精品解析：湖北省荆州市沙市区2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试卷

湖北省荆州市沙市区2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　 ） A. B. C. D. 3. 已知平行四边形ABCD中，∠B=5∠A，则∠C=（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 计算的值为（　　） A. B. C. D. 5. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A. a＝1.5，b＝2，c＝3 B. a＝7，b＝24，c＝25 C. a＝6，b＝8，c＝10 D. a＝3，b＝4，c＝5 6. 下列给出的条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，两条对角线、相交于点，若，，则（　　） A. B. C. D. 8. 如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、3、4，则最大正方形E的面积是（　　） A. 66 B. 16 C. 32 D. 23 9. 菱形和矩形一定都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相平分且相等 10. 菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ） A. 3：1 B. 4：1 C. 5：1 D. 6：1 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 计算：___． 13. 如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E点，已知AB＝4，AD＝6，则DE长为___． 14. 如图，正方形放在平面直角坐标系中，点，，则点的坐标是___． 15. 如图，在正方形中，是边上一点，，，是上一动点，则点关于直线的对称点是点___，的最小值是___． 三、解答题（共6小题，满分45分） 16. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，矩形中，对角线交于点O，，试判断四边形是何特殊四边形，并加以证明． 19. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形ABCD的周长及面积； （2）求∠BCD的度数． 20. 如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请证明你的猜想． 21. 如图，过的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．试判断四边形EFGH的形状，并说明理由． 四、选择题（共3小题，每小题3分，满分9分） 22. 时，代数式的值为（　　） A. B. C. D. 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．若四边形CDEF的周长是10cm，AC的长为4cm，则△ABC的周长是（ ） A. 28 B. 24 C. 14 D. 18 24. 如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 25. 如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的长为___________． 26. 形如的化简，只要我们找到两个正数、，使得，，即有，，那么． 例如：． 根据上述材料中例题的方法，化简：________． 27. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝2，BD•DC＝2，则AC＝_____． 三、解答题（本大题共1小题，共12分） 28. 探究题． （1）图形的定义．小学学过梯形，请你仿照平行四边形的定义方法，给梯形下一个定义； （2）图形的性质．与三角形中位线定理类似，梯形也有类似结论即如图1，在梯形中，，，分别为，的中点，连接，求证：，； （3）综合应用．如图2，边长为2的正方形在边长为的正方形所在平面上平移，在平移过程中，始终保持，线段的中点为，的中点为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省荆州市沙市区2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、=，故不是最简二次根式； B、=，故不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，故不是最简二次根式； 故选C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，由题意根据最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性求解即可得． 【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性可知，， 解得， 故选：D． 3. 已知平行四边形ABCD中，∠B=5∠A，则∠C=（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质,可得∠A+∠B=180°，再由∠B=5∠A，可得∠A=30°，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠A=∠C， ∴∠A+∠B=180°， ∵∠B=5∠A， ∴∠A+5∠A=180°， 解得：∠A=30°， ∴∠C=30°． 故选：A 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 4. 计算的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的减法，二次根式的性质，先根据二次根式的性质进行化简，然后合并即可，正确化简二次根式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 5. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A. a＝1.5，b＝2，c＝3 B. a＝7，b＝24，c＝25 C. a＝6，b＝8，c＝10 D. a＝3，b＝4，c＝5 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A．∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意； B．∵72+242＝252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意； C．∵62+82＝102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意； D．∵32+42＝52，∴该三角形是直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握勾股定理是本题解题关键． 6. 下列给出的条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的判定方法． 直接根据平行四边形的判定定理进行逐项分析，判断即可． 【详解】解：∵ ∴四边形也可能是梯形， 故A选项不符合题意； ∵ ∴不能证明四边形是平行四边形 故B选项不符合题意； ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故C选项符合题意； ∵ ∴不能证明四边形是平行四边形 故D选项不符合题意； 故选C． 7. 如图，在矩形中，两条对角线、相交于点，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定及性质，熟悉掌握矩形的性质是解题的关键． 利用矩形的性质判定出为等边三角形，即可解答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、3、4，则最大正方形E的面积是（　　） A. 66 B. 16 C. 32 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股树，正方形的面积公式． 根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为， ，， 于是， 即可得． 故选：A． 9. 菱形和矩形一定都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相平分且相等 【答案】C 【解析】 【分析】菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分． 【详解】解：菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分． 菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分． 故选C． 【点睛】本题考查了菱形及矩形的性质,熟知菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键． 10. 菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ） A. 3：1 B. 4：1 C. 5：1 D. 6：1 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示， ∵菱形的周长为8cm， ∴菱形的边长为2cm， ∵菱形的高为1cm， ∴sinB= ∴∠B=30°， ∴∠C=150°， 则该菱形两邻角度数比为5：1， 故选C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式除法法则计算即可． 【详解】解：=3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，掌握二次根式的除法运算法则是解答本题的关键． 12. 计算：___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则运算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E点，已知AB＝4，AD＝6，则DE长为___． 【答案】2 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质可得出AD∥BC，由角平分线的定义可得出∠ABE＝∠CBE，由AD∥BC可得出∠AEB＝∠CBE，利用等角对等边可求出AE的长，即可求出DE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE ∴AE＝AB＝4， ∵DE＝AD-AE＝2， 故答案为：2 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线以及等腰三角形的性质与判定，利用平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，求出AE的长是解题的关键． 14. 如图，正方形放在平面直角坐标系中，点，，则点的坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，图形与坐标等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 过点作轴于点，证出，得到，，即可解答． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中： ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，是边上一点，，，是上一动点，则点关于直线的对称点是点___，的最小值是___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称图形的性质，最短路径问题，勾股定理，熟练掌握最短路径的作法是解题的关键． 利用正方形的性质即可得到点关于直线的对称点是点，再利用轴对称的性质得到 ，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点关于直线的对称点是点， ∴， 当最小时，则，连接，此时与的交点即为点，如图所示： ∴的最小值即为的长， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 三、解答题（共6小题，满分45分） 16. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】略 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式后运算即可； （2）化简二次根式后运算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 如图，矩形中，对角线交于点O，，试判断四边形是何特殊四边形，并加以证明． 【答案】 解：菱形； 证明：， 四边形为平行四边形， 四边形是矩形， ， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】由平行线可得四边形为平行四边形，又矩形对角线互相平分且相等，则可得四边形为菱形． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及矩形的性质以及菱形的判定问题，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定及矩形的性质以及菱形的判定． 19. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形ABCD的周长及面积； （2）求∠BCD的度数． 【答案】（1）周长为，面积为17.5 （2）90° 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理，结合三角形面积公式、四边形周长公式进行求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理进行求解即可． 【小问1详解】 根据勾股定理得，， ，， 故四边形ABCD的周长为； 面积为5×7﹣×1×7﹣×1×2﹣×3×4﹣×2×4﹣1×3=17.5； 【小问2详解】 连接BD，，，， ∴BC2+CD2=BD2， ∴∠BCD=90°． 【点睛】本题考查勾股定理和逆定理的应用，考查了数学运算能力． 20. 如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请证明你的猜想． 【答案】 猜想BE＝AF，BE⊥AF，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD=CD，∠D=∠BAD=90° ∵， ∴AD-DE=CD-CF，即 在和中， ∴(SAS) ∴BE＝AF，∠AEB=∠DFA， ∵∠D=90° ∴∠EAO+∠DFA=90° ∴∠EAO+∠AEB=90° ∴∠AOE=90° ∴BE⊥AF 【解析】 【分析】根据正方形性质可得，AB=AD=CD，又有，因此可以得到，因此可以证明得到，从而证明得到BE＝AF，∠AEB=∠DFA，根据三角形内角和定理可以得到∠EAO+∠DFA=90°，等量代换即可得到∠EAO+∠AEB=90°，因此证明得到∠AOE =90°，从而证明得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，综合运用知识分析推导结论是本题的关键． 21. 如图，过的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．试判断四边形EFGH的形状，并说明理由． 【答案】 四边形EFGH的形状是菱形，理由如下： ∵四边形为平行四边形， ∴, ∴, 在和中， ， ∴(ASA) ∴OE=OG． 同理可证OF=OH． ∵， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可推出，即可利用“ASA”证明，得出OE=OG．同理可得出OF=OH，再结合题意，即证明四边形为菱形． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定． 四、选择题（共3小题，每小题3分，满分9分） 22. 时，代数式的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式把变式运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．若四边形CDEF的周长是10cm，AC的长为4cm，则△ABC的周长是（ ） A. 28 B. 24 C. 14 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理及EF∥DC，可得四边形CDEF是平行四边形，由直角三角形斜边上中线的性质可得AB+BC=2CD+2DE，再由四边形CDEF的周长及AC的长，即可求得结果． 【详解】∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，， ∴DE∥CF， ∵EF∥DC， ∴四边形CDEF是平行四边形， ∴DE=CF，CD=EF， ∵四边形CDEF周长为10cm， ∴2DE+2CD=10cm， ∵∠ACB＝90°，D点是AB的中点， ∴CD是Rt△ABC斜边上的中线， ∴AB=2CD ， ∵△ABC的周长=AB+BC+AC=2DE+2CD+4=10+4=14(cm)， ∴△ABC的周长是14cm， 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质等知识，关键是判定四边形CDEF是平行四边形． 24. 如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，再利用逆定理求出，即可通过面积公式求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 25. 如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由四边形OABC是矩形与折叠的性质，易证得△AEC是等腰三角形，然后再Rt△AEC中，利用勾股定理求得AE、OE的长． 【详解】解：∵ 四边形OABC是矩形， ∴ OC∥AB ∴ ∠ECA＝∠CAB， 根据题意的∠CAB＝∠CAD，∠CAD＝∠B＝90°， ∴ ∠ECA＝∠EAC， ∴ EC＝EA， ∵ B（2，4）， ∴ AD＝AB＝4， 设OE＝x，则AE＝EC＝OC－OE＝4－x， 在Rt△AOE中，AE2＝OE2+OA2， 即（4－x）2＝x2+4， 解得：x＝， ∴ OE＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是方程的思想与数形结合的思想的应用． 26. 形如的化简，只要我们找到两个正数、，使得，，即有，，那么． 例如：． 根据上述材料中例题的方法，化简：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式变形运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 27. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝2，BD•DC＝2，则AC＝_____． 【答案】＋1 【解析】 【分析】作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出BE＝CE．再利用勾股定理得到AB2＝AE2＋BE2，AD2＝AE2＋DE2，将两式相减整理得出AB2＝AD2＋BD•DC，进而求出AC． 【详解】解：如图，作AE⊥BC于E， 又∵AB＝AC， ∴BE＝CE． 根据勾股定理得，AB2＝AE2＋BE2，AD2＝AE2＋DE2， 两式相减得，AB2﹣AD2＝（AE2＋BE2）﹣（AE2＋DE2）＝BE2﹣DE2＝（BE＋DE）（BE﹣DE）＝BD•DC， ∴AB2＝AD2＋BD•DC＝22＋2＝4＋2， ∴AC＝AB＝＝＋1. 故答案为：＋1. 【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了等腰三角形的性质，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共1小题，共12分） 28. 探究题． （1）图形的定义．小学学过梯形，请你仿照平行四边形的定义方法，给梯形下一个定义； （2）图形的性质．与三角形中位线定理类似，梯形也有类似结论即如图1，在梯形中，，，分别为，的中点，连接，求证：，； （3）综合应用．如图2，边长为2的正方形在边长为的正方形所在平面上平移，在平移过程中，始终保持，线段的中点为，的中点为，求的长． 【答案】（1）一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形； （2） 证明：连接，并延长交的延长线于，如图所示： ∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中, ∴， ∴，， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴，； （3） 【解析】 【分析】1）由题意可得出梯形的定义； （2）连接，并延长交的延长线于，证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （3）连接并延长至点，使，作于点，连接，，，由，求出，根据等腰直角三角形的性质求出，再运用勾股定理求出，根据三角形中位线性质定理可求出的长． 【小问1详解】 解：由题意可得，一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接并延长至点，使，作于点，连接，，，如图所示： ∵是线段的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段的中点为，的中点为， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理的综合运用，通过辅助线构造全等三角形和三角形中位线是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $