广东省阳江市阳西县第一中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

2026届高三9月月考 数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C C A B D C 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求。全部选对的 得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BCD BD ABC 2 2(1-i) 1.A(1+i)=1-i=2,=1千)+D1-i心x的虚部为-1. 2.D 由已知A={ ≤0)=0<<2,B=(1<≤3,所以AUB=a0<x<3. 3.C 由a,b是正数0>6,得会<号,即充分性成立:由命题g,得6<a心,由函数f)=2的单调性可知6 a,即p是q的充要条件,故选C. 4.C设没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为x,根据全概率公式可知0.6 0.01十+0.4x= 0.014,解得x=0.02.故选C. 5.A因为tana=6,所以cosa十sin2a=cosa+2 sin acosa=osa寸2 sinc=1+2ane=1+2X6=13 cos2a+sin2a 1+tana1+62-371 故选A. 6.B在 ABC中,∠B=120 ,AB=BC=2a,由 ABC的面积为45得2 2a 2asin120 =4V3,所以a2= 4,则a=2,设直线x=￠与x轴相交于点D,则∠BCD=30,所以1BD1=a,则2a=4,所以a=2c=2,解 c 得c=1,又=G-2=3,所以椭圆E的方程为片+苦=1,故选B 7.D如图所示,分别取BB1,B1C的中点P,Q,连接A1P,AQ,PQ,PE,易证四边形 APED为平行四边形,所以AP∥DE,进而得到AP∥平面AED. 连接BC,则PQ∥BC1∥AD1,所以PQ∥平面AED1. 因为PQ∩AP=P,AD∩DE=D1,所以平面APQ∥平面AED. 当M在线段PQ上时,AM∥平面AED1, 易知AP=E,A,Q=PQ- 2 当AM⊥PQ时,线段AM取得最小值,为 .PxYPQ-(4P 30 PQ 5 2 故选D. 8.C由P(x)+(x+2)=4,得(x+2)+P(x+4)=4,所以P(x+4)=P(x),所以f(2025)= f(1).因为f(x)f(+)>0,所以f(x+2)fx+1)>0,所以f)f(x+1)>0,所以f(2025)与 f(1)同号,且f(1)f(2)>0,又f(2)<0,所以f(1)<0,所以f(2025)<0.在P(x)+P(x+2)=4中, 令x=-1,得P(-1)+P(1)=4.又f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),所以P(2025)=P(1)= 2,所以∫(2025)=-√2,故选C. 9.BCD对于抛物线C:x2=4,可得p=2,=1,且焦点在y轴正半轴上,则点F(0,1),A错误; 【高三9月月考 数学卷参考答案第1页(共5页)】 6025C 由抛物线的定义可得MF=%十1=5,可得%=4,B正确: 由%=4可知,x8=16,可得m=士4,OM=√+%=4V2,C正确; :Mr的中点坐标为(士2,受,则点(士2,号)到y轴的距离d=号-合MF, ∴.以MF为直径的圆与x轴相切,D正确.故选BCD. 10.BD对于A,(S5一S11)(S5一S2)=(a15十a14+a13+a12)X3a14=6a14(a14十a13)<0,若a14>0,则a14 十a13一定大于零,不符合题意,所以a14<0,a14十a13>0,故A错误; 对于B,由A可知S15-S1=a15十a14+a13+a12=2(a14十a13)>0 S15>S1,S5-S12=3a14<0 S5< S2,故B正确; 对于C,由A可知,因为a14<0,a14十a13>0,可知a13>0,故n=13时,Sm取最大值,故C错误: 对于D.S=27a,+a》=27a4<0,S6=26(a,+a》-13(a4十an)>0,放D正确.放选BD. 2 2 11.ABC对于A,当a=-1时,f(x)=e(x十e),令f(x)=0,得x+e=0,令 g(x)=x十e,得g'(x)=1十e>0,即g(x)在R上单调递增,又g(-1)=-1+ e1<0,g(1)=1+e>0,由零点存在定理可得g(x)=x十e在R上有唯一零点, (x1,八x1) 即f(x)有唯一零点,A错误; y=f(t) 对于B,f(x)=e(x-ae2)+e(1-ae)=e(x+1-2ae),令x+1-2ae<0, 得2a>士,设)-士,则()2=子,当x0时,( (e2)2 (2,2 >0,h(x)单调递增,当x>0时,()<0,h(x)单调递减,所以()s=h(0)=1,又当a>号时,2a>1,所 以2a>安恒成立,即a心号时,)是减函数,B错误: 对于C,当a=弓时,由B知士≤1,即x+1≤c,所以f()=c(x十1-e)<0,即f(x)在R上单调递 减,无极值,C错误; 对于D,当a=1时,f(x)=e(x-e),f(x)=e(x+1-2e),令k(x)=e(x+1-2e),得k'(x)=e(x十 1-2e)+e(1-2e)=e(x+2-4e),令g(x)=x+2-4e,则q()=1-4e,当g'(x)>0,即x<ln 时,g(x)单调递增,当g(x)<0,即x>ln子时,g(x)单调递减,所以g(x)x=q(n)=ln+2-4e时 =ln是+1<0,即k'(x)=e(x+2-4e)<0恒成立,所以f(x)=e(x+1-2c)单调递减,又x+1≤e< 2e,所以子(x)<0,所以f(x)在R上单调递减,且当x 一∞时,f(x) 0,当x一+∞时,f(x) 一∞,可 得f(x)的大致图像如图,由图可知对任意实数1,总存在实数,,使得f()=)二f),D正确。 x1一x2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.√/23a-b|2=a2+b2-2a b=|a+b2-4a b=27-4=23,因此|a-b=√23 13.[7x,10x)由题意可知,g(x)=3sin[号(x-x)]=3sin(号-号),因为x∈[0,a],所以号-号∈[-号,号 子],由g()在[0,a]上恰有3个零点,得2x≤号-号<3x,解得7x<a<10m,故实数a的取值范围为 [7x,10x). 14.①24(2分)②216(3分)若区域A,B,C,D涂2种颜色,区域E,F,G,H涂另外2种颜色,则AC,BD, EG,FH同色,先选两种颜色涂A,B,C,D区域,则有CA种涂法,区域E,F,G,H有A种涂法,故有 CAA=24种涂法. 区域A,B,C,D涂4种颜色有A=24种涂法,不妨设区域A,B,C,D分别涂a,b,c,d颜色, 则区域E,F,G,H也涂这4种颜色有(a,b,c,d),(a,d,b,c),(a,d,c,b),(c,d,a,b),(c,a,b,d),(c,b,a,d), (d,a,b,c),(d,a,c,b),(d,b,a,c),9种涂法, 故共有24 9=216种涂法. 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15,解:()由正弦定理g8A=BsC得十Q2=ab叶.…2分 【高三9月月考 数学卷参考答案第2页(共5页)】 6025C 所以由余弦定理,得cosC=Q2+一c=1 2ab 2 4分 又C∈(0,x),所以C=受. 6分 (2)因为c=25,C=号,由余弦定理可得0sC=+C-号 2ab 2 可得(a+b2-2ab-12=a,所以(a+b2-12=3aK3(空),a+≤12,可得a+b4,当且仅当 a=b时取等号, 所以a+b的取值范围是(2√3,4√3. 13分 16.解:(1)2 2列联表补充如下: 关注 不关注 合计 男 100 20 120 女 50 30 80 合计 150 50 200 …2分 零假设H:黄山市市民是否关注比赛与性别无关, X-200X100X30-50x20 150 50 120 80 ≈11.111>7.879, …5分 根据小概率值 =0.005的独立性检验,可认为零假设H。不成立. 故认为黄山市市民是否关注比赛与性别有关. 6分 (2)样本中黄山市市民关注比赛的频率为28=是,由题意可知X一B(3,是), 8分 X的可能取值为0,1,2,3, …9分 PX=0=(1-)'=PX=1)=C 1-是) -=品, PX=2)=G (广 (1-是)=器PX=3)=()广=器 …13分 所以X的分布列为 X 0 2 3 P 9 27 7 ……14分 64 64 64 E0=0x+1 是+2 器+3 器-是或0X)=3 -是 64 4-4 …15分 1.解:D当a=4时,)=hx+1)-4红-16,则了0=有一4,所以了0)=1-4=-3,…3分 又f(0)=一16,故曲线f(x)在(0,f(0)处的切线方程为y十16=-3.x,即y=-3.x-16.…5分 2f)=ha=1+ x+1 …6分 当a≤0时,f(x)>0,所以f(x)在(-1,十o∞)上单调递增,此时f(x)不存在极值,不符合题意; 8分 当a>0时,令∫'(x)=0,解得x=1, a 当e(-1,。)时>0,当xe。2,+∞)时f0, 所以f(x)在(-1,。2)上单调递增,在(2,十o∞)上单调递减,…10分 故x=。2是f()的极大值点,且f后2)=-na-(1-a)-d=a-1-Q2-ha,…1分 a 令ga)=-a-1-a2-1hata>0.则ga=1-2a-&=1-(2a+2)≤1-2V2ax日=1-2E<0, …12分 【高三9月月考 数学卷参考答案第3页(共5页)】 6025C 所以g(a)在(0,十∞)上单调递减,且g(2)=一3-n2,…13分 由不等式a-1-a2-lna≤-3-ln2,解得a≥2, 14分 故实数a的取值范围为[2,十∞).… 15分 18解:1D因为点(一厄,-)在双曲线C上,所以号是 1分 又离心率为2,则a+B =2,… 2分 a 联立〈 3分 Va+b ,解得a=1,b=√5. =2 放双曲线方程为-背-1,渐近线方程为y=士。 4分 (2)(i)设M(x1y1),N(2,2), (y=kx+m 联立x2-号=1则(3-)x2-2x一m2-3=0, 5分 3 所以 =4k22+4(3-k2)(2+3)>0,即m2+3>k2,…6分 2km 且x1十x2=32,0x2=-m十3 3-k2, …7分 则为十为=k.01十m十kx2十m=k(x1十x)+2m= 6m 3一k2’ …8分 则N的中点为D(士老,之产)即D(3 3m …9分 4 3m 因为线段MN的垂直平分线过点K(0,4),则3-E k=一1,整理得k2十m=3. ……10分 km 0-3- (i)由(i)知m=3-k2, 则x十2=2k,m=-m十3,D(k,3》, 11分 则k>0,m<0, 则m2十3>k2=3一1,解得1<-1.…12分 又MN=√F+ +)-4西=F+行√4服+4.四 =T√43-m)+4.-2e百+ ,…14分 则IMD=2|MN=E+ √3+三 15分 m 又|KD|=√+I, 则am∠MKD=0=3+3∈(05),即∠MKDE(0,60),= 16分 又∠MKN=2∠MKD,则∠MKN的取值范围为(0,120 ).… 17分 19.解:(1)几何体W为正四棱锥. 1分 如图,正四棱锥P一ABCD为几何体W,其中顶点为P(0,0,3),A(W6,0,0),B(0,√6, 0),C(-√6,0,0),D(0,-√6,0), 因为正四棱锥任意两侧面所在平面的夹角相等,不妨求平面PAB与平面PBC夹角的 余弦值, 平面PAB的方程为3x+3y十√6之=3√6,则平面PAB的一个法向量为m=(3,3,√6), 平面PBC的方程为-3x+3y十√6x=3√6,则平面PBC的一个法向量为n=(一3,3,w6), 3分 【高三9月月考 数学卷参考答案第4页(共5页)】 6025C 1m n 6 1 所以cos(m,m》=1m n-26 2/6=4' …4分 故几何体W的两个相邻侧面所在平面夹角的余弦值为子. …5分 (2)由定义可知Q=1-云(∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPAD, n=I-云(∠DAB+∠BAP+∠DAP.s=I-z云(∠ABC+∠ABP+∠CBP, n=1-2云(∠BCD+∠BCP+∠DCP),n=1-Z(∠CDA+∠CDP+∠ADP.7分 所以几何体W的离散总曲率为 DP+Q+DB+e+OO=5-2元∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA+∠DAB+∠BAP+∠DAP+ ∠ABC+∠ABP+∠CBP+∠BCD+∠BCP+∠DCP+∠CDA+∠CDP+∠ADP) =5-(4Xx+2x)=2 …9分 (3)设球O与侧面PAB相切于E,连接PE,与AB交于M,则DELPM,连接OM,则OM=?AD=5, 所以PM=√/PP+OM呸=2√5,所以∠OPM=30 . 设球O的半径为1,则PO1=2r1,所以PO=n1十21=3r1=3,解得n1=1.…11分 设球On的半径为rm,则3rn=3-2n1一22一…一2r-1(n≥2), 则3r+1=3-2n-2r2-…-2rw1-2rm,…13分 两式相减得3(r+1一rn)=一2n, 整理得3十1=n,… 15分 又n=1,所以数列{》是以1为首项,公比为号的等比数列, 则数列{}是以1为首项,公比为。的等比数列. …16分 所以4x(+乃十…十层十…)=4xX1=9 放放入的所有球的表面积之和为号元 …17分 【高三9月月考 数学卷参考答案第5页(共5页)】 6025C2026届高三9月月考 数 学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知复数x满足x(1+i)=1一i2,则x的虚部为 A.-1 B.-2 C.1 D.2 2.已知集合A={x2<0,B={xlx-21<1).则AUB= A.(-∞，3] B.(3,十o∞) C.(0,+o∞) D.(0,3] 3已知a,6是正数，命题p:“a>6,命题g:任<分”，期力是g的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.医学部门对某地区的一种地方性疾病进行医学研究，已知该地区有良好卫生习惯的居民占 0.6,没有良好卫生习惯的居民占0.4，该地区所有居民患这种地方性疾病的概率为0.014.若 有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.01，则没有良好卫生习惯的居民患这 种地方性疾病的概率为 A.0.03 B.0.024 C.0.02 D.0.018 5.若tana=6,则cos2a+sin2a= A号 R一器 c D.- 6.已知A,B分别是椭圆E:后+芳 =1(a>b>0)的左、右顶点，直线x-2(c为椭圆E的半焦 距)上存在点C,使得△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且△ABC的面积为4√3，则椭圆E 的方程为 A+-1 B+-1 3 【高三9月月考数学卷第1页（共4页）】 6025C 7.在正四棱柱ABCD一ABCD1中，AA,=2AB=2,E为棱CC1的中点，点M为侧面 BCC1B1内一动点，且AM∥平面AED1,则线段A,M的长度的最小值为 A.1 R号 C3③ D.30 5 8.已知偶函数f(x)满足：P(x)+P(x+2)=4,且∫(x)f(x+2)>0,若f(2)<0,则 f(2025)= A.1 B.√2 C.-√2 D.-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点，点M(xo,yo)在抛物线C上，若|MF= 5,则 A.F的坐标为(1,0) B.yo=4 C.|OM=4/2 D.以MF为直径的圆与x轴相切 10.已知首项为正数的等差数列{a,}的前n项和为Sn,若(S15一S1)(S15一S12)<0,则 A.a13十a14<0 B.S1<S15<S12 C.当n=14时，S,取最大值 D.当Sm<0时，n的最小值为27 11.已知函数f(x)=e(.x一ae),a∈R,则下列说法错误的是 A.当a=一1时，f(x)有2个零点 B.当a>号时，f(x)存在增区间 C若f)只有-个极值点，则a<0或a=号 D.当a=1时，对任意实数，总存在实数1,2，使得了()=f)二f） x1一C2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若向量a、b满足|a十b=3√3，a·b=1,则a一b= 13.将函数f(x)=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标伸长到原来的3 倍，再把所得函数的图象向右平移π个单位长度，得到函数g(x)的图象.若g(x)在[0，a]上 恰有3个零点，则实数a的取值范围为 A 14.在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个 D B C <G H 区域只能涂一种颜色. F ①若区域A,B,C,D涂2种颜色，区域E,F,G,H涂另外2种颜色，则有 种不同涂法 ②若区域A,B,C,D涂4种颜色(A、B、C、D涂的颜色互不相同)，区域E,F,G,H也涂这 4种颜色(E,F,G,H涂的颜色互不相同)，则有 种不同涂法 【高三9月月考数学卷第2页（共4页）】 6025C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin B+asin A=bsin A+csin C. (1)求角C: (2)若c=23,求a+b的取值范围. 16.(本小题满分15分) 国际生态拉力杯是由国际汽车联合会(FIA)专门为新能源汽车打造的国际顶级赛事，2024 年首次在亚洲举办并落地中国安徽.2025国际汽联生态拉力杯（中国站）暨大黄山国际生态 汽车拉力赛，定于9月23日至9月28日在合肥市、安庆市、池州市、黄山市、宣城市举办，某 调查机构为调查黄山市市民是否关注该比赛情况，随机抽取男女市民共200名进行调查，得 到如下统计结果： 关注 不关注 合计 男 100 女 30 80 合计 200 (1)完成2×2列联表，并根据小概率值α=0.005的独立性检验，判断黄山市市民是否关注 比赛与性别有无关联； (2)将样本中关注比赛的市民的频率作为黄山市市民关注比赛的概率，从黄山市市民中随机 抽取3人，记X为这3人中关注比赛的人数，求X的分布列和数学期望， n(ad-be)2 附：x-(a+b)+a干ce)b+其中n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Ta 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=ln(x+1)-ax一a2. (1)当a=4时，求曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程； (2)若f(x)存在极大值，且极大值不大于一3一ln2,求实数a的取值范围. 【高三9月月考数学卷第3页（共4页）】 6025C 18.(本小题满分17分) 已知双曲线C:号-=1(a>0,b0)的离心率为2，点(-2，一3)在C卫 (1)求C的渐近线方程： (2)若直线l:y=kx+m交双曲线C的右支于M,N两点，线段MN的垂直平分线过点 K(0,4). (i)求k与m之间的数量关系式； (i)求∠MKN的取值范围. 19.(本小题满分17分) 在空间直角坐标系Oxyg中，任意平面的方程都能表示成Ax+By+Cx十D=0(A,B,C,D ∈R,且A2+B2+C≠0)，m=(A,B,C)为该平面的法向量 设M是多面体的一个顶点，定义多面体在M处的离散曲率为Q,=1一六（∠NMN,十 ∠N2MN3+…+∠Nw-1MN,+∠NMN1),其中N:(i=1,2,3,…,n,n≥3)为多面体的所 有与点M相邻的顶点，且平面N1MN2,N2MN3,…,N,w-1MNm,NnMN1遍历多面体的所有 以M为公共顶点的面.多面体的离散总曲率为该多面体各顶点的离散曲率之和. 已知空间直角坐标系Oxyz中，几何体W的底面在平面Oxy内，且侧面上任意一点(x,y, 3|x|+3|y|+√6|x=36, 之)满足 ≥0. (1)判断几何体W的形状，并求几何体W的两个相邻侧面所在平面夹角的余弦值： (2)求几何体W的离散总曲率； (3)定义：若无穷等比数列1a,}的公比g满足0<g<1,则{a,的所有项之和S=三a, a 二1一q 若球O1与几何体W的各面均相切，然后依次在W内放入球O2,球O3,…,球O+1,…, 使得球O+1(n≥1，n∈N*)与W的四个侧面相切，且与球On外切，求放入的所有球的表 面积之和 【高三9月月考数学卷第4页（共4页）】 6025C