5.2 第3课时 勾股定理的逆定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过复习勾股定理及计算直角三角形斜边引入，结合古埃及人用3、4、5结绳得直角的实例，搭建从边的数量关系判定直角三角形的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（古埃及结绳法），通过构造全等三角形证明逆定理发展数学思维，典例涵盖基础判断、比例关系及航海应用，结合方程思想强化数学语言表达。课堂小结系统梳理内容与应用，助力学生构建知识体系，教师可借层次化设计提升教学效率。

第5章 直角三角形 第3课时 勾股定理的逆定理 5.2 勾股定理及其逆定理 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 1.掌握勾股定理的逆定理及勾股数.（重点） 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆 定理判断一个三角形是直角三角形.（难点） 3.能够运用勾股定理的逆定理解决问题．（难点） 学习目标 B C A 问题1 勾股定理的内容是什么? 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2. b c a 问题2 求以线段 a，b 为直角边的直角三角形的斜边 c 的长： ① a＝3，b＝4； ② a＝2.5，b＝6； ③ a＝4，b＝7.5. c＝5 c＝6.5 c＝8.5 思考 以前我们已经学过了通过角的关系来判定直角三角形，可不可以通过边来判定直角三角形呢？ 复习导入 同学们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 打 13 个等距的结，把一根绳子分成等长的 12 段，然后以 3 段，4 段，5 段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17. 问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 勾股定理的逆定理 1 探究新知 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17. 问题1 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252， ③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172. 问题2 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ ∵ 32 + 42 = 52，∴满足. a2 + b2 = c2 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体. 问题3 据此你有什么猜想呢? 由上面几个例子，我们猜想： 命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. △ABC≌△A′B′C′ 　　 ？ ∠C 是直角　　　 △ABC 是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2+b2 = c2 . 求证：△ABC 是直角三角形． 构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′ 证一证： 证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′ = b，B′C′ = a， ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠C =∠C′ = 90°，即 △ABC 是直角三角形. 则 A′B′ 2=B′C′ 2 + A′C′2 = a2 + b2 A C a B b c 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 特别说明： 要点归纳 例1 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？ (1) a = 6， b = 8，c = 10； 解：(1) 因为 62 + 82 =100，102=100，所以 62 + 82 =102. 因此这个三角形是直角三角形. (2) a = 12，b = 15，c = 20. (2) 因为122 + 152 = 369，202 =400，所以122 + 152≠202. 因此这个三角形不是直角三角形. 分析 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. 典例精析 【变式题】若 △ABC 的三边 a，b，c 满足 a∶b∶ c = 3∶4∶5，试判断 △ABC 的形状. 解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k (k＞0)， ∵ (3k)2 + (4k)2 = 25k2，(5k)2 = 25k2， ∴ (3k)2 + (4k)2 = (5k)2. ∴ △ABC 是直角三角形，且∠C 是直角. 例2 如图，在 △ABC 中，已知 AB = 10，BD = 6，AD = 8，AC = 17，求 DC 的长. 解：在 △ABD 中，AB =10，BD = 6，AD = 8， 因为 6² + 8² = 10²，即 BD² + AD² = AB²， 所以△ADB 为直角三角形，且∠ADB = 90°. 所以∠ADC =180° -∠ADB = 90°. 在Rt△ADC中，DC ² = AC ² -AD²， 所以 DC = = 15. 1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 C 2. 一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （　　） A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 D 3. 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 (a - b)(a2 + b2 - c2) = 0，则△ABC 是________________________. 等腰三角形或直角三角形 练一练 1 2 勾股定理的逆定理的应用 例3 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里. 它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号 沿哪个方向航行吗？ N E P Q R 2 问题1 认真审题，弄清已知是什么，要解决的问题是什么？ 1 2 N E P Q R 16×1.5 = 24 12×1.5 = 18 30 “远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图. 问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？ 实质是要求出两艘船航向所成角. 勾股定理的逆定理. 解：根据题意得 PQ = 16×1.5 = 24 (海里)， PR = 12×1.5 = 18 (海里)， QR = 30 海里. ∵242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，∴∠QPR = 90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1 = 45°， ∴∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 解决实际问题的步骤：①构建几何模型 (从整体到局部)；②标注有用信息，明确已知和所求；③应用数学知识求解；④得到实际问题的解. （1）证明：∵CD = 1，BC＝ ，BD = 2， ∴ CD2 + BD2 = BC2. ∴ △BDC 是直角三角形. （2）解：设腰长 AB = AC = x，则 AD = x - 1. 在 Rt△ADB 中，∵AB2 = AD2 + BD2， ∴ x2 = (x - 1)2 + 22， 解得 用到了方程的思想 例4 如图，△ABC 中，AB = AC，D 是 AC 边上的 一点，CD = 1，BC = ，BD = 2． （1）求证：△BCD 是直角三角形； （2）求 △ABC 的面积． 1. 已知 a，b，c 是 △ABC 三边的长，且满足关系式 ，则 △ABC 的形状是 ________________． 等腰直角三角形 2. 一个三角形的三边长分别为 15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm. 12 课堂练习 解：∵AB² + BC² = (n² - 1)² + (2n)² = n4 - 2n² + 1 + 4n² = n4 + 2n² + 1 = (n² + 1)² = AC²， ∴△ABC 是直角三角形，边 AC 所对的角是直角. 3. 已知 △ABC 中，AB = n² - 1，BC = 2n，AC = n² + 1 (n 为大于 1 的正整数). 试问 △ABC 是直角三角形吗？ 若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 勾股定理 的逆定理 内容 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2+b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 注意 最长边不一定是 c， ∠C 也不一定是直角. 勾股数一定是正整数 应用 航海问题 与勾股定理结合解决不规则图形等问题 课堂小结 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $