精品解析：贵州省遵义市南白中学2025-2026学年高三上学期第一次适应性训练数学试题

遵义市南白中学2025-2026-1学期高三第一次适应性训练 数学 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 在复平面内,复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量的夹角为，且，则（ ） A. 6 B. C. 3 D. 3. 已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知双曲线经过点，则的虚轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 5. 在数列中，若，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 6. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱与问天实验舱各安排2人，梦天实验舱安排1人，且甲、乙不能被安排在同一个舱内，则不同的方案数为（ ） A. 15 B. 18 C. 24 D. 32 7. 已知集合，若集合恰有三个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上恰有两个零点，两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 10. 已知圆，圆，则（ ） A. B. 若，则圆与圆有且仅有1个公共点 C. 若圆与圆的相交弦长为4，则 D. 当时，若动圆与圆外切，同时与圆内切，则点的轨迹方程为 11. 已知函数，则（ ） A. ， B. 当时，有三个零点 C. 若图象上存在四点构成正方形，则 a的最大值为 D. 存在a，b使得满足方程的曲线与y轴有三个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则________． 13. 已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2倍，则球的体积与圆柱的体积的比值是__________． 14. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 16. 已知首项为1的正项数列满足． （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 17. 已知椭圆的右焦点为，离心率为. （1）求的方程； （2）已知点，直线过且与交于，两点，若，求的方程. 18. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝. （1）求证：C1B⊥平面ABC； （2）设，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值. 19. 在统计中常用似然比表示在事件发生的条件下事件发生的优势．某校针对当下十分热门的人工智能（AI）调查了1000名学生对该技术的关注程度，已知其中女生中关注AI的人占25%，现从这1000名学生中任选一人，表示“选到的是男生”，表示“选到的学生关注AI”，且，，用频率估计概率． （1）求． （2）在所有参加调查的学生中按男生和女生进行分层随机抽样，抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取2人进行问卷调查． （ⅰ）记有名女生参加问卷调查为事件，，求． （ⅱ）记抽取的2人中，是女生且关注AI的人数为，求的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市南白中学2025-2026-1学期高三第一次适应性训练 数学 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 在复平面内,复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，对应的点为，在第一象限 考点：复数运算 2. 已知向量的夹角为，且，则（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量减法的几何意义，结合平面几何的知识可解. 【详解】在边长为6的等边三角形中，设， 则，故. 故选：A 3. 已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】观察图表，根据对称轴得到平均数的大小，根据形状特征得到方差的大小，得到答案. 【详解】从图总可以看出乙的对称轴大于甲的对称轴， 故甲的平均数小于乙的平均数，即， 且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙数据更加集中，方差比甲小，即. 故选：C 4. 已知双曲线经过点，则的虚轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由题干得到双曲线方程可求出虚轴 【详解】由点在双曲线上，得，解得，即双曲线方程为，所以，则的虚轴长为． 故选：A 5. 在数列中，若，则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出，再将已知式化简后运用累乘迭代法求得，即可求得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B. 6. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱与问天实验舱各安排2人，梦天实验舱安排1人，且甲、乙不能被安排在同一个舱内，则不同的方案数为（ ） A. 15 B. 18 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】先求总的排法，然后减去甲乙同舱的排法即可. 【详解】第一步，从5人中任选2人安排在天和核心舱，有种方法； 第二步，从剩下的3人中任选2人安排在问天实验舱，有种方法； 第三步，将最后1人安排在梦天实验舱，有1种方法. 所以，天和核心舱与问天实验舱各安排2人，梦天实验舱安排1人的方法有种. 若甲、乙在同一个舱内，先安排甲乙有2种方法，然后从剩余3人中安排1人在梦天实验舱， 最后2人安排在最后一个舱，共有， 所以满足题意的方法种数为种. 故选：C 7. 已知集合，若集合恰有三个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念和不等式的求解运算进行求解即可. 【详解】因为，． 又集合恰有三个元素，所以恰有三个元素0，1和2，所以． 故选：C． 8. 已知函数在上恰有两个零点，两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在区间上恰有两个极值点、两个零点，结合正弦函数图象列式进行求解即可. 【详解】由 令，则． 设，则在上恰有两个极值点和两个零点， 如图，， 解得． 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于ABD，可以利用赋值法即可验算；对于C，直接利用二项式定理即可判断. 【详解】对于A，因为， 令可得，故A正确； 对于B，令可得，所以，故B不正确； 对于C，展开式的通项为，所以，故C不正确； 对于D，由通项可知，所以， 令可得，即，故D正确. 故选：AD. 10. 已知圆，圆，则（ ） A. B. 若，则圆与圆有且仅有1个公共点 C. 若圆与圆的相交弦长为4，则 D. 当时，若动圆与圆外切，同时与圆内切，则点的轨迹方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆方程的定义求解选项A；判断两个圆的位置关系可判断选项B；利用圆和圆的公共弦所在直线方程的求解方法可确定选项C；根据椭圆的定义判断选项D. 【详解】对于圆， 转化为标准方程， 因为半径，所以，A正确, 若，圆，圆心，半径, 圆，圆心，半径． 两圆心间距离，则两圆外切， 所以两圆有且仅有1个公共点，B正确， 若圆与圆的相交弦长为4，因为圆的直径为4， 所以相交弦为圆的直径，即两圆的公共弦所在直线过圆的圆心， 由两式相减可得，， 将代入得，C正确， 当时，圆， 圆心，半径，圆，圆心，半径． 设动圆的半径为，因为动圆与圆外切，同时与圆内切， 则，， 所以， 根据椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆， ， 可得，其轨迹方程为，D错误． 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. ， B. 当时，有三个零点 C. 若图象上存在四点构成正方形，则 a的最大值为 D. 存在a，b使得满足方程的曲线与y轴有三个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，代入函数值验证即可；对于B选项，利用导数研究函数单调性，可判定零点个数，故B错误；对于C选项，设直线，则，联立方程组，再用分离参数法求a的取值范围即可得到a的最大值；对于D选项，令，则，令，利用导数研究性质，从而得解. 【详解】对于A， ， 故A正确; 对于B，，当时，，单调递增， 故至多有一个零点，故B错误; 对于C，若图象上存在四点A、B、C、D构成正方形， 易得直线AC、BD的斜率存在且不为0， 由A选项可得的图象关于点对称， 设直线，则， 设，， 正方形的对角线互相平分，， ，则， 联立，，故， ，，故， 所以，则，， ，，； 对于D，令，则， 令，， 令得，， 在上，，故在上单调递增， 在上，，故在上单调递减， 在上，，故在上单调递增， 又，， 故时，有三个不同的解，，， 令，则等价于， 根据的图象特征知，存在a使得有3个不同的解，故D正确， 故选： 【点睛】关键点点睛：对于D选项，令，则，令，利用导数研究函数性质，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，切化弦，再利用和差角的余弦公式求解. 【详解】依题意，，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 13. 已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2倍，则球的体积与圆柱的体积的比值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设球的半径为，圆柱底面的半径为，圆柱的母线长为，由题意得，又圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，所以，解得即可求解. 【详解】设球的半径为，圆柱底面的半径为，圆柱的母线长为，则球的表面积为，圆柱的表面积为， 所以，得①， 又圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，所以②， 由①②解得，所以球的体积为， 圆柱的体积为，所以. 故答案为：. 14. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理，诱导公式及和差化积公式得到，从而A=2B，求出，根据锐角三角形得到的范围，从而求出的范围. 【详解】由正弦定理得：， 由二倍角公式得： ， ， 由和差化积公式可得：， 即， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以或（舍去）， 即A=2B， ， 由正弦定理可得：， 由题意得：，解得：， ，解得： 又 综上： , 所以， 则的取值范围是 故答案为： 【点睛】三角形中求解边长取值范围问题，通常找到边与某个角的关系，利用角的范围求解边的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2）极大值为，无极小值. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，可得到切线的斜率，然后根据点的坐标即可求出切线方程. （2）对函数求导，根据定义域确定函数的单调性，从而确定极值点和极值. 【小问1详解】 因为，所以. 所以切线斜率为，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，则，求得. 因为，当时，；当时，； 所以函数在单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值为. 所以函数的极大值为，无极小值. 16. 已知首项为1的正项数列满足． （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用累加法求出的通项公式，然后可得的通项公式； （2）利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以当时， ， 是首项为1的正项数列， 则， 又满足上式，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以. 17. 已知椭圆的右焦点为，离心率为. （1）求的方程； （2）已知点，直线过且与交于，两点，若，求的方程. 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的几何性质分别求出，，从而求出椭圆C的方程； （2）通过将已知条件与椭圆和直线的基本性质结合，可以建立方程，利用点到直线距离相等的条件，巧妙地结合椭圆和直线的性质即可求解. 【小问1详解】 右焦点为，离心率为， 由椭圆的性质知，焦距，因此； 离心率公式为，解得； 再根据椭圆的定义，代入和的值，可以求得. 因此，椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时,显然不满足题意. 当直线l的斜率存在时, ① 当斜率为0时，过的直线的方程为,此时，符合题意； ②当斜率不为0时，设直线的方程为, , 联立,消去y,整理得， 所以，， 设线段AB的中点为， 则， , 因为，而， 所以,所以， 即,解得或1, 所以直线的方程为或. 综上所述,直线的方程为或或 【点睛】在求解这类问题时，关键在于理解椭圆的基本性质，包括焦距、离心率、椭圆方程的构造，以及直线与椭圆相交时的条件。通过将已知条件与椭圆和直线的基本性质结合，可以建立方程，进而求解问题。在第二问中，利用点到直线距离相等的条件，巧妙地结合椭圆和直线的性质，是解题的关键. 18. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝. （1）求证：C1B⊥平面ABC； （2）设，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值. 【答案】 （1）证明：AB⊥侧面BB1C1C，侧面BB1C1C， ，在中，,，∠BCC1＝. 由余弦定理可得 ，， ，， ， C1B⊥平面ABC. （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件推出，，由此能证明C1B⊥平面ABC. （2）以为原点，所在直线为 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知两两垂直，以为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图， 则. 所以，所以， ， 则. 设平面的法向量为， 则由，即， 令，则， AB⊥侧面BB1C1C，是平面的一个法向量， . 两边平方并化简得， 所以=1或（舍去）. λ的值为. 19. 在统计中常用似然比表示在事件发生的条件下事件发生的优势．某校针对当下十分热门的人工智能（AI）调查了1000名学生对该技术的关注程度，已知其中女生中关注AI的人占25%，现从这1000名学生中任选一人，表示“选到的是男生”，表示“选到的学生关注AI”，且，，用频率估计概率． （1）求． （2）在所有参加调查的学生中按男生和女生进行分层随机抽样，抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取2人进行问卷调查． （ⅰ）记有名女生参加问卷调查为事件，，求． （ⅱ）记抽取的2人中，是女生且关注AI的人数为，求的数学期望． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）设，则，由条件概率公式及，可得答案； （2）（i）由可得答案（ii）参加问卷调查的女生中关注AI的人数恰好为人的事件为事件，由全概率公式计算可得答案. 【小问1详解】 设，则， 由，得， 而，则． 又，于是， 得，即， 而，因此， 故，得，则； 【小问2详解】 由（1）知，抽取的10名学生中，女生有人，男生有6人， 用频率估计概率，抽取的是女生且关注AI的概率为，不关注AI的概率为． （i）易知，故． （ii）参加问卷调查的女生中关注AI的人数恰好为人的事件为事件， 易知，，， ，，， 故 ， ， ， 故数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $