湖南省衡阳市第八中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

衡阳市八中2026届高二年级第二学期期末考试 数学试题 时量：120分钟满分：150分 考试范围：高考全部内容 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知复数(1+2i)(z-1)=-2+i,则z=() A.√2 B.2 C.§ D.3 2.若果合4音灾合By名乙，则《) A.A=B B.A≤B C.B∈A D.AOB=☑ 3.已知函颜f=3c3x石，函数6)的图象由图象向右平移个单位得到，则下列关于西数g闲 的图象说法正确的是() A.关于y轴对称 B.关于原点对称 C.关于直线x=智对称 D.关于点铝州称 4.我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、 悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面 坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化.硬山式屋项（如图1)可近似 地看作直三棱柱（如图2），其高为10m,CC到平面ABB4的距离为1.5m,AB为4m,则可估算硬山 式屋顶的体积约为（) B 硬山式屋顶 图1 图2 A.15m3 B.30m3 C.45m3 D.60m3 5.设向量a与b的夹角为0，定义a⊕b=asin0-bcos0,已知a=(3,4),万-(4，-3)，则a©b=() A.(3,4) B.(-4,3) C.5 D.25 6.已知(x-1)+2x3=a+a4(x+1)+4(x+1)++a,(x+1),则a=() A.-2 B.2 C.4 D.12 7已知公发为dd>0)的等若数列a}的前m项和为S,且4=d,么=S京，且 b+b2+…+b0=0,则b=() 35 A.6 B. C.11 0.120 6 11 7 8.在△MBC中，cosA=5,aMBC的内切圆的面积为16π，则边BC长度的最小值为(） A.16 B.24 C.25 D.36 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数/(=2√5simx+m2x+3) 则下列说法正确的是() A.f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的图象关于点 对称 5π C.函数f(x)的图象向右移(p>O)个单位长度后，图象关于y轴对称，则P的最小值为 12 D.者关于x的方程四=m在0 上有两个实数根，则实数的取值范围为 V3-1, 3 10.下列说法正确的是() A.数据1,3,5,7,9,11,13的第80百分位数为11 2 B.已知随机变量5服从二项分布：5~B6,5设刀=35+1，则7的方差D)=12 C.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 51 D.若样本数据，，x,的平均数为2，则2x+3,2x,+3,2X+3的平均数为8 11.若函数F(x)=ae-x(a∈R)有两个极值点x,x2,且x<x2,则下列结论中正确的是（) A.0<x<1B.a的取值范围是 o, C.> D.Inx+lnx,<0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，若D丽=DC,且F为BC的中D 点，则EAEF= 13.已知两个等差数列{a}和b}的前项和分别为S,和T.,且 S-3n+5 T n+7' 则会】 A B 14.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互 相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该 圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日(1746-1818)最先发现.若椭圆。x2,y,的左、 C:- 十 =1 43 右焦点分别为F、F,P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线！与椭圆C的蒙日圆 相交于M,N,则 ú，PN的最小值为 PEPE 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)如图，在直三棱柱ABC-ABC中，4B⊥AC,AB=3,AC=A4=2· (1)证明：平面ABC⊥平面ABC,: A (2)求平面ABC,与平面ABC,夹角的余弦值. B 16.(本小题满分15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 btanC=c(tanA+tanC). (1)求角A的大小： (2)若B=T,c=4,过边4C上一点P作AB,BC的垂线，垂足分别为D,B,求DB的最小值 41 17.(本小题满分15分)下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 米色内饰 3 5 (1)若小明从这些模型中随机抽一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到的模型是米 色内饰，求P(B),P(BA),并据此判断事件A,B是否相互独立 (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中抽两个汽车模型.现做 出如下假设： 假设1.抽取的情况有三种可能，外观和内饰均同色、外观和内饰均异色、外观和内饰有一个同色： 假设2.一等奖为600元，二等奖为300元，三等奖为150元： 假设3.按抽到的结果的概率大小，概率越小，奖金越高. 请你帮该公司判断哪种情况分别为一、二、三等奖.设奖金为X,写出的分布列，并求的期望， 18.（本小题满分17分)已知P是抛物线C:x=2w>0)的焦点，过C上点42,1)的切线交y轴于点G, 过点G的直线与C交于B,D两点 (1)求抛物线C的方程： (2)比较GA与GBGD的大小，并说明理由； 3)过点F的直线与C交于PD两点，T(O,2),PT,2r的延长线分别交C于M,V两点，试判断直线N是 否过定点？如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=xe,8(x)=hx+x. (1)求函数g(x)在(1，g1)处的切线方程； (2)若h(x)=f(x)-g(x), (i)当a=l时，求函数h(x)的最小值： (iD若h)=0有两个实根x,x,且x≠x,证明：e*2>1 X2衡阳市八中2026届高二年级第二学期期末考试 数学试题 时量：120分钟满分：150分 考试范围：高考全部内容 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知复数(1+2i)(z-1)=-2+i,则z=() A.√5 B.2 C.§ D.3 【答案】A 【详解1：=2+1=2+0-2刘1-1=1+1，则日万 1+2i(1+21)(1-2i) 5 A.A=B B.A≤B C.BCA D.AOB= 【答案】B【分析】将集合A,B中的式子都通分成分母为6的式子，然后可判断出答案 【详解】因为】2止_-3，++3，kZ,而2k-3表示奇数，k+3表示整数， 326 626 所以ACB 3.已知函数f()=3c0s3x 6 ,函数g)的图象由()图象向右平移”个单位得到，则下列关于函数g() 的图象说法正确的是() A.关于y轴对称 B.关于原点对称 C.关于直线x=写对称 D.关于点 5π，0对称 36 【答案】D 【解析】因为g(x)=3( 所以8(0)≠0，且8(0)≠±3，所以函数是非奇 非偶商数，故AB项错误：因为g写}3c3x号） =3c0s 2,既不是8)的最大值也不是最小值， 所以x=不是g()的对称轴，故C项错误：因为8 -3个36出)-3c到-0，所以g0 36 是g(x)的一个对称中心，故D项正确 4.我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、 悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面 坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化.硬山式屋顶（如图1）可近似 地看作直三棱柱（如图2），其高为10m,CC到平面ABB,4的距离为1.5m,AB为4n,则可估算硬山 式屋项的体积约为() A B 硬山式屋顶 B 图1 图2 A.15m3 B.30m3 c.45m3 D.60m3 【答案】B 【解析】【详解】解：如图，过C作CD⊥AB于D,由题意可知，在直三 棱柱中，CC到平面ABBA的距离为1.5m,即CD=1.5m,又CC=10m, B=伽所以该柱体体积为”-SeCC=4x15x10=30m2 故选：B 5.设向量a与b的夹角为0，定义a⊕b=sim6-bcos6,己知a=(3,4),b=(4,-3),则a⊕b=() A.(3,4) B.（-4,3) C.5 D.25 【答案】C 【详解】因为a=(3,4),万=(4，-3)，所以=V32+4-5,a.6=3x4-4×3=0,即a1i, 所以向量a与6的夹角为5，所以a⊕6={ 故选：C 6.已知(x-1)+2x3=a。+a(x+1)+a,(x+1)2+…+a(x+1)°，则a,=() A.-2 B.2 C.4 D.12 【答案】C 【解析【详解】令x+1=t,则x=t-1,故(x-1)+2x3=(t-2)+2(t-1)°=a。+at+a,t++a,f, (t-2)4中得系数为C(-2)2=24,(t-1)3中得系数为C(-1)3=-10,所以4=24-20=4， 2已知公差为d(d>0)的等差数列a的前n项和为S,且4=d,b,=S,耳 b+b2+…+b。=0,则b1=() 35 120 A.6 B. c.11 D. 6 11 【答案】B 【详解】因为公差为d(d>0)的等差数列{a}满足a=d,所以an=4+(n-1)d=d,所以 s,=(ata)n_n(nti)d 2 2 又C+C%-=C%1所以b+b2+…+bo -d-ci-)d-c》rdc3+acr0品 =d(ec+c4c号片G步+(。 =d(c+c+c+c号-=dc-1-}0,d.c-) 220d= 1=6-1=35 20,d所以b1=S1-S,66 故选：B 8.在a1BC中，sA=5,AABC的内切圆的面积为16，则边BC长度的最小值为() A.16 B.24 C.25 D.36 【答案】A 【解析】因为△ABC的内切圆的面积为16π，所以△ABC的内切圆半径为4.设△ABC内角A,B,C所对 的边分别为a,b,c,因为co45所以血4若所以mA4。因为 7 Sae=)be si=)a+b+c9x4,所以be=22(a+b+0).设内切圆与边4C切于点D,由tanA=24 1 2 2 6 可 如子名则4D片又因为AD:+2,所以6+c=号。 求得an 3+a.所以 =25/32」 2516 +2a= 6(3 33+a. 又因为b+c≥2c,所以2+a≥21+a,即 3 V33 整理得a-12a-64≥0.因为a>0,所以a≥16，当且仅当b=c=40时，a取 3 得最小值 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知微-2n+m2x到 则下列说法正确的是() A.f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的图象关于点 对称 c.函数f()的图象向右移p(p>0)个单位长度后，图象关于y轴对称，则9的最小值为2 兀 D.若关于x的方程f=m在[0 上有两个实数根，则实数m的取值范围为 3-1, 3 2 【答案】BCD 【分折】根振倍角公式和铺助角公式将心)化说单角单函数即)-5-m②x+引，由正弦型函数的最 小正周期判断A选项；利用代入检验的思想判断B选项；根据图象平移得到平移后的函数，再根据偶函数得 到p=-工匹(k∈)，根据P的范围求得”的值，判断C选项；转化为两个函数图象的交点问题，结合正 122 弦函数图象求得的取值范围，判断D选项 【f解1对Af5-coe2列+n2心+6o2o号号m2x9om25-如2+ 3 3 ,则f(x)的最小正周期为π，故A错误： 对B,因为2×兮骨，所以函数f的图象关于点行对称，放正确： 对C将函数f(,的图象向右移o(p>0个单位长度后可得函数y=5-m2x-20+到的图象。 因为=6-m2x-20+》 的图象关于y轴对称，所以-2p+=亚+m(k∈Z), 32 即0-是ke2),又0>0，所以0的最小值为 12 ,故C正确： 对D庙)=m得5-m2x+引m,m2x到6-m, 若0s≤行则写s2x+。 3 3-3 若关于x的方程)=m有两个实数根，则n(2x+胃)与)y=V万-m图象有丙个交点， 所以5≤5-m<1,解得5-1<m≤5 故D正确. 故选：BCD 10.下列说法正确的是() A.数据1,3,5,7,9,11,13的第80百分位数为11 62 B.已知随机变量5服从二项分布：5~B6引设刀=35+1则刀的方差D)=12 方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被 D.若样本数据，，七的平均数为2，则2x+3,2x,+3,25+3的平均数为8 【答案】AB 【解析】对于A,共有7个数据，而7×80%=5.6，故第80百分位数为11，A正确： 对于B,易知 =6子0--”面g=35+1所以X初=×G=12B: 31 3 对于C,由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是 57’C错误， 对于D,若样本数据，，心，的平均数为2，则2x+3,25,+3,25+3的平均数为2×2+3=7，D错误 故选：AB 11.若函数F(x)=ae-x2(a∈R)有两个极值点x,x2,且x<x2,则下列结论中正确的是() A.0<x<1 B.a的取值范围是 00,1 e c￥7e 1 D.Inx+Inx <0 【答案】ACD 【解析】F(x)=a-x2,a∈R有两个极值点x,x2且x<x2,.F'(x)=f(x)=ae-2x,a∈R有 两个零点x,,且在x,名各自两边异号，y=a与y=2x有两个交点(5，，（化，a4)。 er 记g=2x,则g)21-.易知：x<1时g6)>0,>1时g0<0, e ∴.g()在(-oo,1)上递增，在(1，+∞)上递减，即h(x)在(-oo,1)上递增，在(1，+∞)上递减. (2x'=1i 2=0, g大值g0孕且x<0时8的<0：>0时g的>0，又m2mep5 e 2x0 =0, 由上g()的图象如下， y 2 9(x)= 2a e ex 1 :当且仅当0<a<2时y=a与y=2有两个交点，才符合条件，且0<飞<1<，故A正确，B不正确。 e 又f)-/)=0c>e-2x-0=e-25点=点. 克0x7K灭yT0弹‘1<49x台3②T<x e e e e e=1,则花光，支安nx计血花，<0，只寄证0<花<蓝 1分≥nrhx=0 令w=2恤x（x,则r0-2-1之-2x1<0 t? x2 ∴.T()在(1，+∞)上单调递减，即x>1时T(x)<T(1)=0,不等式(*)得证，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，若DE=1DC,且P为BC的中点，则AB=一 E D 【答案】5 【解析】以A为坐标原点，以AB,AD所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系， y A B x 则A(0,0),E(1,4),F(4,2),则EA=（-1,-4),EF=(3,-2),所以EAEF=-1x3+（4)×(2)=5 故答案为：5. 13.已知两个等差数列a,}和物，}的前颐和分别为8和，且三=3+5 T +7,则。 【答案】11 5 【分析】由等差数列性质得到 4-S-11 b,I,5 【详解】由等差数列性质得 13(41+43) 4-24-4+42 2 S-3x13+5_44_1 13(b+b,)Z,13+7205 故答案为： 5 14.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必 在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818)最 先发现.若椭圆。y,的左、右焦点分别为R月，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线1与椭圆 C. -=1 43 C的蒙日圆相交于M,N,则 Pi,PN的最小值为 PE.PF 【答案】-2 【分析】令PPF,=,利用椭圆的定义可得P+PE=16-2,再由平面向量的知识可得 2PF+Pg）=4Po+4 从而得到PO2=7-m:结合“蒙日圆"的定义可知r2=a2+b2,由此得到 叫时-K,- -PMPN 故得解。 pF·PF PFPF cos8 cos9∈{2,1 【详解】因为椭圆c+y=1,所以a=46=1,故a-2=5·c÷心-公-1知图，令PP风 因为P+PF引=2a=4,所以P+Pr'+2PPF=16,即Pr+PP=16-2, PF+PE,=2PO 结合图象，由平面向量的知识可得 丽-P明-万'放 PR'+PE'+2PE.PE-APO PR'+PE,-2PE.PE=EK=46=4 两式相加 2四+P丽=4元+4即26-2m=4PG+4即0--m 由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时，易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条 切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得2=a2+b?=7, IPM PN ==1. 所以1PMPM-HPOc+PO2-PO=7-(7-mm'故m PM-PN -PMPN1 PE.PE PF PF cose cose e[2,1] 所以最小值为-2，故答案为：-2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥ACAB=3,4C=A44=2· A (1)证明： 平面ABC⊥平面ABC,: (2)求平面ABC与平面ABC夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析（②）3√26 26 【分析】(1)根据线面垂直的性质定理得AA⊥AB,结合题意根据线面垂直的判定定理证明AB⊥平面 ACC,A,进而利用线面垂直的性质得AC⊥AC,最后利用线面垂直的判定定理证明即可！ (2)建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC与平面ABC的法向量，然后利用向量法求解即可. 【详解】(1)由题知AA⊥平面ABC,又ABC平面ABC,所以AA⊥AB,又 AB⊥AC,AA∩AC=A,AA,ACC平面ACCA,所以AB⊥平面ACCA,又ACC平面ACCA,所以 AB⊥AC,又AC=AA=2,所以四边形ACC,A是正方形，得到AC⊥AC,又AB⌒AC,=A,AB,ACC平 面ABC,所以4C1平面ABC,又ACc平面4BC.平面ABC⊥平面4BC,(6分) (2)如图，建立空间直角坐标系，因为4B=3,4C=44=2,则A(0,0,2),4(0,0,0),B(1,0,2),C(0,20) 得到AB=(1,0,2),AC1=(0,2,0),AC1=(0,2,-2),AB=(1,0,0)…(8分) 平面ABC与平面ABC夹角为O,设平面ABC的法向量为i=(x,y,),则 的 [元4B=3x+2z=0'令=2，则：=-3，y=0所以平面4BC的法向量为 iAC=2y=0 i=(2,0,-3)’.(10分) m·AB=x=0 设平面ABC的法向量为i=(x,y,0),则： i:AC=2%-2z=0 令y。=1,则2。=1，所以平面ABC1的法向量为m=(0,1,1),…(12分) cos0=cos(i,n训=i m-列-33v26 :园√2×1326 则，所以平面ABC与平面4BC夹角的余弦值为3√26(13分) 26 16.(本小题满分15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 btanC=c(tanA+tanC), (1)求角A的大小： (2)若B= ,c=4,过边AC上一点P作AB,BC的垂线，垂足分别为D,E,求DE的最小值， 4 【答案】①)A=号②6 【分析】(1)对所给条件切化弦，结合三角形内角和以及正弦定理化简可求出cosA,从而求出角A的大小 (2)法一：根据直角三角形角的关系可设AD=x,则PA,PD,PC均可用x表示，余弦定理计算DE2,结 合二次函数的性质可求出最小值；法二：由PDL AB,PE⊥AC,可知P,EB,D四点共圆，从而表示 DB=Bn牙转化为求BP最小值，数形结合，当BP LAC时，BP最小，在直角三角形中求出BP最小值 即可求出DE最小；法三：以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设D(t,O) ,求出E点坐标，利用两点距离公式可求出DE最小值，