精品解析：2022年湖北省荆门市龙泉中学自主招生数学试题

2022年湖北省荆门市龙泉中学自主招生数学试题 一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 2. 如图，正方形在平面直角坐标系中．点的坐标为，点，在轴上．将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心，则正方形的平移过程可能是（ ） A. 向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度 B. 向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度 C. 向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 3. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（ ） A. 方程x2－3x＋2＝0是2倍根方程 B. 若关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程，则m＋n＝0 C. 若m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程 D. 若2m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程x2＋(m－n)x－mn＝0 是2倍根方程 5. 如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是（　　） A. △ADC∽△CFB B. AD＝DF C. D. ＝ 6. 已知二次函数，截取该函数图象在间部分记为图象，设经过点且平行于轴的直线为，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，图象在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象，若函数的最大值与最小值的差不大于，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数y（k≠0）的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（　　） A. B. 3 C. D. 5 8. 如图，为等边三角形，，连接，F为的中点，连接并延长到点G，使，连接．下列结论： ①；②若，则；③在②条件下，若，则． 其中正确的有（　　） A. ①②③都正确 B. 只有①②正确 C. 只有②③正确 D. 只有①③正确 9. 已知锐角的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，H为的垂心，H到三边的距离分别为x，y，z，则（　　） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；其中所有正确的结论是（　　） A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二.填空题（共6小题） 11. 计算：＝_____． 12. 若可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a、b为整数，那么的最小值是_____． 13. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 14. 如图，点A(a，1)、B(﹣1，b)都在函数（x＜0）的图象上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是_____． 15. 若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象有三个不同的交点，则常数m的取值范围________ 16. 如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是________． 三.解答题（共8小题） 17. 先化简，再求值：，其中x是满足整数． 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）当时，方程的根为，，求代数式的值． 19. 如图，在直角坐标系中，点A（0，1），点B（3，0），点C（4，3）． （1）判断△ABC的形状并说明理由； （2）在线段OC的右侧，以OC为边作等腰直角△OCD，点D的坐标为　 　． 20. 2021年红花岗区某校举办“建党100周年”知识竞赛，成绩分析过程如下： Ⅰ．收集数据 测试成绩如下： 女生：85 65 80 100 80 75 95 85 80 75 男生：85 100 75 60 85 70 85 60 95 100 Ⅱ．整理、描述数据 女生 1 2 a 2 男生 2 2 3 b Ⅲ．分析数据 平均数 中位数 众数 女生 81.5 80 男生 81.5 85 d 根据以上信息，回答下列问题． （1）______，______，______，______； （2）小明和小颖看到信息后，小颖说：女生成绩较好；小明说：男生成绩较好．你同意______的看法，请说明理由； （3）该校将从以上20名学生中，筛选出成绩最好的5名学生，随机抽取2名学生参加红花岗区的比赛，求抽到一男一女学生参赛的概率． 21. 如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行． （1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？ （2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发到达事故地点的最短航程是多少nmile（结果保留根号）？ 22. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝10，BC＝6，以AB为直径作⊙O，点D为直径AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°得到线段ED，连接AE． （1）如图1，当AD＝BC时，求证：AE是⊙O切线； （2）如图2，当点E落在⊙O上时，求线段AD的长度； （3）直接写出点D从点A运动到点B的过程中，点E运动路径的长度． 23. 为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往两地，甲厂有防疫物资吨，乙厂有防疫物资吨，地需防疫物资吨，地需防疫物资吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往地防疫物资吨． 接收地 出发地 地 地 甲厂 乙厂 （1）直接写出的取值范围： ． （2）请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？ （3）因路况原因，从甲厂到地的运输费用每吨增加了百元，从乙厂“到地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且，请你探究总运费可以达到的最小值． 24. 如图1，二次函数y＝ax2+bx+c图象交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），直线l经过点B． （1）求二次函数的表达式和顶点D的坐标； （2）如图2，当直线l过点D时，求△BCD的面积； （3）如图3，直线l与抛物线有另一个交点E，且点E使得∠BAC﹣∠CBE＞45°，求点E的横坐标m的取值范围； （4）如图4，动点F在直线l上，作∠CFG＝45°，FG与线段AB交于点G，连接CG，当△ABC与△CFG相似，且S△CFG最小时，在直线l上是否存在一点H，使得∠FHG＝45°存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年湖北省荆门市龙泉中学自主招生数学试题 一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，得出关于k的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故选：C． 2. 如图，正方形在平面直角坐标系中．点的坐标为，点，在轴上．将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心，则正方形的平移过程可能是（ ） A 向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度 B. 向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度 C. 向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先求出正方形的边长以及对称中心的坐标，进而即可得到答案． 【详解】解：∵正方形在平面直用坐标系中．点A的坐标为，点，在轴上， ∴正方形的边长=4， ∴正方形原来的对称中心坐标为（-4，2）， ∴向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，点成为新正方形的对称中心， 故选D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，点的坐标以及平移变换，找出原来正方形的对称中心坐标，是解题的关键． 3. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE，可得DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，由锐角三角函数可求BD＝a，CE＝a，由面积公式可求a的值，即可求解． 详解】解：如图，连接CE，延长EA交BC于F， ∵AB＝2AC， 设AC＝a，则AB＝2a， ∴BC＝＝a， ∵将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE， ∴DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ADB＝∠ADE， ∴∠DEA＝∠DFA， ∴DF＝DE＝a， 又∵∠DAE＝90°， ∴AF＝AE＝a＝AC， ∴∠ECF＝90°， ∵sin∠ACB＝sin∠CFE＝＝， ∴＝， ∴CE＝a， ∵tan∠ACB＝tan∠CFE＝＝2， ∴CF＝a， ∴CD＝DF﹣CF＝a， ∴BD＝BC+DC＝a， ∴△BDE的面积＝×a×a＝×a×a×＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用参数解决问题是本题的关键． 4. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（ ） A. 方程x2－3x＋2＝0是2倍根方程 B. 若关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程，则m＋n＝0 C. 若m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程 D. 若2m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程x2＋(m－n)x－mn＝0 是2倍根方程 【答案】B 【解析】 【分析】通过解一元二次方程可对A进行判断；先解方程得到x1=2，x2=-，然后通过分类讨论得到m和n的关系，则可对B进行判断；先解方程，则利用m+n=0可判断两根的关系，则可对C进行判断；先解方程，则利用2m+n=0可判断两根的关系，则可对D进行判断． 【详解】A. 解方程−3x+2=0得x1=1， x2=2，所以A选项的说法正确但不符合题意； B. 解方程得x1=2，x2=-，当−=2×2，4m+n=0；当−=×2，则m+n=0所以B选项的说法错误符合题意； C. 解方程得x1=2，x2=−，而m+n=0，则x2=1，所以C选项的说法正确但不符合题意； D. 解方程得x1=−m，x2=n，而2m+n=0，即n=−2m，所以x1=2x2，所以D选项的说法正确但不符合题意． 故本题选B． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系及一元二次方程的解，熟悉掌握上述知识点是解答本题关键. 5. 如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是（　　） A. △ADC∽△CFB B. AD＝DF C. D. ＝ 【答案】C 【解析】 【分析】依据∠ADC＝∠CFB＝90°，∠CAD＝∠BCF，即可得到△ADC∽△CFB；过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，得出DM垂直平分AF，即可得到DF＝DA；设CE＝a，AD＝b，则CD＝2a，由△ADC∽△CFB，可得＝，可得b＝a，依据即可得出,根据E是CD边的中点，可得CE：AB＝1：2，再根据△CEF∽△ABF，即可得到＝（）2＝． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCF， ∵BE⊥AC， ∴∠CFB＝90°， ∴∠ADC＝∠CFB， ∴△ADC∽△CFB，故A选项正确； 如图，过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M， ∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM＝DE＝DC， ∴BM＝AM， ∴AN＝NF， ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥AF， ∴DM垂直平分AF， ∴DF＝DA，故B选项正确； 设CE＝a，AD＝b，则CD＝2a， 由△ADC∽△ECB，可得＝， 即b＝a， ∴ ∴,故C选项错误； ∵E是CD边的中点， ∴CE：AB＝1：2， 又∵CE∥AB， ∴△CEF∽△ABF， ∴＝（）2＝． 故选D选项正确； 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形． 6. 已知二次函数，截取该函数图象在间的部分记为图象，设经过点且平行于轴的直线为，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，图象在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象，若函数的最大值与最小值的差不大于，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，二次函数的图象和性质，当等于时，可得抛物线的顶点坐标为，，此时函数的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为；当时，函数的最小值为，最大值为，最大值与最小值的差为，再结合图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图所示，当等于时， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴当时，， 此时函数的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为； 如图所示，当时， 此时函数的最小值为，最大值为，最大值与最小值的差为； 综上所述，当时，函数的最大值与最小值的差不大于， 故选：． 7. 如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数y（k≠0）的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（　　） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，设点 ，则AM=b，OM=a， 可得△DGN∽△DAM， ，再由BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，可得到， ，从而得到 ，进而得到 ，继而，再由平行四边形的性质，可得△BOF∽△DNG，从而得到 ，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N， 设点 ，则AM=b，OM=a， ∴AM∥NG，AM∥y轴， ∴△DGN∽△DAM， ， ∴ ， ∵BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵点A、G在反比例函数y（k≠0）的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠OBF=∠GDN，， ∵∠BOF=∠GND=90°， ∴△BOF∽△DNG， ∴ ，即， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 8. 如图，为等边三角形，，连接，F为的中点，连接并延长到点G，使，连接．下列结论： ①；②若，则；③在②的条件下，若，则． 其中正确的有（　　） A. ①②③都正确 B. 只有①②正确 C. 只有②③正确 D. 只有①③正确 【答案】A 【解析】 【分析】①通过全等三角形的判定定理证得，可得， 得B、C、G三点共线，然后根据“全等三角形的对应边相等”推知； ②由可得，，由，得B、C、G三点共线，由，可得，可得，可得是等边三角形，可得，即得； ③过点D作于点Q．构建矩形，得．得．设，根据，得，，得，即得． 【详解】解：①如图1，∵点F是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 故本选项正确； ②如图1，∵， ∴， ∴， ∵， ∴B、C、G三点共线， ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴，，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故本选项正确； ③如图2，过点D作于点Q． ∵， ∴． 又， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 设， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故本选项正确； 综上所述，正确的结论是①②③． 故选A． 【点睛】本题考查了相似综合题．熟练掌握等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形外角定理，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 9. 已知锐角的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，H为的垂心，H到三边的距离分别为x，y，z，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的垂心，锐角三角函数，直径所对的圆周角为直角，得出是解本题的关键． 先判断出点，，，四点共圆，再利用锐角三角函数得出，再利用锐角三角函数得出，进而得出，同理得出，，即可得出结论． 【详解】解：如图，作的外接圆，作直径，连接， 是的垂心， ，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 是直径， ， 设外接圆的半径为，则， 在中，， ， ， ， 同理：， ， ， 故选：C． 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；其中所有正确的结论是（　　） A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论； ②根据抛物线与x轴的交点坐标即可得结论； ③根据对称轴和与x轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论； ④根据点（，0）和对称轴方程即可得结论． 【详解】解：①观察图象可知： a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0， 所以①正确； ②当x＝时，y＝0， 即a+b+c＝0， ∴a+2b+4c＝0， ∴a+4c＝﹣2b， ∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0， 所以②正确； ③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（，0）， 所以与x轴的另一个交点为（﹣，0）， 当x＝﹣时，a﹣b+c＝0， ∴25a﹣10b+4c＝0． 所以③正确； ④当x＝时，a+2b+4c＝0， 又对称轴：﹣＝﹣1， ∴b＝2a，a＝b， b+2b+4c＝0， ∴b＝﹣c． ∴3b+2c＝﹣c+2c＝﹣c＜0， ∴3b+2c＜0． 所以④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用抛物线判断式子正负，正确读懂抛物线的信息，判断式子正负是解题的关键 二.填空题（共6小题） 11. 计算：＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的除法法则、负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题属于实数的运算题，考查了二次根式的运算、负整数指数幂及特殊角的三角函数的计算，应用相关知识准确计算是解决本题的关键． 12. 若可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a、b为整数，那么的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先分解因式得到，则可设分解因式的结果为，再根据多项式乘以多项式的乘法展开，得到，，再根据m、n都是整数进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵ ＝， ∴，， 又∵m、n都是整数， ∴或或或， ∴或或或 ∴当时，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确设出分解因式的结果为是解题的关键． 13. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件、负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键，根据二次根式有意义的条件、负整数指数幂列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意可知且， 解得且， 故答案为：且． 14. 如图，点A(a，1)、B(﹣1，b)都在函数（x＜0）的图象上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是_____． 【答案】y=x+2 【解析】 【详解】试题分析：作点A关于x轴的对称点A′，作点B关于y轴的对称点B′，连接A′B′，分别于x、y轴交于点P、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，由点A、B均为反比例函数上的点，由此即可求出a、b值，即得出点A、B的坐标，再根据对称的性质找出点A′、B′的坐标，结合两点的坐标利用待定系数法即可求出PQ所在直线的解析式． 解：作点A关于x轴的对称点A′，作点B关于y轴的对称点B′，连接A′B′，分别于x、y轴交于点P、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，如图所示． ∵点A（a，1）、B（﹣1，b）都在函数（x＜0）的图象上， ∴a=﹣3÷1=﹣3，b=﹣3÷（﹣1）=3， ∴点A（﹣3，1），点B（﹣1，3）， ∴点A′（﹣3，﹣1），点B′（1，3）． 设直线A′B′的解析式为y=kx+c， ∴，解得：， ∴直线A′B′的解析式为y=x+2，即PQ所在直线的解析式是y=x+2． 故答案为y=x+2． 15. 若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象有三个不同的交点，则常数m的取值范围________ 【答案】0＜m＜4 【解析】 【分析】首先作出分段函数y=的图象，根据函数的图象即可确定m的取值范围． 【详解】解：分段函数y=的图象如图： 故要使直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜4． 故答案为0＜m＜4． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一． 16. 如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．证明BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，再根据B′H≥B′F，求出B′F即可解决问题． 【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H． 与x轴交于点C，与y轴变于点A， 令x=0，y=，令y=0,得x= ∴A（0，），C（，0）， ∴OA＝，OC＝， ∴AC==2OA， ∴∠ACO＝30°， ∵EH⊥OC， ∴EH＝EC， ∵BB′＝DE，BB′∥DE， ∴四边形DBB′E是平行四边形， ∴BD＝B′E， ∵BM∥AC， ∴∠BMC＝∠ACO＝30°， ∵∠BCM＝90°，BC＝， ∴BM＝2BC＝3， ∴B′M＝1＋3， ∵∠MFB′＝90°， ∴B′F＝MB′＝， ∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F， ∴BD＋EC≥， ∴BD＋EC的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三.解答题（共8小题） 17. 先化简，再求值：，其中x是满足的整数． 【答案】，1 【解析】 【分析】先计算括号中的异分母分式加减法，同时将除法化为乘法，再计算乘法，最后将满足条件的x值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵x（x+1）≠0， ∴x≠0，x≠﹣1， ∵x是满足﹣1≤x＜2的整数， ∴x＝1， 当x＝1时，原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，正确掌握分式混合运算的法则及运算顺序是解题的关键． 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）当时，方程的根为，，求代数式的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根的判别式进行求解； （2）由方程的根为，，得到，，据此对原式进行化简，最后根据根与系数的关系进行求解． 【小问1详解】 解：方程有实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 解：当时，方程化为， ，， ，是方程的解， ，， ，， 原式 ． 19. 如图，在直角坐标系中，点A（0，1），点B（3，0），点C（4，3）． （1）判断△ABC的形状并说明理由； （2）在线段OC的右侧，以OC为边作等腰直角△OCD，点D的坐标为　 　． 【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形，理由详见解析；（2）（3，﹣4），（7，﹣1），（，﹣）　． 【解析】 【分析】（1）结论：△ABC是等腰直角三角形．添加辅助线，构造全等三角形解决问题； （2）分三种情形画出图形即可解决问题． 【详解】解：（1）结论：△ABC是等腰直角三角形． 理由：作CE⊥x轴于E． ∵点A（0，1），点B（3，0），点C（4，3）， ∴OA＝BE＝1，OB＝CE＝3， ∵∠AOB＝∠CEB＝90°， ∴△AOB≌△BEC（SAS）， ∴BA＝BC，∠ABO＝∠BCE， ∵∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ABO+∠CBE＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． （2）如图， 由图象可知： ①当OC为腰，点O为直角顶点时，即OC绕点O顺时针旋转90°，由（1）中正三角形全等的方法，可得D1坐标为（3，﹣4）； ②当OC为腰，点C为直角顶点时，即OC绕点C逆时针旋转90°，方法同①，得D3坐标为（7，﹣1； ③当OC是等腰直角三角形的斜边时，因为∠OCD1=∠COD3=45°，所以CD1与OD3的交点即为D2，也是CD1与OD3的中点，可得坐标为（，﹣）． 综上：满足条件的点D的坐标分别为（3，﹣4），（7，﹣1），（，﹣）． 故答案为（3，﹣4），（7，﹣1），（，﹣）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 20. 2021年红花岗区某校举办“建党100周年”知识竞赛，成绩分析过程如下： Ⅰ．收集数据 测试成绩如下： 女生：85 65 80 100 80 75 95 85 80 75 男生：85 100 75 60 85 70 85 60 95 100 Ⅱ．整理、描述数据 女生 1 2 a 2 男生 2 2 3 b Ⅲ．分析数据 平均数 中位数 众数 女生 81.5 80 男生 81.5 85 d 根据以上信息，回答下列问题． （1）______，______，______，______； （2）小明和小颖看到信息后，小颖说：女生成绩较好；小明说：男生成绩较好．你同意______的看法，请说明理由； （3）该校将从以上20名学生中，筛选出成绩最好的5名学生，随机抽取2名学生参加红花岗区的比赛，求抽到一男一女学生参赛的概率． 【答案】（1）5，3，80，85 （2）小明；男生的众数和中位数大于女生众数和中位数（从方差上说女生好也对） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给出的数据得出、，再根据中位数和众数的定义即可得出、； （2）从平均数、众数和中位数三个方面进行分析，即可得出答案； （3）列表展示所有20种等可能的结果数，找出刚好抽到一男一女参赛的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：根据给出的数据可得： ，， 把这些数从小到大排列为，65，75，75，80，80，80，85，85，95，100， 则； 85出现了3次，出现的次数最多， 众数； 故答案为：5，3，80，85； 【小问2详解】 解：因为从平均数来看，男生和女生一样，但男生中位数和众数都高于女生， 所以男生成绩较好， 小明说的正确， 故答案为：小明； 【小问3详解】 解：列表或画树状图 男1 男2 男3 女1 女2 男1 (男2，男1) (男3，男1) (女1，男1) (女2，男1) 男2 (男1，男2) (男3，男2) (女1，男2) (女2，男2) 男3 (男1，男3) (男2，男3) (女1，男3) (女2，男3) 女1 (男1，女1) (男2，女1） (男3，女1） (女2，女1) 女2 (男1，女2） (男2，女2） (男3，女2） (女1，女2) 由表知，共有20种等可能结果，其中选到一男一女的有12种结果， 所以选到一男一女学生参赛的概率为． 【点睛】本题考查了中位数、众数，列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率，解题的关键是准确列出表或树状图． 21. 如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行． （1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？ （2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发到达事故地点的最短航程是多少nmile（结果保留根号）？ 【答案】（1）nmile （2）nmile 【解析】 【分析】（1）过B作于M，求出的长，即为所求； （2）在中，勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：过B作于M， 由题意，可知：，则， 在中，，nmile， ∴是等腰直角三角形， ∴， 答：渔船航行nmile距离小岛B最近； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 答：救援队从B处出发到达事故地点的最短航程是nmile． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 22. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝10，BC＝6，以AB为直径作⊙O，点D为直径AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°得到线段ED，连接AE． （1）如图1，当AD＝BC时，求证：AE是⊙O的切线； （2）如图2，当点E落在⊙O上时，求线段AD的长度； （3）直接写出点D从点A运动到点B的过程中，点E运动路径的长度． 【答案】（1）见解析 （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△ADE≌△BCD，得∠DAE＝∠ABC＝90°，则AE⊥AB，即可证明结论； （2）连接BE，作EH⊥AB于H，利用ASA证明△HDE≌△BCD，得DH＝BC＝6，EH＝BD，设EH＝BD＝x，则AH＝4−x，再利用△AEH∽△EBH，得EH2＝AH×BH，代入解方程即可； （3）在AB上取BF＝BC，连接CF，EF，CE，则△BCF和△DCE都是等腰直角三角形，得∠BCF＝∠DCE＝45°，，则△BCD∽△FCE，得∠EFC＝∠DBC＝90°，EF＝BD，可知点E在射线FE上运动，从而解决问题． 【小问1详解】 证明：∵线段CD绕点D逆时针旋转90°得到线段ED， ∴CD＝DE，∠CDE＝90°， ∴∠ADE＋∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BDC＋∠BCD＝90°， ∴∠ADE＝∠BCD， ∵AD＝BC， ∴△ADE≌△BCD（SAS）， ∴∠DAE＝∠ABC＝90°， ∴AE⊥AB， 又∵OA是⊙O的半径， ∴AE是⊙O的切线； 【小问2详解】 解：连接BE，作EH⊥AB于H， ∴∠EHD＝∠ABC＝90°， 由（1）得，∠HDE＝∠BCD，CD＝DE， ∴△HDE≌△BCD（AAS）， ∴DH＝BC＝6，EH＝BD， 设EH＝BD＝x，则AH＝4−x， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠AEH＋∠BEH＝∠ABE＋∠BEH＝90°， ∴∠AEH＝∠ABE， ∵∠AHE＝∠EHB， ∴△AEH∽△EBH， ∴EH2＝AH×BH， ∴x2＝（4−x）×（6＋x）， 解得x1＝3，x2＝−4（舍）， ∴BD＝3， ∴AD＝7； 【小问3详解】 解：如图，在AB上取BF＝BC，连接CF，EF，CE， 则△BCF和△DCE都是等腰直角三角形， ∴∠BCF＝∠DCE＝45°，， ∴∠BCD＝∠ECF， ∴△BCD∽△FCE， ∴∠EFC＝∠DBC＝90°，EF＝BD， ∴点E在射线FE上运动， ∴当点D从点A运动到点B的过程中，点E运动路径的长为×10＝10． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 23. 为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往两地，甲厂有防疫物资吨，乙厂有防疫物资吨，地需防疫物资吨，地需防疫物资吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往地防疫物资吨． 接收地 出发地 地 地 甲厂 乙厂 （1）直接写出的取值范围： ． （2）请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？ （3）因路况原因，从甲厂到地的运输费用每吨增加了百元，从乙厂“到地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且，请你探究总运费可以达到的最小值． 【答案】（1） （2）从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防 疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元 （3）百元 【解析】 【分析】（）由题意可得从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，进而列出不等式组解答即可求解； （）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，进而根据一次函数的性质解答即可求解； （）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，再分、和三种情况，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵从甲厂运往地防疫物资吨， ∴从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往 地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物 资吨， 则， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设总费用为百元， 根据题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最小，最小值为百元， ∴从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元； 【小问3详解】 解：设总费用为百元， 根据题意得，， 当，即时，随的增大而减小， ∵， ∴时，的值最小，最小值为百元； 当，即时，百元； 当，即时，随的增大而增 大， ∴当时，的值最小，最小值为， 当时，， 此时的最小值为百元； 综上所述，总运费可以达到的最小值是百元． 24. 如图1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），直线l经过点B． （1）求二次函数的表达式和顶点D的坐标； （2）如图2，当直线l过点D时，求△BCD的面积； （3）如图3，直线l与抛物线有另一个交点E，且点E使得∠BAC﹣∠CBE＞45°，求点E的横坐标m的取值范围； （4）如图4，动点F在直线l上，作∠CFG＝45°，FG与线段AB交于点G，连接CG，当△ABC与△CFG相似，且S△CFG最小时，在直线l上是否存在一点H，使得∠FHG＝45°存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3，顶点D的坐标为（1，﹣4） （2）2 （3）﹣＜m＜2 （4）存在，点H的坐标为：（，）或（，） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法和配方法即可求得答案； （2）先运用待定系数法求得直线l的解析式为y＝2x﹣6，进而可得M（0，﹣6），CM＝3，OM＝6，OC＝3，OB＝3，再运用S△BCD＝S△ABM﹣S△ABC﹣S△CDM，即可求得答案； （3）如图3，连接AC，在y轴上取点N（0，﹣9），连接BN交抛物线于点E′，过点C作CL∥x轴交BN于点L，在线段OC上截取CK＝CL，连接BK交抛物线于点E″，先证明△AOC∽△BON，推出∠BAC﹣∠CBN＝∠OBC＝45°，再运用待定系数法求得直线BN的解析式为y＝3x﹣9，通过联立方程组求得E′（2，﹣3）；再运用待定系数法求得直线BK的解析式为y＝x﹣1，通过联立方程组可求得E″（，）；再根据∠BAC﹣∠CBE＞45°，即可得出答案； （4）过G作GR⊥直线l于R，过H作HT⊥x轴于T，过F作FW⊥x轴于W，如图4，分两种情况：①当△ABC∽△GFC时，②当△ABC∽△CFG时，分别利用相似三角形的判定和性质以及解直角三角形即可求得点H的坐标． 【小问1详解】 解：看，∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴设y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入， 得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得：a＝1， ∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3，顶点D的坐标为（1，﹣4）； 【小问2详解】 解：设直线l交y轴于点M，如图2， 设直线l的解析式为y＝kx+d，把B（3，0），D（1，﹣4）代入， 得：， 解得：， ∴直线l的解析式为y＝2x﹣6， 令x＝0，得y＝﹣6， ∴M（0，﹣6）， ∴CM＝3，OM＝6，OC＝3，OB＝3， ∴S△BCD＝S△OBM﹣S△OBC﹣S△CDM＝×3×6﹣×3×3﹣×3×1＝2； 【小问3详解】 解：∵B（3，0），C（0，﹣3），∠BOC＝90°， ∴OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝∠BCO＝45°， 如图3，连接AC，在y轴上取点N（0，﹣9），连接BN交抛物线于点E′，过点C作CL∥x轴交BN于点L， 在线段OC上截取CK＝CL，连接BK交抛物线于点E″， ∵， ∴ ∵∠AOC＝∠BON＝90°， ∴△AOC∽△BON， ∴∠OAC＝∠OBN，即∠BAC＝∠OBN， ∴∠BAC﹣∠CBN＝∠OBC＝45°， 设直线BN的解析式为y＝ex+f，把B（3，0），N（0，﹣9）代入，得： ， 解得：， ∴直线BN的解析式为y＝3x﹣9， 联立方程组，得：， 解得：或， ∴E′（2，﹣3）； ∵CL∥x轴， ∴点L的纵坐标为﹣3， ∴3x﹣9＝﹣3， 解得：x＝2， ∴L（2，﹣3）， ∴CL＝2， ∴CK＝2 ∴K（0，﹣1）， 设直线BK的解析式为y＝mx+n，把B（3，0），K（0，﹣1）代入，得： ， 解得：， ∴直线BK的解析式为y＝x﹣1， 联立方程组，得：， 解得：或， ∴E″（，）； ∵CL∥x轴， ∴∠BCL＝∠OBC＝45°＝∠BCK， 在△BCL和△BCK中， ， ∴△BCL≌△BCK（SAS）， ∴∠CBK＝∠CBE，即∠CBK＝∠CBN， ∵∠BAC﹣∠CBN＝∠OBC＝45°， ∴∠BAC﹣∠CBK＝45°， ∵∠BAC﹣∠CBE＞45°， ∴点E的横坐标m的取值范围为＜m＜2； 【小问4详解】 解：过G作GR⊥直线l于R，过H作HT⊥x轴于T，过F作FW⊥x轴于W，如图4， ∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）， ∴AC＝，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝45°， ∵∠CFG＝45°，△ABC与△CFG相似， ∴∠ABC＝∠CFG，点F对应点B，边AC对应边CG， ∵S△CFG最小，且△CFG与△ABC相似，形状不变， ∴边CG最小，即CG⊥x轴，G与O重合，CG＝CO＝3， 分两种情况： ①当△ABC∽△GFC时， ∴， ∴FG＝，CF＝， 设F（m，n），而G（0，0），C（0，﹣3）， ∴， 解得：， ∴F（，），OW＝，FW＝， ∴BW＝OW﹣OB＝， Rt△BFW中，tan∠FBW＝＝ ＝2， Rt△GRB中，tan∠GBR＝tan∠FBW＝2，即GR＝2BR， ∴cos∠GBR＝，sin∠GBR＝， 又BG＝3， ∴BR＝，GR＝， ∵∠FHG＝45°，GR⊥直线l于R， ∴HR＝GR＝， ∴BH＝HR+BR＝， Rt△BHT中，tan∠GBR＝2，cos∠GBR＝，sin∠GBR＝， ∴BT＝BH•＝，HT＝BH•＝， ∴GT＝GB﹣BT＝， ∴H（，）， ②当△ABC∽△CFG时， ∴ ∴CF＝，FG＝， 设F（s，r），方法同①可得F（，）， ∴BW＝，FW＝， ∴tan∠FBW＝3， 同①方法可得H（，）， 综上所述，点H坐标为：（，）或（，），． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积，三角函数等综合知识，题目难度大，解题的关键是画出图形，确定H坐标，熟练运用三角函数求线段长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $