5.2勾股定理其逆定理（2）课件 2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学上册

5.2勾股定理其逆定理（2） 直角三角形 第5章 学习目标 1. 能利用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题； 2.运用勾股定理画出无理数的具体长度. 新知导入 我们知道勾3股4弦5可以构造出一个直角三角形，那么我们可以数轴上作出表示3，4，5的点吗？和呢？ 新知探究 【议一议】 如何在数轴上作出表示和呢？ 如图，由勾股定理可知，当两条直角边都为1时，该直角三角形的斜边OA1 长为以原点O为圆心，OA1 为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点；当两条直角边分别为，1时，该直角三角形的斜边OA2 长为 ，以原点O为圆心，OA2 为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点. 新知探究 利用勾股定理，还可以帮助我们解决一些实际问题. 【思考】 如图是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图. 假设梯子长4m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5m. 他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙 脚移近了0.5 m，那么，梯子顶端是否也上移 0.5 m？（已知≈3.87） 新知探究 根据已知条件可抽象出示意图 分别在 Rt△ABC和Rt△A'BC'中，运用勾股定理计 算出 AB，A'B，则可得出梯子顶端往上移动的距离. 在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m， 由勾股定理得，AB=，在Rt△A′BC′中，A′C′=4m，BC′=1m， 由勾股定理得，A′B= ≈3.87（m）， 因此A′A=A′B-AB≈3.87-3.71=0.16（m）. 即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m. 新知探究 例3 （古代数学问题）“今有池方一丈， 葭（jiā）生其中央，出水一尺. 引葭赴岸，适 与岸齐. 问水深、葭长各几何？”①意思是： 有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方 形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分 为1尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向 拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面. 问水深与芦苇长各为多少？ 新知探究 分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图所示. 设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，长1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′. 解如图，设水池深x尺， 则AC=x尺， 武英殿聚珍版《九章算术》 AB=AB′=(x+1)尺. 因为正方形池塘的边长为10尺， 所以B′C=5尺. 在Rt△ACB′中，根据勾股定理得，x2+52=（x+1）2，解得 x=12. 故芦苇长为13尺. 答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺. 注：，1丈=10尺=米. 课堂练习 1.一艘渔船以18海里/时的速度由西向东追赶鱼 群. 在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向； 40 min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船 的北偏东30°方向，如图所示. 已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问：这艘渔船 继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？ 课堂练习 1.解作CD⊥AB于D， 由题得：AB=20海里，∠CAD=30°，∠CBD=60°； 在△ACD中，AD=CD; 在△BCD中，BD=CD. ∵AB=AD - BD，∴CD-CD=20 解得：CD=10 所以没有危险 课堂练习 2.AE是位于公路边的电线杆，高12m，为了使电 线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公 路的另一边竖立了一根高6m的水泥撑杆BD， 用于撑起电线，如图所示. 已知两根杆子之间的 距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60°. 求电线CDE的总长L（A，B，C三点在同一直线 上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计） 课堂练习 2. 作DE⊥AE于E, ∴DE=AB=8,AF=BD=6 ∴EF=AE - AF=6 在Rt△EFD中，ED2=62+82 所以ED=10,则L=4+10 课堂总结 1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2. 2.勾股定理表示无理数； 作业布置 1.必做题：教科书172页 学而时习之3-4 2.选做题：教科书173页 温故而知新6 $