精品解析：2022年河南省驻马店市汝南县中考数学一模试题

2022年河南省驻马店市汝南县中考数学一模试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若，，且，则的值是（ ） A. 或 B. 2或8 C. 8 D. 2. 金湖文化广场是我市市民娱乐休闲的好去处，如图是金湖文化广场的两个台阶组成的几何体，已知两个台阶的宽度和高度相同，由此可判断此几何体的三视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. a2•a3＝a6 B. （﹣m2）3＝﹣m6 C. b6÷b2＝b3 D. 3a+3b＝6ab 5. 港珠澳大桥2018年10月23日正式开通，整个大桥造价超过720亿元人民币，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，数据“720亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 7. 定义新运算：，例如，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 8. 如图，在矩形中，，点E，F分别在边上， ，AF与相交于点O，连接，若，则与之间的数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 是完全平方式，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 下列图形都是由同样大小的“星星”按一定的规律组成，其中第1个图形有4个“星星”，第2个图形一共有7个“星星”，第3个图形一共有10个“星星”，……，则第7个图形中“星星”的个数为 （ ） A. 19 B. 20 C. 22 D. 23 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当函数的函数值y随着的增大而减小时，的取值范围是______． 12. 关于的不等式组有解，则关于的二次函数 的顶点所在象限是_______． 13. 有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，，．小明从甲布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，则满足有两个不相等实数根的概率是_____． 14. 在以O为圆心为半径的圆周上，依次有A、B、C三个点，若四边形为菱形，则该菱形的边长等于________；弦所对的弧长等于_________． 15. 已知中，D、E、F分别是边的中点，若的周长为，则的周长为________． 三、解答题（共75分） 16. 计算：． 17. 第五代移动电话通信行动标准，也称第五代移动通信技术，外语缩写：5G．也是4G之后的延伸，正在研究中，5G网络的理论下行速度为10Gb/s（相当于下载速度1.25GB/s）.2019年1月24日，华为发布了迄今最强大的5G基带芯片Balong500，同时，还发布了全球最快CPE，支持智能家居连接．中国5G技术的研发带来了社会生产力和社会关系的重大改变，它是国人的骄傲…．小明组织了几位同学就5G手机面世后自己居住的小区使用手机的居民是否立即改用5G手机问题，随机对本小区的部分使用手机的居民进行了问卷调查（分五类：A表示非常期待体验，将立即使用；B表示担心费用太高消费不起，但还是要体验，将立即使用；C表示怕技术不成熟，造成经济损失，但还是要体验，将立即使用；D表示先等待一段时间后再说，暂时不体验，不立即使用；E表示其它原因不体验，不立即使用）．根据调查结果分别绘制了如下两个统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）随机被调查的居民总人数为　 　人，m＝　 　，扇形统计图中A类所对应扇形的圆心角为　 　度； （2）请根据统计数据补全条形统计图； （3）若小区有使用手机的居民共约8000人，请估计约有多少居民在5G手机面世后不立即使用5G手机？若通讯公司在5G手机面世后第一个月在本小区的业务目标是最多2000手机用户不使用5G手机，请根据计算结果帮助公司拟定一条宣传建议． 18. 某数学活动小组测量了学校旗杆的高度．如图，为旗杆，他们先在点测得的仰角为，再向前走米到达点，测得的仰角为，求旗杆高（结果保留整数，参考数据：，，，．） 19. 某商店销售 、、三种型号的饮料．随着夏季来临，天气逐渐炎热，该商店决定从今年月日起将饮料每瓶的价格上调，将饮料每瓶的价格下调，饮料价格不变，是每瓶元．已知调价前、、三种饮料各买一瓶共花费元，调价后买饮料瓶、饮料瓶共花费元． （1）问、两种饮料调价前的单价； （2）今年月份，温州某单位花费元在该商店购买、、三种饮料共瓶，其中购得饮料的瓶数是饮料的倍，求的最大值． 20. 如图，在平面直角坐标系中． （1）直线分别交轴、轴于、两点，点在双曲线上，过点分别作轴、轴的垂线，交直线于、两点，请直接写出、、、四点的坐标，并求出的值． （2）直线分别交轴、轴于、两点，点在双曲线上，过点分别作轴、轴的垂线，、交直线于、两点，求的值． （3）直线分别交轴、轴于、两点，点在双曲线上，过点分别作轴、轴的垂线，交直线于、两点，直接写出的值（用含的代数式表示）． 21. 如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，的延长线与的外接圆交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 已知：二次函数，与的一些对应值如表： （1）根据表格中的数据，确定二次函数解析式为______； （2）填齐表格中空白处的对应值并利用表格，用五点作图法，画出二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是______； （4）设的图象与轴的交点为、两点（点在点左侧），与轴交于点，点为线段上一动点，过点作交于，连结，当的面积最大时，求点的坐标． 23. 如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形． 探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍． 因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2， 所以EF＝FG＝GH＝HE＝，设EB＝x，则BF＝﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF＝AE＝﹣x 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 x2+（﹣x）2＝12 解得，x1＝x2＝ ∴BE＝BF，即点B是EF的中点． 同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点． 所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍 探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程） 探究三：已知边长为1的正方形ABCD，　 　一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”） 探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年河南省驻马店市汝南县中考数学一模试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若，，且，则的值是（ ） A. 或 B. 2或8 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出x、y的值，再由x-y|=y-x进行分类讨论，从而求出答案． 【详解】解：∵|x|=5，|y|=3， ∴x=±5，y=±3， 又∵|x-y|=y-x， ∴当x=-5，y=3时，等式成立，则x+y=-2； 当x=-5，y=-3时，等式成立，则x+y=-8； 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，代数式求值，解题的关键是分类讨论，以免漏解． 2. 金湖文化广场是我市市民娱乐休闲的好去处，如图是金湖文化广场的两个台阶组成的几何体，已知两个台阶的宽度和高度相同，由此可判断此几何体的三视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由几何体判断三视图，熟练掌握从正面，左面，上面看几何体得到的图形，是解决问题的关键． 根据从正面，左面，上面看几何体得到的主视图，左视图，俯视图逐一判断，即得． 【详解】解：从正面看，是一个正方形左上角缺一个角，如图1； 从上面看，是一个正方形中间多一竖，如图2； 从左面看，是一个正方形中间多一横，如图3． 故选：A． 3. 已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比、对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比、周长比都等于相似三角形的相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，根据和的高分别为，，可知和的相似比是，所以与的面积比是相似比的平方，即． 【详解】解：和是它们的对应高线，若，， ， ， 和的相似比是， ． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（　　） A. a2•a3＝a6 B. （﹣m2）3＝﹣m6 C. b6÷b2＝b3 D. 3a+3b＝6ab 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘法则，乘方法则，同底数幂相除法则，合并同类项法则计算判断即可. 【详解】A．a2•a3＝a5，不符合题意； B．（﹣m2）3＝﹣m6，符合题意； C．b6÷b2＝b4，不符合题意； D．3a与3b不能合并，不符合题意. 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘法则，乘方法则，同底数幂相除法则，合并同类项法则等知识，运用以上知识进行准确计算是解题的关键. 5. 港珠澳大桥2018年10月23日正式开通，整个大桥造价超过720亿元人民币，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，数据“720亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：720亿＝72000000000＝7.2×1010． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 6. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可得，求解即可得到答案，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 的取值范围是， 故选：D． 7. 定义新运算：，例如，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先根据定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解． 【详解】解：由题意可得：x*2=x2+2x， ∴方程 x*2=1可变形为：x2+2x-1=0， ∵Δ=22-4×1×（-1）=8>0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题考查新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应用是解题关键． 8. 如图，在矩形中，，点E，F分别在边上， ，AF与相交于点O，连接，若，则与之间的数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点O作OM⊥BC于点M，先证明四边形ABFE是正方形，得出，再利用勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】过点O作OM⊥BC于点M， ， 四边形ABCD是矩形， ， ∴∠AEF=180°-∠BAD=90°， ， ∴四边形ABFE是矩形， 又∵AB=AE， 四边形ABFE是正方形， ，EF=BF， ， ， ，EF=2CF， 由勾股定理得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 9. 是完全平方式，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：是完全平方式， ∴ ∴ ， 故选：D． 10. 下列图形都是由同样大小的“星星”按一定的规律组成，其中第1个图形有4个“星星”，第2个图形一共有7个“星星”，第3个图形一共有10个“星星”，……，则第7个图形中“星星”的个数为 （ ） A. 19 B. 20 C. 22 D. 23 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵第一个图形有3+1=4个星星， 第二个图形有2×3+1=7个星星， 第三个图形有3×3+1=10个星星，第 四个图形有3×4+1=13个星星， ∴第n个图形的星星的个数是：3n+1． 第7个图形有：3×7+1=22个， 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当函数的函数值y随着的增大而减小时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，，对称轴为直线：， ∴在对称轴的左侧，y随着的增大而减小； ∴当函数的函数值y随着的增大而减小时，的取值范围是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键． 12. 关于的不等式组有解，则关于的二次函数 的顶点所在象限是_______． 【答案】第三象限 【解析】 【分析】此题考查了解不等式组和二次函数的图像和性质，求出不等式组的解集，根据不等式组有解．先求出不等式组的解集，得到a的范围，求出二次函数的顶点的横坐标和纵坐标，即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集是， ∴， 解得， ∴二次函数的顶点的横坐标为，顶点的纵坐标为， ∴关于的二次函数的顶点所在象限是第三象限， 故答案为：第三象限 13. 有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，，．小明从甲布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，则满足有两个不相等实数根的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、列表法求概率，根据一元二次方程有两个不相等实数根，可得：，列表表示出的所有情况，可知共有种等可能的情况出现，其中满足的只有种，所以满足有两个不相等实数根的概率是. 【详解】解：有两个不相等实数根， ， ， 由表可知，共有种等可能的情况出现，其中满足的只有种， 满足有两个不相等实数根的概率是． 故答案为：． 14. 在以O为圆心为半径的圆周上，依次有A、B、C三个点，若四边形为菱形，则该菱形的边长等于________；弦所对的弧长等于_________． 【答案】 ①. 3 ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及弧长公式， 连接和交于点D，根据菱形的四条边都相等可得，，然后可证明，为等边三角形，因此可得，根据弧长公式，优弧为圆的周长减去的长，即． 【详解】解：连接和交于点D， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， ∴ 优弧为圆的周长减去的长，即． 故答案为：3；或 15. 已知中，D、E、F分别是边的中点，若的周长为，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意画出相应的图形，再利用三角形中位线的性质进行推导即可得到答案． 【详解】解：根据题意画出图形如下： ∵点、、分别是的中点 ∴、、是的三条中位线 ∴、、， ∵的周长是 ∴ ∴ ∴的周长是． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形中位线的定义和性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半是解决问题的关键。 三、解答题（共75分） 16. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】根据去绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，负整数指数幂的运算，合并同类二次根式即可． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题考查了去绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，负整数指数幂，熟练掌握运算方法是解题的关键． 17. 第五代移动电话通信行动标准，也称第五代移动通信技术，外语缩写：5G．也是4G之后的延伸，正在研究中，5G网络的理论下行速度为10Gb/s（相当于下载速度1.25GB/s）.2019年1月24日，华为发布了迄今最强大的5G基带芯片Balong500，同时，还发布了全球最快CPE，支持智能家居连接．中国5G技术的研发带来了社会生产力和社会关系的重大改变，它是国人的骄傲…．小明组织了几位同学就5G手机面世后自己居住的小区使用手机的居民是否立即改用5G手机问题，随机对本小区的部分使用手机的居民进行了问卷调查（分五类：A表示非常期待体验，将立即使用；B表示担心费用太高消费不起，但还是要体验，将立即使用；C表示怕技术不成熟，造成经济损失，但还是要体验，将立即使用；D表示先等待一段时间后再说，暂时不体验，不立即使用；E表示其它原因不体验，不立即使用）．根据调查结果分别绘制了如下两个统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）随机被调查的居民总人数为　 　人，m＝　 　，扇形统计图中A类所对应扇形的圆心角为　 　度； （2）请根据统计数据补全条形统计图； （3）若小区有使用手机的居民共约8000人，请估计约有多少居民在5G手机面世后不立即使用5G手机？若通讯公司在5G手机面世后第一个月在本小区的业务目标是最多2000手机用户不使用5G手机，请根据计算结果帮助公司拟定一条宣传建议． 【答案】（1）50，28，115.2；（2）见解析；（3）小区8000人在5G手机面世后不立即使用5G手机大约2720人；加大宣传力度，降低费用，免费让用户体验一段时间等措施． 【解析】 【分析】（1）两个统计图中得到C类的人数是12人，占调查人数的24%，可求出调查人数；E类有14人占50人的百分比可求；A类所占圆心角的度数为360°乘以A类的占百分比；（2）求出B类人数，D类人数，补全条形统计图；（3）样本估计总体，样本中不立即使用的占，估计总体中也有不使用的，根据费用、了解程度，体验等方面提出合理化建议． 【详解】解：（1）12÷24%＝50人，14÷50＝28%，360°×＝115.2°， 故答案为50，28，115.2． （2）50×10%＝5人，50﹣16﹣5﹣12﹣14＝3人，补全条形统计图如图所示： （3）8000×＝2720人， 答：小区8000人在5G手机面世后不立即使用5G手机大约2720人；加大宣传力度，降低费用，免费让用户体验一段时间等措施． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图的制作方法以及样本估计总体的统计方法，理清统计图中各个数据之间的关系是解题的关键． 18. 某数学活动小组测量了学校旗杆的高度．如图，为旗杆，他们先在点测得的仰角为，再向前走米到达点，测得的仰角为，求旗杆高（结果保留整数，参考数据：，，，．） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、三角函数；能借助仰角构造直角三角形，由题意列出方程是解决问题的关键． 首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，由三角函数得出，，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：设旗杆高为米， 在中，，， 米， 在中，，，  米， 由题意知：， ， 解得：， 答：旗杆高为米． 19. 某商店销售 、、三种型号的饮料．随着夏季来临，天气逐渐炎热，该商店决定从今年月日起将饮料每瓶的价格上调，将饮料每瓶的价格下调，饮料价格不变，是每瓶元．已知调价前、、三种饮料各买一瓶共花费元，调价后买饮料瓶、饮料瓶共花费元． （1）问、两种饮料调价前的单价； （2）今年月份，温州某单位花费元在该商店购买、、三种饮料共瓶，其中购得饮料的瓶数是饮料的倍，求的最大值． 【答案】（1）饮料调价前的单价为元瓶，饮料调价前的单价为元瓶 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程；通过解二元一次方程，找出n关于m的函数关系式． （1）设饮料调价前的单价为元瓶，饮料调价前的单价为元瓶，根据“已知调价前、、三种饮料各买一瓶共花费元，调价后买饮料瓶、饮料瓶共花费元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进饮料瓶，则购进饮料瓶，购进饮料瓶，根据总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，进而可得出，由购买C饮料的数量需为非负整数，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再由m，n均为正整数，结合一次函数的性质即可求出n的最大值即可． 【小问1详解】 解：设饮料调价前的单价为元瓶，饮料调价前的单价为元瓶， 依题意，得：， 解得： 答：饮料调价前的单价为元瓶，饮料调价前的单价为元瓶． 【小问2详解】 设购进饮料瓶，则购进饮料瓶，购进饮料 瓶， 依题意，得：， 购买C饮料的数量需为非负整数，即， 将代入，得， 解得： 又，均为正整数，由可知，为使n为整数，m必须为5的倍数， 当时，取得最大值，最大值为． 答：的最大值为． 20. 如图，在平面直角坐标系中． （1）直线分别交轴、轴于、两点，点在双曲线上，过点分别作轴、轴的垂线，交直线于、两点，请直接写出、、、四点的坐标，并求出的值． （2）直线分别交轴、轴于、两点，点在双曲线上，过点分别作轴、轴的垂线，、交直线于、两点，求的值． （3）直线分别交轴、轴于、两点，点在双曲线上，过点分别作轴、轴的垂线，交直线于、两点，直接写出的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）A(1，0)；B(0，3)；C(3，-6)；D(，2）；=20 （2）=20 （3） 【解析】 【分析】根据直线解析式求得点，的坐标，根据点的坐标求得的坐标，进而勾股定理求得两点之间的距离，即可求解． 【小问1详解】 对于直线， 令，则，即， 令，则， ， ， ， ，， ，， ； 【小问2详解】 当时，，解得， ， 当时，， 设，则，，， ， ， ； 【小问3详解】 当时，，解得， ， 当时，， 设， 则，，， ， ， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数结合，坐标与图形，勾股定理求两点坐标的距离，三问方法一样，从特殊到一般，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 21. 如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，的延长线与的外接圆交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可知，根据圆周角定理可知，根据圆内接四边形对角互补可证，等量代换可证结论成立； （2）根据圆周角定理可知是圆的直径，所以可知，根据直角三角形两锐角互余可证，所以可得，根据的长度即可求出的长度． 【小问1详解】 证明：是的外角的平分线， ， ， ， ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形的性质、解直角三角形、角平分线的性质，解决本题的关键是根据圆周角定理和圆内接四边形对角互补的性质找角之间的关系． 22. 已知：二次函数，与的一些对应值如表： （1）根据表格中的数据，确定二次函数解析式为______； （2）填齐表格中空白处的对应值并利用表格，用五点作图法，画出二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是______； （4）设的图象与轴的交点为、两点（点在点左侧），与轴交于点，点为线段上一动点，过点作交于，连结，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2） 填表如下： 用五点作图法画二次函数图象，如下图所示： （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）由表格中的数据可知，抛物线的对称轴是，设抛物线的解析式是， 把代入二次函数解析式，求出值即可； （2）根据第一问的解析式，可以将表格的空白处填上数据，再根据表格中的数据可以画出二次函数的图象； （3）根据第（2）问中的函数图象即可解答本题； （4）根据题目中的信息求出、、各点的坐标，然后根据题目中的信息可以表示出关于的面积的函数解析式，利用解析式求出最大值即可． 【小问1详解】 解：由表可知，当时，，当时，， 抛物线的对称轴是， 抛物线的顶点坐标是， 设二次函数的解析式是， 把代入解析式， 可得：， 解得：， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 【小问3详解】 解：由（2）中函数图象可知，当时， 的最小值是，最大值是， 当时，的取值范围是； 【小问4详解】 解：如下图所示， 整理，可得：， 由表格可知，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标为， 设点坐标为，则， 设过点、的直线的解析式为：， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 把点坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 点的坐标为， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是，点的坐标为， ， ， 点在线段上， ， ， ， ， 二次函数开口向下，对称轴为， 当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是会用三点求二次函数的解析式，会画二次函数的图象，能根据图象回答问题，找出所求问题需要的条件． 23. 如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形． 探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍． 因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2， 所以EF＝FG＝GH＝HE＝，设EB＝x，则BF＝﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF＝AE＝﹣x 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 x2+（﹣x）2＝12 解得，x1＝x2＝ ∴BE＝BF，即点B是EF的中点． 同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点． 所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍 探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程） 探究三：已知边长为1的正方形ABCD，　 　一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”） 探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程） 【答案】 探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（﹣x）2=12， 整理得x2﹣x+1=0， b2﹣4ac=3﹣4＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍； 探究三：不存在 探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（﹣x）2=12， 整理得2x2﹣2x+n﹣1=0， b2﹣4ac=8﹣4n＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍． 【解析】 【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答． 【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（﹣x）2=12， 整理得x2﹣x+1=0， b2﹣4ac=3﹣4＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍； 探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4， 所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=2﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（2﹣x）2=12， 整理得2x2﹣4x+3=0， b2﹣4ac=16﹣24＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍， 故答案为不存在； 探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（﹣x）2=12， 整理得2x2﹣2x+n﹣1=0， b2﹣4ac=8﹣4n＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $