4.5.1 等腰三角形的性质 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形性质，系统讲解定义、等边对等角、三线合一等核心知识，通过“剪一剪”“折一折”等动手操作导入，衔接三角形内角和等前置知识，为后续几何证明搭建学习支架。 其亮点在于融合数学眼光与思维，通过剪裁视频、折叠实践培养几何直观，以分类讨论例题（如已知内角求底角）发展推理意识，用“三线合一”几何语言模板规范表达。课堂小结梳理易错点，助力学生深化理解，教师可直接用于教学提升效率。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 4.5.1 等腰三角形的性质 第4章 三角形 湘教版数学八年级下册4.5.1 等腰三角形的性质同步讲义与练习 本节核心考点：掌握等腰三角形的定义、两大核心性质，熟练运用等边对等角、三线合一进行角度计算、线段证明，理解等腰三角形的轴对称性，规避分类讨论易错点，是几何计算与证明的高频基础考点。 一、核心知识点精讲 1. 等腰三角形的定义 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 各部分名称： ① 相等的两条边叫做腰； ② 另一条边叫做底边； ③ 两腰的夹角叫做顶角； ④ 腰与底边的夹角叫做底角。 特殊说明：等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等）。 2. 等腰三角形性质一：等边对等角（必考） 性质内容：等腰三角形的两底角相等。 几何语言： ∵ AB=AC（已知），∴ ∠B=∠C（等边对等角）。 适用场景：已知等腰三角形边长相等，推导角度相等，用于角度计算、角度证明。 核心前提：在同一个三角形中，等边对等角，跨三角形不成立。 3. 等腰三角形性质二：三线合一（本节重难点、超高频考点） 性质内容：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 通俗理解：一条线段，身兼三职！ 在等腰三角形中，只要满足其中一个条件，就可以推出另外两个条件。 几何语言（三组满分模板）： 已知AB=AC： 1. 若AD平分∠BAC（顶角平分线），则AD⊥BC、BD=DC； 2. 若BD=DC（底边中线），则AD⊥BC、AD平分∠BAC； 3. 若AD⊥BC（底边的高），则BD=DC、AD平分∠BAC。 致命易错点：三线合一仅针对顶角和底边，腰上的高、中线、角平分线不重合！ 4. 等腰三角形的轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为：顶角平分线所在直线（底边中线、底边高所在直线），三条线重合，对称轴唯一。 5. 等腰三角形角度计算核心规律 1. 内角和180°：顶角+2×底角=180°； 2. 底角一定是锐角（不可能为直角、钝角）； 3. 顶角可以是锐角、直角、钝角； 4. 题型必做：分类讨论（已知一个角，求另外两角，需分顶角、底角两种情况）。 6. 解题核心思路 遇等腰、找等边 → 用等边对等角算角度 → 遇底边垂线/中线/角平分线 → 直接用三线合一推垂直、平分、等角。 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 等腰三角形的两底角关系是（） A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 不确定 2. 等腰三角形“三线合一”中的三线不包括（） A. 顶角平分线 B. 底边上的高 C. 腰上的中线 D. 底边上的中线 3. 等腰三角形的对称轴是（） A. 底边 B. 腰 C. 顶角平分线所在直线 D. 三角形的高 4. 已知等腰三角形一个内角为70°，则底角不可能是（） A. 70° B. 55° C. 40° D. 无错误选项 5. 下列说法正确的是（） A. 等腰三角形一定是锐角三角形 B. 等腰三角形两腰相等 C. 等腰三角形三线合一适用于所有高线 D. 底角可以是钝角 6. 在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论错误的是（） A. BD=CD B. ∠BAD=∠CAD C. ∠B=∠C D. AD=BC 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 等腰三角形________、________、________互相重合，简称三线合一。 8. 等腰三角形中，等边对________。 9. 等腰三角形的底角一定是________角。 10. 若等腰三角形顶角为80°，则底角为________°。 11. 若等腰三角形一个底角为50°，则顶角为________°。 12. 等腰三角形是________图形，有________条对称轴。 四、解答题（共52分） 13.（16分）基础角度计算： 已知在△ABC中，AB=AC，顶角∠A=40°，求底角∠B、∠C的度数。 14.（18分）三线合一基础证明： 已知AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC，BD=CD。 15.（18分）分类讨论综合题： 已知等腰三角形有一个内角为100°，求其余两个内角的度数。 五、参考答案与详细解析 一、选择题 1.C（等腰三角形核心性质：两底角相等，等边对等角）； 2.C（三线合一仅限底边中线、底边高、顶角平分线，不含腰上线段）； 3.C（对称轴是直线，为顶角平分线所在直线）； 4.C（70°可为顶角，底角55°；70°可为底角，另一底角70°，无40°底角情况）； 5.B（等腰三角形定义：两腰相等）； 6.D（三线合一可推出平分、垂直，无法推出AD=BC）。 二、填空题 7. 顶角平分线；底边上的中线；底边上的高 8. 等角 9. 锐 10. 50 11. 80 12. 轴对称；1 三、解答题 13. 解： ∵ AB=AC（已知），∴ ∠B=∠C（等边对等角） ∵ ∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40° ∴ ∠B=∠C=(180°−40°)÷2=70° 答：∠B=70°，∠C=70°。 14. 证明： ∵ AB=AC，AD平分∠BAC ∴ AD⊥BC，BD=CD（等腰三角形三线合一）。 15. 解：分类讨论： ① 若100°为底角：两个底角和为200°＞180°，不符合三角形内角和，舍去； ② 若100°为顶角：剩余两底角相等， 底角=(180°−100°)÷2=40°。 答：其余两个内角均为40°。 本节易错必记（考试高频扣分点） 1. 最大陷阱：三线合一只针对底边和顶角，腰上的高、中线不重合，乱用直接扣分； 2. 角度计算必须分类讨论：已知锐角需分顶角、底角两种情况，钝角、直角只能是顶角； 3. 底角绝对不能≥90°，否则违反三角形内角和定理； 4. 等边对等角必须在同一个三角形内使用； 5. 对称轴是直线，不是线段、射线，答题注意表述。 本节核心背诵口诀 等腰三角形两腰等，等边对等角要记清； 顶角平分底边中，高线合一功能精； 底角永远是锐角，钝角只在顶角生； 角度计算分类算，不重不漏得满分。 学习目标 1.理解并掌握等腰三角形的性质；(重点) 2.经历等腰三角形的性质的探究过程 3.能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题. 学习目标 等腰三角形 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪下蓝色部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形有什么特点？ 等腰三角形的性质 1 A B C AB = AC 等腰三角形 点击视频开始播放 → 视频：等腰三角形的剪裁 折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 找一找：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 猜一猜：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. 思考：在等腰△ABC 中，已知 AB = AC，AD 是∠ABC 的中线，则∠B =∠C 吗?∠BAD =∠CAD 吗? AD 是△ABC 的高线吗？ 解：如图，由于 AD 是等腰△ABC 的底边 BC 上的中线，则 BD = CD. 在△ABD 和△ACD 中， A B C D 因此∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°. 即 AD 是△ABC 的顶角∠BAC 的平分线， 是底边 BC 上的高线. 所以△ABD≌△ACD (边边边). AB = AC， BD = CD， AD = AD， 由此得到等腰三角形的性质定理： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”). 知识要点 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 不重合！ 三线合一 为什么不一样? “三线合一”的操作 点击按钮开始播放 → 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 为 AB 的中点，点 E 在 AC 上，且 BE = BC = AE. (1) 求证：ED丄AB； (2) 求△ABC 各角的度数. 解：(1) 因为 BE = AE，D 为 AB 的中点， 所以 ED 是等腰△EAB 的边 AB 上的中线， 从而ED丄AB (三线合一) A B C D E 1 2 典例精析 (2) 因为 AB = AC，BE = BC = AE， 所以∠ABC =∠C，∠C =∠1，∠A =∠2(等边对等角). 于是∠1 =∠A +∠2 = 2∠A， 从而∠ABC =∠C =∠1 = 2∠A. 又∠A +∠ABC +∠C = 180°， 于是∠A + 2∠A + 2∠A = 180°， 从而∠A = 36°， 因此∠A，∠ABC，∠C 的度数分别为36°，72°，72°. A B C D E 1 2 (2) 求△ABC 各角的度数. A B C D 例2 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数. 分析：(1) 找出图中所有的相等角； (2) 找出图中有几个等腰三角形； ∠A =∠ABD， ∠C =∠BDC =∠ABC. △ABC， △ABD， △BCD. A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x (3) 观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C 呢？ ∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A = 2∠ABD， ∠ABC =∠BDC = 2∠A， ∠C =∠BDC = 2∠A. (4) 设∠A = x°，请把 △ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来. ∵∠A +∠ABC +∠C = 180°， ∴ x + 2x + 2x = 180°. 解：∵AB = AC，BD = BC =AD， ∴∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD. 设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， 从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x. 于是在 △ABC 中，有 ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°， 解得 x = 36°. ∴∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系列方程求解. 归纳 A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 例3 等腰三角形的一个内角是 50°，求这个三角形的底角的度数. 解：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当 50° 的角是顶角时，由于两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°. 方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角为锐角时，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 思考：建筑工人在盖房子时，将一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板的底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗? 1. 在中，已知 ，若 是等腰三角形，则 为( ) D A. B. C. 或 D. 或 或 返回 考试考法 20 返回 2．如图，B，C两点分别在直线a，b上，且a∥b，BA＝BC，AB⊥a，若∠1＝115°，则∠BCA的度数等于________． 25° 考试考法 21 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数为________． 返回 45° 考试考法 22 4.［上海金山区期末］如图，已知在 中，为边 上一点， . （1）求证： ； 【证明】因为，所以 ， .因为 ， 所以 . 考试考法 23 （2）过点作的平行线交 的延长线 于点，若，求证： 平分 . 因为，所以 .因为 ，所以， .所以 .所以平分 . 返回 考试考法 24 5. “一亭幽绝费平章，峡 口清风赠晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶 染丹黄.饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳. 此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔？”其中 “一亭”指的是一座具有悠久历史的古典园林建筑——“爱晚 亭”.如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形 ， ，是边上的一点.下列条件不能说明 是 的角平分线的是( ) 考试考法 25 A. B. C. D. 与 的周长相等 √ 考试考法 6．如图，在△ABC中，点E是边AB上一点，连接CE，BE＝CE，过点E作ED⊥BC于点D.若△ACE的周长为20，BD＝3，则△ABC的周长为________． 26 考试考法 27 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质. 推论 等边三角形三个内角相等，且均等于 60° 课堂小结 $