5.2勾股定理及其逆定理（2） 教学设计 2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学上册

5.2勾股定理及其逆定理（2） 教学设计 课题 5.2勾股定理及其逆定理（2） 单元 第五章 学科 数学 年级 八年级上 教材分析 勾股定理是在学习了三角形的有关性质基础上提出的，勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，对前面的知识起到完善，延伸的作用；书中的拼接借鉴证明了学生的不易理解，但勾股定理是今后学习几何的一个重要定理，它广泛应用于几何证明和计算。 核心素养 能力培养 1.在勾股定理探索过程中，发展各推理能力，体会数形结合思想； 2.经历观察与发现直角三角形三边之间的过程，感受勾股定理的应用意识， 教学目标 1. 能利用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题； 2. 运用勾股定理画出无理数的具体长度； 教学重点 学会表示无理数；运用勾股定理解决实际问题 教学难点 运用勾股定理解决实际问题 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新知导入 我们知道勾3股4弦5可以构造出一个直角三角形，那么我们可以数轴上作出表示3，4，5的点吗？和的点呢？ 自己动手尝试构建一个直角三角形。 通过学生自己动手操作，从而提出数学问题，激起学生的思考。 新知探究 【议一议】 如何在数轴上作出表示和的点？ 如图，由勾股定理可知，当两条直角边都为1时，该直角三角形的斜边OA1 长为，以原点O为圆心，OA1 为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点；当两条直角边分别为，1时，该直角三角形的斜边OA2 长为 ，以原点O为圆心，OA2 为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点. 利用勾股定理，还可以帮助我们解决一些实际问题. 【思考】 如图是一位电工师傅准备利用梯子在墙 上安装电灯的示意图. 假设梯子长4m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5m. 他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙 脚移近了0.5 m，那么，梯子顶端是否也上移 0.5 m？（已知 ≈3. 71， ≈3.87） 根据已知条件可抽象出示意图 分别在 Rt△ABC和Rt△A'BC'中，运用勾股定理计算出 AB，A'B，则可得出梯子顶端往上移动的距离. 在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m， 由勾股定理得，AB= ≈3.71（m） 在Rt△A′BC′中，A′C′=4m，BC′=1m， 由勾股定理得，A′B= ≈3.87（m）， 因此A′A=A′B-AB≈3.87-3.71=0.16（m）. 即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m. 例3 （古代数学问题）“今有池方一丈， 葭（jiā）生其中央，出水一尺. 引葭赴岸，适 与岸齐. 问水深、葭长各几何？”①意思是： 有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方 形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分 为1尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向 拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面. 问水深与芦苇长各为多少？ 分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图所示. 设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，长1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′. 解 如图，设水池深x尺， 则AC=x尺， AB=AB′=(x+1)尺. 因为正方形池塘的边长为10尺， 所以B′C=5尺. 在Rt△ACB′中，根据勾股定理得， x2+52=(x+1)2， 解得x=12. 故芦苇长为13尺. 答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺. 注：1丈=10尺=米. 学生独立思考，动手操作，经历探索的过程，进而发现结论。 学生分析讨论后，师生共同完成解题步骤，进一步巩固学生本节课的所学内容。 创设情景，引导学生探究从一般到特殊的情景，借助于教具，模型，教学手段，使学生得到直观的感性认识。 让学生概况结论，可以培养学生的概括能力。 进一步巩固概念，并利用勾股定理进行有关的计算。 通过例题提升，使学生能运用所学知识点和技能解决问题，同时为学生提供充分发挥创造力的空间，更大地调动学生的积极性。 课堂练习 1.一艘渔船以18海里/时的速度由西向东追赶鱼 群. 在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向； 40 min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船 的北偏东30°方向，如图所示. 已知以小岛C为 中心，周围10海里以内有暗礁，问：这艘渔船 继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？ 2.AE是位于公路边的电线杆，高12m，为了使电 线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公 路的另一边竖立了一根高6m的水泥撑杆BD， 用于撑起电线，如图所示. 已知两根杆子之间的 距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60°. 求电线CDE的总长L（A，B，C三点在同一直线 上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计） 学生通过课堂练习巩固本节课所学的知识点。 通过设置课堂练习，进一步检测学习效果，做到“堂堂清”。 课堂小结 1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2. 2.勾股定理表示无理数； 教师引导学生归纳本节所学知识，进一步复习巩固新知识。 注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会。 作业布置 1.必做题：教科书172页-学而时习之3-4 2.选做题：教科书173页-温故而知新6 对本节课所学知识点进行练习，提高了学生对知识点的理解和掌握。提供给学生不同难度的习题，使学生充分掌握本节课所学的知识点。 过巩固学生课堂所学的知识点，提高学生对知识点的理解和应用能力。让学生通过实践掌握理论知识，促进学生自主学习能力和探究精神。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $