5.2 第1课时 勾股定理 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，通过《周髀算经》“勾三股四弦五”的历史对话导入，结合古代“勾、股、弦”概念，搭建从数学文化到直角三角形边长关系的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点是融合数学文化与多元证法，通过赵爽弦图拼图、毕达哥拉斯面积推导培养几何直观与推理能力，分层练习题（如格点图形计算、图案规律探究）发展应用意识。学生能提升探究兴趣，教师可利用分层作业与文化素材优化教学。

湘教版八年级数学上册 第5章 直角三角形 5.２ 勾股定理及其逆定理 第1课时 勾股定理 导入新课 数学文化：《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五.”在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”. 3 导入新课 其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，我国古代数学名著《周髀算经》，把直角三角形较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦，并提出“勾三股四弦五”，如图所示.这本著作还指出：勾与股的平方和等于弦的平方.对于这一结论，古人称为勾股算法.实际上，这一结论揭示的是直角三角形三边长的平方关系. 4 高效课堂 在△ABE和△BCF中， 所以△ABE≌△BCF(边角边)，因此∠1＝∠3. 又因为∠1＋∠2＝90°，所以∠3＋∠2＝90°，因此∠CBA＝180°－(∠3＋∠2)＝90°. 同理可证∠DCB＝∠ADC＝∠BAD＝90°. 又因为BC＝CD＝DA＝AB＝c，因此四边形ABCD是正方形，所以S＝c². 5 高效课堂 综上可知，S＝a²＋b²＝c². 由此可得：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²＋b²＝c². 这一结论称为勾股定理. 6 高效课堂 勾股定理最早是由我国发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.勾股定理揭示了直角三角形三边长的平方关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，我们可以根据勾股定理求出第三条边的长. 7 高效课堂 活动二：验证勾股定理 证法一：毕达哥拉斯证法 问题1：是否对于所有的直角三角形，它的三边之间都有这样的特殊关系呢？即任意作一个Rt△ABC，∠C＝90°，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，是否都有a²＋b²＝c²成立呢？ 8 高效课堂 做一做：试通过图中的两个边长为a＋b的正方形的面积表达式，验证勾股定理. 9 高效课堂 对于图(1)，将大正方形分割成两个边长分别为a，b的小正方形和两个全等的长方形，因此大正方形的面积(a＋b)²等于两个边长分别为a，b的小正方形的面积与两个全等的长方形的面积之和，即a²＋b²＋2ab.因而(a＋b)²＝a²＋b²＋2ab. 10 高效课堂 对于图(2)，将大正方形分割成四个小直角三角形和一个小正方形，其中小直角三角形的两直角边都分别为a，b，斜边都为c，因此大正方形的面积等于小正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和，即(a＋b)²＝c²＋ ×4ab＝c²＋2ab，而由图(1)可知，(a＋b)²＝a²＋b²＋2ab.两式的左侧相等，因此可得a²＋b²＝c². 11 高效课堂 证法二：赵爽弦图证法 问题2：对于勾股定理的证法至今已有500多种，我国古代数学家赵爽曾经也用四个全等的直角三角形证明了勾股定理，下面也请同学们来拼一拼，看看能不能也用四个全等的直角三角形来证明勾股定理.用硬纸板做成四个全等的直角三角形，如图所示，两直角边长分别为a，b，斜边长为c，你能用这四个直角三角形拼成一个大正方形吗？拼一拼，试试看. 12 高效课堂 证明：因为大正方形的面积可以表示为c²， 也可以表示为 ab×4＋(b－a)2， 所以a²＋b²＝c². 13 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为( ) A.6　 B.8　 C.10　 D.12 C 课堂评价 2.(2024东莞模拟)如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，C的面积分别为12，16，则正方形B的面积是( ) A.10 B.8 C.4 D.2 C (2)如图，在三角形中，未知边y的长度是y＝　 　.  3.(1)如图，在三角形中，未知边x的长度是x＝　 　.  　5　 　20 　 5.已知一直角三角形的两直角边的长分别是8和15，则这个三角形的周长为　 　.  4.如图，点A，B，C，D，E在直线l上，四边形ABGF，CIHG，DEJI都是正方形.若S正方形ABGF＝9，S正方形DEJI＝16，则S正方形CIHG＝　 　. 　40　 　25 　 6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝  　.  7.如图，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，且每个小正方形的边长都为1，连接BD. (1)求四边形ABCD的面积； (2)求BD的长. 解：(1)S四边形ABCD＝5×7－×1×7－×2×4－×1×2 －×3×(1＋5)＝. (2)∵点B，D在格点上， ∴BD2＝32＋42＝25，∴BD＝5. 8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，CD⊥AB于点D，求CD的长. 解：在Rt△ABC中，AC2＝AB2－BC2＝16， 即AC＝4 cm. 根据直角三角形的面积公式，得 CD＝(cm)， 所以CD的长为 cm. 如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依次类推，若正方形①的面积为64， 则正方形 的面积为  　.  0.45 n 课堂总结 1.通过本课的学习，你有哪些收获？在学习过程中用到了哪些数学思想方法？ 2.学习了本课，你对直角三角形有怎样更深入的认识？请畅所欲言. 22 作业设计 基础性作业：教材练习第1～3题. 提高性作业：教材习题5.2第1，2，5，6题. 拓展性作业：查阅资料，搜集有关勾股定理的历史资料、趣事或者证明方法. 23 谢 谢 $