精品解析：河北省唐山市2025-2026学年高三上学期摸底演练数学试卷

唐山市2025-2026学年度高三年级摸底演练数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，或，则（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，然后根据选项验证即可. 【详解】因为，所以或，显然，其余选项均不正确. 故选：A 2. i为虚数单位，复数在复平面内对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数乘法化简复数，写出对应点坐标，即可得. 【详解】由，对应点为位于第二象限. 故选：B 3. 数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是（　　） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求分位数. 【详解】由，结合已知数据从小到大，分位数是第3、4位两个数字的平均数， 所求分位数为. 故选：C 4. 设，方程所表示的曲线是（ ） A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线 C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线 【答案】C 【解析】 【分析】求出值的范围，把曲线化为标准形式，判断曲线的形状． 【详解】若，则， 曲线,即， ， 表示焦点在轴上的椭圆． 故选： 5. 已知等差数列的公差为3，且成等比数列，则（　　） A. 16 B. 17 C. 19 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比中项，结合等差数列基本量的计算即可得解. 【详解】由于成等比数列，则， 故，解得， 故， 故选：A 6. 非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直数量积为零可求得与的关系式，即可求得夹角. 【详解】易知，即； 又，所以，即； 因此， 又，所以所求夹角为. 故选：C 7. 正数分别为函数的零点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数零点，比较出，在同一直角坐标系中画出比较得出. 【详解】由题意可得. 解得. 因为，所以. 所以,即. 由可得. 在同一直角坐标系中画出 则的交点横坐标为，的交点横坐标为. 由图可得. 所以. 故选：D. 8. 数列的前项和为，的前项和为，则数列（ ） A. 有最大项也有最小项 B. 无最大项也无最小项 C. 有最小项但无最大项 D. 有最大项但无最小项 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列和数列的前项和，分别求出数列和数列的通项公式，进而可以得到数列的通项公式，通过判断其单调性，可得是否存在最大值和最小值. 【详解】设数列的前项和为，的前项和为，则，， 当时，， 当时，， 经验证，时成立，所以， 同理可求得，适合； 所以， 令， 又，，，， ， 当时，，，所以，且时，， 则， 所以当时，，数列单调递增，得； 当时，，数列单调递减，得； 当时，，数列单调递增，得； 由此可知最大，最小， 综上所述，数列存在最大项，也存在最小项. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 一共有5项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 【答案】CD 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式和赋值法可求解. 【详解】因为的展开式共有6项，所以A不正确； 通项公式为，令可得第三项为，B不正确； 令可得所有项的系数和为0，C正确； 所有项的二项式系数和为，D正确. 故选：CD 10. 已知曲线，曲线，则（　　） A. 曲线和存在相同的对称轴 B. 曲线和存在相同的对称中心 C. 曲线上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向左平移个单位长度，可得到曲线 D. 把曲线向左平移个单位长度，得到的曲线纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得到曲线 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A、B，分别求出曲线和的对称轴和对称中心，再判断是否存在相同的对称轴和对称中心；对于选项C、D，根据三角函数图象的平移变换和伸缩变换规则，分别对曲线进行变换，看是否能得到曲线. 【详解】正弦函数，其对称轴方程为， 对于曲线，令，解得， 即曲线的对称轴方程为， 对于曲线，令，解得， 即曲线的对称轴方程为， 当时，曲线和的对称轴方程都为，所以曲线和存在相同的对称轴，A正确； 正弦函数，其对称中心为， 对于曲线，令，解得， 即曲线的对称中心为， 对于曲线，令，解得， 即曲线的对称中心为， 假设曲线和存在相同的对称中心，则，即， 因为是偶数，是奇数，所以不存在整数使得等式成立， 所以曲线和不存在相同的对称中心，B错误； 曲线上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象， 曲线再向左平移个单位长度，得到的图象，即曲线，所以C正确； 把曲线向左平移个单位长度，得到的图象， 曲线纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，而不是曲线，D错误. 故选：AC. 11. 已知非常数函数是定义在上的偶函数，且，则（　　） A. B. 2是的一个周期 C. 当且仅当时， D. 不存在最小正周期 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由，令结合是偶函数可求解；B选项，由已知条件可得的图象关于直线对称且为偶函数，可求周期；C选项，举特例说明；D选项，证明是的一个周期时，也是的一个周期. 【详解】由，令，得， 又是定义在上的偶函数，则，A选项正确； 由，令，有， 由，令，有， 又是定义在上的偶函数，， 则有， 所以函数的图象关于直线对称，有， 又是定义在上的偶函数，则， 故，所以2是的一个周期，B选项正确； 由，令，得，故C选项错误； 若是的一个周期，则， 所以， 则也是的一个周期， 结合B选项可知，都是的周期，所以不存在最小正周期， D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性，即可求得答案. 【详解】由随机变量，可知随机变量X对应的正态曲线关于y轴对称， 故， 故答案为： 13. 一个等边三角形边长为2，以其一边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何体的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】确定几何体的形状，根据圆锥的体积公式即可求得答案. 【详解】如图，为等边三角形，O为的中点，， 以其边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何体是以为半径的圆为底面高为1的两个圆锥， 故几何体体积为， 故答案为： 14. 为双曲线的左、右焦点，过的直线与的两支分别交于，若为等腰直角三角形，则的离心率可能为___________．（写出一个值即可） 【答案】或或 【解析】 【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，再利用勾股定理或余弦到了可求得关系，从而可求得双曲线的离心率． 【详解】不妨令，，， 由双曲线的定义得：，， 所以，， 由可得：，即； 在等腰中， ①若， 则，解得， 在中，， 又， 则，整理得， 则的离心率为； ②若， 则，解得， 在中，， 又， 则，整理得， 则的离心率为； ③若， 则，解得， 在中，，， 由余弦定理可得， 则，整理得， 则的离心率为； 综上，的离心率为或或. 故答案为：或或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直四棱柱中，，． （1）求线段的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用向量垂直的性质，即可求解线段的长度； （2）通过建立空间直角坐标系，确定平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 如图，因为，，所以，即. 又四棱柱为直四棱柱，所以平面， 平面，所以，. 所以，可以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设，则． ，， 因为，所以，即， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得，，，，则 因为， 设平面的一个法向量是， 则，即，令，解得，即. 因为，设平面的一个法向量是， 则，即，令，解得，即. 则． 故平面与平面夹角的余弦值为. 16. 甲、乙两人各有一个乒乓球袋，袋内均装有10个规格相同的乒乓球，其中4个黄球、6个白球，两人从各自袋中摸球． （1）甲无放回摸出两个球，用表示摸出黄球的个数，求的分布列和数学期望； （2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：甲无放回摸球，乙有放回摸球，若两人各自都摸两次，每次摸出一个球，谁摸出的黄球个数多谁就获胜，判断谁获胜的概率较大，并说明理由． 【答案】（1）的分布列为 0 1 2 数学期望为 （2）甲获胜的概率较大，理由如下： 用表示乙摸出黄球的个数，因乙有放回摸球，且每次摸出黄球的概率为，则， . 设事件：甲获胜，则． 则 设事件乙获胜，则． 则 因为，所以甲获胜的概率较大. 【解析】 【分析】（1）利用排列数表示方法数，根据古典概型概率公式求概率，可得分布列，由期望公式求解即可； （2）用表示乙摸出黄球的个数，依题可得，写出其分布列，利用相互独立事件分别求出甲、乙两人获胜的概率，比较大小即可. 【小问1详解】 的可能取值为0，1，2. 因此，的分布列为 0 1 2 的数学期望. 【小问2详解】 略 17. 在中，角所对的边分别是．已知，的面积为． （1）求； （2）为边上一点， ①若是的平分线，求线段的长； ②若，求． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和诱导公式，结合角的范围求出，根据三角形面积公式和余弦定理即可求得边； （2）①利用三角形面积相等即可解方程求得线段的长；②设，所以，分别在和，利用正弦定理，推得，计算即得. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，则，故由，可得. 因为，，解得， 由余弦定理得，解得. 【小问2详解】 ①因， 依题意有，解得. ②设，所以． 在中，由正弦定理得，，即， 在中，由正弦定理得，，即， 因，代入化简得， 即，解得，即. 18. 已知函数． （1）若函数的图象关于点对称，求的值； （2）若是的极大值点，求的值； （3）设是的极值点，且满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得是奇函数，利用奇函数的定义即可求解； （2）根据题意可得，解得或2，代入原函数结合函数单调性检验即可； （3）由是的极值点，得，代入化简得：，解不等式即可求解. 【小问1详解】 由曲线的图象关于点对称，得是奇函数， 因为，所以，解得. 【小问2详解】 ． 因为是的极大值点，所以，解得或2. 当时，，所以当时，单调递减， 当时，单调递增，因此是的极小值点（舍去）； 当时，，所以时，单调递增， 当时，单调递减，因此是的极大值点． 综上，可得. 【小问3详解】 ， 因为是的极值点，所以， 因为，代入上式化简可得： 由可得， 解得. 19. 已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． （1）证明： ①直线轴； ②四边形的面积为定值； （2）设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由． 【答案】（1） 证明： ①依题意，联立直线方程和得， 解得或4， 所以，则. 由得，所以直线的斜率为， 则的方程为， 同理可得的方程为， 联立，从而可得，而，因此轴. ②设，可得直线的方程为， 即， 联立，可得， 同理联立，，可得， 而， 故四边形的面积为，为定值. （2）过定点， 【解析】 【分析】（1）①联立方程可求出的坐标，再求出的坐标，即可证明结论；②利用切线方程可求表示出的坐标，从而可求出四边形的面积，即可证明结论； （2）表示出直线的方程，可求出点E所在的直线方程，结合三角形外接圆性质，即可得出结论. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）得， 线段的垂直平分线的斜率为，则其方程为，即； 同理可得线段的垂直平分线的方程为， 联立，消去，得， 所以点在直线上. 设关于直线的对称点为，则， 解得，即关于直线的对称点为， 由于在圆上，故圆也过点，因此圆过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山市2025-2026学年度高三年级摸底演练数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，或，则（　　） A. B. 0 C. D. 2. i为虚数单位，复数在复平面内对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是（　　） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 4. 设，方程所表示的曲线是（ ） A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线 C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线 5. 已知等差数列的公差为3，且成等比数列，则（　　） A. 16 B. 17 C. 19 D. 20 6. 非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 7. 正数分别为函数的零点，则（　　） A. B. C. D. 8. 数列的前项和为，的前项和为，则数列（ ） A. 有最大项也有最小项 B. 无最大项也无最小项 C. 有最小项但无最大项 D. 有最大项但无最小项 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 一共有5项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 10. 已知曲线，曲线，则（　　） A. 曲线和存在相同的对称轴 B. 曲线和存在相同的对称中心 C. 曲线上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向左平移个单位长度，可得到曲线 D. 把曲线向左平移个单位长度，得到的曲线纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得到曲线 11. 已知非常数函数是定义在上的偶函数，且，则（　　） A. B. 2是的一个周期 C. 当且仅当时， D. 不存在最小正周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_______． 13. 一个等边三角形边长为2，以其一边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何体的体积为___________． 14. 为双曲线的左、右焦点，过的直线与的两支分别交于，若为等腰直角三角形，则的离心率可能为___________．（写出一个值即可） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直四棱柱中，，． （1）求线段的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 甲、乙两人各有一个乒乓球袋，袋内均装有10个规格相同的乒乓球，其中4个黄球、6个白球，两人从各自袋中摸球． （1）甲无放回摸出两个球，用表示摸出黄球的个数，求的分布列和数学期望； （2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：甲无放回摸球，乙有放回摸球，若两人各自都摸两次，每次摸出一个球，谁摸出的黄球个数多谁就获胜，判断谁获胜的概率较大，并说明理由． 17. 在中，角所对的边分别是．已知，的面积为． （1）求； （2）为边上一点， ①若是的平分线，求线段的长； ②若，求． 18. 已知函数． （1）若函数的图象关于点对称，求的值； （2）若是的极大值点，求的值； （3）设是的极值点，且满足，求的取值范围. 19. 已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． （1）证明： ①直线轴； ②四边形的面积为定值； （2）设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $