精品解析：湖北省武汉市华一卓越班2025-2026学年上学期七年级九月月考数学测试（第一章补充练习）

第一章补充练习 一、单选题 1. 如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 2. 有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程如下：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若按随意顺序输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k，若k的最大值为2025，那么k的最小值是（ ） A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2020 3. 下列各组数中，互为相反数的有（ ） ①与； ②与； ③与； ④与． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 4. 下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（ ） A. ②④ B. ①④ C. ①③④ D. ①②④ 5. 如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是的中点，如果，则原点O的大致位置在（ ） A. A的左边 B. A与C之间 C. C与B之间 D. B的右边 6. 在多项式（其中）中，任意添加绝对值符号且绝对值符号内至少包含两项（不可绝对值符号中含有绝对值符号），添加绝对值符号后仍只有加减法运算，然后进行去绝对值符号运算，称此运算为“对绝操作”．例如：，下列说法正确的个数是（ ） ①存在“对绝操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ②共有8种“对绝操作”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“对绝操作”共有7种不同运算结果． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若、、均为整数，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式的值为； ⑤，则的值为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 二、填空题 11. 在数轴上，点表示的数是，点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离是4，则点表示的数是___________． 12. 已知，且，则________． 13. 式子的最小值是______． 14. 当x满足条件________时，取得最大值，最大值为________； 当x满足条件________时，取得最小值，最小值为________． 15. 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么______．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为______． 三、解答题 16. 同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）是所有符合成立条件的整数，则___________； （2）由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________； （3）当为整数时，的最小值为___________； （4）求的最小值． 17. 已知，点A、B在数轴上对应的数为a、b，其满足，点O表示原点，M、N分别从O、B出发沿数轴同时向负方向匀速运动，M的速度为每秒1个单位长度，N的速度为每秒3个单位长度． （1）直接写出线段___________，___________； （2）设运动时间为t秒，当t为何值时，恰好有； （3）设点P为线段的中点，点Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，说明理由并求出的值；若变化，当t为何值时，有最小值？并求出最小值． 18. 如图，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3，请回答： （1）若，两点的距离与，两点的距离相等，则需将点向左移动_________个单位长度；（其中点不与点重合） （2）若移动，，三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有___________种，其中移动所走的距离之和最小的是____________个单位长度； （3）若有两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，求两只青蛙，之间的最小距离． 19. 我们知道，是指数轴上表示数a的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为． （1）如图1，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，则a　 　 0，b　 　 0，　 　 0； （2）若，则　 　 ； （3）已知a、b、c三个数在数轴上的位置如图2所示，化简：． 20. 已知有理数，，，，其中，为负数，，为正数，且． （1）画出数轴，并标出表示数，，，的点的大致位置． （2）将，，，，，按照从小到大的顺序排列． （3）比较，，，的大小． （4）若有理数满足，试比较，，之间的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章补充练习 一、单选题 1. 如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数轴上的点的特征，熟悉相关性质是解题的关键．根据数轴上点的位置和有理数加法的性质，即可判断原点可能的位置． 【详解】解：若A点为原点，则，，，故符合题意； 若B点为原点，则，，无法判断，故不符合题意； 若C点为原点，则，，，故不符合题意； 若D点为原点，则，，，故不符合题意； 故选：A． 2. 有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程如下：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若按随意顺序输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k，若k的最大值为2025，那么k的最小值是（ ） A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2020 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，理解题意是解题的关键，根据题意，不妨设，进而表示出的值，然后根据的最大值为2025，可以得到的值，从而可以得到的最小值． 【详解】解：不妨设 输入的三个数为a，b，2， ∴第一次输入后显示的结果为：或或， 第二次输入后显示的结果为： 或或 ∵的最大值为2025， ∵， 最大， ∴或 ， ∴的最小值是； 故选C． 3. 下列各组数中，互为相反数的有（ ） ①与； ②与； ③与； ④与． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义与多重符号的化简，掌握相关知识是解题的关键．先分别进行化简，再进行判断即可． 【详解】解：①由于，故与不互为相反数； ②由于，故与互为相反数； ③由于，，故与互为相反数； ④由于，，故与互为相反数； 综上，互为相反数的有②③④，共3组． 故选：C． 4. 下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（ ） A. ②④ B. ①④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】考查了正数与负数，根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：①正数前加上一个负号就是负数，说法正确； ②不是正数的数就是负数，说法错误，0既不是正数，也不是负数； ③只有带“＋”号的数才是正数，说法错误，例如5是正数，但没有带“＋”号； ④0既不是正数也不是负数，说法正确． 综上所述可得：说法正确的有①④，共计2个． 故选：B． 5. 如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是的中点，如果，则原点O的大致位置在（ ） A. A的左边 B. A与C之间 C. C与B之间 D. B的右边 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中点的定义与绝对值的意义，解题关键是利用数形结合的思想，正确化简绝对值并判断．本题先化简绝对值得到，再进行判断即可求解． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴与异号，且， ∴原点O的大致位置在A与C之间   故选： B． 6. 在多项式（其中）中，任意添加绝对值符号且绝对值符号内至少包含两项（不可绝对值符号中含有绝对值符号），添加绝对值符号后仍只有加减法运算，然后进行去绝对值符号运算，称此运算为“对绝操作”．例如：，下列说法正确的个数是（ ） ①存在“对绝操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ②共有8种“对绝操作”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“对绝操作”共有7种不同运算结果． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义题型及绝对值计算和分类讨论思想的应用，根据题目所给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论求解即可得到答案 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴去绝对值操作后还是它本身， ∴不存在“对绝操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故①错误， 存在，，，，，， ，8种情况使其运算结果与原多项式相等，故②正确， 总共有：，，，，，5种结果，故③错误， 故选：B． 7. 实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算．熟练掌握绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算是解题的关键． 由绝对值的意义可知，当时，的值最小为，当时，的值最小为，由，可得，，当，时，代数式 的值最小，当，时，代数式 的值最大，分别计算，，然后求和作答即可． 【详解】解：由绝对值的意义可知，当时，的值最小为， 当时，的值最小为， ∵， ∴，， 当，时，代数式 的值最小，； 当，时，代数式 的值最大，； ∴， 故选：B． 8. 若、、均为整数，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 9. 下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式的值为； ⑤，则的值为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算、绝对值的意义、整式的加减、数轴上两点间的距离，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据绝对值的意义和分母不能为0可判断①；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断②；根据两点间的距离可判断③；根据与x无关化简后可判断④；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断⑤． 【详解】若，则， 故①错误， 不合题意； 若，则或或或， 当时， 则有， 当时， 则有， 当时， 则有， 当时， 则有， 由上可得，是正数， 故②正确，符合题意； 三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等， 则或或， 或或，故③错误，不合题意； 若代数式的值与无关， 则，故④错误，不合题意； ， 、、一定是一负两正，且、、， 则， 这里可以设，，， ，故⑤错误，不合题意； 故选： A． 10. 如图，小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 先求出折痕处的点表示的数为，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可． 【详解】解：将画在纸上的数轴上对折，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示的点重合的数是， 故选：B． 二、填空题 11. 在数轴上，点表示的数是，点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离是4，则点表示的数是___________． 【答案】5或##或5 【解析】 【分析】本题考查绝对值和相反数的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求点表示的数，分点在点的左侧和右侧，再利用相反数的定义求点表示的数． 【详解】在数轴上，点表示的数是，点与点之间的距离是4， 点表示的数是3或， 点表示的数互为相反数， 点表示的数是或5． 12. 已知，且，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查的是绝对值的性质，根据题意得出x和y的值，然后得出结论即可． 【详解】由题可知，， ， ， 或， 或． 故答案为：或． 13. 式子的最小值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值．熟练掌握绝对值的化简，分类讨论，是解决问题的关键． 由绝对值的几何意义可知当时，有最小值，同理可知当时，有最小值，当时，有最小值，最小值为0，则当时，，，能同时取到最小值，进而可得当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，表示的是数轴上表示x的点到表示1和5的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， 同理可知当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为0， 综上所述，当时，，，能同时取到最小值， ∵ ， ∴当时，有最小值，最小值为； 故答案为：8． 14. 当x满足条件________时，取得最大值，最大值为________； 当x满足条件________时，取得最小值，最小值为________． 【答案】 ①. ## ②. ③. ④. 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时， ，则时，有最大值； 当时， 为定值； 当时， 为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时， ，则时，有最小值； 当时， ； 当时， ； 故当时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：，；，． 15. 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么______．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为______． 【答案】 ①. 或 ②. 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，根据绝对值的意义解答①，由得式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和，可知，当在的位置时，距离之和最小，据此即可解答②，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和， 可知，当在的位置时，距离之和最小，最小值为， 故答案为：或，． 三、解答题 16. 同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）是所有符合成立条件的整数，则___________； （2）由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________； （3）当为整数时，的最小值为___________； （4）求的最小值． 【答案】（1） （2）3 （3）2 （4） 【解析】 【分析】本题考查了数轴和绝对值，理解题绝对值的几何意义是解题的关键． （1）当在和2之间时，； （2）当在3和6之间时，的值最小； （3）当时，的值最小； （4）当时，取最小值． 【小问1详解】 解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示，2两点之间的距离之和等于7， ∴当时，， ∵x是整数， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示3，6两点之间的距离之和， 当时，的值最小， 最小值为：， 故答案为：3； 【小问3详解】 解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示1，2，3三点之间的距离之和， ∵x为整数， ∴当时，的值最小， ∴最小值为， 故答案为：2； 【小问4详解】 解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示数1，2，3，…，1997的点之间的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴最小值为 ． 17. 已知，点A、B在数轴上对应的数为a、b，其满足，点O表示原点，M、N分别从O、B出发沿数轴同时向负方向匀速运动，M的速度为每秒1个单位长度，N的速度为每秒3个单位长度． （1）直接写出线段___________，___________； （2）设运动时间为t秒，当t为何值时，恰好有； （3）设点P为线段的中点，点Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，说明理由并求出的值；若变化，当t为何值时，有最小值？并求出最小值． 【答案】（1）8，12 （2）t为4或7.2 （3）当秒时，最小值为10 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上动点．熟练掌握非负数性质，数轴上动点对应的数，数轴上两点间的距离，是解答本题的关键． （1）用非负性可求a，b的值； （2）由线段关系列出方程，可求解； （3）分别求出点P和点Q表示的数，则，所以随着t的变化而变化，利用绝对值的性质化简，可求解． 【小问1详解】 解：∵，且，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 故答案为：8，12． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 即． ∴． 当时，； 当时，． 答：当t为4秒或7.2秒时，恰好有． 【小问3详解】 解：的长度发生变化，理由如下： ∵点P为线段的中点，点Q为线段的中点， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为． ∴． 则随着t的变化而变化． ∴当时． 当时，， ∴． 当时，． 故当秒时，有最小值，最小值为10． 18. 如图，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3，请回答： （1）若，两点的距离与，两点的距离相等，则需将点向左移动_________个单位长度；（其中点不与点重合） （2）若移动，，三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有___________种，其中移动所走的距离之和最小的是____________个单位长度； （3）若有两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，求两只青蛙，之间的最小距离． 【答案】（1）3 （2）3，7 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据题意，得A、B两点之间的距离为，C、B两点间的距离，设与点B的距离为2，得，结合距离为，解答即可． （2）利用分类思想，分相同数，，3三种情况解答即可． （3）根据它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，得到或，分类计算即可． 【小问1详解】 解：∵数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3， ∴A、B两点之间的距离为，C、B两点间的距离， 设与点B的距离为2， 则， 解得， 故当点C平移到原点时，符合题意， 此时距离为， 故需将点向左移动向左平移3个单位长度， 故答案为：3． 【小问2详解】 解：有三种方法： ①相同数为A表示的数时，移动B，C，把点B向左移动2个单位长度，把点C向左平移7个单位长度，移动距离之和为； ②相同数为B表示的数时，移动A，C，把点A向右平移2个单位长度，把点C向左平移5个单位长度，移动距离之和为； ③相同数为C表示的数时，移动A，B，把点A向右平移7个单位长度，把点B向左平移5个单位长度，移动距离之和为. ∴移动所走的距离和最小是7个单位长度， 故答案为3，7． 【小问3详解】 解：∵两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且， ∴， ∴或， 当时，， ①时，此时两点距离为； ②时，此时两点距离为； ③时，此时两点距离为； ④时，此时两点距离为； 当时，， ①时，此时两点距离为； ②时，此时两点距离为； ③时，此时两点距离为； ④时，此时两点距离为； 故两只青蛙，之间的最小距离为1． 【点睛】本题考查了数轴表示有理数，数轴上的平移，数轴上的两点间距离，绝对值的求解，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 19. 我们知道，是指数轴上表示数a的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为． （1）如图1，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，则a　 　 0，b　 　 0，　 　 0； （2）若，则　 　 ； （3）已知a、b、c三个数在数轴上的位置如图2所示，化简：． 【答案】（1） （2）或3 （3） 【解析】 【分析】本题考查有理数与数轴，根据点在数轴上的位置判断式子的正负，解绝对值方程，绝对值性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴回答即可； （2）根据题意得到表示到的距离，表示到的距离，再分情况讨论求解，即可解题； 根据题意得到由数轴可知，，，进而得到，再结合绝对值性质化简即可． 【小问1详解】 解：由数轴可知，， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：表示到的距离，表示到的距离， 当时， 原式变形为，解得， 当时， 原式变形为，该方程无解， 当时， 原式变形为，解得， 综上所述或3， 故答案为：或3． 【小问3详解】 解：由数轴可知，，， ， ． 20. 已知有理数，，，，其中，为负数，，为正数，且． （1）画出数轴，并标出表示数，，，的点的大致位置． （2）将，，，，，按照从小到大的顺序排列． （3）比较，，，的大小． （4）若有理数满足，试比较，，之间的大小． 【答案】（1） 在数轴上标出表示数，，，的点如图①． （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较以及数轴上的表示，根据题意画出，，的大致位置是解题的关键． （1）根据已知条件，分析出，，，距离原点的远近即可解答； （2）根据相反数的定义，结合（1）中数轴画出的，，的大致位置即可解答； （3 ）化简可得(负数)，(正数)，结合（1）中所画中，，的大致位置即可解答； （4）由题意可知为正数且，但是不知道有理数的情况，故分三种情况()讨论即可． 【小问1详解】 解：，为负数，，为正数，且． 正数部分：距离原点最远，其次是 负数部分：距离原点最远，其次是 【小问2详解】 解：在数轴上标出表示数，，，，，的点如图②， 所以． 【小问3详解】 解：为正数，为负数 (负数)，(正数) 在数轴上标出表示数，，，的点如图③， 所以． 【小问4详解】 解：需分以下三种情况讨论： ①若，因为，所以，不符合题意，舍去； ②若，因为，且，所以； ③若，因为，且，所以． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $