4.5 课时1 等腰三角形的性质课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

4.5 等腰三角形 课时1 等腰三角形的性质 观察下面的图形，它们的形状有什么特点？ 两条边相等的三角形，叫作等腰三角形. 思考：等腰三角形具有哪些特殊的性质呢？ 探究：等腰三角形的性质 活动：在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来，然后将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，如图所示.观察△ABC，和同桌交流，思考并回答以下问题. B A C D 问题1： △ABC是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 是，对称轴是折痕所在的直线AD 问题2：沿折痕AD将△ABC折叠,其中有哪些重合的线段和角？ 重合的线段：AB=AC BD=CD 重合的角：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD ∠BDA=∠CDA 问题3：由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？有什么猜想？ 重合的线段：AB=AC BD=CD 重合的角：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD ∠BDA=∠CDA 猜想1：等腰三角形的两个底角相等. 猜想2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线相互重合. 如何证明你的猜想？ 猜想1：等腰三角形的两个底角相等. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC， 求证：∠B＝∠C. C A B D 在△ABD与△ACD中， ∴△ABD △ACD（SSS）， ∴∠B＝∠C. （底角相等） 证明：作底边BC的中线AD，交BC于点D. AB = AC， BD = CD， AD = AD， ∴BD = CD， 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC， 求证：猜想2. C A B D ∴∠BAD =∠CAD，∠BDA=∠CDA=90°， 即AD⊥BC. 这就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC. 即等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线相互重合. 证明：∵△ABD△ACD ， 猜想2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线相互重合. ①等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线 等腰三角形的性质定理: ②等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. C A B D 几何语言：∵AB=AC（已知）, ∴∠B=∠C（等边对等角） ③等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(三线合一) 如图，在中，，是 边上的中线， ， 则 的度数为( ) C A. B. C. D. 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 为 AB 的中点，点 E 在 AC 上，且 BE = BC = AE. (1) 求证：ED丄AB； (2) 求△ABC 各角的度数. 解：(1) 因为 BE = AE，D 为 AB 的中点， 所以 ED 是等腰△EAB 的边 AB 上的中线， 从而ED丄AB (三线合一). A B C D E 1 2 (2) 因为 AB = AC，BE = BC = AE， 所以∠ABC =∠C，∠C =∠1，∠A =∠2(等边对等角). 于是∠1 =∠A +∠2 = 2∠A， 从而∠ABC =∠C =∠1 = 2∠A. 又∠A +∠ABC +∠C = 180°， 于是∠A + 2∠A + 2∠A = 180°， 从而∠A = 36°， 因此∠A，∠ABC，∠C 的度数分别为36°，72°，72°. A B C D E 1 2 (2) 求△ABC 各角的度数. 你还有其他的解法吗？ A B C D E x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°， 解得 x = 36°. 则∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. 方法归纳：在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系列方程求解. 如图，在 △ABC 中，由分析可知， 议一议：如图所示的三角测平架中，AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上. (1) AD与BC是否垂直?试说明理由. (2)这时BC处于水平位置，为什么? 解：（1）垂直.理由如下： 在△ABD与△ACD中， 所以△ABD≌△ACD（SSS） 所以∠BDA=∠CDA=90°，所以AD⊥BC. （2）由等腰三角形“三线合一”可知BC处于水平位置. 等边三角形三个内角相等，且均等于 60° 等腰三角形的性质 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质. 注意是指同一个三角形中 等边对等角 三线合一 推论 1.如图，直线，相交于点，若，则 等于( ) C A. B. C. D. 随堂小练 3.如图，在中，， 是角平分线，则下列结论不一定 正确的是( ) A A. B. C. D. 2.若等腰三角形的一个内角为 ，则它的底角为( ) C A. B. C. 或 D. 或 4.如图，在中，点 在边上，.若 ， 求 的度数. 解：因为， ， 所以 . 因为，所以. 因为是 的外角， 所以， 所以 . 5.如图，，分别是 的中线和角平分线，若， ，求 的度数. 解：因为，是 的中线， 所以 ， 所以 . 因为是 的角平分线， 所以 ， 所以 . 6.如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CE⊥AB于点E． 求证：∠CAD=∠BCE． 证明：∵AB=AC，BD=CD， ∴∠B=∠ACB（等边对等角）， AD⊥BC（三线合一）， 又∵CE⊥AB， ∴∠CAD+∠ACB=90°，∠BCE+∠B=90°， ∴∠CAD=∠BCE． $