精品解析：湖南省常德市石门县2022年九年级第一次中考模拟数学试题

石门县2022届初中毕业模拟考试 九年级数学试题卷 考生注意： 1、本堂考试时量为120分钟，满分120分； 2、本试卷分试题卷和答题卷，考生作答时，将解答过程和答案写在答题卷上； 3、请考生在答题卷上写好自己的姓名、考号等信息．考试结束时，只交答题卷． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 2022的相反数的倒数是（ ） A. 2022 B. C. D. 2. 不等式的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ ） A. 十边形 B. 十一边形 C. 十二边形 D. 十三边形 4. 下列运算正确的是（ ） A. a+2a＝3a2 B. a3•a2＝a5 C. （a4）2＝a6 D. a4+a2＝a6 5. 木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ） A. 18张 B. 16张 C. 14张 D. 12张 6. 若分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小2倍 D. 扩大4倍 7. 我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小明同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，将一个等腰直角三角形△ABC按如图方式折叠，若DE=a，DC=b，下列四个结论：①DC′平分∠BDE；②BC长为2a+b；③△BDC′是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长．其中，正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 不等式组的解集是________． 10. 截至2022年3月21日，全国31个省和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗约3230000000剂次，3230000000用科学记数法可表示为______． 11. 如图所示是小明一天24小时的作息时间分配的扇形统计图，那么他的阅读时间是________小时． 12. 若关于x的分式方程有增根，则增根是______． 13. 如图，内接于，若的半径为则阴影部分的面积为_______________________． 14. 如图，在中和的角平分线相交于，，则的度数等于______° 15. 为迎接五月份全县中考九年级体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某周每天做引体向上的个数，如下表． 星期 日 一 二 三 四 五 六 个数 11 12 13 12 其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据的唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是________. 16. 如果记，并且表示当时y的值，即；表示，当时y的值，即；那么________． 三、（本大题共2个小题，每小题5分，满分10分） 17. 计算： 18. 用公式法解方程：． 四、（本大题共2个小题，每小题6分，满分12分） 19. 如图，四边形是平行四边形，，是对角线的三等分点．求证：． 20. 如图所示，直线交坐标轴于A,B两点，与反比例函数交于点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D．若，求k的值． 五、（本大题共2个小题，每小题7分，满分14分） 21. 为打好“蓝天、碧水、净土”三大保卫战，某县政府决定将县城附近乡村的烧煤取暖全部改制为集中供热．“永盛”工程队承包了该项工程的总管道铺设工程．该工程队施工效率比原计划提高25%，就可以比原计划提前20天完成任务．请解答下列问题： （1）“永盛”工程队提高施工效率后平均每天铺设管道多少； （2）在（1）的基础上为了缩短工期，在管道铺设了20天后，该工程队经研究决定，余下的管道铺设任务要在50天内（含50天）完成，求该工程队平均每天至少再多铺设多少？ 22. 为“弘扬美食文化，助力湘菜出山”，某数学兴趣小组在长沙市随机抽取500位市民填写了“舌尖上的湖南——我最喜爱的湖南小吃”调查问卷，兴趣小组将调查问卷整理后绘制成如下统计图，请根据所给信息解答以下问题： 调查问卷 单项选择题：在下面四种湖南美食中，你最喜欢的是（ ） A.火宫殿臭豆腐 B.剁椒鱼头 C.姊妹团子 D.酱板鸭 （1）请补全条形统计图； （2）已知长沙市人口约1000万人，请估计长沙市市民中最喜欢“姊妹团子”的有多少万人？ （3）“五·一”小长假期间，来湖南旅游的小度要从以上四种小吃中随机选择两种不同的小吃进行品尝，请用列表或画树状图的方法，求他选中“火宫殿臭豆腐”和“酱板鸭”的概率． 六（本大颗共2个小题每小题8分满分16分） 23. 如图所示，某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比i＝1：，求大树的高度．（结果保留一位小数）参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，取1.73． 24. 如图，已知A、B、C分别是上的点，，P是直径的延长线上的一点，且． （1）求证：与相切； （2）如果，求的长． 25. △ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°． （1）如图①，点B在线段AE上，点C在线段AD上，请直接写出线段BE与线段CD的数量关系：　　； （2）如图②，将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），请判断并证明线段BE与线段CD的数量关系； （3）将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），若DE=2AC，在旋转的过程中，当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出旋转角α的度数． 26. 如图1，抛物线经过点A(4，3)，对称轴是直线=2，顶点为B．抛物线与轴交于点C，连接AC，过点A作AD⊥轴于点D，点E是线段AC上的动点(点E不与A、C两点重合)． （1）求抛物线的函数解析式和顶点B的坐标； （2）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1:3的两个四边形，求点E的坐标； （3）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在轴上的同时点F也恰好落在抛物线上?若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石门县2022届初中毕业模拟考试 九年级数学试题卷 考生注意： 1、本堂考试时量为120分钟，满分120分； 2、本试卷分试题卷和答题卷，考生作答时，将解答过程和答案写在答题卷上； 3、请考生在答题卷上写好自己的姓名、考号等信息．考试结束时，只交答题卷． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 2022的相反数的倒数是（ ） A. 2022 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据和为零的两个数互为相反数，利用乘积为1的两个数互为倒数计算． 【详解】∵2022的相反数是-2022， ∴-2022的倒数是， 故选B． 【点睛】本题考查了相反数即只有符号不同的两个数，倒数即乘积为1的两个数，熟练掌握定义，灵活计算是解题的关键． 2. 不等式的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的性质，可得不等式的解集，可把不等式的解集表示在数轴上．把不等式的解集在数轴上表示出来． 【详解】解：解不等式得， 解集在数轴上表示的是： 故选：B． 3. 已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ ） A. 十边形 B. 十一边形 C. 十二边形 D. 十三边形 【答案】C 【解析】 【分析】首先设多边形的每一个外角为x°，则内角为（4x+30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x+4x+30=180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数． 【详解】解：设外角为x°， 由题意得：x+4x+30=180， 解得：x=30， 360°÷30°=12， ∴这个多边形是十二边形． 故选：C 【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解题的关键是内角与相邻的外角是互补关系，构建方程求解． 4. 下列运算正确的是（ ） A. a+2a＝3a2 B. a3•a2＝a5 C. （a4）2＝a6 D. a4+a2＝a6 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则判断A、D；根据同底数幂的乘法法则判断B；根据幂的乘方法则判断C． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并成一项，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算性质和法则． 5. 木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ） A. 18张 B. 16张 C. 14张 D. 12张 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点，一是全部情况的总数，二是符合条件的情况数目，求解即可； 【详解】设木箱中蓝色卡片x个，根据题意可得， ， 解得：， 经检验，时原方程的解， 则估计木箱中蓝色卡片有12张； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，准确计算是解题的关键． 6. 若分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小2倍 D. 扩大4倍 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意及分式的性质可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴分式的值比原分式扩大了2倍； 故选A． 【点睛】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 7. 我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小明同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，结合函数图象逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：①，和都满足，故①正确； ②从函数图象可得图象具有对称性，对称轴为直线，故②正确； ③根据函数图象可得，当或时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确； ④当或时，函数的最小值是0，故④正确； ⑤由图象可得，当时，不是函数的最大值，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 8. 如图，将一个等腰直角三角形△ABC按如图方式折叠，若DE=a，DC=b，下列四个结论：①DC′平分∠BDE；②BC长为2a+b；③△BDC′是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长．其中，正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由△ABC为等腰直角三角形，得AB=AC=BC，∠ABC=∠C=45°，根据折叠可得∠C′DE=45°，∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，可判定①错误；而BE=AB=AC=AD+CD=DE+CD=a+b，CE=DE=a，可判定②正确；由∠DBC=∠BDC′=22.5°，可判定③正确；又△CED的周长=DE+EC+DC=2a+b，可判定④正确，即可得到答案． 【详解】解：∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=AC=BC，∠ABC=∠C=45°， ∵Rt△ABD折叠得到Rt△EBD， ∴∠DBE=∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°， ∴△DCE为等腰直角三角形， ∴CE=DE=a，∠CDE=45°， ∵Rt△DC′E由Rt△DCE折叠得到， ∴∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°， ∴∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°， ∴DC′不平分∠BDE，所以①错误； ∵BE=AB=AC=AD+CD=DE+CD=a+b，CE=DE=a， ∴BC=BE+CE=a+b+a=2a+b，所以②正确； ∵∠DBC=∠BDC′=22.5°， ∴△BDC′是等腰三角形，所以③正确； ∵△CED的周长=DE+EC+DC=a+a+b=2a+b， ∴△CED的周长等于BC的长，所以④正确． 故答案为：②③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握不等式组的解法． 10. 截至2022年3月21日，全国31个省和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗约3230000000剂次，3230000000用科学记数法可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是确定和的值． 根据科学记数法的定义，将原数表示为的形式，其中为整数，通过确定和的值来求解． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数绝对值时，是负数． 对于3230000000，将小数点向左移动9位得到3.23， 所以，用科学记数法表示为． 故答案为：． 11. 如图所示是小明一天24小时的作息时间分配的扇形统计图，那么他的阅读时间是________小时． 【答案】1 【解析】 【分析】先求“阅读”所占的圆心角，再用×24，即可得出结果． 【详解】解：360o-(60o+30o+120o+135o)=15o， ×24=1（小时）， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了扇形统计图的应用，能够求出“阅读”所占的圆心角是解决本题的关键． 12. 若关于x的分式方程有增根，则增根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根，根据分式方程的增根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， .∴， 解得，即增根是， 故答案为：． 13. 如图，内接于，若的半径为则阴影部分的面积为_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝120°，过点O作OD⊥BC，根据垂径定理与含30°的直角三角形及勾股定理求出BC，OD，再根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵∠A＝60°， ∴∠BOC＝2∠A＝120°， 过点O作OD⊥BC， ∴∠BOD=60° ∴∠OBD=30° ∴OD= ∴BC=2BD= ∴阴影部分的面积＝S扇形BOC−S△BOC== 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 14. 如图，在中和的角平分线相交于，，则的度数等于______° 【答案】52 【解析】 【分析】先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，再根据三角形内角和定理计算出∠OBC＋∠OCB的度数，进而得到∠ABC＋∠ACB，即可算出∠A的度数． 【详解】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∵∠BOC＝116°， ∴∠OBC＋∠OCB＝180°−116°＝74°， ∴∠ABC＋∠ACB＝2×74°＝148°， ∴∠A＝180°−148°＝52°， 故答案为：52． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 15. 为迎接五月份全县中考九年级体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某周每天做引体向上的个数，如下表． 星期 日 一 二 三 四 五 六 个数 11 12 13 12 其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据的唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得到被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，根据方差公式即可得到结论． 【详解】平均数是12， 这组数据的和为， 被墨汁覆盖的数的和为. 这组数据的唯一众数是13， 被墨汁覆盖的三个数为10，13，13， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查方差的计算以及平均数、众数的概念，熟记方差公式是解题的关键． 16. 如果记，并且表示当时y的值，即；表示，当时y的值，即；那么________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减运算法则，难度适中，解题的关键是发现规律：，然后利用加法的结合律求解即可．首先利用分式的加减运算法则求得的值，然后利用加法的结合律，即可求得的值． 【详解】解：， ； 故答案为：． 三、（本大题共2个小题，每小题5分，满分10分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】首先代入特殊角的三角函数值，再利用完全平方公式、平方差公式、零指数幂进行计算，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是熟练掌握角的三角函数值，掌握计算顺序． 18. 用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴，． 四、（本大题共2个小题，每小题6分，满分12分） 19. 如图，四边形是平行四边形，，是对角线的三等分点．求证：． 【答案】证明见详解； 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知AD=BC，∠ADB=∠DBC，再根据三等分点可知DE=BF，即可证明△ADE≌△CBF，即可得出结论； 【详解】∵ ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，∠ADB=∠DBC， 又∵E、F是对角线BD的三等分点， ∴DE=BF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF(SAS)， ∴∠DAE=∠BCF； 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的判定，正确掌握知识点是解题的关键； 20. 如图所示，直线交坐标轴于A,B两点，与反比例函数交于点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D．若，求k的值． 【答案】． 【解析】 【分析】先根据一次函数的解析式求出点的坐标，从而可得的长，设点的坐标为，再根据已知的比例式可求出的值，从而可得点的坐标，然后代入反比例函数的解析式即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，即， 由题意，可设点的坐标为，则， ， ， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ， 则点的坐标为， 将点代入得：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、比例的性质，根据比例式求出点的坐标是解题关键． 五、（本大题共2个小题，每小题7分，满分14分） 21. 为打好“蓝天、碧水、净土”三大保卫战，某县政府决定将县城附近乡村的烧煤取暖全部改制为集中供热．“永盛”工程队承包了该项工程的总管道铺设工程．该工程队施工效率比原计划提高25%，就可以比原计划提前20天完成任务．请解答下列问题： （1）“永盛”工程队提高施工效率后平均每天铺设管道多少； （2）在（1）的基础上为了缩短工期，在管道铺设了20天后，该工程队经研究决定，余下的管道铺设任务要在50天内（含50天）完成，求该工程队平均每天至少再多铺设多少？ 【答案】（1）“永盛”工程队提高效率后平均每天铺设管道；（2）“永盛”工程队平均每天至少再多铺设管道． 【解析】 【分析】（1）设“永盛”工程队提高施工效率前平均每天铺设管道，则提高施工效率后平均每天铺设管道，根据“原计划工作天数提高施工效率后实际工作天数20”列分式方程求解即可； （2）设“永盛”工程队每天再多铺设管道，根据“前20天内施工后剩余的施工量要小于等于后50天内完成的施工量”列不等式进行求解即可． 【详解】（1）设“永盛”工程队提高施工效率前平均每天铺设管道，则提高施工效率后平均每天铺设管道， 由题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：“永盛”工程队提高效率后平均每天铺设管道； （2）设“永盛”工程队每天再多铺设管道， 由题意，得， 解得， 答：“永盛”工程队平均每天至少再多铺设管道． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用及不等式的实际应用，准确找出题目中相关数量关系是解决本题的关键． 22. 为“弘扬美食文化，助力湘菜出山”，某数学兴趣小组在长沙市随机抽取500位市民填写了“舌尖上的湖南——我最喜爱的湖南小吃”调查问卷，兴趣小组将调查问卷整理后绘制成如下统计图，请根据所给信息解答以下问题： 调查问卷 单项选择题：在下面四种湖南美食中，你最喜欢的是（ ） A.火宫殿臭豆腐 B.剁椒鱼头 C.姊妹团子 D.酱板鸭 （1）请补全条形统计图； （2）已知长沙市人口约1000万人，请估计长沙市市民中最喜欢“姊妹团子”的有多少万人？ （3）“五·一”小长假期间，来湖南旅游的小度要从以上四种小吃中随机选择两种不同的小吃进行品尝，请用列表或画树状图的方法，求他选中“火宫殿臭豆腐”和“酱板鸭”的概率． 【答案】（1）见解析 （2）200万人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、统计表、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）求出选择C的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用1000万乘以样本中选择C的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及他选中“火宫殿臭豆腐”和“酱板鸭”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，选择C的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． 【小问2详解】 解：（万人）． 答：估计长沙市市民中最喜欢“姊妹团子”的约有200万人． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中他选中“火宫殿臭豆腐”和“酱板鸭”的结果有2种， ∴他选中“火宫殿臭豆腐”和“酱板鸭”的概率为． 六（本大颗共2个小题每小题8分满分16分） 23. 如图所示，某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比i＝1：，求大树的高度．（结果保留一位小数）参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，取1.73． 【答案】树高BC约12.5米． 【解析】 【分析】首先过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，由FA的坡比i=1： ，DA=6，可求得AN与DN的长，然后设大树的高度为x，又由在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，可得AC=，又由在△BDM中，，可得x﹣3＝（3+），继而求得答案． 【详解】过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N， 则四边形DMCN是矩形， ∵DA＝6，斜坡FA的坡比i＝1：， ∴DN＝AD＝3，AN＝AD•cos30°＝6×＝3， 设大树的高度为x， ∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°， ∴tan48°＝≈1.11， ∴AC＝， ∴DM＝CN＝AN+AC＝3+， ∵在△BDM中，， BM＝DM， ∴x﹣3＝（3+）， 解得：x≈12.5． 答：树高BC约12.5米． 【点睛】此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题关键在于做辅助线 24. 如图，已知A、B、C分别是上的点，，P是直径的延长线上的一点，且． （1）求证：与相切； （2）如果，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴与相切． （2）的长是 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，则，由，得，求得，即可证明与相切； （2）由，，得，推导出，则，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 25. △ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°． （1）如图①，点B在线段AE上，点C在线段AD上，请直接写出线段BE与线段CD的数量关系：　　； （2）如图②，将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），请判断并证明线段BE与线段CD的数量关系； （3）将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），若DE=2AC，在旋转的过程中，当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出旋转角α的度数． 【答案】（1）BE＝CD； （2）BE＝CD； 证明：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形， ∴ 由旋转的性质得， 在△BAE与△CAD中， ∴ ∴； （3）转角α的度数为45°或225°或315． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得再根据等量关系可得线段BE与线段CD的关系； （2）根据等腰直角三角形的性质可得根据旋转的性质可得根据SAS可证根据全等三角形的性质即可求解； （3）根据平行四边形的性质可得再根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：BE＝CD； （2）略 （3）如图， ∵以四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形， ∴ ∵ED＝2AC， ∴AC＝CD， ∴①当C点旋转于C1位置时∠CAD＝45°， ②当C点旋转于C2位置时∠CAD＝360°−90°−45°＝225°， ③当C点旋转于C3位置时∠CAD＝360°−45°＝315°， ∴角α的度数是45°或225°或315°， 故答案为：45°或225°或315． 【点睛】此题是四边形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是画出示意图． 26. 如图1，抛物线经过点A(4，3)，对称轴是直线=2，顶点为B．抛物线与轴交于点C，连接AC，过点A作AD⊥轴于点D，点E是线段AC上的动点(点E不与A、C两点重合)． （1）求抛物线的函数解析式和顶点B的坐标； （2）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1:3的两个四边形，求点E的坐标； （3）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在轴上的同时点F也恰好落在抛物线上?若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意得出解得的值，代入可得抛物线的解析式，将解析式化成顶点式，可得顶点坐标； （2）求出C（0，3），设点E的坐标为（m，3），求出直线BE的函数表达式为： ，则点M的坐标为（4m-6，0），由题意得出OC=3，AC=4，OM=4m-6，CE=m，则，，分两种情况求出m的值即可； （3）过点F作FN⊥AC于N，则，设点F的坐标为： ，则NF＝，NC＝﹣a，证△EFN≌△DGO（ASA），得出NE=OD=AC=4，则AE=NC=-a，证△ENF∽△DAE，得出，即，求出或0，当a=0时，点E与点A重合，舍去，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线yx2+bx+c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2， ∴ 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：yx2+x+3， ∵yx2+x+3（x﹣2）2+4， ∴顶点B的坐标为（2，4）． 【小问2详解】 解：∵yx2+x+3， ∴x＝0时，y＝3， 则C点的坐标为（0，3）， ∵A（4，3）， ∴， ∵AD⊥x， ∴四边形ACOD是矩形， 设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：，直线BE交x轴于点M，如图1所示， 则， 解得： ∴直线BE的函数表达式为：， 令，则x＝4m﹣6， ∴点M的坐标为（4m﹣6，0）， ∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分， ∴点M在线段OD上，点M不与点O重合， ∵C（0，3），A（4，3），M（4m﹣6，0），E（m，3）， ∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m， ∴S矩形ACOD＝OC•AC＝3×4＝12， ， 分两种情况： （i），即， 解得：m， ∴点E的坐标为：（，3）； （ii），即， 解得：m， ∴点E的坐标为：（，3）； 综上所述，点E的坐标为：（，3）或（，3）． 【小问3详解】 解：存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下： 由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方， 过点F作FN⊥AC于N，则，如图2所示， 设点F的坐标为：（a，a2+a+3）， 则NF＝3﹣（a2+a+3）a2﹣a，NC＝﹣a， ∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形， ∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，，， ∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO， ∵， ∴∠EMC＝∠EFN， ∴∠EFN＝∠DGO， 在△EFN和△DGO中， ∵， ∴△EFN≌△DGO（ASA）， ∴NE＝OD＝AC＝4， ∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a， ∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°， ∴∠NEF+∠EFN＝90°，∠NEF+∠DEA＝90°， ∴∠EFN＝∠DEA， ∴△ENF∽△DAE， ∴，即， 整理得：a2+a＝0， 解得：a或0（不合题意，舍去）， ∴AE＝NC＝﹣a， ∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式、二次函数的性质、一次函数解析式、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $