1.4 线段垂直平分线与角平分线导学案2025-2026学年苏科版数学八年级上册

（1） 请准备好课前测！(5分钟） 总第 10 课时 学习目标： 1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的性质，发展空间观念； 2.探索并证明线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理； 3.在"操作---探究----归纳----证明"的过程中发展合情推理和演绎推理的能力. 学习重点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理的探索和运用. 学习难点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理的探索和运用. 一、复习引入： 线段是轴对称图形，它的对称轴有 条， 对称轴是 . 垂直且 的直线叫线段垂直平分线. 二、合作探究 活动一：线段垂直平分线有哪些性质？ 如图，线段AB的垂直平分线与AB相交于点O，在上任意取一点P， 连接PA，PB.线段PA与PB一定相等吗?如何证明? 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 符号语言： 活动二：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗?如何证明? 如图1，当点Q在线段AB上时，如果QA=QB，那么Q是线段AB的 ，所以线段AB的垂直平分线一定经过点Q. 如图2，当点Q在线段AB外时，作QM⊥AB，垂足为M，∠QMA=∠QMB=90°， 如果QA=QB,那么通过“ ”，可以证明 Rt△QAM≌Rt△QBM,所以AM=BM，即M是线段AB的中点，所以QM是线段AB的垂直平分线， 即点Q一定在线段AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 符号语言： 活动三：如图,AB=AD,CB=CD，AC，BD相交于点E，你能在图中找到哪些相等的角?如何证明? 我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”. 三、展示交流 已知：如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O. 求证：点O在BC的垂直平分线上. 四、拓展延伸 如图，∠AOB内有一点P，分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N，连接PM，PN. （1）当P1P2＝12cm时，求△PMN的周长. （2）当∠AOB＝25°时，求∠P1PP2的度数. 五、课堂小结：同学们，这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 六、当堂检测：5-10分钟 1.如图1，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，已知BC＝6，AC＝4， 则△ADC的周长为 . . 2.如图2，若AC是BD的垂直平分线，AB＝7cm，BC＝3cm，则四边形ABCD周长为 . . 3.如图3，用直尺和圆规作图，在直线MN上求作一点P，使PA=PB. 图1 图2 图3 图4 4.已知：如图4，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC.（不用三角形全等的知识来证明） 教学反思： （2） 请准备好课前测！(5分钟） 总第 11 课时 学习目标： 1.经历角的折叠过程，探索角的轴对称性，并发现角平分线的性质定理及其逆定理； 2.会运用角平分线性质定理与角平分线性质定理的逆定理解决生活中的相关问题； 3.在"操作---探究----归纳----证明"的过程中发展合情推理和演绎推理的能力. 学习重点：角平分线的性质定理与角平分线性质定理的逆定理. 学习难点：角平分线的性质定理与角平分线性质定理的逆定理的运用. 一、自主先学 在一张纸上任意画出一个角∠AOB,把它剪下并对折，使角的两边重合， 然后展开铺平，你有什么发现？ 角是轴对称图形， 是它的对称轴. 那么，角平分线有哪些性质？ 二、合作探究 如图，在∠AOB的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA和OB的 垂线段PC和PD，垂足分别为CD.PC与PD 一定相等吗？如何证明？ 在△DOP和△COP中，由∠PDO=∠PCO=90°，∠DOP=∠COP，OP=OP， 通过“ ”，可以证明△DOP≌△COP，所以PC=PD. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 讨论：如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗? 如何证明? 如图，点Q在∠AOB内，QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分别为C，D，且QC=QD 画射线OQ，在△OCQ 和△ODQ ，∠QCO=∠QDO=90°， OQ=OQ，QC=QD，通过“ ”，可以证明 Rt△OCQ≌Rt△ODQ, 所以∠AOQ=∠BOQ，所以点Q在∠AOB 的平分线上. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线是到角两边距离相等的点的 . 三、展示交流 已知：如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，求证：点P在∠C的平分线上. 4、 拓展提高： 画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC. （1）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA，OB相交于点E，F（如图①），度量PE，PF的长度，则PE PF； （2）把三角尺绕点P旋转（如图②），求证：PE＝PF. 五、课堂小结：同学们，这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 六、当堂检测：5-10分钟 1.到三角形三边距离相等的点是（ ） A.三边上高线的交点　　　　　 　B.三边上中线的交点 C.三边的垂直平分线的交点　　 　D.三个内角平分线的交点 2.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB＝36cm，BC＝24cm，S△ABC＝144cm2，则DE的长是 . 3. 两条公路OA和OB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置（要求：不必写作法，保留作图痕迹，写出结论） 4.如图，判断△ABC的外角∠BAD，∠ABE的平分线的交点是否在∠C的平分线上，并证明你的结论. 教学反思： 学科网（北京）股份有限公司 $