每件进价分别为x元、y元，由题意列出方程组，求解即可； （2）设购进B商品a件，依题意得列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设A、B商品每件进价分别为x元、y元， 由题意得， 解得：， 答：A、B商品每件进价分别为60元、80元． 【小问2详解】 解：设购进B商品a件，依题意得： ， 解得：， ∵a，为正整数， ∴a最大取8， 答：最多购进B商品8件． 26. （1）如图1，平分．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）直接根据角平分线的性质可判断； （2）过D点作于E点，于F点，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到； （3）过D点作于E点，于F点，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据“”判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： 过D作于点E，作交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ （3）过D作交延长线于点M，作于点N， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，连接，m为不等式组的整数解． （1）点A的坐标为______；点B的坐标为______； （2）点在x轴负半轴上，连接，用含t的代数式表示的面积S； （3）在（2）的条件下，若，垂足为点D，平分，求的面积． 【答案】（1）， （2） （3）60 【解析】 【分析】（1）求出不等式组的解集，可得m的值，即可求解； （2）根据三角形的面积公式计算，即可求解； （3）过点D作于点M，作于点N，根据角平分线性质定理可得，再由，可得，再证明，可得，进而得到，然后代入（2）中所求计算即可． 【小问1详解】 解：， 解得：， ∵m为整数， ∴m值为6， ∵点，， ∴，； 故答案为：， 【小问2详解】 解：∵在x轴负半轴上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点D作于点M，作于点N， ∵平分，于点M，于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵x轴轴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， 由（2）得，， 综上所述，的面积为60． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了解不等式组，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，角平分线的性质，坐标与图形，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开学测试 一、选择题 1. 点到轴的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 2. 已知线段轴，若点M坐标为，则N点坐标为( ) A. B. C. 或 D. 或 3. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知三角形三个内角比为，则这个三角形三个外角的比为（ ） A. B. C. D. 7. 在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，直线经过点，，，垂足分别为，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的角平分线，于点D，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、大于为长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，若，P为上一动点，则的最小值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 4 二、填空题 11. 三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是______． 12. 点在直角坐标系x轴上，则点P的坐标为______． 13. 已知平面直角坐标系中，两点，将线段平移至，点与点对应．若，则点的坐标为______． 14. 如图所示，在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点______． 15. 一副三角板如图所示摆放，若， 则的度数为______． 16. 如图，在中，点为边中点，过点作，过点作直线交于点，交直线于点，若，，的面积为30，则的面积为______． 17. 如图，中，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线，垂足分别为D、E，若，则______． 18. 中，边上的中线，则a的取值范围是______ 19. 如图，点C在上，，则的度数是________． 20. 如图交于M，交于D，交于N，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________（填序号）． 二、解答题 21. 解方程组 （1） （2） 22. 解不等式组 （1） （2） 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）将向右平移5个单位，向下平移2个单位得到； （2）直接写出的面积______； （3）请在图中找到一点D，使，请直接写出点D坐标______． 24. 已知中，平分，交于点E，平分，交于点D，与交于点O． （1）如图1．求证：； （2）如图2，连接，求证：平分； 25. 某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需620元；若购进A种商品6件和B种商品8件需1000元： （1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？ （2）若该商店准备用不超过1170元购进A种商品的数量比B种商品数量的多3个，问至多购进B种商品多少件？ 26. （1）如图1，平分．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，连接，m为不等式组的整数解． （1）点A的坐标为______；点B的坐标为______； （2）点在x轴负半轴上，连接，用含t的代数式表示的面积S； （3）在（2）条件下，若，垂足为点D，平分，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $