精品解析：2022年四川省成都市天府新区中考数学三诊试卷

2022年四川省成都市天府新区中考数学三诊试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在- (－2)，(－2)，＋，－|－2|这四个数中，负数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，下面几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 据新华网报道，在新一期全球超级计算机强榜单中，中国“神威太湖之光”继续以每秒亿次的浮点运算速度领跑，数用科学记数法可表示为（    ） A. B. C. D. 4. 下列各式中运算正确的是（ ） A. 3m+2=5m B. 2x2-x2=2 C. ab-ab=0 D. y+y+y=y3 5. 若点P(a，b)在第二象限，则点Q(b，1﹣a)所在象限应该是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 下列说法中，正确的说法有（    ） ①对角线互相平分且相等的四边形是菱形； ②等腰三角形中有两边长分别为和，则周长为； ③依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形； ④点关于轴的对称点是； ⑤在数据，，，，中，众数是，中位数是． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 已知关于x的分式方程+1＝0有整数解，且关于x的不等式组的解集为x≤﹣1，则符合条件的所有整数a的个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，平行四边形ABOC中，对角线交于点E，双曲线y＝经过C、E两点，若平行四边形ABOC的面积为18，则k的值是（ ） A. ﹣3 B. ﹣4 C. ﹣5 D. ﹣6 9. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 已知在 上依次有 ，， 三点，，则 的度数是 （ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（每小题4分，共36分） 11. 因式分解：___________． 12. 将两张长方形纸片如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点E恰好落在另 一张长方形纸片的一条边AB上，已知∠BEF＝32，则∠CMF＝________． 13. 二次函数y=2x2+3x﹣9的图象与x轴交点的横坐标是__________. 14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交圆于点E，连接BE，若∠A=110°，∠E=70°，则∠ OCD= ______ 15. 下图所示，、、、是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是_________． 16. 一元二次方程的一个根为，则______． 17. 二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过_____象限． 18. 如图，将沿的角平分线所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E．已知，，那么等于______． 19. 如图，点是边长为的等边的内心，将绕点逆时针旋转得到，交于点，交于点，则___________． 三、解答题（共84分） 20. 计算：． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 一个不透明的口袋中有3个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同，甲先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回；乙再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率． 23. 如图，小欢从公共汽车站出发，沿北偏东方向走米到达东湖公园处，参观后又从处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车站南偏东方向的图书馆处． （1）求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间的最短距离； （2）如果小欢以米分的速度从图书馆沿回到公共汽车站，那么她在分钟内能否到达公共汽车站？注：， 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于点A，与x轴交于点，线段，C为x轴正半轴上一点，且． 求一次函数和反比例函数的解析式； 求点O到直线AB的距离； 若把AOB向下平移n个单位，使B点落在反比例函数图象上，则______． 25. 已知：如图，在四边形中，．点E为边上一点，与分别为和的平分线． （1）请你添加一个适当的条件　 　，使得四边形是平行四边形，并证明你的结论； （2）作线段的垂直平分线交于点O，并以为直径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，交边于点F，连接，交于点G，若，，求的半径． 26. 某公司投入万元（万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为元/件．此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式． （1）求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元/件）之间的函数关系式； （2）若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ （3）第二年，该公司将第一年的利润万元（万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元． 27. 综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动． 问题情境：在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． （1）操作判断 当时，如图1，连接，试判断四边形的形状，并证明； （2）深入探究 连接，取的中点，连接．善于思考的小东发现当点在边上运动时，的值始终不变，请你利用图2求的值． （3）解决问题 若，，如图3，在（2）的探究中，当时，直接写出两点之间的距离． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，点M为抛物线的顶点，点A，B（点A与点M不重合）为抛物线上的动点，且轴，以为边画矩形，点M在上，连结交抛物线于点E． （1）当点A，B在x轴上时，求和的长； （2）如图，当原点O在上时，求直线的解析式； （3）在点A，B的运动过程中，是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年四川省成都市天府新区中考数学三诊试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在- (－2)，(－2)，＋，－|－2|这四个数中，负数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据去括号的法则和绝对值的定义将各数化简，再根据负数的定义即可进行解答． 【详解】- (－2)=2，是正数；(－2)=-2，是负数；＋=是负数；－|－2|=-2，是负数； 负数一共有3个； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了化简有理数的多重符号，绝对值的定义以及负数的定义；熟练掌握相关内容是解题关键． 2. 如图，下面几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：从上面看有3列，左边一列有2个正方形，中间一列有1个正方形，右边一列有1个正方形． 故选D． 3. 据新华网报道，在新一期全球超级计算机强榜单中，中国“神威太湖之光”继续以每秒亿次的浮点运算速度领跑，数用科学记数法可表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将用科学记数法表示为：． 故选：B． 4. 下列各式中运算正确的是（ ） A. 3m+2=5m B. 2x2-x2=2 C. ab-ab=0 D. y+y+y=y3 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则对各个选项进行判断即可． 【详解】解：3m和2不是同类项，不能计算，A错误； 2x2−x2＝x2，B错误； ab−ab＝0，C正确； y＋y＋y＝3y，D错误， 故选C． 【点睛】本题考查的是合并同类项，准确地掌握判断同类项的两条标准：字母相同、相同字母的指数也相同和合并同类项的法则是解题的关键． 5. 若点P(a，b)在第二象限，则点Q(b，1﹣a)所在象限应该是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据点P(a，b)在第二象限判断出a＜0，b＞0，据此可得1﹣a＞0，从而得出答案． 【详解】解：∵若点P(a，b)在第二象限， ∴a＜0，b＞0， 则1﹣a＞0， ∴点Q(b，1-a)所在象限应该是第一象限， 故选：A． 【点睛】本题是象限的考查，解题关键是判断横、纵坐标的正负． 6. 下列说法中，正确的说法有（    ） ①对角线互相平分且相等的四边形是菱形； ②等腰三角形中有两边长分别为和，则周长为； ③依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形； ④点关于轴的对称点是； ⑤在数据，，，，中，众数是，中位数是． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查，菱形的性质、等腰三角形和四边形的特性，根据菱形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定方法，众数与中位数的求法，逐项分析判断． 【详解】解：错误，应该是：对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 错误，应该是：等腰三角形中有两边长分别为和，则周长为或边长有两种情况，，或，，； 正确，依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形； 正确，点关于轴的对称点是； 错误，应该是：在数据，，，，中，众数是，中位数是． 故选：B． 7. 已知关于x的分式方程+1＝0有整数解，且关于x的不等式组的解集为x≤﹣1，则符合条件的所有整数a的个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】首先解分式方程，求出整数解需满足的条件，然后解不等式组，确定的值. 【详解】去分母得2﹣x+1+1﹣x=0， 解得x=且x≠1， 当整数为0，1，﹣2，﹣3，﹣5时，分式方程的解为整数解， 解不等式组为， 而不等式组的解集为x≤﹣1， 所以＞﹣1，解得＞﹣， ∴满足条件的整数的值为0，1． 故选：A． 【点睛】此题主要考查根据不等式组的解集求分式方程的整数解，熟练掌握，即可解题. 8. 如图，平行四边形ABOC中，对角线交于点E，双曲线y＝经过C、E两点，若平行四边形ABOC的面积为18，则k的值是（ ） A. ﹣3 B. ﹣4 C. ﹣5 D. ﹣6 【答案】D 【解析】 【分析】设，，根据平行四边形的性质求得的坐标，进而求得的坐标，根据平行四边形的面积求得的关系，进而求得的值 【详解】设，， 四边形是平行四边形，双曲线y＝经过C、E两点， 则，， 平行四边形ABOC的面积为18， 即 解得 故选D 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中点坐标公式，反比例函数的几何意义，设点的坐标代入计算是解题的关键． 9. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式解析式即可解答． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 【点睛】此题考查了顶点式解析式的组成特点：中顶点坐标为． 10. 已知在 上依次有 ，， 三点，，则 的度数是 （ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况，根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：分两种情况： 如图1，． 如图2．在优弧上任意选取一点D，连接、． 则， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．进行分类讨论是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共36分） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【详解】原式 ． 12. 将两张长方形纸片如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点E恰好落在另 一张长方形纸片的一条边AB上，已知∠BEF＝32，则∠CMF＝________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据平角的定义计算出∠1的度数，再根据平行线的性质可得到∠2的度数，进而得到∠CMF的度数． 【详解】解：连接MN． ∵∠HEF=90°，∠FEB=32°， ∴∠1=180°-90°-32°=58°， ∵CD∥AB， ∴∠1=∠2=58°， ∵HE∥GF， ∴∠CMF=∠2=58°， 故答案为：58． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是“掌握两直线平行，内错角相等”，“两直线平行，同位角相等”． 13. 二次函数y=2x2+3x﹣9的图象与x轴交点的横坐标是__________. 【答案】﹣3或1.5 【解析】 【分析】利用二次函数图象与x轴交点的横坐标即为y=0时，求出x的值，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：y=0时，0=2x2+3x-9， 则（2x-3）（x+3）=0， 解得：x1=1.5，x2=-3． 故答案为﹣3或1.5． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴交点求法，正确解一元二次方程是解题关键． 14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交圆于点E，连接BE，若∠A=110°，∠E=70°，则∠ OCD= ______ 【答案】50° 【解析】 【分析】根据圆周角定理的推论得到∠EBC＝90°，求出∠BCE=90°−∠E=20°，根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝180°−∠A＝70°，即可求出∠OCD＝∠BCD−∠BCE=50°． 【详解】∵EC是⊙O的直径， ∴∠EBC＝90°， ∴∠BCE＝90°−∠E＝20°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD＝180°−∠A＝70°， ∴∠OCD＝∠BCD−∠BCE＝50°， 故填：50°． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，以及圆内接四边形的对角互补这一性质．本题解题关键在于找出直径作对的圆周角是直角（直径对直角），而找到直径的关键是：弦是否经过圆心． 15. 下图所示，、、、是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握实数与数轴是一一对应的关系是解题的关键；由，进而问题可求解． 【详解】解：由于，且， ∴更加靠近，则图中的点是最适合的点． 故答案为． 16. 一元二次方程的一个根为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 将代入方程求解即可． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得． 故答案为：． 17. 二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过_____象限． 【答案】二、三、四． 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限． 【详解】解：∵抛物线的顶点（﹣m，n）在第四象限， ∴﹣m＞0，n＜0， ∴m＜0， ∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限， 故答案是：二、三、四． 18. 如图，将沿的角平分线所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E．已知，，那么等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后，对应边及对应角相等，据此即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质可得，， ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 19. 如图，点是边长为的等边的内心，将绕点逆时针旋转得到，交于点，交于点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内心的定义求出，过作于，可知，根据三角函数得到，根据旋转角为求出，证明，，则四边形是平行四边形，由可知四边形是菱形，可知，，根据三角函数计算即可． 【详解】因为三角形内心是三角形三条内角平分线的交点，是等边三角形， 所以， 所以， 如图所示，过作于， 则， 所以， 因为旋转角为， 所以 所以 所以， 同理， 所以四边形是平行四边形， 因为， 所以四边形是菱形， 所以，， 在中，， 所以． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形内心的定义，等边三角形的性质，三角函数，旋转的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三、解答题（共84分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查负指数幂、立方根和绝对值的化简，熟练掌握负指数幂、立方根、化简绝对值是解题的关键．先化简负指数幂、立方根和绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】解：原式， ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为：，值为： 【解析】 【分析】先计算括号，再计算除法，最后求值求解即可； 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 22. 一个不透明的口袋中有3个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同，甲先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回；乙再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个小球上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，摸出的两个小球上的数字之和为偶数的有5种情况， ∴摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率为． 23. 如图，小欢从公共汽车站出发，沿北偏东方向走米到达东湖公园处，参观后又从处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车站南偏东方向的图书馆处． （1）求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间的最短距离； （2）如果小欢以米分的速度从图书馆沿回到公共汽车站，那么她在分钟内能否到达公共汽车站？注：， 【答案】（1）米 （2）小欢分钟内能到达公共汽车站 【解析】 【分析】过点作于点，根据位于的北偏东方向和米可得的长度； 根据角的余弦和的长可得的长度，再结合小欢的速度可得答案． 【小问1详解】 解：过点作于点， 位于的北偏东方向，米， ，米， 答：小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是米； 【小问2详解】 解：中， ，米， 米， ， 小欢分钟内能到达公共汽车站． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角合，体现了数学应用于实际生活的思想． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于点A，与x轴交于点，线段，C为x轴正半轴上一点，且． 求一次函数和反比例函数的解析式； 求点O到直线AB的距离； 若把AOB向下平移n个单位，使B点落在反比例函数图象上，则______． 【答案】，； ； 12． 【解析】 【分析】解直角三角形求出点A坐标、B坐标即可理由待定系数法解决问题； 只要证明是等腰直角三角形即可解决问题； 作交于，求出点坐标即可解决问题. 【详解】过点A作轴于H， 在中 ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 由， ， ， 设直线AB交y轴于C，则，，作于F． ， ， ， ． 作交于， ， ， 把AOB向下平移12个单位，使B点落在反比例函数图象上 ． 故答案为12． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征，一次函数的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25. 已知：如图，在四边形中，．点E为边上一点，与分别为和的平分线． （1）请你添加一个适当的条件　 　，使得四边形是平行四边形，并证明你的结论； （2）作线段的垂直平分线交于点O，并以为直径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，交边于点F，连接，交于点G，若，，求的半径． 【答案】（1），理由见解析 （2）作出相应的图形见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）添加条件，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可； （2）作出相应的图形，如图所示； （3）由平行四边形的对边平行得到与平行，可得同旁内角互补，再由与为角平分线，可得出与垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到与垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到，根据的值，确定出的值，求出的长，即可确定出圆的半径． 【小问1详解】 解：当时，四边形是平行四边形，理由为： 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形； 故答案为； 【小问2详解】 解：作出相应的图形，如图所示； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵与分别为与的平分线， ∴， ∴， ∵为圆的直径，点在圆O上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则圆O的半径为． 【点睛】此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键． 26. 某公司投入万元（万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为元/件．此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式． （1）求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元/件）之间的函数关系式； （2）若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ （3）第二年，该公司将第一年的利润万元（万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元． 【答案】（1）； （2）元/件； （3）万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解决本题的关键是根据利润单件利润销售量，列出函数关系式，再利用二次函数的图象与性质求解． 根据利润单件利润销售量，即可解决问题； 当时，可得关于的一元二次方程，解方程即可求出第一年的售价； 根据公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件，可得：，根据利润单件利润销售量，可得第二年的利润为，求出在的取值范围内二次函数的最小值即可． 【小问1详解】 解：根据利润单件利润销售量， 可得：； 【小问2详解】 解：当时， 可得：， 解得：， 该产品第一年的售价是元/件． 【小问3详解】 解：公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件， ， 解得：， ， 第二年的利润， 抛物线的对称轴为直线，开口向下，且， 当时，有最小值，最小值为万元， 答：该公司第二年的利润至少为万元． 27. 综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动． 问题情境：在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． （1）操作判断 当时，如图1，连接，试判断四边形的形状，并证明； （2）深入探究 连接，取的中点，连接．善于思考的小东发现当点在边上运动时，的值始终不变，请你利用图2求的值． （3）解决问题 若，，如图3，在（2）的探究中，当时，直接写出两点之间的距离． 【答案】（1）四边形是菱形； 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形; （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出，进而证明，，得出四边形是菱形； （2）延长至点，使，连接，依题意，，证明，得出，即可求解． （3）延长至点，使，连接，过点作于点，可得是三角形是中位线，证明，则，，进而得出，，可得点在上，根据等边三角形的性质勾股定理求得，，进而分点在的左边和右边，分别求得，根据求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，延长至点，使，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接，过点作于点， ∵是的中点， ∴是三角形是中位线 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，中位线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定是解题的关键． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，点M为抛物线的顶点，点A，B（点A与点M不重合）为抛物线上的动点，且轴，以为边画矩形，点M在上，连结交抛物线于点E． （1）当点A，B在x轴上时，求和的长； （2）如图，当原点O在上时，求直线的解析式； （3）在点A，B的运动过程中，是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）是，为定值3 【解析】 【分析】（1）令，解之即可得出点A、B的坐标，根据抛物线的解析式结合矩形的性质即可得出点C、D、M的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式成方程组，通过求方程组即可求出点E的坐标，再利用两点间的距离公式即可求出和的长； （2）根据二次函数的性质结合点O在上即可得出点A、C关于原点对称，设点C的坐标为，则点A的坐标为，由点A在抛物线上即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出m值，再将m值代入点A、C的坐标中，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）设点A的纵坐标为n，则点A的坐标为，点C的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式成方程组，通过解方程组找出点E的坐标，再由点A、E、C三点共线结合三点的横坐标即可求出的值，此题得解． 【小问1详解】 解：令， 解得：，， ∴点，点． ∵点M为抛物线的顶点，四边形为矩形， ∴点，点，点． 设直线的解析式为， 将、代入， ，解得：， ∴直线的解析式为． 联立直线与抛物线的解析式成方程组， ，解得：，， ∴点， ∴，． 【小问2详解】 解：由抛物线的对称性可知：点A、B关于轴对称， ∴点A、C关于原点对称， 设点C的坐标为，则点A的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式为， 将代入， 则，解得：， ∴当原点O在上时，直线的解析式为． 【小问3详解】 解：设点A的纵坐标为，则点A的坐标为，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 将、代入， ，解得：， ∴直线的解析式为． 联立直线与抛物线的解析式成方程组， ，解得：，， ∴点， 又∵点A、E、C三点共线， ∴． 即在点A，B的运动过程中，为定值3． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、解二元一次方程组、矩形的性质，解题的关键是：（1）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点E的坐标；（2）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线的解析式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $