湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年九年级下学期新苗杯初赛数学试卷

2025年雅礼集团新苗杯初三数学竞赛初赛试题 考试时间：120 分钟；满分150分 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(每小题5分，共40分) 1.已知一元二次方程. 的两根都是质数，则c为( ) A. 94 B. 79 C. 14 D. 28 2.一位顾客到店里购买黄金，商店使用一架右臂有磨损的不等臂的天平称黄金。售货员先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，顾客实际购买的黄金 ( ) A. 大于20克 B. 小于 20 克 C. 等于20 克 D..不能判断 3.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，2，3，4，5，6.掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4 的余数是3的概率为p，则p的值 ( ) A. B. C. 4.设有边长为2025的正方形。若将正方形的四个角各剪去一个等腰直角三角形后成为一个正八边形，则此正八边形的边长为 ( ) A. D. 1013 5.如下图, 在 Rt△ABC 中,已知O是斜边AB的中点, CD⊥AB ,垂足为D, 垂足为E ，若AC=15, BC=20, 则DE的长为( ) 6.设非零的实数a、b、c满足 则 的值 ( ) C、0 7.多项式 )有因式 ( ） A.a-b+c B.a-b-c C.a+b+c D.ab+bc-ac 8.如下图，在等腰 中， 则 的度数为 ( ) A.15 B.16 C. 18 D. 20 二、填空题(每小题5分，共30分) 9.季节变化，某班感冒的同学很多，某星期当中，周一有9人请病假，周二有7人请病假，周三有11人请病假，周四有8人请病假，若这四天中共有20人请过病假，则这四天中，每天都缺席的学生最多有 人。 10.某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了 6.25%，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是 。 11.如下图,正方形ABCD,点P 是射线CA上一点,连接BP ,过点 P作. PQ交CD于点Q,若AB=4,且点C、D、Q中一点为其余两点的中点，则AP的长等于 12.如图, P是 内任意一点，过P作 且 则 。 13.已知二次函数 自变量x和实数u、v满足 并且y的最小值为-4,，则m的值为 。 14. 实数x, y, z满足. 且xyz=1,xy+yz+zx=0.则不等式 恒成立时实数k的最大值为 。 三、解答题(每题20分, 17、18题每题80分) 15.已知正整数a、b、c满足 求 abc的值 16.如图，点A为⊙O上任意一点，点B、C是直径DE上的三等分点，连接AC，AB，圆的直径为1，求证： 17.如图，在等边三角形 中， 是顶角为 的等腰三角形,点 M 、N分别在AB 、AC 上，且 求证： 18.记 则在 中有几个是2025的倍数，求出对应n的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年雅礼集团新苗杯初三数学竞赛初赛试题 答案解析 一、单选题(每小题5分，共40分) 1.已知一元二次方程 的两根都是质数，则c为 ( ) A. 94 B. 79 C. 14 D. 28 答案：答案A 解：由 两根是质数，. ，其中一个为2，另一个为47，所以(c=2×47=94 2.一位顾客到店里购买黄金，商店使用一架右臂有磨损的不等臂的天平称黄金.售货员先将 10克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡：再将10克的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡：最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际购买的黄金 ( ) A. 大于20克 B. 小于 20 克 C. 等于20 克 D..不能判断 答案：A 解：由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则a≠b 设先称得黄金为x克，则 设后称得黄金为y克，则 因此，顾客购得的黄金大于20g 选A因此，顾客购得的黄金大于20g 选A 3.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6.掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数是3的概率为p，则p的值 ( ) 答案：答案D 解： (1, 1) (1, 2) (1,3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2,1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3,1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5,1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6,1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) 满足两个数字之和除以4的余数是3: (1, 2) (1, 6) (2, 1) (2, 5) (3, 4) (4, 3)(5, 2) (5, 6) (6, 1) (6, 5) 共计10个, 4.设有边长为2025的正方形。若将正方形的四个角各剪去一个等腰直角三角形后成为一个正八边形，则此正八边形的边长为 ( ) D.1013 答案：答案B 5.如图，在 中，已知O是斜边 AB 的中点， 垂足为D， 垂足为 E ，若AC=15,BC=20,则ED的长为 ( ) 答案：B 因为Rt△ABC中,AC=15, BC=20 可得AB=25 由 可得CD=12; 因为Rt△ABC 中, 可得 由 可得 6.设非零的实数a、b、c满足 则 的值 ( ) C、0 答案：B 解：由已知得(a-b-c=2025a+2025b+2024c-(2024a+2026b+2025c)=0 所以 所以 7.多项式 )有因式( ) A. a-b+c B. a-b-c C. a+b+c D. ab+ bc-ac 答案答案C 因式分解： 8.如图, 在等腰△ABC中, AB=AC,AD=BC, ∠A=2∠ACD,则∠A的度数为 ( ) A.15 B. 16 C. 18 D. 20 答案 D 解题思路: 如图, 作∠ECA=DAC且AD=EC,AC=AC, ∴△CAE≌△ACD,∠EAC=ACD, ∵∠BAC=2∠ACD,∠EAC=2∠ACD,AB=AC,AE=AE,△ABE≌△ACE, ∴BE=BC ∴ AD=BC=EC,等边△BEC。 设∠BAC=α=∠ECA ∴则 ∠BAC=20°,选D 二、填空题(每小题5分，共30分) 9、季节变化，某班感冒的同学很多，某星期当中，周一有9人请病假，周二有7人请病假，周三有11人请病假，周四有8人请病假，若这四天中共有20人请过病假，则这四天中，每天都缺席的学生 最多有 人 答案：答案5 10、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.25%，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是 。 答: 20%。 解设原进价为 100元，设原利润率x%， 解得： 11、如图,正方形 ABCD,点 P 是射线 CA 上一点,连接BP,过P 作 ,PQ交CD于Q,若.AB=4,且点 C、D、Q中一点为其余两点的中点，则AP 的长等于 答案： 或者 解：第一种情况：如图1，点P 在线段CA 上，点Q 是CD 的中点，DQ=CQ=2,,过P 分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD, 垂足分别为E、F、G. 易证I 所以FQ=FD=EP 第二种情况：如图2，点P 在CA 延长线上，点D是CQ的中点，DQ=CD=4,, 过P 分别作 PE、PF垂直于 BC、CD, 垂足分别为E、F. 易证 ，所以 12.如图 , P 为 内任 意 一 点 ,过点 P 作 I ，且 则 答案： 答案： 解·. 设 则 即 相加得： 即 13、已知二次函数 自变量x和实数u、v满足 并且y的最小值为-4,则m的值为 。 答案：m=4或-2 解：由已 得 即， 即，u、v为关于t的方程. 的两实数根所以， Δ=4-2x-4(1-x)=2x≥0 所以, x≥0; 又因为, 4-2x≥0, 所以0≤x≤2 二次函数的顶点坐标为 (1) 若m≤0, 当x=0时y最小, 即2m=-4, 得m=-2; (2)若0<m<2,当x=m时y最小,即 得 (舍); (舍) (3)若m≥2,当x=2时y最小, 即4-2m=-4,得m=4. 综上, m=4或-2. 14、实数x, y, z, 满足x≤y≤z, 且xyz=1,xy+yz+zx=0..则不等式|x+y|≥k|z|恒成立时实数 k的最大值为 . 答案：4 解：当 时，实数x，y，z满足题设条件，此时k≤4。 三、解答题(每题20分，共80分) 15、已知正整数a、b、c满足 求 abc的值 答案：abc=2025或9975 解 消去c，并整理得 由a为正整数及 可得 若a=1,则 无正整数解； 若a=2,则 无正整数解； 若a=3, 则 无正整数解： 若a=4, 则 无正整数解； 若a=5,则 或者b=7; 情况1：若a=5,b=9代入 则c=45,从而得到 情况2：若a=5,b=7代入 则c=285,从而得到abc=9975 16、如图，点 A 为圆O上任意一点，点 B、C 是直径DE上的三等分点，连接AB，AC，圆的直径为1 求证： 答案证明：延长AO交圆O点D，连结BD、CD(如图所示)，又易证O为BC中点，所以四边形 ABFC为平行四边形，从而 （）2= 又 所以： 17、如图，在等边三角形ABC中， 是顶角为 的等腰三角形,点 M、N 分别在 BC、AC 上,且 求证： 如图，连接MN，作(CE=BM, 由“半角模型”，∠ 得到： BM+CN=MN 作 在 中， 如图，连接MN，作(CE=BM, 由“半角模型”， 得到：BM+CN=MN 作 在 中， 化简得： 又 又因为等边三角形： BM+MA=CN+NA MA-NA=CN-BM 将式子平方： ) ①—②: AM·AN =4BM·CN 18、记 则在 中有几个是2025 的倍数，求出对应n的值. 解：设 (p为正整数)，则 因为n与n+1I互质，所以n与n+1只能去如下三种情况： 情况l: 或者2025 情况 情况3: 综上所述: 有四个是2025 的倍数, n的值为324, 1700, 2024, 2025. 学科网（北京）股份有限公司 $