5.1直角三角形的性质定理(1) 教学设计2025-2026学年 湘教版（2024）八年级数学上册

5.1直角三角形的性质定理(1) 教学设计 课题 5.1直角三角形的性质定理(1) 单元 第五章 学科 数学 年级 八年级上 教材分析 直角三角形是在学习了等腰三角形、等边三角形后又一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还具有许多特殊的性质，为解决直角三角形的有关计算与证明提供了依据，也为后面学习解直角三角形奠定基础。 核心素养 能力培养 1. 通过创设问题，‌引导学生独立思考、‌自主探索、学生操作实验、‌推理论证等的过程中，‌发展数学抽象、‌逻辑推理、‌直观想象等数学思想； 2. 掌握如何将复杂的几何问题转化为代数问题，‌通过计算和推理来解决问题，‌有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。‌ 教学目标 1. 掌握“直角三角形两锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形； 2. 探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质. 教学重点 理解直角三角形的几条特殊性质；体会直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的几何事实. 教学难点 理解直角三角形的性质定理；会用其性质解答简单的实际问题. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 复习回顾 （新知导入） 前面已经知道，有一个角是直角的三角形是直角三角形. 直角三角形作为一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，它还具有一些特殊性质 . 下面我们来研究. 学生回顾直角三角形的定义及图形，思考直角三角形的性质有哪些？ 结合三角形的性质来研究直角三角形的特殊性质，为新课做好铺垫。 新知探究 【说一说】 在Rt△ABC中，若∠C = 90°，则∠A + ∠B = ？ 如图，在Rt△ABC中，因为∠C = 90°， 由三角形内角和定理可得：∠A + ∠B = 90°. 由此得到： 直角三角形的两个锐角互余. 【议一议】 （1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么？ （2） 该逆命题是真命题吗？ （1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“有两个角互余的三角形是直角三角形” （2） 该逆命题是真命题. 理由如下： 如上图，在△ABC中， 因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=90°， 所以∠C = 90°. 因此，△ABC是直角三角形 由此得到： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 【思考】 如图，用三角板画一个Rt△ABC，取线段 AB 的中点 D，连接 DC. 以点 D 为圆心，DB 长为半径画圆弧，则所画的弧经过点 C 吗？DC 与 AB 之间有怎样的数量关系？ 可以发现，该弧经过点C，且DC = DB = AB. 下面给出证明. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD是斜边AB上的中线. 过点D作DE ∥ BC，DF ∥ AC，分别交AC，BC于点E，F， 于是∠ADE = ∠B，∠AED = ∠ACB = 90°， ∠FDC = ∠ECD，∠DFB = ∠ACB = 90°. 在△ADE与△DBF中， 所以△ADE ≌ △DBF（角角边）， 从而DE = BF.① 在△DFC与△CED中， 所以△DFC ≌ △CED（角角边）， 从而CF = DE.② 由①式和②式得，CF = BF. 因此，直线DF是线段BC的垂直平分线. 根据线段垂直平分线的性质定理得，DC = DB. 因此DC = DB =AB. 由此可得直角三角形的性质定理: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例1 如图，已知 CD 是△ABC 的边AB 上的中线，且CD=AB. 求证：△ABC是直角三角形. 证明 因为CD =AB = AD = BD， 所以∠1 = ∠A，∠2 = ∠B. 因为∠A +∠B +∠ACB = 180°,∠ACB =∠1 + ∠2， 所以 ∠A +∠B +∠1 +∠2 = 180°， 从而 2(∠A +∠B)= 180°. 因此 ∠A + ∠B = 90°. 所以△ABC 是直角三角形. 学生独立思考，经历探索的过程，进而发现结论。 学生分析讨论后，师生共同完成解题步骤，进一步巩固学生本节课的所学内容。 创设情景，引导学生探究从一般到特殊的情景，借助于教具，模型，教学手段，使学生得到直观的认识。由此得到直角三角形的性质。 让学生概况结论，培养学生的概括能力。 进一步学习直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 通过例题提升，使学生能运用所学知识和技能解决问题，同时为学生提供充分发挥创造力的空间，更大地调动学生的积极性。 课堂练习 1.在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，斜边上的中线 CD = 2. 5，则斜边AB的长是多少？ 解 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.所以AB=2CD=5 2.如图，AB∥CD，∠CAB 和∠ACD 的平分线相交于点H，E为AC的中点，EH = 2. 那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长. 解 因为AB//CD，所以∠CAB +∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补） 因为∠CAB和∠ACD的平分线相交于点H 所以∠HAC+∠ACH=90° 所以△AHC是直角三角形 因为E为AC的中点 所以AC=2EH=4（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 学生通过课堂练习巩固本节课所学的知识点。 通过设置课堂练习，进一步检测学习效果，做到“堂堂清”。 课堂小结 1.直角三角形的两个锐角互余； 2.有两个角互余的三角形是直角三角形； 3.直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 教师引导学生归纳本节所学知识，进一步复习巩固新知识。 注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会。 课后练习 1.必做题：教科书P162页习题——学而时习之1-2 2.选做题：教科书P163页习题——温故而知新6 巩固所学知识。提供不同难度的习题，使学生充分掌握本节课所学的知识点。 巩固学生课堂所学的知识点，提高学生对知识点的理解和应用能力。让学生通过实践掌握理论知识，提高学生自主学习能力和探究精神。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $