精品解析：2023年湖北省重点高中八校联考自主招生优录数学试卷（二）

2023年湖北省重点高中八校联考自主招生优录数学试卷（二） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0， 解得a＜1且a≠0． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 2. 已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线过一、二、三象限，求出，通过判断方程实数解的个数可判断直线与抛物线交点的个数． 【详解】解：∵直线过一、二、三象限， ∴． 由题意得：， 即， ∵△， ∴此方程有两个不相等的实数解． ∴直线与抛物线的交点个数为2个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键． 3. 如图，在中，，，，按下列步骤作图：步骤1：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、．步骤2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．步骤3：作射线交于点．则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点F作FG⊥AB于点G，根据作图信息及角平分线的性质可推出FC＝FG，再利用等面积法求出，最后由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：过点F作FG⊥AB于点G， 由尺规作图可知，AF平分∠BAC， ∵， ∴FC⊥AC， ∴FC＝FG， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 在中，由勾股定理得； 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的作法与性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作法与性质及利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 4. 已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（ ） A. 5 B. C. 5或1 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将往右平移m个单位后得到，由此即可求解． 【详解】解：比较抛物线与抛物线， 发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式， ∵与轴的一个交点是，与轴有两个交点，， ∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=1， 当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=5， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求解． 5. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题． 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， 又 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6. 如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25．若，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（ ）（参考数据：） A. 9.0m B. 12.8m C. 13.1m D. 22.7m 【答案】C 【解析】 【分析】分别解直角三角形和，求出NE和MB的长度，作差即可． 【详解】解：∵，DF的坡度i=1：1.25， ∴，解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴顶端M与顶端N的高度差为， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键． 7. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A. 5 B. 8 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到解得，再解分式方程得到，根据分式方程的解是正整数，得到，且是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a的值，最后求和． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得， 不等式组的解集为： 解分式方程得 整理得， 则 分式方程的解是正整数， ，且是2的倍数， ，且是2的倍数， 整数a的值为-1, 1, 3, 5, 故选：． 【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设D点坐标为，表示出E、F、B点坐标，求出的面积，列方程即可求解． 【详解】解：设D点坐标为， ∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为，C点纵坐标为， ∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为， ∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得，解得，， ∴E点坐标为， 同理可得C点坐标为， ∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为， ∵点E为AC的中点，的面积为1， ∴，即，可得，， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质和矩形的性质，解题关键是设出点的坐标，依据面积列出方程． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，通过列表法或画树状图的方法进行求解即可． 【详解】列表如图所示： 黑 白 白 黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 由上表可知，所有等可能的情况共有9种， 其中两次摸出的球都是白球的情况共有４种， ∴两次摸出的球都是白球的概率， 故答案为：． 【点睛】本题考查列表法或画树状图的方法求概率，熟练掌握这两种基本方法是解题关键． 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线，，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得出AB的长和菱形的面积，再根据扇形的面积公式求出四个扇形的面积和即可得出答案 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，， ∴AC⊥BD，AO=6，BO=8； ∴； ∴菱形ABCD的面积= ∵四个扇形的半径相等，都为，且四边形的内角和为360°， ∴四个扇形的面积=， ∴阴影部分的面积=； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 11. 如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用翻折的性质可得推出是的中位线，得出，再利用得出AO的长度，即可求出AD的长度． 【详解】由翻折可知 ∴O是的中点， ∵点D为边BC的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 12. 盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为__________元． 【答案】155 【解析】 【分析】设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，列方程求出B盒中各种设备的数量，再设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列出方程组，再整体求出的值即可． 【详解】解：根据题意，设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，优盘的数量为3a+2a=5 a个，则，解得，a=1； 设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列方程组得， ②-①得，， ③×3-①得，， 故答案为：155． 【点睛】本题考查了三元一次方程组和一元一次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系列出方程（组），熟练运用等式的性质进行方程变形，整体求值． 13. 如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到DE为的中位线，利用中位线定理求出DE的长度，再解求出AF的长度，即可求解． 【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合， ∴DE垂直平分AF，，，， ∵DE∥BC， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即D为AB的中点， ∴DE为的中位线， ∴， ∵AF＝EF， ∴是等边三角形， 在中，，， ∴， ∴， ∴四边形ADFE的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 14. 如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为．则线段的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，可证，所以点在以为直径的圆上，连接交于点，此时最短，利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上， ， 当点、、三点共线时，的值最小， 如下图所示，连接， ， ， 在中，， ， 的最小值为． 15. 如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F，若，则的长是______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据中位线定理得到DE=AB，DE∥AB，从而证明△DEF∽△ABF，得到，求出EF，可得BE． 【详解】解：∵点D，E分别为BC和AC中点， ∴DE=AB，DE∥AB， ∴△DEF∽△ABF， ∴， ∵BF=6， ∴EF=3， ∴BE=6+3=9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性质证明△DEF∽△ABF． 16. 已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6，则点D到直线的距离为__________． 【答案】3或或或 【解析】 【分析】将△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分别分AB=BC=6，AC=6，进行解答． 【详解】解：∵△ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点， 如图，若∠ABC=90°， 则∠ABC的平分线为正方形ABCD的对角线，D为对角线交点， 过点D作DF⊥AB，垂足为F， 当AB=BC=6， 则DF=BC=3； 当AC=6， 则AB=BC==， ∴DF=BC=； 如图，若∠BAC=90°，过点D作DF⊥BC于F， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD，AD=DF， 又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD， ∴△BAD≌△BFD（AAS）， ∴AB=BF， 当AB=AC=6， 则BC=， ∴BF=6，CF=， 在正方形ABEC中，∠ACB=45°， ∴△CDF是等腰直角三角形，则CF=DF=AD=； 当BC=6， 则AB=AC==， 同理可得：， 综上：点D到直线AB的距离为：3或或或， 故答案为：3或或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，知识点较多，解题时要结合题意画出符合题意的图形，分情况解答． 三、解答题（共72分） 17. 如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”． 例如，和的十位数字相同，个位数字之和为， 是“合和数”． 又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于， 不是“合和数”． （1）判断，是否是“合和数”？并说明理由； （2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的． 【答案】 （1）不是“合和数”，是“合和数”． ，， 不是“合和数”， ，十位数字相同，且个位数字， 是“合和数”． （2）有，，，． 【解析】 【分析】（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，再判断，是否是“合和数”； （2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示个位及十位上的数，同时也可以用来表示．然后整理出：，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的． 【详解】解：（1）略 （2）设的十位数字为，个位数字为（，为自然数，且，）， 则． ∴． ∴（是整数）． ， ， 是整数， 或， ①当时， 或， 或． ②当时， 或， 或． 综上，满足条件的有，，，． 【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力． 18. 已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，． （1）求b、c的值： （2）求证：； （3）以下结论：，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【答案】（1）b=-16，c=-2； （2）证明：∵b=-16，c=-2， ∴， ∵r是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴r是方程的解， 即，则， ∴， ∴ = = ∵， ∴， ∴； （3）m＞1正确， 证明：由（2）可知：， ∴，即， ∴， 在中，令， 解得：或， ∴r＜0， ∴，， ∴， ∵， ∴，即m＞1． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过（0，-2）得到c值，再根据增减性得到对称轴，可得b值； （2）根据r是抛物线与x轴的交点得到r是方程的解，代入得到，计算出，可得，从而可得； （3）由变形可得，再证明r＜0，根据不等式的性质可得结果． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点（0，-2）， ∴，即c=-2， ∵当x＜-4时，y随x的增大而增大，当x＞-4时，y随x的增大而减小， ∴直线x=-4是抛物线的对称轴， ∴，解得：b=-16， ∴b=-16，c=-2； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了二次函数综合，还涉及的二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点，解一元二次方程，解题的关键是根据r是抛物线与x轴的交点得到关于r的方程，进行等式的变形． 19. 如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高m，楼高m，某天上午9时太阳光线从山顶点处照射到住宅的点外．在点处测得点的俯角，上午10时太阳光线从山顶点处照射到住宅点处，在点处测得点的俯角，已知每层楼的高度为3m，m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（） 【答案】至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙 【解析】 【分析】设FD=x，则ME=80-x，在△EAM中求出AM=ME=80-x，在△AMF中求出，再由建立方程求出x的值进而求出FD，最后再根据每层楼高度为3米即可求出层数． 【详解】解：设FD=x，则ME=AB-EF-FD=120-40-x=80-x， ∵∠EAM=45°，MA⊥CM， ∴△EAM为等腰直角三角形，其三边之比为， ∴AM=ME=80-x， ∵∠FAM=60°，MA⊥MF， ∴△AMF为30°，60°，90°直角三角形， ∴， ∴， 又， ∴， 解得米， ∵每层楼的高度为3米， ∴， 答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握俯角的定义，三角函数的定义等是解决本题的关键． 20. 如图，已知ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长． 【答案】（1） 连接OE， ∵AE平分∠CAB， ∴∠OAE＝∠CAE， ∵OA=OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵∠BEF＝∠CAE， ∴∠BEF＝∠CAE=∠OAE＝∠OEA， ∵AB是圆的直径， ∴∠OEA+∠OEB=90°， ∴∠BEF+∠OEB=90°， ∴EO⊥EF， ∴EF是⊙O的切线． （2）15， 【解析】 【分析】(1)连接OE，根据AE平分∠CAB，OA=OE，∠BEF＝∠CAE，证明∠BEF+∠OEB=90°即可． (2)证明△FEB∽△FAE，列比例式计算AB，计算AE：BE，利用勾股定理确定AE，BE的长；证明△EBD∽△EAB，计算DE的长，利用AD=AE-DE计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵AE平分∠CAB， ∴∠OAE＝∠CAE， ∵OA=OE， ∴∠EAF＝∠OEA， ∵∠BEF＝∠CAE， ∴∠BEF＝∠EAF， ∵∠F＝∠F， ∴△FEB∽△FAE， ∴， ∵BF＝10，EF＝20， ∴， 解得AB=30， ∴圆的半径为15； ∵△FEB∽△FAE， ∴， 设BE=x，则AE=2x， ∵AB是圆的直径， ∴∠AEB=90°， ∴， 解得x=， 则AE=； ∵AE平分∠CAB， ∴∠OAE＝∠CAE， ∵∠CBE＝∠CAE， ∴∠EBD＝∠EAB， ∵∠DEB＝∠BEA， ∴△EBD∽△EAB， ∴， ∴， ∴=， ∴AD=AE-DE=-=． 【点睛】本题考查了圆的切线，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握圆的切线的判定，灵活运用三角形相似的判定定理是解题的关键． 21. 如图，在中，，，．点是边上的一动点，点从点出发以每秒的速度沿方向匀速运动，以为边作等边（点、点在同侧），设点运动的时间为秒，与重叠部分的面积为． （1）当点落在内部时，求此时与重叠部分的面积（用含的代数式表示，不要求写的取值范围）； （2）当点落在上时，求此时与重叠部分的面积的值； （3）当点落在外部时，求此时与重叠部分的面积（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）过点作于点，求得的长，再利用三角形面积公式即可求解； （）过点作于点，证明，利用相似三角形的性质求解即可； （）设分别交于，，则，证明，利用相似三角形的性质求得，根据解答即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则， 由（）知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设分别交于， 当点运动到点时，， 解得， ∵点落在外部， ∴， ∴， 过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图， 同理（）得，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值； （3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来． 【答案】（1）； （2）t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为， 点P的坐标为（2，﹣4）； （3）如图所示，满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）． 由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为，对称轴为直线． ①若AB是平行四边形的对角线， 当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形， 即MN经过AB的中点C（2，0）， ∵点N的横坐标为2， ∴点M的横坐标为2， ∴点M的坐标为（2，-4）； ②若AB是平行四边形的边， 1）MN∥AB时，四边形ABNM是平行四边形， ∵A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2， ∴点M的横坐标为2﹣4=﹣2， ∴点M的坐标为（﹣2，12）； 2）当 NM∥AB时，四边形ABMN是平行四边形， ∵A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2， ∴点M的横坐标为2+4=6， ∴点M的坐标为（6，12）， 综上，满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）先求出直线AB的函数表达式和点C坐标，设P，其中0<t<4，则E，证明△PDE∽△AOC，根据周长之比等于相似比可得，根据二次函数求最值的方法求解即可； （3）分以下情况①若AB是平行四边形的对角线；②若AB是平行四边形的边，1）当 MN∥AB时；2）当 NM∥AB时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可． 【详解】解（1）∵抛物线经过点A（0，﹣1），点B（4，1）， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）∵A（0，-1），B（4，1）， ∴直线AB的函数表达式为， ∴C（2，0）， 设P，其中0<t<4， ∵点E在直线上，PE∥x轴， ∴E，∠OCA=∠DEP， ∴PE=， ∵PD⊥AB， ∴∠EDP=∠COA， ∴△PDE∽△AOC， ∵AO=1，OC=2， ∴AC=， ∴△AOC的周长为3+， 令△PDE的周长为l，则， ∴， ∴当t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为， 此时点P的坐标为（2，﹣4）， （3）略 【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年湖北省重点高中八校联考自主招生优录数学试卷（二） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 3. 如图，在中，，，，按下列步骤作图：步骤1：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、．步骤2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．步骤3：作射线交于点．则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 4. 已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（ ） A. 5 B. C. 5或1 D. 或 5. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25．若，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（ ）（参考数据：） A. 9.0m B. 12.8m C. 13.1m D. 22.7m 7. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A. 5 B. 8 C. 12 D. 15 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是__________． 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线，，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留） 11. 如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为__________． 12. 盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为__________元． 13. 如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为__________． 14. 如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为．则线段的最小值为______________． 15. 如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F，若，则的长是______． 16. 已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6，则点D到直线的距离为__________． 三、解答题（共72分） 17. 如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”． 例如，和的十位数字相同，个位数字之和为， 是“合和数”． 又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于， 不是“合和数”． （1）判断，是否是“合和数”？并说明理由； （2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的． 18. 已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，． （1）求b、c的值： （2）求证：； （3）以下结论：，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 19. 如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高m，楼高m，某天上午9时太阳光线从山顶点处照射到住宅的点外．在点处测得点的俯角，上午10时太阳光线从山顶点处照射到住宅点处，在点处测得点的俯角，已知每层楼的高度为3m，m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（） 20. 如图，已知ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长． 21. 如图，在中，，，．点是边上的一动点，点从点出发以每秒的速度沿方向匀速运动，以为边作等边（点、点在同侧），设点运动的时间为秒，与重叠部分的面积为． （1）当点落在内部时，求此时与重叠部分的面积（用含的代数式表示，不要求写的取值范围）； （2）当点落在上时，求此时与重叠部分的面积的值； （3）当点落在外部时，求此时与重叠部分的面积（用含的代数式表示）． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值； （3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $