5.2.1勾股定理 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 5.2.1 勾股定理 专项练习 ## 知识点回顾 **勾股定理**：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 在$Rt\triangle ABC$中\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)$\angle C=90^\circ$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)直角边$a\(a、b\)b$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)斜边$c$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)则： $$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$$ > $a\(a、b\)b$：直角边；$c$：斜边（直角所对的边\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)最长边） ✅解题要点 1. **前提：必须是直角三角形**\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)普通三角形不能用勾股定理； 2. 分清斜边：斜边是$90^\circ$角对的边\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)是最长边； 3. 变形公式： $a^2=c^2-b^2\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)\quad b^2=c^2-a^2$ 4. 常见勾股数（熟记）：$\(3,4,5\)$；$\(6,8,\(\boldsymbol{10}\)\)$；$\(5,12,13\)$；$\(7,24,25\)$ 满分：\(\boldsymbol{10}\)0分 时间：40分钟 ## 一\(a、b\)选择题（每题4分\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)共20分） 1. 在$Rt\triangle ABC$中\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)$\angle C=90^\circ$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)三边$\(a,b,c\)$（$c$为斜边）\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)勾股定理公式是（） A.$\(a+b=c\)$ B.$a^2+b^2=c^2$ C.$a^2-b^2=c^2$ D.$a^2+b^2=2c^2$ 2. $Rt\triangle$两直角边为$3$和$4$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)则斜边长为（） A.$5$ B.$7$ C.$25$ D.$12$ 3. $Rt\triangle ABC$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)$\angle C=90^\circ$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)斜边$\(\(c=\)13\)$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)一条直角边$\(a=5\)$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)另一条直角边$b$为（） A.$8$ B.$12$ C.$18$ D.$6$ 4. 下列是勾股数的是（） A.$\(2,3,4\)$ B.$\(5,12,13\)$ C.$\(4,5,6\)$ D.$\(1,2,3\)$ 5. 说法正确的是（） A.任意三角形都满足$a^2+b^2=c^2$ B.直角三角形中\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)斜边的平方等于两直角边平方和 C.直角三角形三边满足$\(a+b=c\)$ D.在三角形中\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)长边等于两短边之和 ## 二\(a、b\)填空题（每题4分\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)共20分） 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于________的平方。 2. $Rt\triangle ABC$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)$\angle C=90^\circ$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)$\(a=6\)\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)b=8$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)则斜边$\(c=\)$________。 3. 在$Rt\triangle$中\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)已知斜边$c$和直角边$a$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)则$b^2=$________。 4. 勾股数$\(3,4,5\)$同时扩大2倍得到________。 5. 直角三角形中\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)________是最长边。 ## 三\(a、b\)基础解答题（每题8分\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)共32分） 1. 已知：$Rt\triangle ABC$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)$\angle C=90^\circ$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)$\(a=5\)\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)b=12$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)求斜边$c$。 2. 已知：$Rt\triangle ABC$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)$\angle C=90^\circ$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)斜边$\(c=\)\(\boldsymbol{10}\)$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)直角边$\(a=6\)$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)求直角边$b$。 3. 判断对错\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)并说明理由 （1）在$\triangle ABC$中\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)$a^2+b^2=c^2$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)所以$\triangle ABC$是直角三角形。 （2）直角三角形两条直角边的和等于斜边。 4. $Rt\triangle ABC$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)$\angle C=90^\circ$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)$a=9\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)b=12$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)求斜边$c$。 ## 四\(a、b\)拓展提升题（每题14分\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)共28分） 1. 在$Rt\triangle ABC$中\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)$\angle C=90^\circ$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)若$\(a:b=3:4\)$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)斜边$\(c=\)20$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)求直角边$a\(a、b\)b$的长。 2. 已知：在$Rt\triangle ABC$中\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)$\angle C=90^\circ$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)$\angle A=30^\circ$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)$\(BC=4\)$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)求$AB$和$AC$的长。 --- # 参考答案与解析 ## 一\(a、b\)选择题 1.B 2.A 3.B 4.B 5.B ## 二\(a、b\)填空题 1. **斜边** 2.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{10}\)}$ 3.$\boldsymbol{c^2-a^2}$ 4.$\boldsymbol{\(6,8,\(\boldsymbol{10}\)\)}$ 5. **斜边** ## 三\(a、b\)基础解答题 1. 解： $\because \angle C=90^\circ$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)由勾股定理 $c^2=a^2+b^2=5^2+12^2=25+144=169$ $\therefore \(c=\)\sqrt{169}=\boldsymbol{13}$ 2. 解： $\because \angle C=90^\circ$\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)由勾股定理 $b^2=c^2-a^2$ $b^2=\(\boldsymbol{10}\)^2-6^2=\(\boldsymbol{10}\)0-36=64$ $\therefore b=\sqrt{64}=\boldsymbol{8}$ 3.（1）√；这是勾股定理的逆定理（下一节学）\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)满足两边平方和等于第三边平方\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)三角形为直角三角形。 （2）×；直角三角形是两直角边**平方和**等于斜边平方\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)不是边长相加。 4. 解： 由勾股定理：$c^2=a^2+b^2=9^2+12^2=81+144=225$ $\(c=\)\sqrt{225}=\boldsymbol{15}$ ## 四\(a、b\)拓展提升题 1. 解：设$a=3k\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)b=4k(k>0)$ 由勾股定理： $(3k)^2+(4k)^2=20^2$ $9k^2+16k^2=400$ $25k^2=400\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)k^2=16\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)k=4$ $\therefore a=12\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)b=16$ 2. 解： $\because \angle C=90^\circ\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)\angle A=30^\circ\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)\(BC=4\)$ $\therefore AB=2BC=8$（30°直角三角形性质） 由勾股定理： $AC^2=AB^2-BC^2=8^2-4^2=64-16=48$ $AC=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ $\therefore AB=\boldsymbol{8}\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}$ ## 易错警示 1. 勾股定理**只适用于直角三角形**； 2. 公式是**平方相加**\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)不是边长直接相加； 3. 分清斜边\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)斜边一定是公式里单独在等号一侧的$c$； 4. 常和30°直角三角形性质\(a、b\)斜边上中线综合出题； 5. 求边长最后要开算术平方根\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)边长为正数。 下一节：**5.2.2 勾股定理的逆定理**\(a^2=c^2-b^2\(\(a=6\)\(a=5\(a=9\(a=3k\(\therefore a=12\(\therefore AB=\boldsymbol{8}，AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}\)b=16\)b=4k(k>0)\)b=12\)b=12\)b=8\)\quad b^2=c^2-a^2\)继续同模板出题吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 5.2.1勾股定理 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第5章 直角三角形 1 2 3 通过探究，掌握勾股定理（重点） 会用勾股定理求线段的长度。（重点） 知道勾股数，并熟记常见的勾股数。 学习目标 如图，在方格纸上(设小方格的边长为1)画一个顶点都在格点上的Rt△ABC，使其两直角边分别为3，4，将斜边AB绕点A旋转，使其处于水平位置，你发现这条斜边的长度是多少? 新知探究 观 察 b=4 A C c=? B a=3 斜边的长度是5 斜边5，与直角边3，4有什么数量关系呢？ 古代有“勾三股四弦五”的说法。 03 新知探究 我国古代数学名著 《周髀算经》，把直角三角形较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦，并提出“勾三股四弦五”. 这本著作还指出：勾与股的平方和等于弦的平方 . 对于这一结论，古人称为勾股算法 . 实际上，这一结论揭示的是直角三角形三边长的平方关系. 算一算，会等于吗？ 4 03 新知探究 探究 画一个边长为的正方形，将其分割成 4个小直角三角形和一个四边形，其中小直角三角形的两直角边都分别为斜边都为，你能计算出蓝色部分的面积吗？你有什么发现？ 5 03 新知探究 由于图中四边形ABCD的面积S等于大正方形EFGH的面积减去4个小直角三角形的面积， 因而S= . 思考：斜边都为𝒄 起什么作用？ 四边形ABCD一定为正方形吗？ 6 03 新知探究 在△ABE与△BCF中， 所以△ABE≌△BCF（边角边）， 因此∠1 = ∠3. 又∠1 + ∠2 = 90°， 所以∠3 + ∠2 = 90°， 因此∠CBA = 180°(∠3+∠2)=90°. 7 03 新知探究 同理可证∠DCB=∠ADC=∠BAD=90°. 又BC=CD=DA=AB=， 因此四边形ABCD是正方形， 所以S=. 综上可知，S=. 8 03 新知探究 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，那么. 几何语言 ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴。 （或） 返回 1．若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，则下列选项中不能用来证明勾股定理的是(　　) A 举一反三 10 2．如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，点E为AC上一点，连接BE，DE，DE的延长线交AB于点F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°. (1)试说明：DF⊥AB. 【解】因为AC⊥BD，∠CAD＝45°，所以易得△ACD为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°.所以AC＝DC.又因为AB＝DE，所以AB2－AC2＝DE2－DC2，所以BC2＝EC2，所以BC＝EC，所以△ABC≌△DEC.所以∠BAC＝∠EDC. 举一反三 11 又因为∠EDC＋∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF， 所以∠AEF＋∠BAC＝90°，所以∠AFE＝90°， 所以DF⊥AB. 举一反三 (2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的验证．已知：如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，试说明：a2＋b2＝c2. 返回 举一反三 13 03 新知探究 小试牛刀：当直角三角形的三边长都是正整数时，称这三个数为勾股数. 如：3，4，5都是正整数，且=，所以 3，4，5 是勾股数 . 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） （A） 5，12，13 （B） 6，8，10 （C） 7，24，25 （D） 8，15，16 D 勾股数，也叫毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数，其中为斜边对应的数，为直角边对应的数。 03 新知探究 拓展 常见勾股数 （1）3,4,5 （2）6,8,10 （3）5,12,13 （4）7,24,25 （5）8,15,17 （6）9,12,15 （7）10,24,26 （8）12,16,20 （9）14,48,50 （10）15,20,25 …… 注意：若 ()是一组勾股数，那么对于任意正整数 ，()也一定是勾股数。 03 新知探究 做一做 试通过图中两个边长为a+b的正方形的面积表达式，验证勾股定理. 答案:教材图(1)的面积有两种计算方法. 第一种:S(1)= = ; 第二种:S(1)= = . 16 03 新知探究 做一做 试通过图中两个边长为a+b的正方形的面积表达式，验证勾股定理. 图(2)的面积S(2)= =. 因为S(1)=S(2) 即= , 所以= . 17 03 新知探究 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=，AC=，AB=. （1）若=1，=2，求c. （2） 若=15，=17，求. 例1 解:（1）根据勾股定理得，== =5. 因为>0，所以=5 . （2） 根据勾股定理得， == =64. 因为>0，所以=8. 03 新知探究 如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是底边BC上的高线，求AD的长. 例2 解:根据等腰三角形的性质定理得，AD也是底边BC上的中线，因此BD=BC=5. 在Rt△ABD中，由勾股定理得，+=， 因此AD= = ==12. 故AD的长为12. 新知应用 基础巩固题 1.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　)    A．b2＝c2－a2     B．a2＝c2－b2    C．b2＝a2－c2     D．c2＝a2＋b2 C 2.在 中，两直角边的长分别为6和8，则其斜边上的中线长为 ( ) . D A.10 B.3 C.4 D.5 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 新知应用 基础巩固题 3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向外作正方形，且两个正方形的面积分别为9和25，则△ABC的面积为________． 6 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝13，BC＝24，则AD的长为(　　)    A．5     B．6    C．8     D．10 A 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 新知应用 基础巩固题 5.如图，长方形的边长为2，边 长为1，在数轴上. 以原点 为圆心，对角线 的长为半径画弧，交正半轴于一点， 则这个点表示的实数是( ) . A.2.5 B. C. D. D 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 3．在Rt△ABC中，斜边AB＝1，则AB2＋BC2＋AC2的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B 返回 举一反三 23 4．[郴州市模拟]如图，在 中， ，分别以， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点， ，作 直线，与，分别交于点， ，连接 ，若，，则 的周长 为( ) B A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 返回 举一反三 24 返回 B 举一反三 25 返回 举一反三 26 返回 7．[成都市成华区模拟]如图，将腰 长为2的等腰直角三角形 放置于数轴上，直角边 与数 轴重合，直角顶点与重合，为的中点，以点 为圆 心，长为半径画弧，交数轴于点（在点右侧），则 点 表示的数为_______. 举一反三 27 B 举一反三 28 课堂小结 勾股定理 内容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 谢谢观看 THANKS 【解】因为S△BCE＋S△ACD＝S△ABD－S△ABE，DE＝AB＝c，CE＝BC＝a，AC＝CD＝b，所以a2＋b2＝·c·DF－·c·EF＝·c·(DF－EF)＝·c·DE＝c2，所以a2＋b2＝c2. 5．[安徽省中考]如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE＝，则AC的长是(　　) A．4 B．6 C．2 D．3 5或 6.若实数m，n满足|m－3|＋＝0，且m，n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为________． 8.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，将△ABC沿着AC折叠，点B恰好落在CD上的点B′处，若∠BAD＝90°，B′D＝6，AD＝9，则CD＝(　　) A．6＋3 B．6＋3 C．5＋4 D．5－4 $