精品解析：湖南省永州市文宇高级中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025年下期永州市文宇高级中学高三开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 与的图象关于（ ） A. 轴对称 B. 直线对称 C. 原点对称 D. 轴对称 3. 下列函数与表示同一函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 若n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 已知，与的夹角为，则在方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 6. 已知cos，且-π<α<-，则cos等于（ ） A. B. - C. D. - 7. 已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 是非奇非偶函数 B. 是增函数 C. 是周期函数 D. 的值域是 10. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. ，恒成立，则a的取值范围是 B. ，，则a的取值范围是 C. ，，则a的取值范围是 D. ，， 11. 在正四棱台中，，，点P在四边形ABCD内，且正四棱台的各个顶点均在球Q的表面上，，则（ ） A. 该正四棱台的高为3 B. 该正四棱台的侧面面积是 C. 球心Q到正四棱台底面ABCD的距离为 D. 动点P的轨迹长度是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为__________． 13. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，．若，则在点处的切线方程为______．（结果用含的表达式表示） 14. 在中，，，，点D，E，F分别在，，边上，且，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 设公比为正的等比数列前项和为，且成等差数列． （1）求的通项； （2）若数列满足，求数列的前项和． 16. 如图，在三棱锥中，平面，底面是直角三角形，，是棱的中点，是的重心，是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； 17. 在四棱锥中，，，，. （1）如图1，在侧面内能否作一条线段，使其与平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由； （2）如图2，若平面，证明：平面； （3）在（2）的条件下，E为棱上的点，二面角的大小为，求异面直线与所成角的余弦值. 18. 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、、，三人各射击一次，击中目标的次数记为. （1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率； （2）求的分布列. 19. 已知函数，． （1）设，求函数的极值； （2）若，试研究函数的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期永州市文宇高级中学高三开学考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简集合，然后求出交集即可. 【详解】， ， . 故选：A 2. 与的图象关于（ ） A. 轴对称 B. 直线对称 C. 原点对称 D. 轴对称 【答案】B 【解析】 【分析】利用反函数的性质即可得出结论. 【详解】函数与互为反函数，故其图象关于直线对称． 故选：. 3. 下列函数与表示同一函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的判断条件定义域相同、解析式相同、值域相同，逐项进行判断即可. 【详解】对A，，定义域为， 定义域为，故不是同一函数，故错误； 对B，定义域为， ，定义域为，故不是同一函数，故错误； 对C，， 由，解析式不同，故不是同一函数，故错误； 对D，定义域为， 定义域为，故是同一函数，故正确； 故选：D 4. 若n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据第六十百分位数，结合二项式通项公式进行求解即可. 【详解】因为n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，， 所以， 二项式的通项公式为， 令，所以常数项为， 故选：A 5. 已知，与的夹角为，则在方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】第一个向量在第二个向量上的投影，等于两向量的数量积除以第二个向量的模，根据题意即可计算得解． 【详解】，与的夹角为， ， ， 在方向上的投影为． 故选：． 【点睛】本题考查两向量数量积的几何意义，属于基础题． 6. 已知cos，且-π<α<-，则cos等于（ ） A. B. - C. D. - 【答案】D 【解析】 【分析】由cos，利用诱导公式转化为cos=sin，再根据-π<α<-，利用平方关系求解. 【详解】∵cos=sin， 又-π<α<--α< ∴cos=-=- 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式和同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题. 7. 已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出正四面体的外接球半径,再求出，再结合外接球知识求出该八面体的外接球半径,结合球的表面积计算即可. 【详解】如图： 设为正四面体的外接球球心，为的中心,为的中心, 为的中点， 因为正四面体棱长为8，易得平面， 易得，平面，平面， 则， 由正四面体外接球球心为，则在，则为外接球半径， 由得，解得， 即, 在正四面体中，易得，，所以， 则该八面体的外接球半径, 所以该球形容器表面积的最小值为， 故选：D. 8. 已知函数，若方程有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将方程改写成；再构造函数，利用导数判断其单调性，得出，即，将方程有两个不同的实数解转化为函数与的图象有两个不同的交点；最后利用导数研究函数的值域，列出不等式，求解即可. 【详解】由题目条件可得：. 令，可得：，则，即，. 令，则；. 因为， 所以， 则函数在区间上单调递增， 所以，即. 所以方程有两个不同的实数解等价于方程有两个实数解，即函数与的图象有两个不同的交点. 因为， 令，得；令，得. 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 则. 又因为当时，；当时，. 所以，解得：. 又因为， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查方程与函数思想、利用导数确定判断函数的单调性及最值等.解题关键在于将方程改写成；构造函数，利用导数判断其单调性，得出，将方程根的问题转化为函数图象交点问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 是非奇非偶函数 B. 是增函数 C. 是周期函数 D. 的值域是 【答案】BC 【解析】 【分析】画出分段函数的图象，由图象可分析奇偶性，单调性，周期性和值域，进而作出判定. 【详解】画出分段函数的图象，如图所示. 由图可知： 可知函数为非奇非偶函数，故A正确； 函数在的部分有增有减，不是单调函数，故B错误； 函数在部分最小正周期为，但是,∴函数在定义域内不是周期函数，故C错误； 函数的最小值为，函数没有最大值，部分值域为部分值域为,∴函数的值域是，故D正确. ∴错误的是， 故选：BC. 10. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. ，恒成立，则a的取值范围是 B. ，，则a的取值范围是 C. ，，则a的取值范围是 D. ，， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数的单调性讨论最值，再根据恒成立问题或能成立求解即可. 【详解】对于A，因为单调递减，所以， 又因为恒成立，则a的取值范围是，故A正确； 对于B，因为单调递减，所以， 又，，则a的取值范围是，故B错误； 对于C，在单调递减，单调递增， 所以 所以， 因为，，所以a的取值范围是，故C正确； 对于D，由上述过程可知，， 则不能保证，，， 例如：当时，不存在，，故D错误. 故选:AC. 11. 在正四棱台中，，，点P在四边形ABCD内，且正四棱台的各个顶点均在球Q的表面上，，则（ ） A. 该正四棱台的高为3 B. 该正四棱台的侧面面积是 C. 球心Q到正四棱台底面ABCD的距离为 D. 动点P的轨迹长度是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正四棱台的结构特征，结合已知条件计算判断AB；确定球心的位置，结合勾股定理求解判断C；确定点的轨迹，再求出轨迹长度判断D. 【详解】对于A，取正方形的中心，正方形ABCD的中心O，连接，则平面， 直角梯形中，过点作交于点M，则平面，， 由，得，，则，， ， 又，由勾股定理得，A错误； 对于B，过点作于点W，则， ， 正四棱台的侧面面积是，B正确； 对于C，正四棱台的外接球球心Q是直线与线段的中垂面的交点， 即直角梯形的斜腰的中垂线与直线的交点，连接，则， 由于，故Q在落在的延长线上， 设OQ=h，则，由勾股定理得， ，即，解得，C项正确； 对于D，显然，即点P的轨迹为以M为圆心、半径的圆在正方形ABCD内的部分，如图， 作于T，作于K， 则，则，又，由勾股定理得， 由，得，则， 所以动点P的轨迹长度是，D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意化简得到，得到，即可求解. 【详解】由， 可得 则，即，解得． 故答案为：. 13. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，．若，则在点处的切线方程为______．（结果用含的表达式表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法分别令，可得，，根据为偶函数得，由，令、可得，为偶函数求出，再由直线的点斜式方程可得答案. 【详解】因为，所以，即， 令，有，令，有，所以， ，因为为偶函数，所以， 由，令得，所以， 令得，所以， 因为为偶函数，所以， 所以在点处的切线方程为， 即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用赋值法、为偶函数求出、，再由直线点斜式方程求解. 14. 在中，，，，点D，E，F分别在，，边上，且，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得A，F，D，E四点共圆，且为该圆直径，则当最小时，需最小，当时，最小，结合题意可计算出此时的长度，即可得的最小值. 【详解】由，，故A，F，D，E四点共圆，且为该圆直径， 又，故最小时，需最小，当时，最小， 由，故此时，由正弦定理可得， ． 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 设公比为正的等比数列前项和为，且成等差数列． （1）求的通项； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列求和计算求出公比，再根据等差中项列式基本量运算得出首项，最后应用等比数列通项公式计算即可； （2）根据（1）中计算得出,化简得出累加得出，最后应用裂项相消求和即得. 【小问1详解】 因为等比数列公比,， 所以，即， 是等差数列，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以 所以，故， 累加法得出， ， . 16. 如图，在三棱锥中，平面，底面是直角三角形，，是棱的中点，是的重心，是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； 【答案】（1）证明: 平面，且平面，， 底面是直角三角形且，， 又平面，平面，， 平面. （2）证明: 如图，连结并延长交于点，连结，， 是的重心，为边上的中线，即为的中点， 又有为的中点，， 平面，平面，平面， 同理，是的中点，可得， 平面，平面，平面， 又平面，平面，， 平面平面， 又有平面，平面. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合直角三角形的性质可得，，再根据线面垂直的判定定理可证得平面； （2）如图作辅助线，利用中位线的性质证得，根据线面平行的判定定理可得平面，同理可证得平面，再根据面面平行的判定定理证得平面平面，最后根据面面平行的性质定理证得平面. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 17. 在四棱锥中，，，，. （1）如图1，在侧面内能否作一条线段，使其与平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由； （2）如图2，若平面，证明：平面； （3）在（2）的条件下，E为棱上的点，二面角的大小为，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） 不能，理由如下： 假设在侧面内存在直线与平行，可得与侧面平行. 依据线面平行性质定理，可得与平行，这与已知条件矛盾. （2） 在底面中，， 所以，又，， 由余弦定理得，所以，得 因为平面平面，所以． 又，平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）利用反证法，结合线面平行的性质定理，可得答案； （2）根据线面垂直判定定理，结合佘弦定理与勾股定理，可得答案； （3）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角与线线角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作直线垂直平面， 以为原点，分别为x，y轴正方向，为轴，向上为正方向建立空间直角坐标系. 则， 因为为棱上的点，设， 取， 设平面的法向量为，则， 令得，则平面BDE的一个法向量为， 因为平面，所以为平面的法向量， 因为二面角的大小为， 所以，得. 则， 设直线BE与PC所成角为， 则， 所以异面直线BE与PC所成角的余弦值为. 18. 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、、，三人各射击一次，击中目标的次数记为. （1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率； （2）求的分布列. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据相互独立事件同时发生的概率乘法公式即可得出结果； （2）随机变量的可能取值为、、、，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列. 【小问1详解】 记甲、乙两人击中丙没有击中为事件，则甲，乙两人击中，丙没有击中的概率为：； 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值为、、、， ，， ，. 所以，随机变量的分布列如下： 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，考查互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题. 19. 已知函数，． （1）设，求函数的极值； （2）若，试研究函数的零点个数． 【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）1个． 【解析】 【分析】 （1）先求得，然后求，对分成和两种情况进行分类讨论，结合单调性求得的极值. （2）首先判断在上递增，结合零点存在性定理判断出的零点个数. 【详解】（1），， ，．， ①当时，恒成立，在上是增函数，无极值． ②当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增， 的极小值，无极大值． （2）由（1）知，当时，的极小值， 结合的单调性可知，即恒成立． 在上是增函数， ， ， 在中有一个零点， 函数的零点个数为1个． 【点睛】方法点睛： 利用导数解决函数零点问题的方法： 1.先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想； 2.构造新函数，将问题转化为研究两函数的图像的交点问题； 3.分离参变量，即由分离参变量，得，研究直线与的图像的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $