专题01 空间向量及其运算（期中复习讲义）（知识必备+12大核心题型+分层验收）高二数学上学期人教B版选择性必修第一册

专题01 空间向量及其运算（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量的概念 能通过与平面向量类比，准确理解空间向量及其相关概念 高频易错点，常出现在选择题中 空间向量的线性运算 能根据空间图形准确进行空间向量的线性运算 基础必考点，利用空间向量解决立体几何问题时必然要用到向量的线性运算 空间向量的数量积运算 能熟练进行数量积运算，以及利用向量的模长及夹角公式求向量的模长或向量的夹角的大小 期中必考点，各题型均有可能出现；数量积运算是向量法的核心运算，常利用该运算来解决空间角和空间距离问题. 向量共线与共面定理 能利用向量共线与共面定理判断向量共线、共面，以及解决两直线平行、三点共线、四点共面等问题 期中常考点，一般会和其他知识点混合一起考查，难度不大. 向量的坐标运算 能根据向量的坐标运算解决立体几何中的相关问题 期中必考点，基础题型和中等难度题型均可能出现，以解题工具的形式进行考查； 知识点01 空间向量的相关概念 1.空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. ·示例：如空间中的力、速度、位移等量，既有大小又有方向，它们是空间向量，而质量、密度等量只有大小没有方向，它们就不是空间向量. ·易错点：由于空间向量有方向，故空间向量不能比较大小，但空间向量的模可以比较大小. 2.空间向量的表示 和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. ·示例：如下图所示，图中各向量可依次记为，也可分别用加粗的斜体小写字母来表示. （1） （2） （3） 3.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 平行向量（也叫共线向量） 如果两个非零向量方向相同或者相反，则称这两个向量平行.规定：零向量与任意向量平行. 如果向量a平行于b,记作a//b. 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面. 知识点02 空间向量的加法、减法运算 1．空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2.空间向量的加法运算 (1)三角形法则：（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 （2）平行四边形法则：在上图中，，其中为平行四边形的一组邻边. ·易错点：（1）三角形法则求和必须使两个向量首尾相接（即前一个向量的终点与后一个向量的起点重合）, （2）用平行四边形法则作向量的和,必须使b的起点相同. （3）当两个向量共线时，平行四边形法则不再适用. 3.三个不共面向量的和 三个不共面的向量的和，等以以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这在个向量有共同始点的体对角线所表示的向量. ·示例：在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， . 3.空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4.空间向量的加法运算律 （1）加法交换律：, （2）加法结合律：. 知识点03 空间向量数乘运算 1.定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 数乘向量的定义说明，如果存在实数λ，使得，则.而且，如果存在实数λ，使得则平行且有公共点A，从而A,B,C三点共线. 特别地，当时，即时，B为线段AC的中点. 2.数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3.对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． ·易错点：实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． ·示例：. 4.共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． （1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： （2）拓展：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 5.共面向量： （1）定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． （2）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 （3）空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． （4）拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识点04 空间向量的夹角 1．定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2．范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． ·易错点：零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 知识点05 空间向量的数量积 1.定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作； 即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. ·易错点:两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2.空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3.空间向量的投影与向量数量积的几何意义 （1）a在向量b上的投影： 方法1：如图(1)所示，过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，便得到向量a在向量b上的投影. 方法2：还可以过向量a的始点和终点分别作与b所在直线垂直的平面得到. · 示例：可以从图(2)所示的长方体中看出来，其中向量b在棱AB上，a，因为所以a在向量b上的投影 (2)空间向量数量积的几何意义： 向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 4.空间向量的数量积的性质 同平面的情形一样,空间向量的数量积具有以下性质: (1) a⊥b⇔a·b＝0； (2)模长公式:a·a＝|a|2= a2; (3) |a·b|≤|a|·|b|. (4)； (5)(交换律); (6)(分配律). 知识点06 空间向量基本定理 1．定理：如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2．基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． ·易错点:对基底正确理解，要注意以下三点： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 知识点07 空间向量运算的坐标表示 1.空间向量的坐标运算 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2.空间向量的长度及夹角的坐标计算公式 设空间中两个向量满足,则 (1)模长公式：； (7)夹角公式:当时， cos〈a，b〉＝＝.[5] ·示例:已知：向量=(3,2,-1)，=（2,1,5）, （1）求下列向量的坐标: ①);②. (2)求的值. 【解析】 (1) ①=(3,2，－1)+(2,1,5)=(5,3,－4). ②＝2(3,2,－1)－3(2,1,5)=(6,4,－4)－(6,3,15)=(0,1,－19). (2) , , , . 知识点08 空间向量运算的坐标与空间向量的平行、垂直 设是空间向量，且. 1.向量平行坐标表示 (b≠0)⇔ 更进一步，当的每一个坐标分量都不为零时，有⇔ 2.向量垂直的坐标表示 a⊥b⇔a·b=0⇔.[7] ·示例: 已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1),若a⊥(b-c),求x的值. 【解析】∵b-c=(-2,3,1),a·(b-c)=4+3x+2=0,∴x=-2. 题型一 空间向量概念的理解 解｜题｜技｜巧 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反． 【典例1】下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 【变式1-1】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量是任意直线的方向向量 B．方向相同的两个向量是相等向量 C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【变式1-2】（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 空间向量的线性运算 解｜题｜技｜巧 1.数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． 2.明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题． 【典例2-1】（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式2-1】（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 题型三 空间向量的数量积及其性质的应用 解｜题｜技｜巧 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 【典例3】如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【变式3-1】棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ）    A．1 B．－1 C． D． 【变式3-2】（多选）如图，在平行六面体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型四 空间向量共线的判定及应用 解｜题｜技｜巧 1.判断或证明两向量，(≠)共线，就是寻找实数λ，使＝λ成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． 2.判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ. 【典例4-1】（24-25高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【典例4-2】如图,四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断是否共线？ 【变式4-1】（2025·上海奉贤·二模）如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 【变式4-2】如图所示,在空间四面体ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且=,=.求证:四边形EFGH是梯形. 题型五 空间向量基本定理的应用 解｜题｜技｜巧 空间向量分解定理的应用主要有以下两种： (1)利用空间向量的基本定理解决其空间向量用基底表示问题. (2)利用基本定理定理的唯一性对向量等式进行求解. 【典例5-1】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量： （1）； (2)；　　(3) ； (4). 【变式5-1】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·河北唐山·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，用基底{a，b，c}表示向量得（    ）    A． B． C． D． 题型六 空间共面向量定理的应用 解｜题｜技｜巧 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【典例6-1】对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【典例6-2】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别为A1D1,D1C1,AA1,CC1的中点,求证:M,N,P,Q四点共面. 【变式6-1】（25-26高二上·全国·单元测试）对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（25-26高三上·四川成都·开学考试）在三棱柱中，，，．若点P满足，且点P在平面内，则（   ） A． B． C． D．1 【变式6-3】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 题型七 空间向量的坐标运算 解｜题｜技｜巧 1.利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则,同时掌握下列技巧: (1)在运算中注意相关公式的灵活运用,，等. (2)进行向量坐标运算时,可以先代入坐标再运算,也可先进行向量式的化简,再代入坐标运算.如计算(a+b)·(a-b),既可以求出a+b,a-b后,再求数量积.也可以把(a+b)·(a-b)写成a2-b2后计算. 2,利用空间向量的坐标运算判断向量平行、垂直 借助向量的坐标，可将向量的平行与垂直问题代数化，即借助代数运算达到判断向量平行或垂直的目的.求解此类问题要抓住两个核心关系式: 【典例7-1】在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·全国·课后作业）设为空间中三个不同的向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关．若，，线性相关，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式7-2】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 题型八 利用空间向量求向量的模长或夹角问题 解｜题｜技｜巧 求空间向量的模长或夹角时，要注意公式的灵活选用，若已知向量的坐标，则首选模长或夹角的坐标形式公式；若向量的坐标未知，则考虑其几何形式的公式. 易｜错｜警｜示 两非零向量的夹角为锐角时，其数量积为正数，两非零向量的夹角为钝角时，其数量积为负数，但反之不一定成立，要注意夹角为0时，其数量积也为正数，夹角为时，其数量积为也为负数. 【典例8-1】设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 【典例8-2】在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【变式8-1】（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为 . 【变式8-2】、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【变式8-3】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 题型九 利用空间向量解决平行或垂直问题 解｜题｜技｜巧 1.利用空间向量判断或证明向量平行、垂直 借助向量的坐标，可将向量的平行与垂直问题代数化，即借助代数运算达到判断向量平行或垂直的目的.求解此类问题要抓住两个核心关系式: 2.由平行、垂直求参数的值 利用平行、垂直关系和上面的关系式列出方程,即可求出参数的值. 【典例9-1】正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱D1D的中点,P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3=,若PQ⊥AE,=λ,求λ的值. 【典例8-2】正方体ABCD-A1B1C1D1中,若G是A1D的中点,点H在平面ABCD内,且GH∥BD1,试判断点H的位置. 【变式9-1】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在长方体中，E，F，P分别是，，BD的中点，且，，Q是平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点，则下列选项中不正确的是（    ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线可能垂直 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 题型十 利用空间向量求解线段长问题 解｜题｜技｜巧 对于这类问题，往往将线段视为向量的模，利用向量的模长公式求解. 【典例10】在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】在等腰直角三角形中，，将三角形沿直角边上的中线折成平面角为的二面角，则空间中线段的长为 ． 【变式10-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知空间三点，，，则在中边上的中线长为 ，以为邻边的平行四边形的面积为 ． 题型十一 空间向量的综合应用 解｜题｜技｜巧 这类问题常以多选题的形式出现，综合考查利用向量判断垂直、平行关系，求角或线段长等，求解的策略是针对各选项各个击破. 【典例11】（多选）（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点，则（   ） A． B．正三棱柱的体积为 C．若，则 D．直线与是异面直线 【变式11-1】（多选）（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中， 且 M为A₁C₁与B₁D₁的交点，设 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 题型十二 利用函数思想求解与空间向量有关的取值范围或最值问题 解｜题｜技｜巧 与空间向量有关的取值范围或最值问题常见的类型有求向量模长的取值范围或最值、立体几何中与动点有关的取值范围或最值等，这类问题往往借助向量运算，建立相应的函数关系式，借助函数思想求解. 【典例12】（24-25高二下·广西·开学考试）已知在正四棱锥中，，点是该正四棱锥内切球球面上的动点，则正四棱锥的体积为 ，的最小值为 ． 【变式12-1】（24-25高二下·河南周口·期末）如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为 ． 【变式12-2】（2025·河南·模拟预测）在棱长为3的正方体中，为线段的三等分点（在之间），一动点满足，则的取值范围是 ． 期中基础通关练（测试时间：15分钟） 1.（24-25高二下·福建宁德·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量 C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 2．（24-25高二上·河南南阳期中）在长方体中，（   ） A． B． C． D． 3. （24-25高二下·福建漳州·期中）已知，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 4．（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）向量 且 ，则实数 . 7．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 8．（24-25高二下·甘肃天水·期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 期中重难突破练（测试时间：25分钟） 9．设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 10.（24-25高二上·安徽·期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，E为的重心，若，，，则（　　） A． B． C． D． 11．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A． B． C．3 D． 12．（24-25高二下·江苏南京·期中）正方体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13.（多选）如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 14.（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为 15．如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 16．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 期中综合拓展练（测试时间：25分钟） 17.（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 18.（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 19．(多选)（24-25高二上·湖南·期中）如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值 B．存在这样的点，使得 C．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 D．当时，点的轨迹长度为 20．（2025·广东茂名·二模）已知棱长为的正四面体，且 ，为侧面内的一动点，若，则点的轨迹长为 ． 21．（24-25高一下·浙江·期中）向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：．规定：①为同时与，垂直的向量，且与为相反向量；②（为向量与的夹角）； (1)证明：； (2)如图，已知棱长均为1的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义． (3)有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及其运算（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量的概念 能通过与平面向量类比，准确理解空间向量及其相关概念 高频易错点，常出现在选择题中 空间向量的线性运算 能根据空间图形准确进行空间向量的线性运算 基础必考点，利用空间向量解决立体几何问题时必然要用到向量的线性运算 空间向量的数量积运算 能熟练进行数量积运算，以及利用向量的模长及夹角公式求向量的模长或向量的夹角的大小 期中必考点，各题型均有可能出现；数量积运算是向量法的核心运算，常利用该运算来解决空间角和空间距离问题. 向量共线与共面定理 能利用向量共线与共面定理判断向量共线、共面，以及解决两直线平行、三点共线、四点共面等问题 期中常考点，一般会和其他知识点混合一起考查，难度不大. 向量的坐标运算 能根据向量的坐标运算解决立体几何中的相关问题 期中必考点，基础题型和中等难度题型均可能出现，以解题工具的形式进行考查； 知识点01 空间向量的相关概念 1.空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. ·示例：如空间中的力、速度、位移等量，既有大小又有方向，它们是空间向量，而质量、密度等量只有大小没有方向，它们就不是空间向量. ·易错点：由于空间向量有方向，故空间向量不能比较大小，但空间向量的模可以比较大小. 2.空间向量的表示 和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. ·示例：如下图所示，图中各向量可依次记为，也可分别用加粗的斜体小写字母来表示. （1） （2） （3） 3.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 平行向量（也叫共线向量） 如果两个非零向量方向相同或者相反，则称这两个向量平行.规定：零向量与任意向量平行. 如果向量a平行于b,记作a//b. 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面. 知识点02 空间向量的加法、减法运算 1．空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2.空间向量的加法运算 (1)三角形法则：（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 （2）平行四边形法则：在上图中，，其中为平行四边形的一组邻边. ·易错点：（1）三角形法则求和必须使两个向量首尾相接（即前一个向量的终点与后一个向量的起点重合）, （2）用平行四边形法则作向量的和,必须使b的起点相同. （3）当两个向量共线时，平行四边形法则不再适用. 3.三个不共面向量的和 三个不共面的向量的和，等以以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这在个向量有共同始点的体对角线所表示的向量. ·示例：在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， . 3.空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4.空间向量的加法运算律 （1）加法交换律：, （2）加法结合律：. 知识点03 空间向量数乘运算 1.定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 数乘向量的定义说明，如果存在实数λ，使得，则.而且，如果存在实数λ，使得则平行且有公共点A，从而A,B,C三点共线. 特别地，当时，即时，B为线段AC的中点. 2.数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3.对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． ·易错点：实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． ·示例：. 4.共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． （1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： （2）拓展：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 5.共面向量： （1）定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． （2）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 （3）空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． （4）拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识点04 空间向量的夹角 1．定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2．范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． ·易错点：零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 知识点05 空间向量的数量积 1.定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作； 即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. ·易错点:两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2.空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3.空间向量的投影与向量数量积的几何意义 （1）a在向量b上的投影： 方法1：如图(1)所示，过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，便得到向量a在向量b上的投影. 方法2：还可以过向量a的始点和终点分别作与b所在直线垂直的平面得到. · 示例：可以从图(2)所示的长方体中看出来，其中向量b在棱AB上，a，因为所以a在向量b上的投影 (2)空间向量数量积的几何意义： 向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 4.空间向量的数量积的性质 同平面的情形一样,空间向量的数量积具有以下性质: (1) a⊥b⇔a·b＝0； (2)模长公式:a·a＝|a|2= a2; (3) |a·b|≤|a|·|b|. (4)； (5)(交换律); (6)(分配律). 知识点06 空间向量基本定理 1．定理：如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2．基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． ·易错点:对基底正确理解，要注意以下三点： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 知识点07 空间向量运算的坐标表示 1.空间向量的坐标运算 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2.空间向量的长度及夹角的坐标计算公式 设空间中两个向量满足,则 (1)模长公式：； (7)夹角公式:当时， cos〈a，b〉＝＝.[5] ·示例:已知：向量=(3,2,-1)，=（2,1,5）, （1）求下列向量的坐标: ①);②. (2)求的值. 【解析】 (1) ①=(3,2，－1)+(2,1,5)=(5,3,－4). ②＝2(3,2,－1)－3(2,1,5)=(6,4,－4)－(6,3,15)=(0,1,－19). (2) , , , . 知识点08 空间向量运算的坐标与空间向量的平行、垂直 设是空间向量，且. 1.向量平行坐标表示 (b≠0)⇔ 更进一步，当的每一个坐标分量都不为零时，有⇔ 2.向量垂直的坐标表示 a⊥b⇔a·b=0⇔.[7] ·示例: 已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1),若a⊥(b-c),求x的值. 【解析】∵b-c=(-2,3,1),a·(b-c)=4+3x+2=0,∴x=-2. 题型一 空间向量概念的理解 解｜题｜技｜巧 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反． 【典例1】下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 【答案】C 【解析】A．若，，则与所在直线平行或重合，因此不正确； B．向量、、共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，因此不正确； C．根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确； D．若，则存在唯一的实数λ，使使或，因此不正确． 综上可知：只有C正确． 故选：C． 【变式1-1】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量是任意直线的方向向量 B．方向相同的两个向量是相等向量 C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】D 【分析】A选项，根据直线的方向向量的定义得到A错误；B选项，根据相等向量定义得到B错误；C选项，根据空间向量基底的定义得到C错误；D选项，由空间向量和平面向量的定义进行判断. 【详解】A选项，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，A错误； B选项，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误； C选项，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，C错误； D选项，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，D正确. 故选：D 【变式1-2】（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 题型二 空间向量的线性运算 解｜题｜技｜巧 1.数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． 2.明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题． 【典例2-1】（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减法则，将逐步转化为已知向量、、的线性组合. 【详解】是的中点，，又，由，. 故选：. 【典例2-2】平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】 ， 所以， 故选：C.    【变式2-1】（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘运算，将用空间的基底表示即可. 【详解】由图可得： . 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用空间向量运算即可求得正确答案. 【详解】连接，因为是的中点，所以，    因为底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形， 又因M，N分别是的中点， 所以， 则， 又因，所以可得，解得， 所以. 故选：A. 题型三 空间向量的数量积及其性质的应用 解｜题｜技｜巧 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 【典例3】如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 【变式3-1】棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ）    A．1 B．－1 C． D． 【答案】A 【解析】，所以． 故选：A． 【变式3-2】（多选）如图，在平行六面体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】依题意可得， 同理，，故C正确； 连接， 则，故A正确； ，故B错误； ，故D正确. 故选：ACD. 题型四 空间向量共线的判定及应用 解｜题｜技｜巧 1.判断或证明两向量，(≠)共线，就是寻找实数λ，使＝λ成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． 2.判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ. 【典例4-1】（24-25高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 【典例4-2】如图,四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断是否共线？ 【分析】要判断是否共线，由共线向量定理可判断是否存在实数λ使.若存在，则共线，否则，不共线. 【详解】∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形， ∴＝＋＋＝＋＋. 又＝＋＋＋＝－＋－－， ∴＋＋＝－＋－－. ∴＝＋2＋＝2(＋＋)＝2，即＝2. ∴∥，即与共线． 【变式4-1】（2025·上海奉贤·二模）如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 【答案】B 【分析】以为基底结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，， ， ，因为不共线所以与不平行，故A错误. ， ，即有，，有公共点， 所以、、三点共线，B选项正确. 因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线， 故C选项错误. 因为，所以，故D选项错误. 故选：B 【变式4-2】如图所示,在空间四面体ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且=,=.求证:四边形EFGH是梯形. 【分析】结合图形特征,利用向量证明四边形的一组对边平行且不相等,即可证明四边形EFGH是梯形. 【证明】 ∵E,H分别是AB,AD的中点, ∴=,=. ∵=,=,∴=,=, ∴=-=- =(-)==(-) ==(-)=, ∴∥且||=||≠||. ∵E∉FG,∴EH∥FG且EH=FG, 因此四边形EFGH是梯形. 题型五 空间向量基本定理的应用 解｜题｜技｜巧 空间向量分解定理的应用主要有以下两种： (1)利用空间向量的基本定理解决其空间向量用基底表示问题. (2)利用基本定理定理的唯一性对向量等式进行求解. 【典例5-1】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底； 对于B：设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确； 对于D：设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 【典例5-2】在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量： （1）； (2)；　　(3) ； (4). 【详解】连结AC、AD′. （1）= = ＝(a＋b＋c)； (2)＝(＋) = ＝a＋b＋c； (3) = (＋) ＝[( ) ＋(＋)] ＝(＋2＋2)＝a＋b＋c； (4) ＝＋＝＋(－) ＝＋＋＝a＋b＋c. 【变式5-1】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选： CD 【变式5-2】（24-25高二上·河北唐山·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，用基底{a，b，c}表示向量得（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用空间向量对应线段的位置及数量关系，结合向量加减、数乘的几何意义用表示即可. 【详解】. 故选：A 题型六 空间共面向量定理的应用 解｜题｜技｜巧 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【典例6-1】对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 【典例6-2】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别为A1D1,D1C1,AA1,CC1的中点,求证:M,N,P,Q四点共面. 【证明】 令=a,=b,=c, ∵M,N,P,Q均为棱的中点, ∴=b-a,=+=a+c,=++=-a+b+c. 令=λ+μ,则-a+b+c=(μ-λ)a+λb+μc, ∴ 解得 ∴=2+, ∴向量,,共面, ∴M,N,P,Q四点共面. 【方法总结】空间任一定点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使=x+y,或对空间任一定点O,有=+x+y,或=(1-x-y)+x+y. 【变式6-1】（25-26高二上·全国·单元测试）对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可． 【详解】空间任意一点和不共线的三点， 令， 若，则，， ，， 所以四点共面， 所以充分性成立； 若四点共面， 当与四个点中的一个（比如点）重合时， ，可取任意值，不一定有， 即不一定有， 所以不能得到， 故必要性不成立， 所以“”是“四点共面”的充分不必要条件， 故选：B. 【变式6-2】（25-26高三上·四川成都·开学考试）在三棱柱中，，，．若点P满足，且点P在平面内，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量共面的性质列式求解. 【详解】因为，且点P在平面内， 根据共面向量定理的推论，若空间四点共面，点为空间任意一点，则，且, ，解得 故选：B. 【变式6-3】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为四点共面， 所以由共面定理可得，，即， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 故选：C. 题型七 空间向量的坐标运算 解｜题｜技｜巧 1.利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则,同时掌握下列技巧: (1)在运算中注意相关公式的灵活运用,，等. (2)进行向量坐标运算时,可以先代入坐标再运算,也可先进行向量式的化简,再代入坐标运算.如计算(a+b)·(a-b),既可以求出a+b,a-b后,再求数量积.也可以把(a+b)·(a-b)写成a2-b2后计算. 2,利用空间向量的坐标运算判断向量平行、垂直 借助向量的坐标，可将向量的平行与垂直问题代数化，即借助代数运算达到判断向量平行或垂直的目的.求解此类问题要抓住两个核心关系式: 【典例7-1】在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求出、的坐标，即可得解. 【详解】因为，则点关于轴对称的点为， 又，则点关于平面对称的点为. 所以. 故选：B. 【典例7-2】已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知由空间向量的坐标运算求得 ，根据数量积的运算律结合，即可得的值． 【详解】由已知，， 所以， 又，所以. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高二上·全国·课后作业）设为空间中三个不同的向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关．若，，线性相关，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据题设线性相关的定义，令，应用坐标表示列方程且不同时为0，求参数. 【详解】由，，线性相关， 则， 即，不同时为0，解得. 故选：D 【变式7-2】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 题型八 利用空间向量求向量的模长或夹角问题 解｜题｜技｜巧 求空间向量的模长或夹角时，要注意公式的灵活选用，若已知向量的坐标，则首选模长或夹角的坐标形式公式；若向量的坐标未知，则考虑其几何形式的公式. 易｜错｜警｜示 两非零向量的夹角为锐角时，其数量积为正数，两非零向量的夹角为钝角时，其数量积为负数，但反之不一定成立，要注意夹角为0时，其数量积也为正数，夹角为时，其数量积为也为负数. 【典例8-1】设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意结合向量数量积定义和模长坐标计算公式得到和，再结合向量夹角余弦公式即可计算求解. 【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角等于， 所以， 所以，结合得 则向量夹角的余弦值为. 故选：D. 【典例8-2】在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先求出的坐标，再利用空间向量的模长公式解方程即得. 【详解】由，，可得， 由，可得，解得. 故选：A. 【变式8-1】（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为 . 【答案】 【分析】利用向量的数量积公式及投影向量的模的计算公式，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量，其模为. 【变式8-2】、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【答案】 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以. 【变式8-3】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意且与不共线（反向），结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可. 【详解】因为，且的夹角为钝角， 所以且与不共线（反向）， 由，则，解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数的取值范围为. 题型九 利用空间向量解决平行或垂直问题 解｜题｜技｜巧 1.利用空间向量判断或证明向量平行、垂直 借助向量的坐标，可将向量的平行与垂直问题代数化，即借助代数运算达到判断向量平行或垂直的目的.求解此类问题要抓住两个核心关系式: 2.由平行、垂直求参数的值 利用平行、垂直关系和上面的关系式列出方程,即可求出参数的值. 【典例9-1】正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱D1D的中点,P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3=,若PQ⊥AE,=λ,求λ的值. 【分析】先建立空间直角坐标系,再根据3=、PQ⊥AE分别确定P、Q点的位置,最后结合坐标关系得到=λ中的λ. 【详解】如图所示,以D为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E,B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),由题意,可设点P的坐标为(a,a,1), ∵3=,∴3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0), ∴3a-3=-a,解得a=,∴点P的坐标为. 设点Q的坐标为(b,b,0),∵PQ⊥AE,∴·=0,∴·=0,即--=0,解得b=,∴点Q的坐标为. ∵=λ,∴(-1,-1,0)=λ,∴=-1,故λ=-4. 【方法点拨】本题首先利用两个向量满足的线性关系,确定P点坐标,然后利用两向量的垂直关系确定λ,解题的过程充分运用了方程的思想. 【典例8-2】正方体ABCD-A1B1C1D1中,若G是A1D的中点,点H在平面ABCD内,且GH∥BD1,试判断点H的位置. 【分析】先建立空间直角坐标系,根据图形特点确定G点坐标,再设出H点的坐标,结合GH∥BD1,根据两向量对应坐标成比例,得到H点的位置. 【详解】以D为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1, ∵G是A1D的中点,∴点G的坐标为, 设点H的坐标为(m,n,0),则=(m,n,0)-=, 又=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1),且∥, ∴==,解得m=1,n=. ∴点H的坐标为,∴H为线段AB的中点 【变式9-1】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在长方体中，E，F，P分别是，，BD的中点，且，，Q是平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，求出相应点的坐标，设, 根据平行，可求得的坐标，进一步求出来结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 因为平面，所以可设，则， 由于，所以，，解得，， 所以，. 故选：A 【变式9-2】（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点，则下列选项中不正确的是（    ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线可能垂直 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义可判断A选项；解法一：建系，利用空间向量法可判断BCD选项；解法二：利用空间向量垂直的关系可判断BD选项；证明出平面，可判断C选项. 【详解】在正三棱柱中，且，四边形为平行四边形， 且， 点分别为棱的中点，且， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 四点不共面，直线与始终异面，故A正确； 法一：为等边三角形，为的中点，， 又平面，平面， 如图，以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设， 对于B，，， 若，则，，， ，不存在点使得直线与直线垂直，故B错误； 对于C，，， 若，则，，， 故当点在的位置时，直线与直线垂直，故C正确； 对于D，，， 若，则，，或， 故当点在的位置或为中点时，直线与直线垂直，故D正确； 法二：对于B，设， 则，， 若直线与直线垂直，则，， ，，解得， ，不存在点使得直线与直线垂直，故B错误； 对于C，连接、， 如图3，，为的中点，， 平面，平面，， ，、平面，平面， 又平面，， 当点在的位置时，直线与直线垂直，故C正确； 对于D，， ， ，解得或， 故当在点的位置或为中点时，，故D正确. 故选：B． 题型十 利用空间向量求解线段长问题 解｜题｜技｜巧 对于这类问题，往往将线段视为向量的模，利用向量的模长公式求解. 【典例10】在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 【变式10-1】在等腰直角三角形中，，将三角形沿直角边上的中线折成平面角为的二面角，则空间中线段的长为 ． 【答案】 【详解】设点在直线上的投影分别为， 因为，则， 由的面积可得， 则，， 且为边的中点，可得，， 由二面角的平面角为，可得， 因为 ， 即，所以空间中线段的长为. 【变式10-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知空间三点，，，则在中边上的中线长为 ，以为邻边的平行四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据已知确定边上的中点坐标，应用空间两点距离公式求中线长，再由向量夹角的坐标运算求得，再由三角形面积公式及平行四边形的性质求面积. 【详解】由题设，边上的中点坐标是， 所以边上的中线长， 由题意得，， 所以，，， 所以， 因为，所以， 所以为邻边的平行四边形的面积为. 题型十一 空间向量的综合应用 解｜题｜技｜巧 这类问题常以多选题的形式出现，综合考查利用向量判断垂直、平行关系，求角或线段长等，求解的策略是针对各选项各个击破. 【典例11】（多选）（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点，则（   ） A． B．正三棱柱的体积为 C．若，则 D．直线与是异面直线 【答案】ACD 【分析】由正三棱柱的性质可判断A；由棱柱的体积公式可判断B；建立空间直角坐标系利用可判断C；设，计算出可判断D . 【详解】因为平面，平面，所以，故A正确； 正三棱柱的体积，故B错误； 取的中点，连接，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，所以平面， 又因为平面，所以，， 因为，为中点，所以，设， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，若， 即，所以，故C正确； ，设， 即， 解得，与矛盾，所以不是共面向量， 即与是异面直线，故D正确. 故选：ACD 【变式11-1】（多选）（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中， 且 M为A₁C₁与B₁D₁的交点，设 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用空间向量的基本定理可判断选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断选项. 【详解】对于，，故正确； 对于， ，故错误； 对于，， ， 故正确； 对于，，故正确. 故选：. 【变式11-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【分析】（1）根据向量线性运算计算即可； （2）根据向量线性运算计算得，结合向量模长计算公式以及向量数量积计算公式计算即可； （3）设，根据向量线性运算计算得，再根据题意建立等式，计算即可. 【详解】（1）； （2）若P为棱的中点，则，， 所以 ； （3）设， 则，由（1）知 所以， 即， 化简得，解得， 所以这样的点存在，且为的中点. 题型十二 利用函数思想求解与空间向量有关的取值范围或最值问题 解｜题｜技｜巧 与空间向量有关的取值范围或最值问题常见的类型有求向量模长的取值范围或最值、立体几何中与动点有关的取值范围或最值等，这类问题往往借助向量运算，建立相应的函数关系式，借助函数思想求解. 【典例12】（24-25高二下·广西·开学考试）已知在正四棱锥中，，点是该正四棱锥内切球球面上的动点，则正四棱锥的体积为 ，的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】求出几何体的高后可求它的体积，利用数量积的运算律可得，求出的最小值后可得数量积的最小值. 【详解】连接，设与交于点，连接，则底面． 由题意得，该正四棱锥内切球的球心在上，， 所以，则该正四棱锥的体积． 设正四棱锥内切球的半径为， 则，解得． 设的中点为，则， 当的长度最小时，取得最小值． 因为， 所以，则的长度最小为， 则，所以， 即的最小值为． 【变式12-1】（24-25高二下·河南周口·期末）如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，得，，且，，由已知及向量数量积的坐标运算得，结合向量模长的坐标运算得，且，即可求最值. 【详解】设为下底面中心，构建如下图示的空间直角坐标系， 结合题设知，，且，， 所以，，故， 所以，可得， 而，则， 又，故时，. 【变式12-2】（2025·河南·模拟预测）在棱长为3的正方体中，为线段的三等分点（在之间），一动点满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建系，根据空间间距离公式分析可知点的轨迹为以为圆心，半径的球，根据数量积可得，结合球的性质可得的范围即可得结果. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，设， 因为，则， 整理可得， 可知点的轨迹为以为球心，半径的球， 取的中点分别为，的中点为， 则， 可得 ， 又因为，则在球外， 则，即， 可得， 所以的取值范围是. 期中基础通关练（测试时间：15分钟） 1.（24-25高二下·福建宁德·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量 C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 【答案】C 【详解】任意两个空间向量一定共面，A错误. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误． 平行于同一个平面的向量叫做共面向量，C正确. 空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，D错误. 故选：C. 2．（24-25高二上·河南南阳期中）在长方体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 3. （24-25高二下·福建漳州·期中）已知，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】求得，，根据题意建立等式求解即可. 【详解】由题意得，， 因为三点共线，所以， 即， 解得，，，所以． 故选：B 4．（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减法则，将逐步转化为已知向量、、的线性组合. 【详解】是的中点，，又，由，. 故选：. 5．（多选）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及其已知可得，点的坐标为 点关于点对称的点为 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为 点关于平面对称的点为 故选：ACD 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）向量 且 ，则实数 . 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【详解】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 7．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 【答案】-1 【分析】表达出，，，根据四点共面得到，列出方程，求出答案. 【详解】依题意，得，，． 若四点共面，则，即， 所以，所以． 8．（24-25高二下·甘肃天水·期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 【分析】（1）由已知可设，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）先求向量，再根据投影定义求. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为向量与平行， 所以可设，， 所以，因为， 所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； （2）因为，，， 所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量， 所以. 期中重难突破练（测试时间：25分钟） 9．设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意结合向量数量积定义和模长坐标计算公式得到和，再结合向量夹角余弦公式即可计算求解. 【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角等于， 所以， 所以，结合得 则向量夹角的余弦值为. 故选：D. 10.（24-25高二上·安徽·期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，E为的重心，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接AE并延长交CD于点F，则F为CD的中点，利用向量的加减运算得答案 【详解】连接AE并延长交CD于点F， 因为E为的重心，则F为CD的中点，且 . 故选：B． 11．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】已知，，，根据向量坐标运算可得，. 根据向量数量积坐标运算：可得. 根据向量模长公式：可得，. 根据向量夹角公式可得. 因为. 根据平行四边形面积公式，可得. 则邻边的平行四边形的面积为. 12．（24-25高二下·江苏南京·期中）正方体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系结合空间向量及向量模长公式计算求解得出球的方程，再应用三角换元结合值域计算求解. 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，则， 点，， 因为，所以， 化简得：，表示以为球心，半径为的球. 设， ，， 所以的取值范围为， 向量 ，故的范围为. 故选：C. 13.（多选）如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为点是的中点，是上的一点，且， 所以 ， 故， 又，且 ， 所以，故A正确，B错误， 又，所以 ，故C正确，D错误. 故选：AC． 14.（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为 14. 【答案】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 15．如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 【详解】（1）证明： ， ，，，四点共面. （2） ， ，，， . 16．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， ， ， 所以. （3）因为． 所以. 期中综合拓展练（测试时间：25分钟） 17.（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，，表达出，进而求出最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 过点作⊥于点，设，， 则，所以， 显然∽，故，即， 故，则， ， ， ， 故当时，取得最小值，最小值为 18.（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 19．(多选)（24-25高二上·湖南·期中）如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值 B．存在这样的点，使得 C．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 D．当时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对于选项A，求出四棱锥的体积即可判断；对于选项B，结合空间向量的线性运算即可判断；对于选项C，分当点在侧面，侧面上以及当点在上底面上，和点在侧面上三种情况分类讨论即可判断；对于选项D，分当在底面上和点在侧面上分类讨论即可判断. 【详解】对于选项A，点到侧面的距离即为2，， 故四棱锥的体积， 所以四棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于选项B，因为， 而，因此点是的中点， 所以这样的点不在正方体的表面上，故B选项错误； 对于选项C，①当点在侧面，侧面上时（不包括正方形 的边界），过点作平面的垂线，垂足为，连，在 中，由，可得；②当点在上底面 上时，过点作平面的垂线， 垂足为，若，必有，又由，有 ，此时点的轨迹是以为圆心，2为半径的四分之一圆， 点的轨迹长度为；③当点在侧面上时， 点在线段上符合题意， 此时点的轨迹长为；由上知点的轨迹长度为，故C选项正确； 对于选项D，①当在底面上时，点的轨迹为以为圆心， 为半径的圆与底面的交线，记圆与相交于点，与交于点， 有，可得， 则点的轨迹与底面的交线长为； ②当点在侧面上时，， 可得点的轨迹与侧面的交线为以点为圆心， 为半径的四分之一圆，交线长为． 由对称性可知，点的轨迹长度为，故D选项正确． 故选：ACD. 20．（2025·广东茂名·二模）已知棱长为的正四面体，且 ，为侧面内的一动点，若，则点的轨迹长为 ． 【答案】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，由，得到，得到点在空间中的轨迹为一个球，进而点在侧面内的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分，求得，得到，进而求得点的轨迹长度. 【详解】以为原点，以的方向为轴，建立空间直角坐标系， 可得，因为，可得， 设，因为，即， 可得，整理得， 所以点在空间中的轨迹是以为球心，半径为的球， 又因为在侧面内，过点作平面于点，则为的中心， 点在侧面内的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分， （如图所示的圆的虚线部分）， 因为，所以， 所以，则， 所以点的轨迹长度为. 21．（24-25高一下·浙江·期中）向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：．规定：①为同时与，垂直的向量，且与为相反向量；②（为向量与的夹角）； (1)证明：； (2)如图，已知棱长均为1的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义． (3)有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长． 【分析】（1）利用数量积的定义式以及同角三角函数的平方式，结合题意，可得答案； （2）根据叉乘积的定义以及点面距的向量公式，结合平行六面体的体积公式，可得答案； （3）由（2）可得向量运算的几何意义，求得三棱锥的体积，根据图象以及（1）的等式，建立方程，可得答案. 【详解】（1）左边由定义可得：， 右边左边． 故等式得证. （2）设，由定义可得底面的面积为：， 又因为同时与垂直的向量，故为底面的法向量， 则平行六面体的体高为：， 所以平行六面体的体积为：， 又因，故点在底面的投影为的重心，易得， 所以． 所以，，其几何意义为以向量构成的平行六面体的体积． （3）如图，设正四面体的棱长为，其中 设，且平面与交于，与交于， 故有，又由（2）可得： ， ， 同理， 由（1）可得：， 所以， ， 所以，即． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $