精品解析：2022年江苏省宿迁市沭阳县中考数学一模试卷

2022年江苏省宿迁市沭阳县中考数学一模试卷 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1. 下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（ ） A 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. m为任意实数，满足，则的值是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 无法确定 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果a＋b＝0，那么a＝b＝0 B. 如果ab＜0，那么a＜0，b＞0 C. 如果|a|＝|b|，那么a＝b D. 如果直线a∥b，b∥c，那么直线a∥c 5. 如图，四边形ACDB内接于⊙O，若∠BDC=∠BOC,则∠BAC的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 45° D. 90° 6. 不等式组解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若点（m，n）在反比例函数的图象y＝上，则点（﹣m，﹣n）也必在反比例函数的图象y＝上，这说明双曲线（　　） A. 关于原点对称 B. 关于y轴对称 C. 关于直线y＝x称 D. 关于x轴对称 8. 如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）的图像过D点和边BC的中点E，连接DE，若△CDE的面积是2，则k的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 2 D. 8 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 经过多年的成长，中国城市观众到影院观影的习惯已经逐渐养成：2016年，某影院观众人次总量才23400，但到2017年已经暴涨至1370000．其中1370000用科学记数法表示为_____． 10. 圆锥的母线长为4，底面圆的半径为1，则这个圆锥的侧面积是___________． 11. 写出抛物线经过原点的一个二次函数的解析式为___________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标是______． 13. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为49，则正方形A、B、C、D的面积之和为_____． 14. 在一次数学单元考试中，某小组6名同学成绩（单位：分）分别是：65，80，70，90，100，70．则这组数据的中位数分别是_________________________分． 15. 多边形从一个顶点出发可引出条对角线，这个多边形的内角和为______． 16. 如图，是的直径，与的平分线交于点，延长交于点，若，则的长为______． 17. 如图，、分别与相切于A、B，C为上一点，，则的度数为______． 18. 如图，正方形的边长为，点、分别在轴，轴的正半轴上，点在上，是上一动点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题有10小题，共96分．解答时应写出文字说明或演算步骤．） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如今很多初中生喜欢购头饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题 （1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图； （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？ 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格（元/瓶） 0 2 3 4 （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率． 22. 小明所在班组织全部同学参加上海世博园，由于时间原因，每个学生只能在所给的场馆单（如图）上随机选择，选择方式规定为在3个发展中国家馆和4个发达国家馆中分别选一个馆参观．场馆单上的3个发展中国家馆包括：A中国馆、B印度馆、C巴西馆；4个发达国家馆包括：D美国馆、E日本馆、F德国馆、G法国馆，其中中国馆、印度馆、日本馆属于亚洲馆． （1）请你用列表或画树状图的方法，分析并写出小明所有可能的参观方式．（馆名用字母表示即可） （2）求小明所选择参观的两个馆恰好都是亚洲馆的概率． 23. 如图，四边形ABCD为矩形，，，点E是BC边的中点，将沿直线AE折叠，点B落在点F处，连接CF． （1）求证：； （2）求的值． 24. 如图，直线，等边的顶点、分别在直线和上，边与直线所夹的角记为，边与直线所夹的角记为．（友情提示：等边三角形每个内角都等于） （1）当，求的大小； （2）写出、满足的等式关系，并说明你写出的等式关系正确． 25. 在某大道旁边的路灯杆顶上有一个物体，它的抽象几何图形如图，若，，，求B、C两点间的距离．（结果可保留根号） 26. 列方程解应用题： 某化肥厂5月份生产某种化肥吨，6月份因部分设备检修，产量比5月份减少了．从7月份起产量逐月上升，8月份达到吨．该厂7，8两个月产量的平均月增长率是多少？ 27. 已知：E是矩形边上一个动点，直线交于点F， （1）求证：； （2）若直线经过C点，且，是否存在这样点E，使和相似？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． （3）连结，若，当和相似时，则　 　． 28. 如图，已知抛物线过点 （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线过点和且与抛物线交于另一点，与轴交于点，求证：； （3）若点，分别是抛物线与直线上的动点，轴且，求所有符合条件的点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年江苏省宿迁市沭阳县中考数学一模试卷 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1. 下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的乘方，逐项化简即可解答． 【详解】A、，，结果不相等，故A选项不符合题意； B、，，结果不相等，故B选项不符合题意； C、，，结果相等，故C选项符合题意； D、，，结果不相等，故D选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方的法则． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握合并同类项、同底数幂的乘法及幂的乘方的运算法则是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法及幂的乘方的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，所以选项A错误，不合题意； B、，所以选项B正确，符合题意； C、，所以选项C错误，不合题意； D、，所以选项D错误，不合题意． 故选：B． 3. m为任意实数，满足，则的值是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数化简等式，再变形得到m-20212=2022． 【详解】解：根据题意，得 m-2022≥0，即m≥2022， ∴由得： ， 即， 两边平方，得 m-2022=20212， ∴m-20212=2022． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质，掌握去绝对值，去根号的方法是解决本题的关键． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果a＋b＝0，那么a＝b＝0 B. 如果ab＜0，那么a＜0，b＞0 C. 如果|a|＝|b|，那么a＝b D. 如果直线a∥b，b∥c，那么直线a∥c 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可判断A；根据有理数乘法的性质即可判断B；根据绝对值的性质即可判断C；根据平行公理的推论即可判断D． 【详解】解：A、如果a＋b＝0，那么a＝-b，不一定是a＝b＝0，是假命题，不符合题意； B、如果ab＜0，那么a＜0，b＞0或a＞0，b＜0是假命题，不符合题意； C、如果|a|＝|b|，那么a＝±b，是假命题，不符合题意； D、如果直线a∥b，b∥c，那么直线a∥c，是真命题，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了判定命题真假，熟知相关知识是解题关键． 5. 如图，四边形ACDB内接于⊙O，若∠BDC=∠BOC,则∠BAC的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 45° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形内角互补定理得出结论即可. 【详解】解：设∠A=x，则∠BDC=180-x，∠BOD=2x, ∵∠BDC=∠BOC， ∴180-x=2x, ∴x=60°. 故选B 6. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式组，属于基础题目，难度不大．解题关键是根据“大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着”写出公共解集即可． 分别解一元一次不等式，再求不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 故选：B． 7. 若点（m，n）在反比例函数的图象y＝上，则点（﹣m，﹣n）也必在反比例函数的图象y＝上，这说明双曲线（　　） A. 关于原点对称 B. 关于y轴对称 C. 关于直线y＝x称 D. 关于x轴对称 【答案】A 【解析】 【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． 【详解】解：∵点（m，n）与点（﹣m，﹣n）关于原点对称， ∴点（m，n）在反比例函数的图象y＝上，点（﹣m，﹣n）也必在反比例函数的图象y＝上，说明双曲线关于原点对称， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称． 8. 如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）的图像过D点和边BC的中点E，连接DE，若△CDE的面积是2，则k的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 2 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】可设E点坐标为（m，n），则由题意D、C点坐标都可以用m、n表示出来，最后根据“△CDE的面积是2”可以求出关于m、n的关系式，再结合“D、E都在反比例函数y＝（k≠0）的图像上”不难求得k的值． 【详解】设E的坐标是（m，n），则k＝mn，点C的坐标是（m，2n）， 在y＝中，令y＝2n， 解得：x＝， ∵S△CDE＝2， ∴|n|•|m﹣|＝2，即n×＝2， ∴mn＝8． ∴k＝8． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形性质、三角形面积及反比例函数图像的综合应用，利用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题求解是解题关键． 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．） 9. 经过多年的成长，中国城市观众到影院观影的习惯已经逐渐养成：2016年，某影院观众人次总量才23400，但到2017年已经暴涨至1370000．其中1370000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：1370000用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 10. 圆锥的母线长为4，底面圆的半径为1，则这个圆锥的侧面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，圆锥的侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积．解题的关键在于熟练掌握圆锥的侧面积为，为圆锥展开图中扇形的弧长即圆锥底面圆的周长，为圆锥展开图中扇形的半径即圆锥的母线长． 11. 写出抛物线经过原点的一个二次函数的解析式为___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数各系数的意义，熟练掌握二次函数各项系数的意义是解题的关键，根据题意抛物线经过原点，可得中，从而得到答案． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴中， ∴． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，通过把线段旋转的问题转化为直角三角形的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点作轴于，过作轴于， ∵点， ∴，, ∵把 绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为： 13. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为49，则正方形A、B、C、D的面积之和为_____． 【答案】49 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可. 【详解】解：最大的正方形的面积为49， 由勾股定理得，正方形E、F的面积之和为49， ∴正方形A、B、C、D的面积之和为49， 故答案为49． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 14. 在一次数学单元考试中，某小组6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，80，70，90，100，70．则这组数据的中位数分别是_________________________分． 【答案】75 【解析】 【分析】根据中位数的定义即可求解. 【详解】先将数据从小到大排序为65，70，70，80，90，100， 故中位数为(70+80)=75 【点睛】此题主要考查中位数的求解，解题的关键是熟知中位数的定义. 15. 多边形从一个顶点出发可引出条对角线，这个多边形的内角和为______． 【答案】##1260度 【解析】 【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数，然后根据多边形的内角和公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：多边形从一个顶点出发可引出条对角线， ∴， 解得：， ∴这个多边形的内角和为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键． 16. 如图，是的直径，与的平分线交于点，延长交于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、、，交于，由角平分线的定义及圆周角定理可得，，根据外角性质及角的和差关系可得，可得，根据是直径可得是等腰直角三角形，可求出的长，根据圆周角、弦、弧的关系可得，得出垂直平分，根据垂径定理及勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，连接、、，交于， ∵与的平分线交于点，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵是的直径， ∴，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 设， 在和中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、垂直平分线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理及弦、弧、圆心角的关系，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 17. 如图，、分别与相切于A、B，C为上一点，，则的度数为______． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质、圆内接四边形的性质及圆周角定理是解题的关键．在优弧上任取一点D，连接、，、，先根据圆内接四边形的性质求得，然后根据圆周角定理求出，再根据圆的切线的性质得到，最后根据四边形内角和的性质求解即可． 【详解】解：在优弧上取一点D，连接、，、， ，， ， ， 、分别与相切， ， ． 故答案为：． 18. 如图，正方形的边长为，点、分别在轴，轴的正半轴上，点在上，是上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，正方形的性质，轴对称的性质，作点作关于直线的对称点，连接、，由轴对称的性质可得，，根据正方形的性质可得点在上，即点在正半轴上，，利用勾股定理可求出的长，根据轴对称的性质和两点之间，线段最短可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此可得答案． 【详解】解：作点作关于直线的对称点，连接、， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∵四边形是边长为3的正方形，为对角线，点和点关于中心对称，点在上， ∴点在上，即点在正半轴上， ∴根据勾股定理得； ∵， ∴由两点之间，线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题有10小题，共96分．解答时应写出文字说明或演算步骤．） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，根据二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的意义及零指数幂将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解： ． 20 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确利用分式的基本性质进行计算是解题的关键． 首先对确定括号内分式的最简公分母为，然后进行通分，对括号外面进行因式分解，再根据除法法则计算即可； 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 21. 如今很多初中生喜欢购头饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题 （1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图； （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品人均花费是多少元？ 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格（元/瓶） 0 2 3 4 （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率． 【答案】（1）这个班级的学生人数为50人，补全图形见解析；（2）该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元；（3）恰好抽到2名班长的概率为． 【解析】 【分析】（1）由B饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和等于总人数求出C的人数即可补全图形； （2）根据加权平均数的定义计算可得； （3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可得． 【详解】（1）这个班级的学生人数为（人）， 选择C饮品的人数为（人）， 补全图形如下： （2）（元）， 答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元； （3）画树状图如下： 由树状图知共有20种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果， 所以恰好抽到2名班长的概率为． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 小明所在班组织全部同学参加上海世博园，由于时间原因，每个学生只能在所给的场馆单（如图）上随机选择，选择方式规定为在3个发展中国家馆和4个发达国家馆中分别选一个馆参观．场馆单上的3个发展中国家馆包括：A中国馆、B印度馆、C巴西馆；4个发达国家馆包括：D美国馆、E日本馆、F德国馆、G法国馆，其中中国馆、印度馆、日本馆属于亚洲馆． （1）请你用列表或画树状图的方法，分析并写出小明所有可能的参观方式．（馆名用字母表示即可） （2）求小明所选择参观的两个馆恰好都是亚洲馆的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查列表或画树状图等列举法求概率，掌握列举法是解题的关键． （1）根据题意画出树状图即可； （2）由（1）可得小明参观的场馆共有12种等可能情况，其中参观的两个馆恰好都是亚洲馆的有2种情况，根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明所有可能的参观方式，图形如下 【小问2详解】 解：由（1）可得小明参观的场馆共有12种等可能情况，其中参观的两个馆恰好都是亚洲馆的有2种情况，即、， 所以小明所选择参观的两个馆恰好都是亚洲馆的概率为． 23. 如图，四边形ABCD为矩形，，，点E是BC边的中点，将沿直线AE折叠，点B落在点F处，连接CF． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据点为的中点，可得，在根据图形翻折后对应边相等可得，即可求解 （2），，利用勾股定理可求得，根据可得，根据翻折的性质可得，根据内角和相加等于，可求得，进而可求得， 【详解】（1）∵点为的中点， ∴， 由翻折性质可知， ∴ （2）∵,点为的中点, ∴, 在中，由勾股定理可得： ∴ ∵ ∴ 由翻折的性质可知， ∵， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了翻着变换（折叠问题），矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于利用勾股定理进行运算，把所求角的三角函数值利用等量关系转换到可求解的直角三角形中． 24. 如图，直线，等边的顶点、分别在直线和上，边与直线所夹的角记为，边与直线所夹的角记为．（友情提示：等边三角形每个内角都等于） （1）当，求的大小； （2）写出、满足的等式关系，并说明你写出的等式关系正确． 【答案】（1） （2），证明过程见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质． （1）由等边三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，从而可得的大小； （2）由平行线的性质，等量代换可得、满足的等式关系，由平行线的性质，结合等边三角形的性质，证明即可． 【小问1详解】 解：如图，∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 25. 在某大道旁边的路灯杆顶上有一个物体，它的抽象几何图形如图，若，，，求B、C两点间的距离．（结果可保留根号） 【答案】＋8 【解析】 【分析】作AD⊥BC于点D，先根据三角函数的定义求出AD和BD，再根据勾股定理求出CD的长即可． 【详解】解：如图．过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，∠ABC＝60°，， ∴BD＝AB•cos60°＝，AD＝AB•sin60°＝， 在Rt△ADC中，AC＝10， ∴CD＝， ∴BC＝BD＋CD＝＋8． 答：B、C两点间的距离是＋8． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理应用，根据图形作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 26. 列方程解应用题： 某化肥厂5月份生产某种化肥吨，6月份因部分设备检修，产量比5月份减少了．从7月份起产量逐月上升，8月份达到吨．该厂7，8两个月产量的平均月增长率是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】设该厂7，8两个月产量的平均月增长率是x，再根据等量关系：六月份的产量×=八月份的产量列方程求解即可． 【详解】解：设该厂7，8两个月产量的平均月增长率是x，根据题意， 得：， 解得：，（舍去）， 答：该厂7，8两个月产量的平均月增长率是． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键． 27. 已知：E是矩形的边上一个动点，直线交于点F， （1）求证：； （2）若直线经过C点，且，是否存在这样的点E，使和相似？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． （3）连结，若，当和相似时，则　 　． 【答案】（1）见解析 （2）存在，或9 （3）4或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，以及同角的余角相等，即可得证； （2）利用相似三角形的对应边对应成比例列式计算即可； （3）分和两种情况讨论，利用对应边对应成比例进行计算即可． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ADE∽； 【小问2详解】 设，则， 由题意得：， ∵△ADE∽， ∴， ∴， 解得：或9， 经检验，或9是分式方程的根， ∴或9； 【小问3详解】 连接． 当时， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的的值为4或． 【点睛】本题考查矩形的性质，以及相似三角形的判定和性质，根据已知条件判定三角形相似，利用对应边对应成比例列式计算是解题的关键．本题考查了一线三直角相似模型． 28. 如图，已知抛物线过点 （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线过点和且与抛物线交于另一点，与轴交于点，求证：； （3）若点，分别是抛物线与直线上的动点，轴且，求所有符合条件的点坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． （3）如图2中，设 ，根据构建方程求出t即可解决问题． 【小问1详解】 解：把点代入， 得到， ， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 设直线的解析式为，将，代入得: 则有， 解得， 直线的解析式为， 令，得到， ， 令， 解得或， ， 如图中，过点作轴于，过作轴于，则， ，， ， 即． 【小问3详解】 如图中，设， 为一边且顶点为，，，的四边形是平行四边形， ，， ， ， 整理得：或， 解得或或或（舍弃）， 或或． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $