第4章 图形的认识（知识清单）数学新教材湘教版七年级上册

第四章 图形的认识 【清单01】几何图形 几何图形：从实物中抽象出来的各种图形， 包括立体图形和平面图形； 立体图形：有些几何图形的各个部分 同一平面内， 它们是立体图形； 平面图形：有些几何图形的各个部分 同一平面内，它们是平面图形。 常见的平面图形：直线、线段、角、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形。 【清单02】点、线、面、体 点：线和线相交的地方是点， 点是几何图形中最基本的图形； 线：面和面相交的地方是 ， 分为 和 ； 面：包围着体的是面， 分为 和 ； 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。 关系：几何图形都是由点、线、面、体组成的， ， ， 。 点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形， 形成多姿多彩的图形世界。 【清单03】常见立体图形的展开图 名称 正方体 长方体 圆柱 圆锥 正三棱锥 正五棱柱 立体图形 常见 展开图 正方体的展开图（11种） 注：①正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个； ②正方体的展开图不会出现“田”“凹”字形的形状； 【清单04】直线、射线、线段的联系与区别 ：一根拉得很紧的线， 就给我们以直线的形象， 直线是直的， 并且是向两方无限延伸的； ：直线上一点和它一旁的部分叫做射线， 这个点叫做射线的端点； ：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段， 这两个点叫做线段的两个端点； 注意： (1)射线的表示：表示射线端点的字母必须在前； 两条射线必须端点相同且延伸方向相同才能说是同一条射线. 如上述①射线AB与②射线BA不是同一条射线. (2)用两个大写字母表示线段和直线时，字母没有顺序. (3)线段向一端无限延伸形成射线，线段向两端无限延伸形成直线. 【清单05】角的分类及表示 角的分类：按大小分, 周角(360°)>平角(180°)>钝角(90°<钝角<180°)>直角(90°)>锐角(<90°); ： 如果两个角的和是一个直角， 那么这两个角叫做互为余角， 其中一个角叫做另一个角的余角; 性质： 同角(或等角) 的余角相等； ： 如果两个角的和是一个平角， 那么这两个角叫做互为补角， 其中一个角叫做另一个角的补角； 性质： ； 注：互为补角、互为余角是相对两个角而言， 由它们的数量关系来定义的， 只与角的度数有关，与角的位置无关； 角的表示：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写希腊字母表示，； 有以下四种表示方法； ①用数字表示单独的角; ②用小写的希腊字母表示单独的一个角； ③用一个大写英文字母表示一个独立的角(在一个顶点只有一个角)； ④用三个大写英文字母表示任一个角； 【清单06】线段长短的比较 线段长短的比较方法 线段AB的长度记作AB或 . ①度量法：用刻度尺分别测量出两条线段的长度，由长度的大小，比较线段的长短； ②叠合法：把两条线段的一个端点重合，另一个端点落在同一侧，从而直观地比较出两条线段的长短.（利用尺规作图） 图形 线段AB与CD的关系 记作 A B DC C B AB小于CD AB<CD A DC C B AB等于CD AB=CD DC C A AB大于CD AB>CD （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是 ；一种是 . （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD= 。 1、 正方体的展开 正方体的表面展开图一共有11种可能 【典例1】下列图形中，不属于正方体展开图的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】将如图形状的纸片折叠，可以围成的几何体的名称是 ，原几何体相对的两个面上的数之和最大是 ． 二、尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫尺规作图.a 例：作一条线段等于已知线段：B (1)做一条射线AC；A C (2)以点A为圆心，以线段a的长为半径作弧，交射线AC于点B； 线段AB就是所求作的线段. 【典例1】已知三点A，B，C，请用尺规按要求完成下列作图．（保留画图痕迹） (1)画直线． (2)画射线． (3)连接并延长到D，使得． 【典例2】如图，平面上有三个点A，B，C，根据下列语句按要求画图． (1)画射线，用圆规在线段的延长线上截取（保留作图痕迹）； (2)连接； (3)画直线． 三、角的互余互补关系 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 细节剖析 ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 【典例1】如图所示，，平分，，则 ． 【典例2】如图，点是直线上一点，，平分． (1)作射线，求的度数． (2)若是直线外一点，满足，平分，则求的度数． 四、线段的中点 把一条线段分成长度相等的两条线段的点，叫作线段的中点.类似地，还有线段的三等分点、四等分点等. C B A 如右图： 点C是线段AB的中点，则AC=BC= AB，也可以表示为AB=2AC=2BC. 几何语言：因为C是线段AB的中点， 所以AC=BC= AB，AB=2AC=2BC. 注：线段的中点有且只有一个，且在线段上. 【典例1】如图，为线段的中点，，点在线段上，且是线段的三等分点，则的长是 （    ） A．2 B．2或1 C．4 D．2或4 【典例2】如图，E为线段的中点，且 (1)若，求线段的长． (2)若，求线段的长． 重难点01 简单几何体的判断 1．如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 2．你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形： （填序号）． 立体图形： （填序号）． 3．观察如下图所示的图形，回答下列各题： (1)按平面图形和立体图形分类． (2)把立体图形按柱体、锥体、球体分类． (3)指出各面都是平面的立体图形． 4．观察如图所示的几何体，已知小正方体的棱长为1． (1)该几何体的体积为______； (2)请在下面网格中分别画出你从正面、左面、上面所看到的几何体的形状图．          重难点02 几何体的展开图 5．一个无盖的正方体粉笔盒展开图可以是下列图形的（    ） A．只有（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2） 6．一个正方体盒子的展开图如图所示，如果把它粘成一个正方体，那么与A点重合的是（ ）．         A．C点和I点 B．D点和E点 C．D点和F点 D．E点和F点 7．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（  ） A．正方体，圆锥，圆柱，三棱锥 B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱 C．正方体，圆锥，圆柱，四棱柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 8．将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 9．压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的（    ） A．体积 B．表面积 C．侧面积 D．底面积 10．如图，找出上面的立体图形与下面展开图形相对应顺序的是（   ） A．②①③④ B．④②①③ C．④①③② D．④③①② 11．下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 12．伟大的当代大数学家华罗庚曾说过一句话：数学很好玩．爱学习的小华将这几个字写到右侧的方格里（如图所示）．现将这五个方格沿四周实线剪下（注意方格相邻之间不要剪断），后沿实线折叠，则对面没有字的是（   ） A．数 B．学 C．很 D．好 13．由大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，请在方格中画出从正面、上面和左面看到的该几何体的形状图． 14．如图，图1，图2是两个几何体表面的展开图，图3是正方体的一个表面展开图． (1)写出图1，图2中对应几何体的名称：图1：______，图2：______； (2)将图3的展开图折叠成正方体，折叠后它们的相对两面上的数字之和相等，请你求出x，y的值． 15．（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：______；图2：______；图3：______ （2）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 重难点03 立体图形的计算问题总结 16．如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 17．已知一个圆柱的侧面展开图为如图的长方形，则圆柱的体积为 （结果保留）．    18．综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 19．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 20．如图，是一个几何体的表面展开图： (1)请说出该几何体的名称__________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是__________（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形； (3)求该几何体的表面积； (4)求该几何体的体积． 21．小明同学将一个长方体包装盒展开，进行了测量，结果如图所示：求这个包装盒的表面积和体积．    22．如图是由若干个完全相同的小正方体组成的几何体． (1)请画出这个几何体从不同方向看到的图形； (2)若每一个小正方体的边长为a，则求出小正方体的表面积． 23．综合与实践 主题：制作盒子 情境：在学校的劳技课上，老师要求同学们利用手头的材料制作一个长方体盒子，用于存放学习用品 素材：一张长方形硬纸板和热熔胶． 步骤：把这张长方形硬纸板的四个角（虚线）都剪去一个长方形（如图）． 步骤：将剪过的长方形硬纸板折叠成一个长方体盒子（如图），再用热熔胶把边粘起来． 问题解决：如图，这是形状为长方体的某种包装盒，它的长：宽：高，其展开图如图所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)若该包装盒的长为分米，求展开图中的长度． (2)若该包装盒的长为分米，求该包装盒的体积． 重难点04 点、线、面、体之间的转化 24．用一根小棒粘住直角三角形的一条直角边，旋转一周，这个三角形转动后产生的图形是（   ） A．三角形 B．圆形 C．圆锥 D．圆柱 25．如图，节日的焰火可以看成由点运动形成的，可以说明这一现象的数学原理是 ． 26．折扇的每一根扇骨可以看作是一条线，当我们打开折扇时，众多扇骨同时运动，这些扇骨运动所形成的区域就构成了一个扇面，从数学的角度来解释，这种现象说明了 ． 27．我们已经认识了“点动成线，线动成面，面动成体”的数学事实，则“汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹”这一现象说明了 的数学事实 28．2024年12月19日上午，湘西土家族苗族自治州溶江中学举办“奔跑吧·少年”体育大课间比赛，225名老师和3620名学生精神饱满、步伐一致，跑出“体教融合”加速度．在比赛中，学生“打开折扇得到扇面”用数学知识可以解释为 ． 29．如图，由5个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在下面分别画出左面、上面两个方向看到的图形； (2)边长为5的正方形以它的一边所在直线为轴旋转一周，求得到的几何体的体积． 30．如图是一张长方形纸片，的长为，的长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是 ；（填名称） (2)若将这个长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 重难点05 利用尺规作图作已知线段及角 31．平面上有三个点A，B，C，如果，则（   ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在线段的延长线上 D．不能确定 32．下列关于画图的语言叙述正确的是（   ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点C D．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 33．如图，平面内有三点A、B、C，按下列要求画图：画射线，画直线，连接，正确的是（　　） A． B． C． D． 34．如图，已知直线和点、、． (1)用适当的语句表述点与直线的位置关系：___________； (2)请用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹）； ①画直线和射线； ②在射线上作线段，使得为线段的中点； 35．如图所示，已知线段，根据下列提示画图： (1)延长线段到点，使，在线段外有一点，画直线，射线，射线． (2)在（1）所画的图形中，共有几条线段？把它们分别表示出来． 36．如图，在平面内有、、三点． (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于、），连接线段． 重难点06 线段的长度计算 37．已知线段和点，如果，且，则（ ） A．点为中点 B．点在线段的延长线上 C．点在线段外 D．无法确定 38．如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 39．如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点．      (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点E，，求的长． 40．已知线段，是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)若，，求的长； (2)在（1）的条件下，若且点在直线上，，求的长度． 41．如图，已知点在线段上，点M，N分别在线段与线段上，且，，若，，求线段的长． 42．如图，线段上依次有，，三点，，是的中点，． (1)求证：； (2)求线段的长． 43．如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的值． 重难点07 角的认识与应用 44．如图，，，则等于（　　） A． B． C． D． 45．填空题． （1） ；         （2） ； （3） ；         （4） ； （5） = ． 46．如图，将一副三角尺的直角顶点重合，摆放在桌面上，若，则 °． 47．如图，为线段上一点．C、D、E均为直线上方的点． (1)如图1，与互余，证明：； (2)如图2，与互补，且平分，求． 48．直尺和三角板如图放置，三角板的直角顶点和直尺的一边重合，平分，测得，求的度数． 49．（1）为了预防新冠病毒，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）如图所示，点O是直线上一点，，射线是的三等分线，求的度数． 重难点08 角的互余与互补及钟面角 50．时钟指向，此时时针与分针的夹角为（   ） A． B． C． D． 51．小明晚上六点之后外出锻炼身体，此时时针与分针的夹角是，回家时还未到当天晚上七点，此时时针与分针的夹角仍是，则小明外出锻炼身体用了（   ）分钟． A．20 B．40 C．44 D．54 52．如图所示，钟表上时，时针与分针之间所成的角是（   ） A． B． C． D． 53．在三角形中，若的补角是，的余角是，则的度数为（   ） A． B． C． D． 54．如果的余角等于，则的补角等于（   ） A． B． C． D． 55．在钟面上，时针和分针离“3”的距离相等，并且在3的两旁边，那么此时刻为3时 分． 56．如图，已知点O是直线上的一点，，分别是的角平分线． (1)求的度数； (2)直接写出图中与互余的角 　　； (3)直接写出的补角 　　． 57．如图①，，都是直角． (1)和在数量上是否存在相等、互余或互补关系？你能说明你猜想的正确性吗？ (2)当绕点O旋转到图②所示的位置时，你的猜想还成立吗？请说明理由． 重难点09 角的平分线的应用 58．如图是直角，平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 59．如图，已知，，是的平分线，的度数是 ． 60．如图，已知与互为补角，是的平分线，在内，，，求的度数． 61．如图，O是直线上一点，在的内部，是的平分线 (1)若，求的度数． (2)若与互余，请说明是的平分线 62．如图，已知，平分，，等于多少度？ 63．如图，已知、分别是和的角平分线，，，求和的度数． 64．如图，点A，O，B在同一条直线上，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)若比多，求的度数． 65．（Ⅰ）如图，延长线段到点C，使，点D是线段的中点，如果，求线段的长度； （Ⅱ）如图，射线在的内部，，平分，与互余，求的度数． 66．如图，已知平分平分，求和的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 图形的认识 【清单01】几何图形 几何图形：从实物中抽象出来的各种图形， 包括立体图形和平面图形； 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内， 它们是立体图形； 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 常见的平面图形：直线、线段、角、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形。 【清单02】点、线、面、体 点：线和线相交的地方是点， 点是几何图形中最基本的图形； 线：面和面相交的地方是线， 分为直线和曲线； 面：包围着体的是面， 分为平面和曲面； 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。 关系：几何图形都是由点、线、面、体组成的， 点动成线， 线动成面， 面动成体。 点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形， 形成多姿多彩的图形世界。 【清单03】常见立体图形的展开图 名称 正方体 长方体 圆柱 圆锥 正三棱锥 正五棱柱 立体图形 常见 展开图 正方体的展开图（11种） 注：①正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个； ②正方体的展开图不会出现“田”“凹”字形的形状； 【清单04】直线、射线、线段的联系与区别 直线：一根拉得很紧的线， 就给我们以直线的形象， 直线是直的， 并且是向两方无限延伸的； 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线， 这个点叫做射线的端点； 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段， 这两个点叫做线段的两个端点； 注意： (1)射线的表示：表示射线端点的字母必须在前； 两条射线必须端点相同且延伸方向相同才能说是同一条射线. 如上述①射线AB与②射线BA不是同一条射线. (2)用两个大写字母表示线段和直线时，字母没有顺序. (3)线段向一端无限延伸形成射线，线段向两端无限延伸形成直线. 【清单05】角的分类及表示 角的分类：按大小分, 周角(360°)>平角(180°)>钝角(90°<钝角<180°)>直角(90°)>锐角(<90°); 余角： 如果两个角的和是一个直角， 那么这两个角叫做互为余角， 其中一个角叫做另一个角的余角; 性质： 同角(或等角) 的余角相等； 补角： 如果两个角的和是一个平角， 那么这两个角叫做互为补角， 其中一个角叫做另一个角的补角； 性质： 同角(或等角) 的补角相等； 注：互为补角、互为余角是相对两个角而言， 由它们的数量关系来定义的， 只与角的度数有关，与角的位置无关； 角的表示：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写希腊字母表示，； 有以下四种表示方法； ①用数字表示单独的角; ②用小写的希腊字母表示单独的一个角； ③用一个大写英文字母表示一个独立的角(在一个顶点只有一个角)； ④用三个大写英文字母表示任一个角； 【清单06】线段长短的比较 线段长短的比较方法 线段AB的长度记作AB或 . ①度量法：用刻度尺分别测量出两条线段的长度，由长度的大小，比较线段的长短； ②叠合法：把两条线段的一个端点重合，另一个端点落在同一侧，从而直观地比较出两条线段的长短.（利用尺规作图） 图形 线段AB与CD的关系 记作 A B DC C B AB小于CD AB<CD A DC C B AB等于CD AB=CD DC C A AB大于CD AB>CD （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 1、 正方体的展开 正方体的表面展开图一共有11种可能 【典例1】下列图形中，不属于正方体展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正方体展开图有11种情况，分四种类型，即：第一种：“”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形． 【详解】解：根据正方体展开图的特征，只有选项D不属于正方体展开图， 故选：D． 【典例2】将如图形状的纸片折叠，可以围成的几何体的名称是 ，原几何体相对的两个面上的数之和最大是 ． 【答案】 长方体 8 【分析】本题考查了长方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据长方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，判断即可． 【详解】解：将如图形状的纸片折叠，可以围成的几何体的名称是长方体， 由图可知：1与6相对，2与4相对，3与5相对， ，，， 原几何体相对的两个面上的数之和最大是8， 故答案为：长方体，8． 二、尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫尺规作图.a 例：作一条线段等于已知线段：B (1)做一条射线AC；A C (2)以点A为圆心，以线段a的长为半径作弧，交射线AC于点B； 线段AB就是所求作的线段. 【典例1】已知三点A，B，C，请用尺规按要求完成下列作图．（保留画图痕迹） (1)画直线． (2)画射线． (3)连接并延长到D，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是直线、射线、线段的概念与作法，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键． （1）过点A，B作直线即可； （2）作射线即可； （3）连接并延长在射线上依次截取线段等于和即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，射线即为所求； （3）如图，即为所求． 【典例2】如图，平面上有三个点A，B，C，根据下列语句按要求画图． (1)画射线，用圆规在线段的延长线上截取（保留作图痕迹）； (2)连接； (3)画直线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了画射线、线段与直线、作线段，熟练掌握尺规作图是解题关键． （1）先画射线，再以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点，然后以点为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，由此即可得； （2）根据画线段的方法，连接即可得； （3）根据画直线的方法，画直线即可得． 【详解】（1）解：画射线，在线段的延长线上截取，如图所示： （2）解：连接，如图所示： （3）解：画直线，如图所示： ． 三、角的互余互补关系 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 细节剖析 ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 【典例1】如图所示，，平分，，则 ． 【答案】/75度 【分析】根据，设，则．列方程解答即可． 本题考查了角的平分线，角的和差倍分，一元一次方程的应用，运用方程思想是解题的关键． 【详解】解：根据，设， 则，． ∵平分， ∴， 又， 故， 即， 解得， 则， 故答案为：． 【典例2】如图，点是直线上一点，，平分． (1)作射线，求的度数． (2)若是直线外一点，满足，平分，则求的度数． 【答案】(1)或． (2)或． 【分析】本题考查了角平分线和角的计算，能熟练地运用角的和差列式计算是解此题的关键． （1）分在上方和在下方两种情况画图，进行解答即可； （2）分在上方和在下方两种情况画图，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分 ∴ 如图，当在上方时， ∵， ∴， ∴， 如图，当在下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为或． （2）当在上方时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 当在下方时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 即的度数为或． 四、线段的中点 把一条线段分成长度相等的两条线段的点，叫作线段的中点.类似地，还有线段的三等分点、四等分点等. C B A 如右图： 点C是线段AB的中点，则AC=BC= AB，也可以表示为AB=2AC=2BC. 几何语言：因为C是线段AB的中点， 所以AC=BC= AB，AB=2AC=2BC. 注：线段的中点有且只有一个，且在线段上. 【典例1】如图，为线段的中点，，点在线段上，且是线段的三等分点，则的长是 （    ） A．2 B．2或1 C．4 D．2或4 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段中点和三等分点的计算，解决问题的关键是运用分类思想． 分两种情况进行讨论：当或当，即可得到答案． 【详解】解：∵为线段的中点， ∴ ∵点是线段的三等分点 ∴①点靠近点时；； ②点靠近点时；. 故选：D. 【典例2】如图，E为线段的中点，且 (1)若，求线段的长． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)12 (2)18 【分析】本题考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离的定义是解题的关键． （1）根据线段的和差求出，再根据中点定义求解即可； （2）结合图形及线段中点的定义，求出，，进而求出，，，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 为线段的中点， ； （2）解：为线段的中点， ， ，， ，， ， ， ，， ． 重难点01 简单几何体的判断 1．如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第三部分所对应的几何体的形状是解题的关键．观察长方体，可知第三部分所对应的几何体在长方体中，上面有二个正方体，下面有二个正方体，再在各个选项中根据图形作出判断． 【详解】解：由长方体和第三部分所对应的几何体可知， 第三部分所对应的几何体上面有二个正方体，下面有二个正方体，并且与选项C相符． 故选：C． 2．你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形： （填序号）． 立体图形： （填序号）． 【答案】 ②④⑤⑥ ①③⑦ 【分析】本题主要考查了平面图形和立体图形的识别，各个部分不都在同一平面内的为立体图形，各个部分在同一平面内的为平面图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，平面图形有②④⑤⑥，立体图形有①③⑦， 故答案为：②④⑤⑥；①③⑦． 3．观察如下图所示的图形，回答下列各题： (1)按平面图形和立体图形分类． (2)把立体图形按柱体、锥体、球体分类． (3)指出各面都是平面的立体图形． 【答案】(1)平面图形：①②④⑤⑦，立体图形：③⑥⑧⑨⑩ (2)柱体：③⑥⑧；锥体：⑩；球体：⑨ (3)各面都是平面的立体图形：③⑥ 【分析】本题主要考查点、线、面、体的基本知识，可以根据平面图形、立体图形进行解答， （1）根据平面图形与立体图形的定义解决； （2）根据柱体、锥体、球的定义可得结论； （3） 结合立体图形的面的定义，即可解决． 【详解】（1）解：平面图形：①②④⑤⑦，立体图形：③⑥⑧⑨⑩； （2）柱体：③⑥⑧；锥体：⑩；球体：⑨； （3）各面都是平面的立体图形：③⑥． 4．观察如图所示的几何体，已知小正方体的棱长为1． (1)该几何体的体积为______； (2)请在下面网格中分别画出你从正面、左面、上面所看到的几何体的形状图．          【答案】(1)9 (2)见解析 【分析】本题考查了几何体，从不同方向看几何体等知识．熟练掌握几何体，从不同方向看几何体是解题的关键． （1）由题意知，该几何体共有9个小正方体，然后求解作答即可； （2）根据不同方向看几何体作图即可． 【详解】（1）解：由题意知，该几何体共有9个小正方体， ∴该几何体的体积为9， 故答案为：9； （2）解：由题意知，作图如下；        重难点02 几何体的展开图 5．一个无盖的正方体粉笔盒展开图可以是下列图形的（    ） A．只有（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2） 【答案】C 【分析】试着将一张纸折成无盖的正方体粉笔盒，会发现只有五个面，依次按选项展开图折回去，只有 （1）不合理. 【详解】解：做5个边长相等的正方形纸片，依次按（1）、（2）、（3）图样，看是否可以折成正方体，（1）中图形折后是无盖无底的正方体；（2）和（3）折后是无盖的正方体. 故选：C . 6．一个正方体盒子的展开图如图所示，如果把它粘成一个正方体，那么与A点重合的是（ ）．         A．C点和I点 B．D点和E点 C．D点和F点 D．E点和F点 【答案】C 【分析】本题主要考查的是几何体的展开图的有关知识．在解答这类问题时，一般要通过合理想象或者通过实际操作，将展开图还原，进而得到答案．这种题目有助于培养学生的空间想象能力． 【详解】解：结合已知图形，将正方体展开图粘成正方体后如图所示，则与点A重合的点是D、F．   故选：C． 7．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（  ） A．正方体，圆锥，圆柱，三棱锥 B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱 C．正方体，圆锥，圆柱，四棱柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】D 【分析】本题主要考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解题的关键． 根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果． 【详解】解：根据几何体的平面展开图， 从左到右，其对应的几何体名称分别为正方体，圆锥，圆柱，三棱柱． 故选：D 8．将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三棱柱展开图的特征判断即可． 本题考查了常见几何体的展开图，解决本题的关键是牢记三棱柱展开图的特点，即其两个三角形的面不可能位于展开图中侧面长方形的同一侧即可． 【详解】解：图中三棱柱展开后，两个三角形的面不可能位于同一侧，因此B选项中的图不是它的表面展开图． 故选：B． 9．压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的（    ） A．体积 B．表面积 C．侧面积 D．底面积 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的有关知识，解题关键是理解圆柱侧面积的计算方法．根据压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的侧面积，进行解答即可． 【详解】解：压路机滚动一周，压过的路面就是压路机滚筒（圆柱）的侧面积， 故选：C． 10．如图，找出上面的立体图形与下面展开图形相对应顺序的是（   ） A．②①③④ B．④②①③ C．④①③② D．④③①② 【答案】D 【分析】本题考查几何体的展开图，根据常见图形的展开图，进行判断即可． 【详解】解：观察可知：①为三棱柱的展开图；②为正方体的展开图；③为圆锥的展开图；④为圆柱的展开图； 故选D． 11．下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，理解正方体的表面展开图的模型是解题的关键．根据正方体的表面展开图，逐个分析即可求解． 【详解】解：依题意，不是正方体的表面展开图是： 故选：C． 12．伟大的当代大数学家华罗庚曾说过一句话：数学很好玩．爱学习的小华将这几个字写到右侧的方格里（如图所示）．现将这五个方格沿四周实线剪下（注意方格相邻之间不要剪断），后沿实线折叠，则对面没有字的是（   ） A．数 B．学 C．很 D．好 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的展开图以及对面，解题的关键是掌握找对面的法则． 利用正方体找对面法则找出对面即可． 【详解】解：根据正方体展开图，“”字的开头和结尾的对面，隔一个是对面法则，“学”字的对面没有字， 故选：B． 13．由大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，请在方格中画出从正面、上面和左面看到的该几何体的形状图． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，画出通过从不同方向看到几何体的平面图形即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 14．如图，图1，图2是两个几何体表面的展开图，图3是正方体的一个表面展开图． (1)写出图1，图2中对应几何体的名称：图1：______，图2：______； (2)将图3的展开图折叠成正方体，折叠后它们的相对两面上的数字之和相等，请你求出x，y的值． 【答案】(1)三棱柱，五棱柱 (2) 【分析】本题考查几何体的展开图，正方体展开图的相对面： （1）根据展开图，确定几何体即可； （2）根据正方体展开图的相对面必定相隔一个小正方形，判断出相对面，根据相对两面上的数字之和相等，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，图1对应的几何体为三棱柱，图2对应的几何体为五棱柱； 故答案为：三棱柱，五棱柱； （2）由展开图可知，为相对面，为相对面，为相对面， ∴， ∴． 15．（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：______；图2：______；图3：______ （2）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）三棱柱，圆锥，六棱柱；（2）图见解析． 【分析】本题考查了几何体的展开图、从不同方向看几何体，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据几何体的展开图特征即可得出答案； （2）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为3、1、2，从左面看有2列每列小正方形的数目是3、2，据此可画出图形． 【详解】解：（1）由立体图形的展开图可知，图1是三棱柱，图2是圆锥，图3是六棱柱， 故答案为：三棱柱，圆锥，六棱柱； （2）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为3、1、2，从左面看有2列每列小正方形的数目是3、2，如图： 重难点03 立体图形的计算问题总结 16．如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 【答案】D 【分析】本题主要考查长方体体积的计算方法，熟练根据图求出长、宽、高是解题关键．利用图形求出长方体的宽及长即可． 【详解】解：∵长方体的底面为正方形，由图可知底面周长为12， ∴长方体的底面边长为：， ∴长方体的高为：， ∴长方体箱子的体积为，， 故选：D． 17．已知一个圆柱的侧面展开图为如图的长方形，则圆柱的体积为 （结果保留）．    【答案】或 【分析】本题主要考查几何体的展开图、圆柱的体积公式等知识点，先根据圆柱的侧面展开图确定圆柱的底面半径，再根据圆柱体的体积公式即可解答． 【详解】解：由题意可得：当长方形的长为底面圆的周长时，圆柱的底面半径为， 所以圆柱的体积：． 当长方形的宽为底面周长时，圆柱的底面半径为 所以圆柱的体积：． 故答案为：或． 18．综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的表面积与体积的计算，熟练的求解体积与表面积是解本题的关键． （1）由长方体的体积公式进行计算即可； （2）根据无盖的长方体的表面积公式计算即可． 【详解】（1） ． 答：折成的无盖长方体盒子的体积为． （2）由题意可得表面积为： ． ∴该盒子需要涂色的面积为． 19．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 【答案】(1)三棱柱 (2)这个几何体中所有棱长的和是51，表面积是120． 【分析】此题考查判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键． （1）只有棱柱从左面看和从正面看才能出现长方形，根据从上面看是三角形，可得到此几何体为三棱柱； （2）3条长的高，加上两个三角形的周长就是几何体的所有棱长和；三个长为，宽分别为、、的长方形的面积与两个直角三角形的面积和就是表面积． 【详解】（1）解：这个几何体是三棱柱． 故答案为：三棱柱； （2）解：这个几何体的所有棱长的和． 表面积． 20．如图，是一个几何体的表面展开图： (1)请说出该几何体的名称__________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是__________（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形； (3)求该几何体的表面积； (4)求该几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2)①②③④ (3) (4) 【分析】本题主要考查长方体的展开图及其表面积与体积的计算方法，用平面截图的方法等，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键． （1）直接根据几何体的展开图判断即可； （2）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （3）利用长方体的表面积计算公式求解即可； （4）利用长方体的体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：几何体的展开图共有6个面， 且各面都是长方形， ∴此几何体为长方体． （2）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形， 最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体， 截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴截面形状可能是①②③④． （3）解：， ∴表面积是． （4）解：， ∴体积是． 21．小明同学将一个长方体包装盒展开，进行了测量，结果如图所示：求这个包装盒的表面积和体积．    【答案】， 【分析】根据长方体包装盒的展开图先分别求出长、宽、高，再根据长方体表面积和体积公式进行求解即可，掌握长方体表面积和体积公式是解题的关键． 【详解】解：由图得 高为：， 长为：（）， 宽为：（） （）， （）； 故这个包装盒的表面积为，体积为． 22．如图是由若干个完全相同的小正方体组成的几何体． (1)请画出这个几何体从不同方向看到的图形； (2)若每一个小正方体的边长为a，则求出小正方体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，掌握几何体的特征，数形结合是解题的关键． （1）根据几何体的特征，数形结合，即可得； （2）上下左右前后依次去数，即可得； 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：． 23．综合与实践 主题：制作盒子 情境：在学校的劳技课上，老师要求同学们利用手头的材料制作一个长方体盒子，用于存放学习用品 素材：一张长方形硬纸板和热熔胶． 步骤：把这张长方形硬纸板的四个角（虚线）都剪去一个长方形（如图）． 步骤：将剪过的长方形硬纸板折叠成一个长方体盒子（如图），再用热熔胶把边粘起来． 问题解决：如图，这是形状为长方体的某种包装盒，它的长：宽：高，其展开图如图所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)若该包装盒的长为分米，求展开图中的长度． (2)若该包装盒的长为分米，求该包装盒的体积． 【答案】(1)分米 (2)立方分米 【分析】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积，表面积，生活应用，熟练掌握几何体的展开，计算是解题的关键． （1）根据长：宽：高，包装盒的长为分米，求出包装盒的宽和高，即可求出； （2）因为该包装盒的长为分米，它的长：宽：高，所以可以用表示出包装盒的宽和高，即可求出包装盒的体积． 【详解】（1）解：因为包装盒的长：宽：高，包装盒的长为分米， 所以包装盒的宽为分米，高为分米， 所以分米； （2）解：因为该包装盒的长为分米，它的长：宽：高， 所以该包装盒的宽和高分别为分米、分米， 所以该包装盒的体积立方分米． 重难点04 点、线、面、体之间的转化 24．用一根小棒粘住直角三角形的一条直角边，旋转一周，这个三角形转动后产生的图形是（   ） A．三角形 B．圆形 C．圆锥 D．圆柱 【答案】C 【分析】此题考查了立体图形和平面图形的理解能力，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．根据点动成线，线动成面，面动成体及直角三角形、圆锥的特征，直角三角形绕一直角边旋转一周产生的图形是以旋转直角边为高，另一直角边为底面半径的圆锥．据此解答即可． 【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥． 故选：C． 25．如图，节日的焰火可以看成由点运动形成的，可以说明这一现象的数学原理是 ． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了点线面体之间的关系，根据点动成线，线动成面，面动成体解答即可． 【详解】根据题意可知数学原理：点动成线． 故答案为：点动成线． 26．折扇的每一根扇骨可以看作是一条线，当我们打开折扇时，众多扇骨同时运动，这些扇骨运动所形成的区域就构成了一个扇面，从数学的角度来解释，这种现象说明了 ． 【答案】线动成面 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，这种现象可以用数学原理解释为：线动成面． 故答案为：线动成面 27．我们已经认识了“点动成线，线动成面，面动成体”的数学事实，则“汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹”这一现象说明了 的数学事实 【答案】线动成面 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，从运动角度得出是解题关键． 从运动的观点来看，线动成面，进而得出答案． 【详解】解：“汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹”这一现象说明了线动成面的数学事实．  故答案为：线动成面． 28．2024年12月19日上午，湘西土家族苗族自治州溶江中学举办“奔跑吧·少年”体育大课间比赛，225名老师和3620名学生精神饱满、步伐一致，跑出“体教融合”加速度．在比赛中，学生“打开折扇得到扇面”用数学知识可以解释为 ． 【答案】线动成面 【分析】本题主要考查了线动成面的知识．根据线与面的关系解答即可． 【详解】解：学生“打开折扇得到扇面”用数学知识可以解释为线动成面． 故答案为：线动成面 29．如图，由5个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在下面分别画出左面、上面两个方向看到的图形； (2)边长为5的正方形以它的一边所在直线为轴旋转一周，求得到的几何体的体积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，解题的关键是发挥空间想象能力，根据几何体的构造得到不同方向的平面图形． （1）按从左面、上面所看到的形状画图即可； （2）根据题意得：边长为5的正方形以它的一边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体为以5为半径，高为5的圆柱，再根据圆柱的体积公式计算即可． 【详解】（1）解： 从左面、上面两个方向看到的图形如图， （2）解：根据题意得：边长为5的正方形以它的一边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体为以5为半径，高为5的圆柱， ∴得到的几何体的体积为． 30．如图是一张长方形纸片，的长为，的长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是 ；（填名称） (2)若将这个长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键． （1）根据面动成体的原理，将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解． （2）根据题意可得，圆柱的底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）∵长方形纸片绕边所在的直线旋转一周，，， ∴为圆柱体的高，为圆柱体底面圆的半径， ∴． 重难点05 利用尺规作图作已知线段及角 31．平面上有三个点A，B，C，如果，则（   ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在线段的延长线上 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据A，B，C之间的距离画出图形，即可确定位置关系． 【详解】解：，，， ， 如图，点在线段的延长线上， 故选：C． 32．下列关于画图的语言叙述正确的是（   ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点C D．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段、直线的定义知识点，掌握相关定义成为解题的关键． 根据基本作图的方法、逐项分析即可解答． 【详解】解：A、直线没有长度，故 A 选项错误，不符合题意； B、射线没有长度，故 B 选项错误，不符合题意； C、延长线段到点C，说法正确，符合题意； D、三点有可能在一条直线上，可画出一条直线，也可能不在一条直线上，此时可画出三条直线，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 33．如图，平面内有三点A、B、C，按下列要求画图：画射线，画直线，连接，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画直线、射线、线段．根据直线、射线、线段定义即可解决问题． 【详解】解：由题意作图如下： 故选：D． 34．如图，已知直线和点、、． (1)用适当的语句表述点与直线的位置关系：___________； (2)请用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹）； ①画直线和射线； ②在射线上作线段，使得为线段的中点； 【答案】(1)点A在直线l上； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了点与直线的位置关系、直线和射线的定义以及线段中点的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． （1）根据点与直线的位置关系的定义来判断． （2）①依据直线和射线的定义进行作图．②按照线段中点的定义来完成作图． 【详解】（1）解：由图可知，点A在直线l上， 故答案为：点A在直线l上； （2）解：①如图，直线和射线为所求； ②以点B为圆心，以PB的长度为半径画弧，交射线PB于点C，此时B为线段PC的中点． 35．如图所示，已知线段，根据下列提示画图： (1)延长线段到点，使，在线段外有一点，画直线，射线，射线． (2)在（1）所画的图形中，共有几条线段？把它们分别表示出来． 【答案】(1)见解析； (2)条．线段，，，，，． 【分析】（1）用直尺将线段向端延长，使延长部分，确定点的位置．然后，连接点与点并向两端无限延伸，画出直线．接着，以点为端点，经过点画出射线；以点为端点，经过点画出射线． （2）根据线段的定义，找出图形中所有的线段并计数． 本题主要考查了直线、射线、线段的定义及相关作图，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， （2）解：线段有：线段，线段，线段，线段，线段，线段，共条． 36．如图，在平面内有、、三点． (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于、），连接线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了直线、线段、射线，解题的关键熟知概念并会画图． （1）根据条件画图即可． （2）根据已知条件画图即可． 【详解】（1）解：如图，直线，线段和射线即为所求． （2）解：如图，线段即为所求． 重难点06 线段的长度计算 37．已知线段和点，如果，且，则（ ） A．点为中点 B．点在线段的延长线上 C．点在线段外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和线段长度关系，解题的关键在于利用条件确定点 P 必须在线段 上，再结合判断 P 为 的中点．结合三角形三边关系及垂直平分线性质分析即可求解． 【详解】解：， 点P必在线段上， ，且点P在线段上， P在的垂直平分线上， 点为中点， 故选：． 38．如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段等分点的计算．根据线段中点的定义可以得出点是线段的中点，点是线段的中点，即可判断A选项和B选项说法错误；根据线段等分点的定义，可以得出点是线段的三等分点，点是线段的四等分点，即可判断C选项说法错误，D选项说法正确． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故B选项说法错误； ∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故A选项说法错误； 即， ∴， ∴，， 即点是线段的三等分点，故D选项说法正确； 点是线段的四等分点，故C选项说法错误． 故选：D． 39．如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点．      (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点E，，求的长． 【答案】(1)6 (2)3 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和差关系． （1）由线段中点的有关计算得出，，再根据线段的和差关系即可得出． （2）根据已知条件可得出，再根据线段的和差关系即可得出． 【详解】（1）解：∵线段，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 40．已知线段，是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)若，，求的长； (2)在（1）的条件下，若且点在直线上，，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由，可得，，然后根据求解即可； （2）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 41．如图，已知点在线段上，点M，N分别在线段与线段上，且，，若，，求线段的长． 【答案】7 【分析】本题主要考查了线段相关计算，熟练掌握该知识点并搞清楚各线段之间的数量关系是解决本题的关键．先设，，根据题意可得，，可列方程，，解方程可得，的长度即可得出答案． 【详解】解：设，，根据题意可得，， 因为，， 所以，， 即，， 解得，， 即，， 所以． 42．如图，线段上依次有，，三点，，是的中点，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了线段和差倍分，线段中点的性质，解题的关键是掌握线段和差倍分的计算． （1）利用线段的倍分关系即可证明； （2）利用线段中点性质得出，利用线段的倍分关系求出长度，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的中点， ∴, 由（1）得， ∴， ∴， ∴线段的长为． 43．如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了线段和、差的运算及线段中点的概念，解答本题的关键是熟练掌握线段中点的概念及性质． （1）根据M，N分别为的中点可得，，再由即可求解； （2）先由 、 求出 ，再依据中点性质表示出和 ，最后计算两者比值． 【详解】（1）解：∵M是的中点， ∴， ∵N是CB的中点， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵、分别为、的中点． ∴， ∴． 重难点07 角的认识与应用 44．如图，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角和补角，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． 先根据已知条件求出，再根据和已知条件，求出，从而求出即可． 【详解】解：，， ∴， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 45．填空题． （1） ；         （2） ； （3） ；         （4） ； （5） = ． 【答案】 24 0.2 75 10 102 24 7.8 7 48 【分析】本题主要考查了度分秒的换算． （1）根据大单位化成小单位要乘以60进制，列出算式进行计算即可； （2）根据小单位化成大单位要除以60进制，列出算式进行计算即可； （3）度与度相加，分与分相加，若满60，向它前面的单位进1，进行计算即可； （4）度与分分别乘以4，然后把满60的向它前面的单位进位即可； （5）先把46.8除以6，再把小数度乘以60化成分即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：24； （2）， 故答案为：0.2； （3） ， 故答案为：75，10； （4） ， 故答案为：102，24； （5） ， 故答案为：7.8，7，48． 46．如图，将一副三角尺的直角顶点重合，摆放在桌面上，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查三角尺，角的和差，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，继而求出，则，即可解得． 【详解】解：由图，得 ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 47．如图，为线段上一点．C、D、E均为直线上方的点． (1)如图1，与互余，证明：； (2)如图2，与互补，且平分，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义、一元一次方程的应用、几何图形中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题得，根据同角的余角相等即可求证； （2）由题得，可得，可求，再利用平角的定义即可求出． 【详解】（1）解：∵与互余 ∴ ∴； （2）∵平分 ∴ ∵与互补 ∴ ∴ 即 解得 ∴． 48．直尺和三角板如图放置，三角板的直角顶点和直尺的一边重合，平分，测得，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据三角板得到，角的和差关系求出的度数，角平分线求出的度数即可得到的度数． 【详解】解：由题意知， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 49．（1）为了预防新冠病毒，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）如图所示，点O是直线上一点，，射线是的三等分线，求的度数． 【答案】（1）购买甲种消毒液40瓶，购买乙种消毒液60瓶；（2） 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，几何图形中的角度计算： （1）设购买甲种消毒液x瓶，则购买乙种消毒液为瓶．根据题目中的等量关系列方程，解方程即可； （2）根据邻补角的定义计算出，根据三等分线的定义得出，则． 【详解】（1）解：设购买甲种消毒液x瓶，则购买乙种消毒液为瓶． 根据题意列方程如下：， 解方程得，则． 答：购买甲种消毒液40瓶，购买乙种消毒液60瓶． （2）解：因为， 所以， 因为射线是的三等分线， 所以， 所以． 重难点08 角的互余与互补及钟面角 50．时钟指向，此时时针与分针的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算，掌握钟面角的计算方法是解题的关键． 当时钟指向时，时针指在9和10的中间，分针指着6，根据时钟1大格的夹角是即可求解． 【详解】解：当时钟指向时，时针指在9和10的中间，分针指着6， 因为时钟1大格的夹角是， 所以时针和分针之间的夹角是． 故选：C． 51．小明晚上六点之后外出锻炼身体，此时时针与分针的夹角是，回家时还未到当天晚上七点，此时时针与分针的夹角仍是，则小明外出锻炼身体用了（   ）分钟． A．20 B．40 C．44 D．54 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程实际应用．根据题意先设6点x分外出，通过题意列出，得到6点分外出，再设6点y分返回，然后列出，继而得到6点分返回，继而得到本题答案． 【详解】解：设6点x分外出， ∵手表上的时针和分针的夹角是， ∴， ∴， ∴， ∴此人6点分外出， 再设6点y分返回， ∵返回时发现时针和分针的夹角又是， ∴， ∴， ∴， ∴此人6点分返回，（分钟）， 答：小明外出锻炼身体用了44分钟． 故选：C． 52．如图所示，钟表上时，时针与分针之间所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是钟面角，熟练掌握钟表表盘与角度相关的特征是关键．因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，再用大格数乘即可求解． 【详解】解：∵钟表上时，时针与分针之间相差个大格， ∴时针与分针的夹角是． 故选：C． 53．在三角形中，若的补角是，的余角是，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了补角和余角的知识，几何中角度的计算，理解补角和余角的性质是解答本题的基础．根据补角和余角的性质求出和，即可求出． 【详解】解： 的补角是，的余角是， ， ， 故选：A． 54．如果的余角等于，则的补角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查余角和补角． 根据题意，先求，再计算补角即可． 【详解】解：∵的余角等于， ∴， ∴的补角为：． 故选：． 55．在钟面上，时针和分针离“3”的距离相等，并且在3的两旁边，那么此时刻为3时 分． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了钟面角的认识，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握钟面上时针和分针每分钟转过的角度．设从3点整到现在过了x分，根据时针和分针离“3”的距离相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设从3点整到现在过了x分，根据题意得： ， 解得：， 即即现在3时分． 故答案为：． 56．如图，已知点O是直线上的一点，，分别是的角平分线． (1)求的度数； (2)直接写出图中与互余的角 　　； (3)直接写出的补角 　　． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了角平分线的定义和角度的和差、余角和补角等知识． （1）根据平角的定义，角平分线的意义进行计算即可； （2）根据互余的意义和等量代换可得答案； （3）根据补角的定义和等量代换得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴； （2）∵分别是的角平分线 ∴， ， 又∵， ∴， ∴的余角为， 故答案为： ； （3）∵， ∴， 即的补角为， 故答案为：． 57．如图①，，都是直角． (1)和在数量上是否存在相等、互余或互补关系？你能说明你猜想的正确性吗？ (2)当绕点O旋转到图②所示的位置时，你的猜想还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)和在数量上存在互补关系，即，理由见解析 (2)猜想还成立，即，理由见解析 【分析】本题考查了补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据已知并结合图形，利用角的和差关系进行计算即可解答； （2）利用周角是，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： 和在数量上存在互补关系， 理由：， ， 和在数量上存在互补关系．； （2）解：猜想还成立，即． 理由：， ， 和在数量上存在互补关系． 重难点09 角的平分线的应用 58．如图是直角，平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义及角的度数计算，解题的关键是根据角平分线的性质逐步求出相关角的度数，进而得到的度数．​ 先根据直角的定义确定的度数；再依据平分求出的度数；接着根据平分求出的度数；最后用减去得到的度数，再与选项对比．​ 【详解】解：∵是直角，​ ∴．​ ∵平分，​ ∴．​ ∵平分，​ ∴．​ ∴．​ 故选：D．​ 59．如图，已知，，是的平分线，的度数是 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了角平分线的定义和角度和差，由角度和差得出，再通过角平分线定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故答案为：． 60．如图，已知与互为补角，是的平分线，在内，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线有关的计算，解一元一次方程，解题的关键是设未知数，把角用未知数表示出来，列方程求解．设，，把角用未知数表示出来，建立x的方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 由， 即， 解得， 故． 61．如图，O是直线上一点，在的内部，是的平分线 (1)若，求的度数． (2)若与互余，请说明是的平分线 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）由题意得到的度数，结合角平分线定义，得到结果； （2）由已知条件，得到，利用等角的余角相等，得到，即可证得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的平分线， （2）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． 62．如图，已知，平分，，等于多少度？ 【答案】 【分析】本题主要考查了与角平分线相关的计算，根据已知可得，根据角平分线的定义可得，进而根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴ ∴ 63．如图，已知、分别是和的角平分线，，，求和的度数． 【答案】，． 【分析】本题考查了几何图中角的计算、角平分线的定义，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设，表示出，，然后根据角平分线和角的和差关系表示出，然后根据列方程求出，进而求解即可． 【详解】解：设， ∵ ∴， ∵、分别是和的角平分线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，． 64．如图，点A，O，B在同一条直线上，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)若比多，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线定义的运用，能理解角平分线定义和角与角之间的关系是解此题的关键． （1）由已知条件和观察图形，利用角平分线的性质求出的度数，再求的度数； （2）由已知条件和观察图形，利用角平分线的性质求出的度数，再根据比多求的度数． 【详解】（1）解：如图，因为平分， 所以， 又因为平分． 所以． 所以， 因为， 所以． （2）解：由（1）可知，． 因为比多， 所以，① 因为，② 由① +②得：， 所以． 65．（Ⅰ）如图，延长线段到点C，使，点D是线段的中点，如果，求线段的长度； （Ⅱ）如图，射线在的内部，，平分，与互余，求的度数． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的度数为150度． 【分析】此题主要考查了余角以及两点之间的距离，结合图形根据题干中的信息得出各线段之间的关系是解题关键． （Ⅰ）已知的长度，是线段的一半，则长度可求出，根据，即可求出的长度，进而可求出的长度； （Ⅱ）首先根据余角的定义，设这个角为x，结合角平分线的性质，可以求出的度数． 【详解】解：（Ⅰ）∵点D是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴； （Ⅱ）设度， ∵， ∴度 ∴度 ∵平分， ∴度 ∵与互余， ∴， 解得：， ∴度． 答：的度数为150度． 66．如图，已知平分平分，求和的度数． 【答案】． 【分析】此题考查求几何图形中角度，先根据角平分线，求得的度数，再根据角的和差关系，求得的度数，最后根据角平分线，求得的度数． 【详解】解：∵平分 ∴ 又∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $