4.5等腰三角形（2）教学设计 2025-2026学年 湘教版（2024）八年级数学上册

4.5等腰三角形（2） 教学设计 课题 4.5等腰三角形 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级上册 教材分析 本课的主要内容是引导学生探究等边三角形的性质定理和判定定理以及定理的推理证明和初步应用。本课是在学生学习了轴对称图形和等腰三角形有关知识后学习的，在实际生活中总能找到等边三角形的影子，它不仅使我们的生活变得丰富多彩，让我们在生活中体验到特殊的对称美。而且为我们的数学研究提供了重要素材.这一课的内容不仅是等腰三角形的延续，而且为今后证明角相等、线段相等提供了重要依据,在教材中处于非常重要的地位,起着承前启后的作用。 核心素养 能力培养 1.通过推理证明等边三角形的判定定理，发展推理能力，培养分析、归纳问题的能力；2.培养学生的空间观念和观察能力，激发学生对数学的兴趣和热爱； 3.经历应用等边三角形性质的过程,培养学生分析问题、解决问题的能力。 教学目标 1．探究得出等边三角形的性质定理及判定定理． 2．运用等边三角形的判定定理进行证明和计算． 3．通过推理证明等边三角形的判定定理，发展推理能力，培养分析、归纳问题的能力． 4.能运用等边三角形的性质定理及判定定理解决一些实际问题. 教学重点 理解等边三角形的性质定理及判定定理. 教学难点 运用等边三角形的性质定理及判定定理解决实际问题. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 复习回顾 1.等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”)，底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”). 2.等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “ 等角对等边”） 学生回忆思考回答。 用旧知回顾的方式设置导入，培养学生的数学知识整体性思维，加强本节课与前面所学的联系，由浅入深增强学生的学习积极性. 新知探究 等边三角形是腰和底边相等的等腰三角形，因而等边三角形也是轴对称图形. 它除了具有等腰三角形的全部性质外，应该还有其他特殊的性质. 下面我们来探索. 等边三角形有多少条对称轴？ 等边三角形有3条对称轴. 等边三角形的三个内角的大小之间有什么关系呢？ 如图，△ABC是等边三角形，则AB = AC = BC. 由于 AB = AC，则根据等腰三角形的性质定理得， ∠B = ∠C. 同理，由于AC = BC，因此∠A = ∠B， 从而∠A = ∠B = ∠C. 根据三角形内角和定理得，∠A + ∠B + ∠C = 180°， 因此∠A = ∠B = ∠C = 60° 等边三角形的性质定理: 等边三角形的各角都等于60°. 几何语言： 在△ABC中 ∵AB＝AC＝BC ∴∠A＝∠B＝∠C＝60° 说一说: 由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？ 逆命题成立 . 如图，在△ABC 中， 由于∠A = ∠B，则AC = BC. 同理可由∠B = ∠C得AB = AC. 于是AB = AC = BC. 因此△ABC是等边三角形. 等边三角形的判定定理1: 三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言： 在△ABC中 ∵∠A=∠B=∠C ∴AB＝BC＝AC 思考: 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 如图，在△ABC中，AB = AC. 情形1：设∠A = 60°. 根据三角形内角和定理得 ∠B + ∠C = 180°- ∠A = 180°- 60°= 120°. 由于AB = AC，因此∠B = ∠C = 60°. 于是△ABC是等边三角形. 情形2：设∠B = 60°. 由于AB = AC，因此∠C = ∠B = 60°， 从而∠A = 180°- ∠B - ∠C = 180°- 60°- 60°= 60°. 因此△ABC是等边三角形. 情形3：设∠C = 60°. 与情形2类似，同理可证△ABC是等边三角形. 等边三角形的判定定理2: 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言： 在△ABC中 ∵AB＝AC，∠A＝60° ∴AB＝BC＝AC 例3 如图，△ABC是等边三角形，点D，E 分别在 BA，CA 的延长线上，且 AD = AE. 求证：△ADE是等边三角形. 证明：因为△ABC是等边三角形， 所以∠BAC = 60（° 等边三角形的性质定理）. 因为∠EAD = ∠BAC = 60°，AD = AE， 所以△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）. 学生思考回答教师提出的问题。 学生总结等边三角形的性质。 学生与教师一起证明，归纳等边三角形的判定定理。 学生独立证明，小组讨论交流答案。 探究等边三角形的性质。 提高学生的总结归纳及语言表达能力。 归纳总结出等边三角形的判定定理，让学生学会观察、学会思考、学会梳理,提高自主获取信息的 能力. 应用等边三角形的性质定理及判定定理解决实际问题。 课堂练习 1.在等边三角形 ABC 内任取一点 O，作 OE ∥ AB，OF ∥ AC，分别交 BC 于点E，F，△OEF是等边三角形吗？为什么？ △OEF是等边三角形. 解：因为△ABC是等边三角形, 所以∠B=∠C=60°, 因为OE∥AB,OF∥AC, 所以∠OEF=∠B=60°,∠OFE=∠C=60°, 所以△OEF是等边三角形 2.如图，CD平分∠ACB，AE ∥ DC，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE =60°. 求证：△ACE是等边三角形. 证明:∵CD平分∠ACB， ∴ ∠ACD =∠DCB. 又∵∠ACE=60°， ∴ ∠ACD=∠DCB=60°， 又 ∵ AE∥DC， ∴ ∠BCD=∠E=60°， ∴ 在△ACE中，∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 °, ∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60°, ∴ △ACE 是等边三角形. 3. 如图，AB = BC，∠CDE = 120°，DF ∥ BA，且 DF 平分∠CDE. 求证：△ABC是等边三角形. 证明:∵ AB=BC， ∴ △ABC是等腰三角形， 又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE. ∴ ∠EDF=∠FDC=60°， 又∵DF∥BA， ∴ ∠FDC=∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形. 学生独立解答，小组交流谈论，派代表板书答案。 通过练习巩固，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。 课堂小结 1.等边三角形的性质定理: 等边三角形的各角都等于60°. 2.等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 3.等边三角形的判定定理2： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 学生回顾总结，教师系统归纳。 帮助学生归纳总结，巩固所学知识。 课后练习 必做题：教材习题4.5--学而时习之 4题、7题、8题 选做题：教材习题4.5--温故而知新 11题 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $