精品解析：广东省深圳市龙岗区坂田实验学校2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷

2025－2026学年度第一学期开学测试 九年级数学试卷 一、选择题（8小题，共24分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题．设这个多边形的边数是n，根据“一个多边形的内角和是它外角和的2倍”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得： ， 解得：， 即这个多边形是六边形． 故选：C 3. 函数的图象大致是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数 ∵ ∴两支曲线分别位于第二、四象限内 故选A． 4. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，解答即可． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 5. 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系“两根之积等于”，直接计算即可求解． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 ． 故选：B． 6. 如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（ ） A. 0.4米 B. 62.5米 C. 6.4米 D. 0.16米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用相似测高，涉及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面镜测高的方法步骤是解决问题的关键．先由题意可得，从而得到相似比，再将题中已知线段长度代入求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 则， ， 由题意可知，米，米，米， ， 解得米， 故选：C． 7. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 根据绫布和罗布各一尺共值120文，列出绫布每尺价格与罗布每尺价格之和等于120的方程，即可求解． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺. ∵绫布总价896文，∴绫布每尺价格为文； ∵罗布总价896文，∴罗布每尺价格为文； 又∵绫布和罗布各一尺共值120文， ∴． ∴． 故选：B． 8. 如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BD，作交BH与点M，如图所示：设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：如图，连接BD，作交BH与点M， 设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴， ∴∠CBD=∠CDB=30°， ∴∠EDB=90°，， ∴， 同理可得∠ABD=90°， ∵四边形EDHG是正方形， ∴∠EDH=90°， ∴B、H、D三点共线，OD∥AB， ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，正方形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（5小题，共15分） 9. 若有意义，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，分式有意义的条件为分母不为零，由此计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， 解得且， 即的取值范围是且， 故答案为：且． 10. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则tanA=__． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴tanA=． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键． 11. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接， 根据中，，，得到，根据，得到，根据旋转得到，，，，得到为等边三角形，得到，得到，推出为等边三角形，得到． 本题主要考查了旋转，含30度角的直角三角形，等边三角形．解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定． 【详解】解：连接，如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵绕点C按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即点与点B之间的距离为． 故答案为：． 12. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元一次不等式组的解集为，可求出，解分式方程可得，结合分式方程的解为负整数且，即可得出整数a的值，再求它们的和即可得出答案． 【详解】， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于x的一元一次不等式组的解集为， ∴， ∴， 解分式方程得：， ∵分式方程的解为负整数且， ∴是负整数且， ∴或， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案是． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解以及解分式方程、一元一次不等式组的解集，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解题的关键，注意分式有意义的条件． 13. 如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点，是的中点，线段（点在点的左边）在上运动，连接，，若，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，连接交于点，证明四边形是平行四边形，得到，由正方形的性质得到，得到，即与重合时，的值最小，最小值为的长，求出，即可得到答案． 【详解】解：正方形，正方形的边长为， ，， ， ，， ， 如图，取的中点，连接，连接交于点， 是的中点， 是的中位线， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 垂直平分， ， ，即与重合时，的值最小，最小值为的长， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、三角形中位线以及勾股定理，能够将两线段和的最小值用一条线段的长来表示是解题的关键． 三、解答题（7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原分式方程无解 （2）， 【解析】 【分析】（1）先因式分解，然后分式两边同时乘以得，解整式方程得到，经检验是原分式方程的增根，即原分式方程无解； （2）先求出判别式，再由求根公式，利用公式法解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 分式两边同时乘以得， ， 检验：当时，最简公分母， 是原分式方程的增根，即原分式方程无解； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 即，． 【点睛】本题考查解分式方程、一元二次方程，涉及因式分解、分式方程得解法步骤、公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握分式方程、一元二次方程的解法步骤是解决问题的关键． 15. 先化简，再求值：，请从，，0这三个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，正确的运用分式的混合运算法则化简成为解答本题的关键． 先将原式运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个合适的数作为x的值代入求解即可． 【详解】解：原式 要使原分式有意义，则且 符合题意的 当时，原式． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中作的角平分线； （3）在图③中的边上找到一点F，使． 【答案】（1）如图，为所作： （2） 如图，为所作： （3） 如图，点F为所作： 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质等知识； （1）连接格点P、Q与交于点，连接即为所求作的中线； （2）取格点M，则，取格点N，连接交于点O，连接交于点E，则为所作； （3）取格点S、T，连接交于点F，则点F满足条件． 【小问1详解】 解：如图，连接格点P、Q与交于点， 由于四边形是矩形，则点D为的中点， ∴为边上的中线； 【小问2详解】 解：； 如图，取格点M，则，取格点N，连接交于点O，连接交于点E， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴平分， ∴平分， 即为所作； 【小问3详解】 解：如图，取格点S、T，连接交于点F， ∵， ∴， ∴， 即， 故点F满足题意． 17. 如图，在中，，是边的中线，过点作，连接交于，交于，点恰为中点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴，， ∵是边的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先由，点为中点，证，得，，再证，则四边形是平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，进而得，再证，得，，设，则，进而解直角三角形得，，，然后求出，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，则， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、含角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 18. 综合与实践． 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 【答案】任务1：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；任务2：①，；②甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的最大利润问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙部门每天能生成个壮锦手提包，依题意，列式得，注意经检验是方程的解，即可作答． （2）设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）．再依题意，得出，解出，根据利润公式得出，运用一次函数的性质，进行分析作答即可． 【详解】解：任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包； 任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包个，乙部门工作时间可表示为天， 故答案为：，； ②由题意得：， 解得：， 设该公司支付的总工资为y元， 由题意得：， ， 随m的增大而减小， 当时，y有最小值， 此时，， 答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元． 19. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 【答案】（1）①②或3 （2）该方程的“关爱码”为或 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程” ．正确理解“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． （1）①根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程并求解即可；②根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可； （2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可； （3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，方程为， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得， 则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：或3； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 其中完全平方数有、和， 当时，， 当时， （不合题意）， 当时，， 当时，原方程为， 则， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； 【小问3详解】 解：方程的“关爱码” 方程的“关爱码， 由题意得：， ∴， ∴或， ∵m，n均为正整数， ∴不合题意， ∴． 20. 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 问题提出 （1）如图1，在菱形中，，于点E，请在边上找一点F，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对直四边形”，求的长． 问题探究 （2）如图2，在正方形中，点E，F，G分别是边上的点，分别过点E，F作的垂线交于点H，连接，且．试说明四边形为“对直四边形”； 问题解决 （3）某加工厂有一批四边形板材，如图3所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长的长度． 【答案】（1）； （2）证明：如图3，     延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形 是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ∵, 四边形为“对直四边形”； （3）米或米或米或米 【解析】 【分析】（1）连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； （2）延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； （3）分四种情况进行讨论，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如下图， 在菱形中，，，， ∴，， ∴均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， 则，同理：， ∴， ∴四边形是“对直四边形”，为等边三角形， ∴， （2）略 （3）解：①如下图， 作于，作于， ， 四边形是矩形， ∵，， ，， ， ， ， ∵ ，， ， 四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， 此时等腰三角形的腰长米； ②如下图， 作于，作于， 由①可知，，四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， 此时等腰三角形的腰长米； ③如下图， 作，交于，作于，则四边形是“对直四边形”， 由①可知，， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴米，即和是腰长相等的等腰三角形， 此时等腰三角形的腰长米； ④如下图， 以为底边作等腰直角三角形，连接，作，交的延长线于点，交于， ，，四边形是“对直四边形”， ，， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 和是腰长相等的等腰三角形， ，， 米， 综上所述：等腰三角形的腰长为米或米或米或米． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是掌握新定义和分类讨论的思想． 第一周数学小测 一、选择题（每题4分，共32分） 21. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数或不能表示为两个整数之比的数为无理数．需逐一判断各选项是否为有理数或无理数． 【详解】A．是有限小数，可化为分数，属于有理数． B．是有限小数，可化为分数，属于有理数． C．是分数形式，属于有理数． D．是5的算术平方根．因5不是完全平方数，无法表示为整数或分数，属于无限不循环小数，故为无理数． 故选D． 22. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算和性质，根据二次根式的运算法则和性质，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A． ，运算正确． B． ，而选项结果为3，错误． C． ，结果错误． D． ，而选项结果为，错误． 故选A． 23. 若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高． 【详解】直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h）的乘积，即， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键． 24. 下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及角度关系和勾股定理逆定理的应用． 根据三角形内角和求出，即可判断A；设，，，则，解得，所以最大角为，则是锐角三角形，可判定B；设的三边为k、、，则，所以最大角为，则为直角三角形，可判断C．由得，所以a边所对角为直角，可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴， 化简得， ∴， ∴为直角三角形． 故此选项不符合题意； B、设，，，则， 解得， ∴最大角为， ∴是锐角三角形，不能判定为直角三角形． 故此选项符合题意； C、设的三边为k、、，则，， ∴ ∴最大角为， ∴为直角三角形． 故此选项不符合题意； D、∵ ∴， ∴a边所对角为直角，能判定为直角三角形． 故此选项不符合题意； 故选：B． 25. 下列说法正确的是（ ） A. 是的算术平方根 B. 的立方根是 C. 的平方根是 D. 是的算术平方根 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平方根和立方根的定义与性质，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，根据平方根和立方根的定义和性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A. 是的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意； B. 的立方根是，故该选项正确，符合题意； C. 的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； D. 是的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 26. 若，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性．根据非负性求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴； 故选：B． 27. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．根据小正方形面积为7得出，结合，得出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵大正方形的面积， ∴， 故选：D． 28. 如图，昆虫在地图上从A点先向南爬，又向东爬，再向北爬，又向东爬，再向南爬到B点，如此爬行比从A点直接爬到B点多爬行（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，矩形的性质与判定，过点B作于H，延长交于G，则四边形和四边形都是矩形，根据矩形的性质推出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，，， ∴， 如图所示，过点B作于H，延长交于G， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴如此爬行比从A点直接爬到B点多爬行， 故选：A． 二、填空题（每题4分，共16分） 29. 二次根式有意义，则x的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列出关于x的不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，则， 解得． 故答案是：． 30. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 31. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 32. 如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，若，，则的长为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等积法，角平分线的性质定理，正确地作出辅助线是解答本题的关键．过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据已知条件得，然后设，，接下来根据等积法可得，可表示，再根据勾股定理求出y，即可求出x，可得，然后根据勾股定理求出，进而得出，最后根据勾股定理求出． 【详解】解：过点作于，如图所示： ∵平分，， ∴. ∵点E是的中点，且， ∴. 设，， ∵， ∴， 即， ∴. 根据勾股定理，得，且， ∴， 解得， ∴. 根据勾股定理，得， 解得， 则，. 根据勾股定理，得， ∴. 根据勾股定理，． 故答案为：． 三、解答题 33. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的乘除运算法则计算，再合并同类二次根式即可； （3）先根据二次根式的乘除运算法则计算，再合并同类二次根式即可； （4）根据乘法公式计算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 34. 已知正数的两个不同平方根分别是和，的算术平方根是. （1）求和的值； （2）求的立方根. 【答案】（1），. （2）4 【解析】 【分析】本题考查了平方根与立方根的应用； （1）根据正数的两个平方根互为相反数，求得，进而求得的值； （2）将的值代入代数式，进而求得其立方根，即可求解． 【小问1详解】 解∶ 依题意， 解得： ∴ ∴ ∵ ∴ 【小问2详解】 ∵，， ∴ ∴的立方根为4. 35. 如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．问： （1）在离A站多少处？ （2）判定三角形的形状． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明，再根据得出 （2）的形状是等腰直角三角形，利用，得出，进而可以证明． 考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵使得C，D两村到E站的距离相等． ∴， ∵于A，于B， ∴ ， ∴， ∴ 设则， ∵，， ∴ 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 即是等腰直角三角形． 36. （1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． 请证明． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若，，则空白部分的面积为 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是和，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ； （4）如图④，分别以的三条边为边向外作三个正方形和正方形，并将得到的图形放入矩形，点，，，，，都在矩形的边上，若矩形的面积为，，则的面积为 ． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴ ∴ （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）根据，即可求解； （3）根据外延的部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可； （4）延长交于点，延长交于点，则四边形是正方形，设，根据勾股定理得到，求得，，根据矩形的面积公式列方程得到，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴ ∴ 故答案为：． （3）如图3，由题意知，外延的部分全等，且， ， ， 这个风车的外围周长是， 故答案为：； （4）如图，延长交于点，延长交于点， 则四边形是正方形， 设， ，， ， ， ，， 矩形的面积为 ， 解得：或， 或， 当时，， 当时，， ． 故答案为：． 37. 新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线． 解决问题： （1）①三角形的中线、高线、角平分线中．一定是三角形的二分线的是___________； ②如图1，已知中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，则___________（填“是”或“不是”）的一条二分线． （2）如图2，四边形中，，点是的中点，射线交射线于点，取的中点．连接．求证：是四边形的二分线． （3）如图3，在中，，、分别是线段、上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长． 【答案】（1）①三角形的中线 ②是 （2） 证明：∵的中点F， ∴， ∵， ∴， ∵G是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是四边形的二分线． （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是解题的关键． （1）①由平面图形的二分线定义可求解； ②由面积的和差关系可得，可得是的一条二分线； （2）根据的中点，所以，由，是的中点，证明，所以，所以，可得是四边形的二分线； （3）证明，可得，由是四边形的一条二分线，可得，则，即可得出，从而求解． 【小问1详解】 解：①三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分； 三角形的中线是三角形的二分线， 故答案为：三角形的中线 ②是边上的中线 ， ， ， ， 是的一条二分线 故答案为：是 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵是四边形的一条二分线， ∴， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期开学测试 九年级数学试卷 一、选择题（8小题，共24分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 3. 函数的图象大致是（   ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 5. 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 3 6. 如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（ ） A. 0.4米 B. 62.5米 C. 6.4米 D. 0.16米 7. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　） A. 3 B. C. 2 D. 二、填空题（5小题，共15分） 9. 若有意义，则的取值范围是___________． 10. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则tanA=__． 11. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________． 12. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是__________． 13. 如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点，是的中点，线段（点在点的左边）在上运动，连接，，若，则的最小值是________． 三、解答题（7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，请从，，0这三个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中作的角平分线； （3）在图③中的边上找到一点F，使． 17. 如图，在中，，是边的中线，过点作，连接交于，交于，点恰为中点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，且，求的面积． 18. 综合与实践． 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 19. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 20. 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 问题提出 （1）如图1，在菱形中，，于点E，请在边上找一点F，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对直四边形”，求的长． 问题探究 （2）如图2，在正方形中，点E，F，G分别是边上的点，分别过点E，F作的垂线交于点H，连接，且．试说明四边形为“对直四边形”； 问题解决 （3）某加工厂有一批四边形板材，如图3所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长的长度． 第一周数学小测 一、选择题（每题4分，共32分） 21. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 22. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 23. 若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（ ） A. B. C. D. 24. 下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 25. 下列说法正确的是（ ） A. 是的算术平方根 B. 的立方根是 C. 的平方根是 D. 是的算术平方根 26. 若，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 27. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 28. 如图，昆虫在地图上从A点先向南爬，又向东爬，再向北爬，又向东爬，再向南爬到B点，如此爬行比从A点直接爬到B点多爬行（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共16分） 29. 二次根式有意义，则x的取值范围是______________． 30. 的算术平方根是______． 31. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 32. 如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，若，，则的长为________ ． 三、解答题 33. 计算 （1） （2） （3） （4） 34. 已知正数的两个不同平方根分别是和，的算术平方根是. （1）求和的值； （2）求的立方根. 35. 如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．问： （1）在离A站多少处？ （2）判定三角形的形状． 36. （1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． 请证明． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若，，则空白部分的面积为 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是和，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ； （4）如图④，分别以的三条边为边向外作三个正方形和正方形，并将得到的图形放入矩形，点，，，，，都在矩形的边上，若矩形的面积为，，则的面积为 ． 37. 新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线． 解决问题： （1）①三角形的中线、高线、角平分线中．一定是三角形的二分线的是___________； ②如图1，已知中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，则___________（填“是”或“不是”）的一条二分线． （2）如图2，四边形中，，点是的中点，射线交射线于点，取的中点．连接．求证：是四边形的二分线． （3）如图3，在中，，、分别是线段、上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $