专题12.1 函数重难点题型专训（5个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题12.1 函数重难点题型专训 （5个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 用表格表示变量间的关系 题型二 用关系式表示变量间的关系 题型三 用图象表示变量间的关系 题型四 函数的概念 题型五 函数解析式 题型六 求自变量的取值范围 题型七 求自变量的值或函数值 题型八 函数图象识别 题型九 从函数的图象获取信息 题型十 用描点法画函数图象 题型十一 动点问题的函数图象 题型十二 函数的三种表示方法 拓展训练一 变量间关系的表示方式 拓展训练二 自变量求解问题 拓展训练三 函数图象的综合问题 知识点一：变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 【补充】 1）变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变. 2）区分常量和变量，要看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 3）【易错点】不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速直线运动中的速度v就是一个常量. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东聊城·期中）球的体积是，球的半径为，则，在这个公式中，变量是（ ） A．，， B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）林老师开汽车到加油站加油，发现每个加油机上都有三个量，其中一个表示“单价”，其数值固定不变，另外两个量分别表示“体积”“金额”，数值一直在变化．在这三个量当中， 是常量， 是变量． 知识点二：函数 定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 【函数概念的解读】①有两个变量.②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化. ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应. 【注意】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个，如函数y=|x|，当x=±1时，y的值都是1. 【即时训练】 1．（22-23八年级下·山东德州·期中）下列曲线中不能表示 y是 x的函数的是（　　） A．B．C．D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 知识点三：自变量与函数值 自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的全体. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体. 确定自变量取值范围的方法： 类型 举例 取值范围 整式型 全体实数 分式型 分母不能为零 二次根式型 开方式大于或等于零 负整数(零)指数幂型 底数不能为零 函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 【易错点】 1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值. 2）函数是两个变量之间的一种关系，函数值是一个数值. 【即时训练】 1．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）声音在空气中的传播速度与温度的关系式为．当时，温度为 ． A．10 B．20 C．30 D．40 2．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，这是关于变量的计算程序，若开始输入的值为2，则最后输出因变量的值为 ． 知识点四：函数的三种表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数解析式，用函数解析式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用解析式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 【即时训练】 1．（23-24八年级上·河南郑州·期中）某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 2．（2024九年级上·全国·专题练习）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为 ． 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 知识点五：函数的图像 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. 画函数图像的一般步骤: 1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点. 3）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶．如图，这是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过14个小时的节气是（   ） A．惊蛰 B．小满 C．立春 D．秋分 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图，若返回时上、下坡的速度保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是 分钟． 【经典例题一 用表格表示变量间的关系】 【例1】（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是小明的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 35 60 85 110 则下列说法不正确的是（　　） A．没有加热时，油的温度是 B．继续加热到，预计油的温度是 C．在这个问题中，自变量为时间t D．每加热，油的温度升高 【例2】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）某地每周有人次乘坐9路公交车，该路公交车每周的收入为元，每人次乘坐的票价相同．部分与的数据如下表所示： 人次 180 220 325 356 420 … 元 360 440 650 712 840 … (1)表中的自变量为___________，因变量为___________； (2)已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800元，要使该路公交车每周的利润达到1000元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入支出利润） 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下表列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度（单位：cm）与下落高度（单位：）之间的关系，若下落高度，则弹跳高度的值是（   ） 50 100 150 25 50 75 A．100 B．95 C．90 D．105 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间 1 2 3 4 5 6 水的高度 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（    ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当容器中水的高度为时，对应的时间为 C．当经过的时间为时，容器中水的高度是 D．时间每增加，容器中水的高度增加 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）声音在空气中传播的速度（米/秒）（简称音速）与气温（）之间的关系如下： 气温（℃） 音速（米/秒） 从表中可知音速随温度的变化而变化．某校在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点 米． 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）下表是学校气象兴趣小组记录某天一昼夜温度变化的数据． 时间/时 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 温度/ 0 4 7 9 10 8.5 7 3.5 1 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)早晨8时和中午12时的气温各是多少？ (3)根据表格中的数据，说说一昼夜中什么时候气温最低？什么时候气温最高？温差是多少？ (4)你能粗略说一说一昼夜内气温随时间变化的大概情况吗？ 【经典例题二 用关系式表示变量间的关系】 【例1】（23-24八年级下·陕西安康·期末）鲁老师乘车从学校到省城开会，学校距省城120千米，车行驶的平均速度为80千米/时．小时后鲁老师距省城千米，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水． (1)抽水后，水池中还有水________． (2)在这一变化过程中，哪些是变量？哪些是常量？ (3)几小时后才能把满池水抽干？ 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，水与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高．这个过程中自变量和常量分别是（    ） A．水的质量，食盐水的浓度 B．水的质量，食盐水的质量 C．食盐水的质量，食盐的质量 D．食盐的质量，水的质量 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）在圆的周长计算公式中，常量是（    ） A．2 B． C． D．无法确定 3．（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）在泰盛广场，乐乐逛鞋店时发现鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是：（y表示码数，x表示厘米数），则的鞋换算后是 码． 4．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）（1）某厂有煤800t，每天需烧煤，求工厂余煤量与烧煤天数（天）之间的关系式； （2）已知正方形的边长为，若边长增加，则周长增加，求与之间的函数关系式． 【经典例题三 用图象表示变量间的关系】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 1．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）圆圆出门散步，从家出发走了到达离家的广场，看到广场有杂技表演，就停下来看了一会儿，在度过了愉快的后，再用回到家中．下面图象能表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：）之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．（24-25七年级下·河北张家口·期末）某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为 件． 4．（24-25七年级下·福建宁德·期末）全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： (1)本次比赛全程是___________，机器人___________先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是___________，其路程和时间的关系式是___________； (3)机器人乙由于故障在途中停留了___________，恢复运行后，机器人乙的速度___________机器人甲的速度．（填“”“”或“”） 【经典例题四 函数的概念】 【例1】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，是一位病人某天时时体温随时间的变化情况，观察图象变化过程，回答下列问题： 如图是一位病人某天（0时时）体温的变化情况，观察图象变化 (1)在这个变化过程中，自变量是______； (2)这个病人该天最高体温是______，最低体温______； (3)若体温超过即为发烧，则这位病人发烧的总时长为______小时． 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列变量之间的关系中，不属于函数关系的是（   ） A．人的身高与体重 B．某地一天的气温与时间 C．存款在银行中产生的利息与时间 D．正方形的周长与面积 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列关于变量x，y的关系式中：①；②；③．其中，y是x的函数的是 （填序号）． 4．（24-25六年级下·山东烟台·期末）五一”节放假期间，兄、弟两人沿同一路线登山，当兄出发时，弟已经在距地面的高度为处了，兄在登山时开始加速，兄、弟两人距地面的高度y（单位：m）与登山时间t（单位：min）的关系如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题． (1)在兄的登山过程中自变量是 ，因变量是______； (2)求弟登山上升的速度及b的值； (3)兄出发______min后追上弟，此时距地面的高度为______m； (4)当兄距地面的高度为时停下等待弟，弟还需多长时间与兄会合？ 【经典例题五 函数解析式】 【例1】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）有一个皮球从高处下落，第一次落地后反弹起，以后每次落地后的反弹高度都减半．则表示反弹高度（单位：）与落地次数的对应关系的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·期末）某公交车每天的支出费用为元，每天乘车人数x（人）与每天利润（利润票款收入支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（票价相等）：根据表格中的数据，回答下列问题： x/人 … … y/元 … 0 … (1)请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式： ； (2)当一天乘车人数为多少人时，利润是元？ 1．（24-25七年级下·四川成都·期末）“乡村振兴”是党的十九大作出的重大决策部署．为了推动农业耕种现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器12台，现决定支援给A村和B村．已知从甲市调运一台机器到A村、B村的运费分别为400元和600元．设甲市运往A村的机器为x台，则总运费y关于x的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·山东威海·期末）“体重管理年”是国家卫生健康委等多部门于2024年6月联合启动的为期三年的全民健康行动，旨在通过科学干预和社会协同降低超重与肥胖率，提升全民健康水平．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉，x天后的体重为，则y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东江门·期中）一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40L，开始工作后，每小时耗油6L，写出油箱中的剩余油量（单位：L）与工作时间（单位：h）之间的关系式： ． 4．（23-24八年级下·陕西安康·期末）平面直角坐标系中点在第一象限，且，点的坐标为，设的面积为，用含的解析式表示，并写出取值范围． 【经典例题六 求自变量的取值范围】 【例1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东汕头·一模）函数y=中自变量x的取值范围是． 1．（23-24九年级上·云南昆明·期末）函数的自变量x的取值范围是（    ） A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x=1 2．（23-24七年级下·重庆·期中）使得有意义的的取值范围是 （  ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）函数的自变量的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）一个三角形的底边长为5，高h可以任意伸缩．写出面积S随h变化的解析式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数，以及自变量的取值范围． 【经典例题七 求自变量的值或函数值】 【例1】（24-25七年级下·广东清远·期末）婴儿在个月生长发育非常快，他们的体重y（单位：）和月龄x（单位：月）之间的关系可以用来表示，其中a是婴儿出生时的体重．若某婴儿出生时的体重为，则该婴儿第3个月时的体重是（　　） A． B． C． D． 【例2】（22-23七年级上·陕西榆林·期中）一根弹簧，一端是固定的，如果另一端挂上物体，在正常情况下物体的质量（kg）与弹簧的长度（cm）满足关系：．若小强给弹簧挂上重的物体（正常情况），弹簧的长度是多少？ 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，当函数值时，自变量的取值是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）变量y与x的关系为，当时，y的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 3．（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知自变量与因变量y的关系如图所示，当从1变化到4时，y的值增加了 ． 4．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，华氏温度值（）与摄氏温度值（）之间的关系式为． (1)若摄氏温度为时，求对应华氏温度； (2)若华氏温度为时，求对应摄氏温度． 【经典例题八 函数图象识别】 【例1】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）下列图象不能表示为的函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23七年级下·陕西榆林·期中）风是由空气流动引起的一种自然现象，一般是由太阳辐射热引起的，风的测量多用电接风向风速计、轻便风速表、达因式风向风速计，以及用于测量农田中微风的热球微风仪等仪器．小星同学使用轻便风速表观测了某天连续12个小时风力变化的情况，并绘制下图：    (1)风力最大为______级． (2)简要描述8～12时风力变化的情况． 1．（24-25六年级下·山东烟台·期末）将常温状态下的温度计插入一杯恒温为的牛奶中，下列图像能较好地刻画出温度计的读数y（单位：℃）随着时间x（单位：min）的变化关系的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·河北廊坊·阶段练习）《宋史·司马光传》中记载了司马光砸缸的故事:“群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．”下面水面高度的变化最符合故事情节的图象是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，各情况分别可以和哪幅画来近似刻画？ （1）一个球被向上抛起，直到落到地面的过程（球的高度与时间的关系） ； （2）常温下，往一杯凉水中倒开水（水温与时间的关系） ； （3）将澡盆中的水放掉（水的高度与时间的关系） 4．（2025·浙江杭州·三模）在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发．下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（）的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： (1)求出乙车的速度． (2)两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间． (3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 【经典例题九 从函数的图象获取信息】 【例1】（25-26七年级上·安徽六安·开学考试）甲、乙两车从A地前往B地，汽车离开A地的距离与时间对应关系如图所示．下列结论错误的是（   ） A．甲车的平均速度为60千米/时 B．乙车的平均速度为100千米/时． C．乙车比甲车先到达B地 D．甲、乙两车在时相遇． 【例2】（24-25七年级上·广东广州·开学考试）图象表示一种彩带降价前后的长度与总价的关系．请根据图中信息填空． (1)降价前后，长度与总价都成_______比例． (2)降价前买7.5米需_______元． (3)这种彩带降价了_______%． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）某空军加油飞机接到命令，立即给一架正在飞行的运输机加油．在空中加油中，设运输机余油量（吨），加油飞机加油油箱的余油量为（吨），加油时间为（分钟），图中表示与时间之间函数图象正确的是（注意：运输机在加油的过程中也消耗油）（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）在一定的温度、湿度及通风的环境下，某孵化实验室孵化小鸡的数量关于时间的趋势图如图所示，预计当时，孵化量为(    ) A．26只 B．30只 C．40只 D．50只 3．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地，A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲，乙两人之间的距离y（）与甲所用时间x（）之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的倍；③；④．以上结论正确的有 ．（填序号） 4．（22-23七年级上·福建漳州·开学考试）一个长方体水箱的长、宽、高．水箱装有甲、乙两根进水管，甲管先开若干分钟后再将乙管打开．如图，表示的是水管进水时间和水深的关系． (1)甲管先开（    ）分钟后才将乙管打开． (2)甲管每分钟进水多少升？ (3)注满水箱一共要多少分钟？ 【经典例题十 用描点法画函数图象】 【例1】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）以下四点中，在函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级下·山东东营·期末）摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间（单位：）和一个座舱距离地面的高度（单位：），部分数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00 请解决以下问题： (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与之间的关系，在下面给出的图中，画出这个函数的图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①此摩天轮座舱距离地面的高度最低为_____，最高为_____； ②此摩天轮转盘的半径约为_____，转一圈所用时间为_____． 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）李玲用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格，根据表格上的信息回答问题：该二次函数当时， ． 4．（23-24八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中画出的图像 解：列表（将下表填写完整） 描点 连线 【经典例题十一 动点问题的函数图象】 【例1】（23-24八年级下·北京密云·期末）如图，学校的环形跑道是由两个直道和两个弯道组成，其中每个直道长约为，每个弯道长约为．小明在该环形跑道上晨练时，从一段直道的起点出发沿着的路线跑一圈后回到点．已知小明在每个直道上以的速度匀速跑步，在每个弯道上以的速度匀速跑步，下列函数图象中能够大致描述小明跑步的路程与跑步时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·内蒙古包头·阶段练习）动点H以每秒1厘米的速度沿图①的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积S（平方厘米）与时间t（s）的关系图象如图②所示，已知，设点H的运动时间为t秒． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______． (2)______，______，______． (3)当的面积为8平方厘米时，求点H的运动时间t的值． 1．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是（   ） A．25 B．36 C．16 D．20 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，动点P从点A出发，按顺时针方向绕半圆O匀速运动到点B，再以相同的速度沿直径回到点A停止，线段的长度d与运动时间t的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·重庆·自主招生）已知动点P以每秒的速度沿图甲的边框按的路径移动，相应的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若，则图甲中的图形面积是 平方厘米． 4．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题： (1) ， ，题2图中 ． (2)当点在边运动时，求与的关系式． 【经典例题十二 函数的三种表示方法】 【例1】（23-24八年级上·河南郑州·期中）某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）声音在空气中的传播速度与温度的关系如下表： （1）试用含的代数式表示； （2）请你计算出当时声音的传播速度． 1．（2023·北京·模拟预测）对于温度的计量， 世界上大部分国家使用摄氏温标 (℃) ， 少数国家使用华氏温标(°F)， 两种温标间有如下对应关系： 摄氏温标（°C） … 0 10 20 30 40 50 … 华氏温标（°F） … 32 50 68 86 104 122 … 则摄氏温标 (℃) 与华氏温标(°F)满足的函数关系是（   ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 2．（22-23八年级·全国·假期作业）下面关于函数的三种表示方法叙述错误的是(     ) A．用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化 B．用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值 C．用解析式法表示函数关系，可以方便地计算函数值 D．任何函数关系都可以用上述三种方法来表示 3．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期中）表示函数的方法一般有 、 、 ． 4．（22-23八年级上·江西鹰潭·期末）水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量． 时间 0 5 10 15 20 25 30 漏水量 0 15 30 45 60 75 90 解决下列问题： (1)结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数解析式________（不要求写自变量的取值范围）； (2)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为多少mL． 【拓展训练一 变量间关系的表示方式】 【例1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式             A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是_________． (2)若小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请直接写出y与x之间的关系式（不写x的取值范围）． (3)当小正方形的边长由变化到时，图中阴影部分的面积是怎样变化的？ 1．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图表示小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，请你根据趋势图预测6月份小树的高度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东济宁·期末）“某市之约，跑者之说”．2025年4月6日某市马拉松激情开跑，这也是某市首次举办全马的赛事．为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．某同学报名参加 “欢乐跑”马拉松比赛．若他跑步的“跑速”如图所示，则下列说法中正确的是（   ） ①前的平均速度大于最后的平均速度；②第和第的平均速度相同；③第的平均速度最大． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）运动生理学实验发现，跳绳所消耗的卡路里体重跳绳次数，一名体重的学生跳绳次，他所消耗的卡路里（单位：）与（单位：次）之间的关系式为： ． 4．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小明离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米； (2)小华在超市停留了______分钟； (3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米； (4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 【拓展训练二 自变量求解问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）函数y＝中自变量x的取值范围是（   ） A．x≠0 B．x≥2或x≠0 C．x≥2 D．x≤﹣2且x≠0 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）下列式子中的是的函数吗？为什么？ ；     ；     ． （2）请再举出一些函数的例子． （3）分别对（1）中各函数解析式进行讨论： ①自变量在什么范围内取值时函数解析式有意义？ ②当时对应的函数值是多少？ 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和，输出的值相等，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）课堂上老师设计了程序图，若输出的值是，则 ． 4．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）某油箱容量为的汽车，加满汽油后行驶了时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩余油量为， (1)你能写出与之间的关系式是______． (2)当汽车行驶的路程为，油箱中还有多少油？ (3)汽车最多能行驶多远？ 【拓展训练三 函数图象的综合问题】 【例1】（25-26九年级上·北京·开学考试）关于x的函数图象如图所示，其图象分两部分，一部分在直线（）和直线之间，另一部分在直线的右侧，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）如图1，在长方形中，，点P从点A出发以秒的速度沿的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． (1)点P 从点A 出发，经过多少秒后到达点 D？ (2)点P从点A 出发，经过多少秒后三角形的面积恰好是 ？ 1．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图所示，长为2宽为1的矩形和边长为3的正方形在同一水平线上，矩形沿该水平线从左向右匀速穿过正方形；设穿过的时间为t，正方形除去矩形面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南南阳·期中）在地球中纬度地区，从地面到高空大约之间，气温随高度的升高而下降，每升高，气温大约下降；高于但不高于，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为，设该城市距离地面高度为处的气温为，则与的函数图像是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图1所示，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x的关系如图2所示，当时，则 秒． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）已知小华的家、文化广场、购书中心依次在同一条直线上，文化广场离家，购书中心离家．小华骑自行车从家出发，先匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留了一段时间，之后又以同样的速度骑行了到购书中心，在购书中心买过书后，再以高于出发时的速度匀速骑行了返回家．小华离家的距离（单位：）与离家的时间（单位：）之间的关系如图所示．根据相关信息，解答下列问题： (1)小华从家出发到文化广场的速度为 ，小华在文化广场停留的时间为 ； (2)小华离家时，离家的距离是多少？ (3)小华离家时，离家的时间是多少？ 1．（24-25六年级下·山东烟台·期末）小明的爸爸到单位附近的加油站加油，如图1所示的是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的自变量是（    ） A．数量 B．单价 C．金额 D．金额和数量 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）乌鸦在井旁找到了一个装有小半瓶水的玻璃瓶，由于瓶口狭窄，它想到了办法，将旁边的石子投入圆柱形玻璃瓶中使水面上升（假设石子的大小相同，瓶颈口的高度忽略不计）．下列关于乌鸦喝水的描述正确的有（    ） ①瓶子的高度是常量；②自变量是瓶中水面高度；③投入石子的数量是变量；④乌鸦投入的石子数量与水面高度满足函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）一个圆柱的高为，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也发生了变化，在这个变化过程中（   ） A．是因变量，是自变量 B．是自变量，是因变量 C．是自变量，是因变量 D．是自变量，是因变量 4．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，若以固定流量向蓄水池里注水，那么下列哪个图能大致表示水的深度h和时间t之间的关系（   ）    A．   B．       C．     D．   5．（24-25六年级上·上海·期末）六年级学生周末去爬山，他们在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到出发地．图（    ）准确地描述了这个过程． A． B． C． D． 6．（2025·上海·模拟预测）关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 7．（24-25六年级下·山东济宁·期末）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是表中的数据： 鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/分钟 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为千克，烤制时间为．当千克时，的值约为（    ） A．168 B．170 C．172 D．174 8．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）已知如图1，正方形中，点从A出发，沿着的路线到停止运动，若点的运动时间为秒，速度为每秒1个单位长度，的面积为关于的函数图象如图2所示，那么下面与相关的描述一定成立的有（   ） ①，②，③，④． A．①② B．①②④ C．②④ D．①②③④ 9．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）王红骑自行车去与家相距的樱花园赏花游玩，王红以的速度匀速骑行，出发后，王红的哥哥发现王红的身份证落在了家中，于是哥哥按照王红行驶的路线骑电动车以的速度追王红，当哥哥将身份证送给王红后，又按原路原速返回，哥哥从家出发到返回家中所用的时间是，王红到达目的地时，哥哥恰好也同时到达家中．若从王红出门开始，则哥哥和王红之间的距离与王红的行驶时间的函数关系图象为（   ） A． B． C． D． 10．（2024九年级·内蒙古通辽·学业考试）小明使用图形计算器探究函数的图象，他输入了一组的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的的值满足( ) A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）地表以下岩层的温度y（）随着所处深度x（）的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式来表示，当时， ． 12．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）一支签字笔的单价为元，李老师买了支，总价为元，则 ，其中变量是 ． 13．（24-25七年级下·广东佛山·期中）小鹏发现，按照航空公司的规定，他需交的行李费用（单位：元）和携带的行李量（单位：）的关系是，则他携带行李需要交行李费 元． 14．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为 ． 15．（24-25七年级下·重庆·期末）农历五月初五是中国的传统节日端午节．端午节当天早晨，小颖与哥哥约定一起从家出发去超市采购粽子，哥哥因事耽误，让小颖先走，6分钟后哥哥从家出发追赶小颖．追上小颖后，哥哥发现自己忘带手机，于是哥哥立即调头以原来速度的2倍跑步回家取手机，之后再以提高后的速度赶往超市．在哥哥回家的过程中，小颖到达了超市，10分钟后哥哥也抵达超市．如图表示的是哥哥和小颖之间的距离（米）与小颖离开家的时间（分钟）之间的关系（哥哥调头与取手机的时间忽略不记），则小颖家离超市的距离为 米． 16．（2023·江西九江·模拟预测）图①为汽车沿直线运动的速度v(m/s)与时间t(s)(0≤t≤40)之间的函数图象．根据对此图象的分析、理解，在图②中画出描述在这段时间内汽车离开出发点的路程s(m)与时间t(s)之间的函数图象．    17．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）小刚从家里出发，沿着笔直的公路慢跑锻炼，已知他离开家的距离y（千米）与时间x（分钟）之间的关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)在哪些时间段内，小刚在原地休息？ (2)小刚离家的最远距离是 千米；他在这120分钟内一共跑了 千米； (3)小刚在前20分钟内的慢跑速度是多少千米/分钟？ 18．（24-25七年级下·湖南·开学考试）某地出租车行驶里程x（）与所需费用y（元）的关系如图，若乘客一次乘坐出租车行驶里程，则该乘客需支付车费多少元？ 19．（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为．图中的折线表示与之间的关系． (1)甲、乙两地之间的距离为__________千米；慢车和快车的速度依次为__________、__________； (2)图中转折点表示的实际意义为__________； (3)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 20．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【图象问题】已知动点P 以每秒 的速度沿图1边框按的路线移动，相应的三角形 的面积S与时间t之间的关系如图2中的图象所示．若 ，则图1中的图形面积是 ，图2中的a和b的值分别是 和 ．（写出简要过程） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.1 函数重难点题型专训 （5个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 用表格表示变量间的关系 题型二 用关系式表示变量间的关系 题型三 用图象表示变量间的关系 题型四 函数的概念 题型五 函数解析式 题型六 求自变量的取值范围 题型七 求自变量的值或函数值 题型八 函数图象识别 题型九 从函数的图象获取信息 题型十 用描点法画函数图象 题型十一 动点问题的函数图象 题型十二 函数的三种表示方法 拓展训练一 变量间关系的表示方式 拓展训练二 自变量求解问题 拓展训练三 函数图象的综合问题 知识点一：变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 【补充】 1）变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变. 2）区分常量和变量，要看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 3）【易错点】不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速直线运动中的速度v就是一个常量. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东聊城·期中）球的体积是，球的半径为，则，在这个公式中，变量是（ ） A．，， B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键．根据常量和变量的概念解答即可． 【详解】解：球的体积是，球的半径为，则， 其中变量是，， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）林老师开汽车到加油站加油，发现每个加油机上都有三个量，其中一个表示“单价”，其数值固定不变，另外两个量分别表示“体积”“金额”，数值一直在变化．在这三个量当中， 是常量， 是变量． 【答案】 单价 体积、金额 【分析】本题考查了常量和变量的概念，掌握数值固定不变的是常量，数值会变化的是变量即可判断． 【详解】解：根据数值固定不变的是常量，数值会变化的是变量： 故“单价”是常量；“体积”“金额”是变量， 故答案为：单价；体积、金额． 知识点二：函数 定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 【函数概念的解读】①有两个变量.②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化. ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应. 【注意】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个，如函数y=|x|，当x=±1时，y的值都是1. 【即时训练】 1．（22-23八年级下·山东德州·期中）下列曲线中不能表示 y是 x的函数的是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题关键． 根据函数的定义，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，确定正确的选项． 【详解】解：选项ACD中，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A、C、D均不符合题意； B、对于自变量x的值，因变量y不是唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据函数的定义可知，③和④部分自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有俩个确定的值与之对应，⑤自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不满足函数定义．其余均满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，． 故答案为：③④⑤． 知识点三：自变量与函数值 自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的全体. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体. 确定自变量取值范围的方法： 类型 举例 取值范围 整式型 全体实数 分式型 分母不能为零 二次根式型 开方式大于或等于零 负整数(零)指数幂型 底数不能为零 函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 【易错点】 1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值. 2）函数是两个变量之间的一种关系，函数值是一个数值. 【即时训练】 1．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）声音在空气中的传播速度与温度的关系式为．当时，温度为 ． A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量，根据函数值代入即可求出对应的t值． 【详解】解：当时， ， 解得∶， 故选：C 2．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，这是关于变量的计算程序，若开始输入的值为2，则最后输出因变量的值为 ． 【答案】42 【分析】本题考查了函数值，已知自变量的值求函数值是本题的本质，把代入，如果结果大于15就输出，如果结果不大于15，就再算一次． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴输出因变量． 故答案为：． 知识点四：函数的三种表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数解析式，用函数解析式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用解析式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 【即时训练】 1．（23-24八年级上·河南郑州·期中）某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．从而可得答案． 【详解】解：某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况， 故选B 2．（2024九年级上·全国·专题练习）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为 ． 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 【答案】65. 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，据此求解即可． 【详解】解：由图表可以看出该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，即该商品的销售价每增加1元，销售量就减少1件， 由110到115售价增加5元，则销售量减少5件， ∴当时，． 故答案为：65. 知识点五：函数的图像 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. 画函数图像的一般步骤: 1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点. 3）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶．如图，这是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过14个小时的节气是（   ） A．惊蛰 B．小满 C．立春 D．秋分 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的图象，根据函数图象即可判断每个节气所对定义的白昼时长，依此即可选择． 【详解】解：根据图象可知，白昼时长超过14小时的节气由小满和夏至． 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图，若返回时上、下坡的速度保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是 分钟． 【答案】37.2 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象求出上坡和下坡的速度是解题的关键． 根据函数图象结合速度＝路程÷时间求出小明上坡和下坡的速度，然后根据时间＝路程÷速度求出小明从学校骑车回家的时间即可． 【详解】解：由函数图象可知上坡的速度为（百米/分）， 下坡的速度为（百米/分）， ∴小明从学校骑车回家的时间为（分钟）． 故答案为：37.2 【经典例题一 用表格表示变量间的关系】 【例1】（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是小明的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 35 60 85 110 则下列说法不正确的是（　　） A．没有加热时，油的温度是 B．继续加热到，预计油的温度是 C．在这个问题中，自变量为时间t D．每加热，油的温度升高 【答案】D 【分析】本题考查了常量与变量，准确熟练地进行计算是解题的关键，根据常量与变量的意义，表格中的数据进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、没有加热时，油的温度是，故A正确，不符合题意； B、继续加热到，预计油的温度是，故B正确，不符合题意； C、在这个问题中，自变量为时间t，故C正确，不符合题意； D、每加热，油的温度升高，故D不正确，符合题意； 故选：D． 【例2】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）某地每周有人次乘坐9路公交车，该路公交车每周的收入为元，每人次乘坐的票价相同．部分与的数据如下表所示： 人次 180 220 325 356 420 … 元 360 440 650 712 840 … (1)表中的自变量为___________，因变量为___________； (2)已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800元，要使该路公交车每周的利润达到1000元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入支出利润） 【答案】(1)每周乘坐9路公交车的人次；9路公交车每周的收入 (2)每周需要有900人次乘坐该路公交车 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，找准两个变量之间的关系，是解题的关键： （1）直接根据表格进行作答即可； （2）由表格可知，每人次乘坐的票价为2元，根据收入支出利润，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，公交车每周的收入随着乘坐人次的变化而变化， 故自变量为：每周乘坐9路公交车的人次，因变量为：9路公交车每周的收入； （2）由表格可知，每人次乘坐的票价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：每周需要有900人次乘坐该路公交车． 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下表列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度（单位：cm）与下落高度（单位：）之间的关系，若下落高度，则弹跳高度的值是（   ） 50 100 150 25 50 75 A．100 B．95 C．90 D．105 【答案】A 【分析】本题是对函数表格的考查．观察表格发现下落高度d都是弹跳高度的2倍，据此求解即可． 【详解】解：观察表格发现下落高度d都是弹跳高度的2倍， 则下落高度，则弹跳高度的值是． 故选：A． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间 1 2 3 4 5 6 水的高度 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（    ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当容器中水的高度为时，对应的时间为 C．当经过的时间为时，容器中水的高度是 D．时间每增加，容器中水的高度增加 【答案】B 【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的关系，正确从表格获取信息是解题的关键． 根据表格的信息即可求解． 【详解】解：A、上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，正确，不符合题意； B、当容器中水的高度为时，对应的时间为，该选项错误，故符合题意； C、当经过的时间为时，容器中水的高度是，正确，不符合题意； D、由表格可得时间每增加，容器中水的高度增加，正确，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）声音在空气中传播的速度（米/秒）（简称音速）与气温（）之间的关系如下： 气温（℃） 音速（米/秒） 从表中可知音速随温度的变化而变化．某校在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点 米． 【答案】 【分析】本题考查变量之间的关系，函数的表示方法；能够通过表格观察出变量的变化关系，利用表格的数据计算距离是解题的关键．从表格可知，时，音速为343米/秒，根据音速乘以时间，即可求解． 【详解】解：从表格可以看到y随x的升高而加快； 时，音速为343米/秒，米， 这个人距离发令点米； 故答案为：； 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）下表是学校气象兴趣小组记录某天一昼夜温度变化的数据． 时间/时 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 温度/ 0 4 7 9 10 8.5 7 3.5 1 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)早晨8时和中午12时的气温各是多少？ (3)根据表格中的数据，说说一昼夜中什么时候气温最低？什么时候气温最高？温差是多少？ (4)你能粗略说一说一昼夜内气温随时间变化的大概情况吗？ 【答案】(1)上表反映了时间和温度两个变量之间的关系；时间是自变量，温度是因变量 (2)早晨8时的气温是，中午12时气温是 (3)早晨4时气温最低；午后14时气温最高；温差为 (4)0时到4时气温逐渐下降到，4时至14时气温逐渐升高到，然后14时至24时气温又逐渐下降到 【分析】本题主要考查了变量及变量之间的关系． （1）根据自变量与因变量的定义即可求解； （2）根据表格中数据即可求解； （3）根据表格中数据即可求解； （4）根据表格中数据即可求解． 【详解】（1）解：上表反映了时间和温度两个变量之间的关系； 时间是自变量，温度是因变量； （2）解：根据表格可得，早晨8时的气温是，中午12时气温是； （3）解：根据表格可知，早晨4时气温最低；午后14时气温最高； 温差为； （4）解：0时到4时气温逐渐下降到，4时至14时气温逐渐升高到，然后14时至24时气温又逐渐下降到． 【经典例题二 用关系式表示变量间的关系】 【例1】（23-24八年级下·陕西安康·期末）鲁老师乘车从学校到省城开会，学校距省城120千米，车行驶的平均速度为80千米/时．小时后鲁老师距省城千米，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列函数关系式，找出所求量之间的等量关系是解题的关键； 根据距省城的距离已经行驶的距离，解答即可； 【详解】解：依题意，， 即． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水． (1)抽水后，水池中还有水________． (2)在这一变化过程中，哪些是变量？哪些是常量？ (3)几小时后才能把满池水抽干？ 【答案】(1)250 (2)时间、抽水机抽水总量是变量，水池的容积、每台抽水机每小时的抽水量是常量 (3)后才能把满池水抽干 【分析】本题考查了常量与变量：用关系式表示变量间的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水，且抽水，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，得出时间、抽水机抽水总量是变量，水池的容积、每台抽水机每小时的抽水量是常量，即可作答． （3）结合有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， 故答案为：250． （2）解：在这一变化过程中，时间、抽水机抽水总量是变量，水池的容积、每台抽水机每小时的抽水量是常量． （3）解：根据题意，得． 故后才能把满池水抽干 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，水与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高．这个过程中自变量和常量分别是（    ） A．水的质量，食盐水的浓度 B．水的质量，食盐水的质量 C．食盐水的质量，食盐的质量 D．食盐的质量，水的质量 【答案】D 【分析】此题考查的是常量与变量的概念，掌握其概念是解决此题的关键．根据对浓度的认识解答本题，水的质量不变，加的食盐越多，食盐水的浓度越高，据此解答即可． 【详解】解：随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，自变量是食盐量，因变量是食盐水的浓度． 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）在圆的周长计算公式中，常量是（    ） A．2 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了常量，变量的定义，识记相关定义，是解题的关键． 根据常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量，进行判断即可． 【详解】解：圆的周长计算公式是，C和R是变量，是常量，故C正确． 故选：C． 3．（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）在泰盛广场，乐乐逛鞋店时发现鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是：（y表示码数，x表示厘米数），则的鞋换算后是 码． 【答案】40 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，把代入即可得出答案． 【详解】解：把代入，得：（码） 故答案为：40 4．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）（1）某厂有煤800t，每天需烧煤，求工厂余煤量与烧煤天数（天）之间的关系式； （2）已知正方形的边长为，若边长增加，则周长增加，求与之间的函数关系式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据燃烧的速度乘以燃烧的时间，可得燃烧的煤的吨数，根据总质量减去燃烧的质量，可得函数解析式； （2）根据正方形的周长公式，即可求解． 【详解】解：（1）依题意得：，即； （2）由题意可知， 所以与之间的函数关系式为． 【经典例题三 用图象表示变量间的关系】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据水面高度 随时间 变化的折线斜度，判断容器不同阶段的粗细，斜度越大容器越细，斜度越小容器越粗，进而匹配容器形状．本题主要考查了函数图象与实际问题中容器形状的对应关系，熟练掌握根据函数图象斜度判断容器粗细变化是解题的关键． 【详解】解：注水速度匀速，水面高度 随时间 变化的图象中，折线斜度反映容器粗细，斜度越大，相同时间水面上升越高，容器越细；斜度越小，容器越粗； 图象 段斜度大， 段斜度小， 段斜度比 段大，即容器注水时，先注的部分较细，中间部分最粗，最后部分较细， 观察选项，只有B选项容器形状符合先细、再粗、最后较细的特点， 故选： 【例2】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 【答案】(1)甲出发的时间t；距起点的距离s (2)6； (3)当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米 【分析】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，常量与变量，体现了方程思想，当甲第1次追上乙时，根据所跑路程相等列出方程求出t是解题的关键． （1）根据图象的横轴表示自变量，纵轴表示因变量即可得出答案； （2）根据甲100秒跑了600米，乙150秒跑了（米）计算速度即可； （3）设t秒时，甲第1次追上乙，根据所跑路程相等列出方程求出t，进而得到甲距起点的距离． 【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是甲出发的时间t，因变量是他们距起点的距离s． 故答案为：甲出发的时间t；他们距起点的距离s． （2）解：甲的速度为：（米/秒）， 乙的跑步速度为： （米/秒）． 故答案为：6；． （3）解：设t秒时，甲追上乙， 根据题意得： 解得： ， 则（米）， 答：当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米． 1．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）圆圆出门散步，从家出发走了到达离家的广场，看到广场有杂技表演，就停下来看了一会儿，在度过了愉快的后，再用回到家中．下面图象能表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：）之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，解决本题的关键是圆圆观看了的杂技表演． 根据题意可知，圆圆在内，离家距离是，再由观看了的杂技表演可知此时距离不变，再由回家用了，可知在第时圆圆到家，由此判断图象即可． 【详解】解：∵从家出发走了到达离家的广场， ∴圆圆在第时，离家距离是， ∵圆圆观看了的杂技表演， ∴圆圆的离家距离不变，依然为， ∵圆圆再用回到家中， ∴圆圆在第时，到达家中， 由此可知可以表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：）之间的关系的是A选项． 故选：A ． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象．根据刚开始向小烧杯中匀速注水时，大烧杯的液面高度为零，且不会随时间增加，即可得出答案． 【详解】解：开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度为零， 当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度随时间t的增加而增大， 当大烧杯的液面高度超过小烧杯后速度应该变慢，选项D符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级下·河北张家口·期末）某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为 件． 【答案】30 【分析】本题考查图象法表示两个变量的关系，观察图象找出销售单价和销售量之间的关系，由销售单价140元时的对应销售量为40即可解题． 【详解】解：由图象找出销售单价和销售量的对应数值， 可得销售单价每增加10元，销售量对应减少10件， 因为销售单价为140元时，销售量为40件， 所以销售单价为150元时，是在140的基础上再增加10元，所以销售量要在40的基础上减少10件，所以为30件． 故答案为：30． 4．（24-25七年级下·福建宁德·期末）全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： (1)本次比赛全程是___________，机器人___________先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是___________，其路程和时间的关系式是___________； (3)机器人乙由于故障在途中停留了___________，恢复运行后，机器人乙的速度___________机器人甲的速度．（填“”“”或“”） 【答案】(1)，甲； (2)， (3) 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系： （1）观察图像即可； （2）根据路程时间速度即可求； （3）观察图像即可得到故障时间，速度即为图像陡的程度，根据图像比较速度大小即可． 【详解】（1）根据图像可知，本次比赛全程是， 机器人甲所用时间为，机器人乙所用时间为， 所以机器人甲先到终点； （2）根据图像可知，平均速度为：， 路程和时间的关系式是：； （3）根据图像可知，乙由于故障在途中停留了， ，同一时刻，越大，越大， 图像越为陡峭， 恢复运行后，乙的线比甲陡， 机器人乙的速度机器人甲的速度． 【经典例题四 函数的概念】 【例1】（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义，在某一变化过程中，两个变量、，对于的每一个值，都有唯一的值和它对应，就是的函数，根据函数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、对于的每一个值，都有唯一的值和它对应，故就是的函数，符合题意； B、对于的每一个值，不是有唯一的值和它对应，故不是的函数，不符合题意； C、对于的每一个值，不是有唯一的值和它对应，故不是的函数，不符合题意； D、对于的每一个值，不是有唯一的值和它对应，故不是的函数，不符合题意； 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，是一位病人某天时时体温随时间的变化情况，观察图象变化过程，回答下列问题： 如图是一位病人某天（0时时）体温的变化情况，观察图象变化 (1)在这个变化过程中，自变量是______； (2)这个病人该天最高体温是______，最低体温______； (3)若体温超过即为发烧，则这位病人发烧的总时长为______小时． 【答案】(1)时间 (2) (3) 【分析】本题考查了自变量、因变量的定义和函数的图象，正确的识别图象是解题的关键． （1）根据自变量、因变量的定义即可得出答案； （2）根据图象中的信息即可得到结论； （3）根据图象中的信息即可得到结论． 【详解】（1）解：根据图象可知：自变量是时间； 故答案为：时间； （2）解：根据图象可知：这个病人该天最高体温是，该天最低体温是； 故答案为： ； （3）解：根据图象可知：若体温超过即为发烧，则这位病人发烧时间段是4时∼14时． 则这位病人发烧时间为：（小时）， 故答案为： 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列变量之间的关系中，不属于函数关系的是（   ） A．人的身高与体重 B．某地一天的气温与时间 C．存款在银行中产生的利息与时间 D．正方形的周长与面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：A、人的身高与体重，因为身高相同的人体重可能不同，给定一个身高，可能有多个体重与之对应，因此人的身高与体重不属于函数关系，故选项符合题意； B、某地一天中，每一时刻对应的气温是唯一确定的值，故一天的气温和时间是函数关系，故选项不合题意； C、在银行中利息与时间是函数关系，每一天对应的利息是唯一的，故选项不合题意； D、正方形的面积等于，是函数关系，故选项不合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．根据函数的定义判断是否为的函数，函数的定义为对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应． 【详解】解：A、当取一个正数时，有两个值与之对应，不满足对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应的函数定义，所以不是的函数，故选项不符合题意； B、当取一个正数时，可能有六个值与之对应，不满足函数定义，所以不是的函数，故选项不符合题意； C、当取一个值时，可能有两个值与之对应，不满足函数定义，所以不是的函数，故选项不符合题意； D、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，满足函数的定义，所以是的函数，故选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列关于变量x，y的关系式中：①；②；③．其中，y是x的函数的是 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐项分析即可得解；熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：函数①和②，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数； ③不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数； 综上所述，y是x的函数的是①②， 故答案为：①②． 4．（24-25六年级下·山东烟台·期末）五一”节放假期间，兄、弟两人沿同一路线登山，当兄出发时，弟已经在距地面的高度为处了，兄在登山时开始加速，兄、弟两人距地面的高度y（单位：m）与登山时间t（单位：min）的关系如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题． (1)在兄的登山过程中自变量是 ，因变量是______； (2)求弟登山上升的速度及b的值； (3)兄出发______min后追上弟，此时距地面的高度为______m； (4)当兄距地面的高度为时停下等待弟，弟还需多长时间与兄会合？ 【答案】(1)登山时间；距地面的高度 (2)弟登山上升的速度为15米/分， (3)12，280 (4)当兄距地面的高度为400米时停下等待弟，弟还需3分钟才能与兄会合 【分析】本题主要考查函数的图象，考查学生从坐标系中提取信息的能力，掌握数形结合的方法是解答本题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）结合图象，根据“速度=路程÷时间”列式计算即可求解； （3）根据两条线段的交点坐标的意义解答即可； （4）根据“时间=路程÷速度”求出兄到达高度为400米时所需要的时间即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，在兄的登山过程中自变量是登山时间，因变量是距地面的高度． 故答案为：登山时间；距地面的高度； （2）由题意可得，弟登山上升的速度为：（米/分）， ； （3）由图象可知，兄出发12分钟后追上弟，此时距地面的高度为280米； 故答案为：12，280； （4）兄出发2分钟后的速度为：（米/分）； 兄到达高度为400米时所需要的时间为：（分钟），（分钟）， 答：当兄距地面的高度为400米时停下等待弟，弟还需3分钟才能与兄会合． 【经典例题五 函数解析式】 【例1】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）有一个皮球从高处下落，第一次落地后反弹起，以后每次落地后的反弹高度都减半．则表示反弹高度（单位：）与落地次数的对应关系的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列函数关系式．由题意可知，每次落地后的反弹高度都减半，依次可得表示反弹高度与落地次数的对应函数关系． 【详解】解：根据题意得，表示反弹高度h（单位：）与落地次数n的对应关系的函数解析式：（n为正整数）． 故选：D 【例2】（24-25七年级下·全国·期末）某公交车每天的支出费用为元，每天乘车人数x（人）与每天利润（利润票款收入支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（票价相等）：根据表格中的数据，回答下列问题： x/人 … … y/元 … 0 … (1)请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式： ； (2)当一天乘车人数为多少人时，利润是元？ 【答案】(1) (2)当乘车人数为人时，利润为元 【分析】本题考查了函数关系式和求自变量的值，根据表中的数据进行分析计算是解题的关键． （1）由表中数据可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，每增加50人，利润就增加100元，然后列出关系式即可解答； （2）把代入（1）中的关系式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∴公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：； 故答案为： （2）解：把代入中可得： ， 解得：， 答：当乘车人数为人时，利润为元． 1．（24-25七年级下·四川成都·期末）“乡村振兴”是党的十九大作出的重大决策部署．为了推动农业耕种现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器12台，现决定支援给A村和B村．已知从甲市调运一台机器到A村、B村的运费分别为400元和600元．设甲市运往A村的机器为x台，则总运费y关于x的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是列函数关系式，根据题意，总运费由运往A村和B村的费用组成。设运往A村的机器为x台，则运往B村的机器为台；分别计算两部分的运费并求和，化简后即可得到总运费y关于x的关系式. 【详解】解：运往A村的机器为x台，运费为400元/台，故A村运费为元， 运往B村的机器为台，运费为600元/台，故B村运费为元， ∴总运费y为两部分之和，即：； 故选：D. 2．（24-25六年级下·山东威海·期末）“体重管理年”是国家卫生健康委等多部门于2024年6月联合启动的为期三年的全民健康行动，旨在通过科学干预和社会协同降低超重与肥胖率，提升全民健康水平．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉，x天后的体重为，则y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列函数关系是，根据题意，初始体重为，每天减少，建立与的函数关系式即可，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：小丽的初始体重为，每天减少，则天后减少的总重量为， 因此，天后的体重可表示为初始体重减去减少的总重量，即， 故选：B． 3．（24-25八年级下·广东江门·期中）一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40L，开始工作后，每小时耗油6L，写出油箱中的剩余油量（单位：L）与工作时间（单位：h）之间的关系式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是列函数关系，由剩余油量等于总油量减去消耗的油量可得答案； 【详解】解：由题意可得：， ． 故答案为： ． 4．（23-24八年级下·陕西安康·期末）平面直角坐标系中点在第一象限，且，点的坐标为，设的面积为，用含的解析式表示，并写出取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及求三角形的面积，能够根据点的坐标得出三角形的边长是解题关键．根据点的坐标将三角形边长表示出来，然后根据三角形面积公式列式即可． 【详解】解：由题意，得． 【经典例题六 求自变量的取值范围】 【例1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数的取值范围，通常我们关注 2 个点：分母不为 0 ，二次根式内的式子必须非负． 根据分母不为 0 ，且二次根式内式子非负计算可得． 【详解】解：∵函数要有意义， 则， 解得：， 故选：A． 【例2】（2025·广东汕头·一模）函数y=中自变量x的取值范围是． 【答案】x≥ 【详解】试题分析：二次根式的被开方数为非负数，则根据题意可得：3x－5≥0，解得：x≥. 考点：函数自变量的取值范围. 1．（23-24九年级上·云南昆明·期末）函数的自变量x的取值范围是（    ） A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x=1 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于零，列不等式即可求解． 【详解】解：∵根据题意得： ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的求法，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可去全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不为零；当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 2．（23-24七年级下·重庆·期中）使得有意义的的取值范围是 （  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得不等式，再解不等式，即可得到答案． 【详解】解：由有意义可得：， 解得：； 故选：C． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，当函数表达式是二次根式的时候，被开方数是非负数是解题的关键． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】，且 【分析】本题考查了函数中自变量的取值范围，掌握自变量取值范围要使函数有意义是解答本题的关键． 用整式表示的函数，自变量取值范围是全体实数；用分式表示的函数，自变量的取值范围是分母不能为零；偶次方根表示的函数，自变量取值范围是被开方数为非负数．依据以上几条要让题目中的函数有意义，自变量满足，得到结果． 【详解】解：依题意知， ， 解得，且． 故答案为，且． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）一个三角形的底边长为5，高h可以任意伸缩．写出面积S随h变化的解析式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数，以及自变量的取值范围． 【答案】常量，变量h，S，自变量，函数S，． 【分析】根据三角形的面积公式，可得函数关系式． 【详解】解：由三角形的面积公式，得：， 常量是，变量h，S，自变量，函数S． 【点睛】本题考查了函数关系式，利用三角形的面积公式得出函数解析式是解题关键． 【经典例题七 求自变量的值或函数值】 【例1】（24-25七年级下·广东清远·期末）婴儿在个月生长发育非常快，他们的体重y（单位：）和月龄x（单位：月）之间的关系可以用来表示，其中a是婴儿出生时的体重．若某婴儿出生时的体重为，则该婴儿第3个月时的体重是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求解函数值，正确得出a，x的值是解题的关键．把a，x的值代入进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 当时，（）． 故选C． 【例2】（22-23七年级上·陕西榆林·期中）一根弹簧，一端是固定的，如果另一端挂上物体，在正常情况下物体的质量（kg）与弹簧的长度（cm）满足关系：．若小强给弹簧挂上重的物体（正常情况），弹簧的长度是多少？ 【答案】 【分析】此题考查了求函数值的应用．求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，所以， 所以弹簧的长度是． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，当函数值时，自变量的取值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了求自变量的取值．把代入，即可求解． 【详解】解：当函数值时，， 解得：或． 故选：D 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）变量y与x的关系为，当时，y的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求函数值；将已知的x值代入表达式，直接计算对应的y值． 【详解】解：当时， 故选：B． 3．（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知自变量与因变量y的关系如图所示，当从1变化到4时，y的值增加了 ． 【答案】6 【分析】本题考查了常量与变量，准确熟练地进行计算是解题的关键．分别把和代入中进行计算，即可解答． 【详解】解：当时，； 当时，； 当从1变化到4时，的值增加了6， 故答案为：6． 4．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，华氏温度值（）与摄氏温度值（）之间的关系式为． (1)若摄氏温度为时，求对应华氏温度； (2)若华氏温度为时，求对应摄氏温度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求函数的自变量的值和函数值，弄清题意，正确进行运算是解题的关键； （1）将代入解析式，即可求解； （2）将代入解析式，即可求解； 【详解】（1）解：当时，， 所以摄氏温度为时的华氏温度为； （2）当时，， 解得； 所以华氏温度为时的摄氏温度． 【经典例题八 函数图象识别】 【例1】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）下列图象不能表示为的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义及图象，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应的关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：由图象可知，C的图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系； A，B，D的图象满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系． 故选：C． 【例2】（22-23七年级下·陕西榆林·期中）风是由空气流动引起的一种自然现象，一般是由太阳辐射热引起的，风的测量多用电接风向风速计、轻便风速表、达因式风向风速计，以及用于测量农田中微风的热球微风仪等仪器．小星同学使用轻便风速表观测了某天连续12个小时风力变化的情况，并绘制下图：    (1)风力最大为______级． (2)简要描述8～12时风力变化的情况． 【答案】(1)7 (2)见解析； 【分析】观察函数图像，根据风力随着时间变化可得答案． 【详解】（1）根据图像可知14到15时风力最大，最大风力时7级． 故答案为：7； （2）8时至9时风力逐渐升高，9时至10时风力不变，10时至11时风力逐渐升高，11时至12时风力逐渐减小至3级． 【点睛】本题主要考查了函数的图像的识别，从图像中获取信息是解题的关键． 1．（24-25六年级下·山东烟台·期末）将常温状态下的温度计插入一杯恒温为的牛奶中，下列图像能较好地刻画出温度计的读数y（单位：℃）随着时间x（单位：min）的变化关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，注意温度计的温度升高到60度时温度不变．根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案． 【详解】解：将常温中的温度计插入一杯的牛奶中，温度计的度数先随时间的增加而增加，上升到一定的温度后不变，图象D符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级下·河北廊坊·阶段练习）《宋史·司马光传》中记载了司马光砸缸的故事:“群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．”下面水面高度的变化最符合故事情节的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查函数的图象，正确理解题意是解题关键．根据题意可知，水缸里原有一部分水（未满），水位不变，玩耍的孩童落入水缸中，水已没过孩童头顶，这时水缸内的水位会上升，之后一段时间水位不变，司马光急中生智，举起一块大石头砸破水缸，水流出后，孩童得救，此时水位会迅速下降．据此对照下面四幅图进行比较即可． 【详解】解：由题意，水缸中的水开始不变，玩耍的孩童落入水缸中，水缸内的水位会上升，之后一段时间水位不变，司马光急中生智，举起一块大石头砸破水缸，此时水位会迅速下降 由分析得：比较符合故事情节． 故选：C． 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，各情况分别可以和哪幅画来近似刻画？ （1）一个球被向上抛起，直到落到地面的过程（球的高度与时间的关系） ； （2）常温下，往一杯凉水中倒开水（水温与时间的关系） ； （3）将澡盆中的水放掉（水的高度与时间的关系） 【答案】 C A B 【分析】（1）抛球运动，球的高度，先上升后下降，由此即可得到答案； （2）凉水中倒入开水，水的温度会逐渐上升，由此即可得到答案； （3）给澡盆放水，澡盆中的水的高度逐渐降低，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）一个球被竖直向上抛起，球上升到最高点，垂直下落，直到地面，在此过程中球的高度与时间的关系，图象是C； 故答案为：C； （2）常温下，往一杯凉水中倒开水，水的温度会逐步上升，图象是A； 故答案为：A （3）在澡盆放水的过程中，水的高度会逐渐下降，图象是B； 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，正确理解题意是解题的关键． 4．（2025·浙江杭州·三模）在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发．下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（）的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： (1)求出乙车的速度． (2)两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间． (3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 【答案】(1) (2) (3)乙车的速度应减小，减小的值为km/h 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，从函数图象中获取信息， 对于（1），根据图象可知A，B两地相距100km，乙车先出发行驶到两车相距70km时，用时0.5h，再根据路程，时间，速度的关系求出答案； 对于（2），先求出甲车的速度，再根据相遇后距离为30km，相当于甲，乙共同行驶了100km，即可求出行驶时间； 对于（3），先根据两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为1.75，求出乙车速度，再作差可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：，故乙先到目的地， ． ∵相遇后距离为30km， ∴甲，乙共同行驶了100km， ∴甲行驶时间为：； （3）解：由题可得：要使两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为：1.75， ∴此时乙车速度应为：100÷1.75＝（km/h）， （km/h）， ∴乙车的速度应减小，减小的值为km/h． 【经典例题九 从函数的图象获取信息】 【例1】（25-26七年级上·安徽六安·开学考试）甲、乙两车从A地前往B地，汽车离开A地的距离与时间对应关系如图所示．下列结论错误的是（   ） A．甲车的平均速度为60千米/时 B．乙车的平均速度为100千米/时． C．乙车比甲车先到达B地 D．甲、乙两车在时相遇． 【答案】D 【分析】本题考查实际问题的图象，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． 由速度路程时间可得甲，乙车的速度，根据甲出发1小时后乙再出发及甲、乙车速度，可得到乙追上甲的时刻，进而求解即可． 【详解】解：甲车5小时行了，甲车的平均速度为，故A正确； 乙车3小时行了，乙车的平均速度为，故B正确； 乙车到达B地，甲车到达B地，故C正确． 设乙出发追上甲，则， 解得， ∴甲、乙两车在时相遇，故D错误． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·广东广州·开学考试）图象表示一种彩带降价前后的长度与总价的关系．请根据图中信息填空． (1)降价前后，长度与总价都成_______比例． (2)降价前买7.5米需_______元． (3)这种彩带降价了_______%． 【答案】(1)正 (2)45 (3) 【分析】此题主要考查的是如何观察图象并且从图象中获取信息，然后再进行计算、解答即可． （1）降价前后彩带的单价一定，即比值一定，那么总价和长度成正比例； （2）要求降价前买7.5米需要的钱数，必须知道单价，从图中可知单价是6元/米，再根据单价×数量=总价即可求出； （3）要求这种彩带降价了百分之几，必须先找到降价后的单价，从图中可知买3米需要12元，故单价是元，再用降价前后的单价差除以降价前的单价即可． 【详解】（1）解：降价前后彩带的单价一定，即比值一定，那么总价和长度成正比例； （2）从图中可知单价是6元/米， （元）， （3）． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）某空军加油飞机接到命令，立即给一架正在飞行的运输机加油．在空中加油中，设运输机余油量（吨），加油飞机加油油箱的余油量为（吨），加油时间为（分钟），图中表示与时间之间函数图象正确的是（注意：运输机在加油的过程中也消耗油）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，分析题意得出函数图象是解题的关键，根据在空中加油时，运输机余油量与加油飞机加油油箱的余油量为变化情况即可求解． 【详解】解：在空中加油时，运输机余油量逐渐增加，加油飞机加油油箱的余油量逐渐减少，又运输机在加油的过程中也消耗油，故加油飞机加油油箱的余油量减少的量多于运输机余油量增加的量． A选项：加油飞机加油油箱的余油量减少了（吨）， 运输机余油量增加了（吨）， ∵， ∴加油飞机加油油箱的余油量减少的量多于运输机余油量增加的量，本选项符合题意． B选项：加油飞机加油油箱的余油量减少了（吨）， 运输机余油量增加了（吨）， ∵， ∴加油飞机加油油箱的余油量减少的量少于运输机余油量增加的量，本选项不合题意． C选项：加油飞机加油油箱的余油量减少了（吨）， 运输机余油量增加了（吨）， ∵， ∴加油飞机加油油箱的余油量减少的量等于运输机余油量增加的量，本选项不合题意． D选项：由图象可得加油飞机与运输机加油的时间不等，不合题意． 故选：A 2．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）在一定的温度、湿度及通风的环境下，某孵化实验室孵化小鸡的数量关于时间的趋势图如图所示，预计当时，孵化量为(    ) A．26只 B．30只 C．40只 D．50只 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据可知每过个小时，孵化量增加约只，然后即可判估算当时的孵化量． 【详解】解：由函数图象可知， 每过个小时，孵化量增加约只， 当时，孵化量约为只， 故选：C． 3．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地，A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲，乙两人之间的距离y（）与甲所用时间x（）之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的倍；③；④．以上结论正确的有 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了函数图象的识别，观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键． ①当时，，可得出A、B之间的距离为；②根据速度路程时间可求出乙的速度，再根据甲的速度路程时间乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的1．5倍；③根据路程二者速度和运动时间，即可求出；④根据甲走完全程所需时间两地间的距离÷甲的速度，即可求出．综上即可得出结论． 【详解】解：①当时，， ∴A、B之间的距离为，故结论①正确； ②乙的速度为， 甲的速度为， ∵ ∴乙行走的速度是甲的倍，故结论②正确； ③，故结论③错误； ④，故结论④错误． 故结论正确的有①②． 故答案为：①②． 4．（22-23七年级上·福建漳州·开学考试）一个长方体水箱的长、宽、高．水箱装有甲、乙两根进水管，甲管先开若干分钟后再将乙管打开．如图，表示的是水管进水时间和水深的关系． (1)甲管先开（    ）分钟后才将乙管打开． (2)甲管每分钟进水多少升？ (3)注满水箱一共要多少分钟？ 【答案】(1)6 (2)甲管每分钟进水升 (3)注满水箱一共要14分钟 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是从图中正确获取信息． （1）根据统计图反映的情况，明显可以看出在6分钟后，进水数量比以前明显上升，因此甲管先开6分钟后才将乙管打开； （2）算出6分钟水的体积，再除以时间即可； （3）算出甲和乙共同的速度，再求出甲、乙共同的时间，再加上甲管单独所用时间即可． 【详解】（1）解：因为在6分钟后，进水数量比以前明显上升，因此甲管先开6分钟后才将乙管打开， 故答案为：6； （2）解：（升/分）， 答：甲管每分钟进水升； （3）解：∵（分）， ∴（分钟）， ∴（分）， 答：注满水箱一共要14分钟． 【经典例题十 用描点法画函数图象】 【例1】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）以下四点中，在函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，只要把点的坐标代入函数的解析式，若左边右边，则点在函数的图象上，反之就不在函数的图象上，代入检验即可． 【详解】A选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上； B选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点在函数的图象上； C选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上； D选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上． 故选：B 【例2】（24-25六年级下·山东东营·期末）摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间（单位：）和一个座舱距离地面的高度（单位：），部分数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00 请解决以下问题： (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与之间的关系，在下面给出的图中，画出这个函数的图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①此摩天轮座舱距离地面的高度最低为_____，最高为_____； ②此摩天轮转盘的半径约为_____，转一圈所用时间为_____． 【答案】(1)见解析 (2)①10，90；②40，12 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息． （1）根据表格数据，在坐标系中描点，再依次连接即可； （2）①根据函数图象发现当时有最高点，当时有最低点； ②最高和最底差距即为直径，据此求解半径；根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时和从最高点到最低点用时一致，即可求此摩天轮转一圈所用时间． 【详解】（1）解：这个函数的图象如图所示： （2）解：①根据以上数据与函数图象可知，此摩天轮座舱距离地面的高度最高为，最低高度为， 故答案为：10，90； ②转盘的直径约为， ∴转盘的半径约为， 根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时为， ∴从最高点到最低点用时也为， ∴此摩天轮转一圈所用时间为， 故答案为：40，12． 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， ， 则点，，在同一直线上，点没在这条直线上， 故选：D. 2．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析出 托运费y与物品重量x之间的函数关系，画出图像即可． 【详解】解：由题意可得， 当时，， ∵物品重量每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元， ∴托运费y与物品重量x之间的函数图像为： 故选：D． 【点睛】此题考查了函数的图像，解题的关键是根据题意正确分析出托运费y与物品重量x之间的函数关系． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）李玲用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格，根据表格上的信息回答问题：该二次函数当时， ． 【答案】1 【分析】观察表格中的x，y值，找到对称点确定对称轴，在找x=3的对称点的y值，即可求出 【详解】由上表可知函数图象经过点（0，-2）和点（2，-2）， ∴对称轴为x==1， ∴当x=-1时的函数值等于当x=3时的函数值， ∵当x=-1时，y=1， ∴当x=3时，y=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决本题的关键，另外本题也可以求出二次函数解析式，然后求值 4．（23-24八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中画出的图像 解：列表（将下表填写完整） 描点 连线 【答案】见解析 【分析】先取出一些数据，填表；然后根据一次函数的解析式画出图象即可． 本题考查了描点法画函数图象，熟练掌握图象的画法是解题的关键． 【详解】解： 【经典例题十一 动点问题的函数图象】 【例1】（23-24八年级下·北京密云·期末）如图，学校的环形跑道是由两个直道和两个弯道组成，其中每个直道长约为，每个弯道长约为．小明在该环形跑道上晨练时，从一段直道的起点出发沿着的路线跑一圈后回到点．已知小明在每个直道上以的速度匀速跑步，在每个弯道上以的速度匀速跑步，下列函数图象中能够大致描述小明跑步的路程与跑步时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象．根据跑步的速度与各段图象的陡峭程度的关系、各段所用时间判断即可． 【详解】解：∵在每个直道上跑步的速度为，在每个弯道上跑步的速度为， ∴段的图象平行于段的图象，段的图象平行于段的图象，且、段的图象比、段的图象要陡， ∴在、段所用时间均为， 在、段所用时间均为， ∴在、段所用时间约为在、段所用时间的2倍， ∴选项C符合题意． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·内蒙古包头·阶段练习）动点H以每秒1厘米的速度沿图①的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积S（平方厘米）与时间t（s）的关系图象如图②所示，已知，设点H的运动时间为t秒． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______． (2)______，______，______． (3)当的面积为8平方厘米时，求点H的运动时间t的值． 【答案】(1)t；S (2) (3)点H的运动时间t为或 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，理解题意是解题的关键． （1）根据题意及函数的定义即可作答； （2）根据三角形的面积及图象即可得出答案； （3）分点H在上运动和点H在上运动时两种情况． 【详解】（1）解：的面积S随着时间t的改变而改变． 故答案为：t；S． （2）由图象可得， ∴，． 故答案为：． （3）当点H在上运动时，， ∴， ∴， ∴， 当点H在上运动时，， ， ∴， 故当的面积为时，点H的运动时间t为或． 1．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是（   ） A．25 B．36 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中的面积和函数图象，求出和的长，再用矩形面积公式求出矩形的面积，点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明的长为4，当点P在上运动时， 的面积保持不变，就是矩形面积的一半，并且运动路程由4到9，说明的长为5，然后求出矩形的面积． 【详解】解：结合图形可以知道，P点在上，的面积为y随x的增大而增大，当P点在上运动时，的面积不变， 得出， 所以矩形的面积为：． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，动点P从点A出发，按顺时针方向绕半圆O匀速运动到点B，再以相同的速度沿直径回到点A停止，线段的长度d与运动时间t的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点的函数图象，根据点在上运动时，的长不变为半径的长，点在线段上运动时，的长先变小，后变大，进行判断即可． 【详解】解：当点在上运动时，的长不变为半径的长，当点在线段上运动时，的长先变小，后变大， 故符合题意的只有选项B； 故选：B． 3．（25-26七年级上·重庆·自主招生）已知动点P以每秒的速度沿图甲的边框按的路径移动，相应的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若，则图甲中的图形面积是 平方厘米． 【答案】135 【分析】本题考函数图像的应用，解题的关键是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，长方形的面积公式及应用．通过观察折线统计图可知，点从点移动到点用4秒，点从点移动到点用2秒，点从点移动到点用3秒，根据路程速度×时间，分别求出的距离，根据长方形的面积公式，把数据代入公式求出长方形的面积与长方形的面积差即可． 【详解】解：观察图像可得： 的长：（厘米）， 的长：（厘米）， 的长：（厘米） 图甲中的图形面积是：（平方厘米）． 答：图中甲的面积是135平方厘米． 故答案为：135． 4．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图1是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且，，动点从点出发，沿着图形的边以的速度按的方向运动，到点处停止运动．图2是的面积与点的运动时间的关系，请回答以下问题： (1) ， ，题2图中 ． (2)当点在边运动时，求与的关系式． 【答案】(1)3；6；18 (2) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）由函数图象知，由三角形面积求得，据此求解即可； （2）先求得，再利用三角形面积公式列式即可． 【详解】（1）解：当时点从点运动到点，， ∴， 点从点运动到点，面积从变化到， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；6；18； （2）解：， ∴． 【经典例题十二 函数的三种表示方法】 【例1】（23-24八年级上·河南郑州·期中）某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．从而可得答案． 【详解】解：某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况， 故选B 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）声音在空气中的传播速度与温度的关系如下表： （1）试用含的代数式表示； （2）请你计算出当时声音的传播速度． 【答案】（1）；（2）346m/s． 【分析】（1）根据表格，可以得出速度与温度之间的关系式． （2）根据（1）中的关系式，可得t＝2.5℃时，声音的传播速度． 【详解】（1）根据表格可得，． 故速度v与时间t之间的关系式为：． （2）当t＝25℃时， v＝331＋0.6×25＝346（m/s）． 故当t＝25℃时，声音的传播速度为332.5m/s． 【点睛】本题考查根据表格观察规律列出函数关系式，求得速度v（m/s）与温度t（℃）之间的关系式是解题的关键． 1．（2023·北京·模拟预测）对于温度的计量， 世界上大部分国家使用摄氏温标 (℃) ， 少数国家使用华氏温标(°F)， 两种温标间有如下对应关系： 摄氏温标（°C） … 0 10 20 30 40 50 … 华氏温标（°F） … 32 50 68 86 104 122 … 则摄氏温标 (℃) 与华氏温标(°F)满足的函数关系是（   ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】B 【分析】从表格可看出，摄氏温标每增加10°C，华氏温标增加18°F，即摄氏温标 (℃) 与华氏温标(°F)成一次函数关系． 【详解】解：从表格可看出，摄氏温标每增加10°C，华氏温标增加18°F，即摄氏温标 (℃) 与华氏温标(°F)成一次函数关系． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数，根据已知得出y与x的函数关系式是解题的关键． 2．（22-23八年级·全国·假期作业）下面关于函数的三种表示方法叙述错误的是(     ) A．用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化 B．用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值 C．用解析式法表示函数关系，可以方便地计算函数值 D．任何函数关系都可以用上述三种方法来表示 【答案】D 【分析】根据函数三种表示方法的特点即可作出判断． 【详解】前三个选项的叙述均正确，只有选项D的叙述是错误的，例如一天中的气温随时间的变化是一个函数关系，但此函数关系是无法用函数解析式表示的． 故选：D 【点睛】本题考查了函数的三种表示方法，知道三种表示方法的特点是本题的关键． 3．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期中）表示函数的方法一般有 、 、 ． 【答案】 列表法 关系式法 图象法 【分析】本题主要考查函数的表示方法．根据函数的定义，结合表示函数的方法“列表法、关系式法、图象法”即可求解． 【详解】解：表示函数的方法一般有列表法、关系式法、图象法， 故答案为：①列表法；②关系式法；③图象法． 4．（22-23八年级上·江西鹰潭·期末）水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了内7个时间点的漏水量，其中t表示时间，y表示漏水量． 时间 0 5 10 15 20 25 30 漏水量 0 15 30 45 60 75 90 解决下列问题： (1)结合表中数据写出滴水量y关于时间t的函数解析式________（不要求写自变量的取值范围）； (2)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为多少mL． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察表格数据特点即可求解； （2）由（1）即可求解． 【详解】（1）解：观察表格可得：漏水量是时间的3倍， 故解析式为 ， 故答案为： （2）解：一天的漏水量约为． 【点睛】本题考查根据表格列函数解析式．仔细观察数据特点是解题关键． 【拓展训练一 变量间关系的表示方式】 【例1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式             A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际数据寻找变量间的函数关系式，解题的关键是先确定不同有机物中碳原子数x与氢原子数y的对应值，再代入选项验证或根据规律推导关系式． 先列出甲烷、乙烷、丙烷、丁烷的原子数）与原子数）对应值：甲烷、乙烷、丙烷、丁烷；再将对应值代入各选项，或根据“每增1个C原子增2个H原子”的规律，推导x与y的关系式，进而判断正确选项． 【详解】解：首先确定各有机物中C原子数x与H原子数y的对应关系： 甲烷：时，； 乙烷：时，； 丙烷：时，； 丁烷：时，． A、若，当时，，此选项不符合题意； B、若，当时，（符合）时，（符合）时，（符合）时，（符合），此选项符合题意； C、若，当时，，此选项不符合题意； D、若，当时，，此选项不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是_________． (2)若小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请直接写出y与x之间的关系式（不写x的取值范围）． (3)当小正方形的边长由变化到时，图中阴影部分的面积是怎样变化的？ 【答案】(1)阴影部分的面积 (2) (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积由变到 【分析】本题考查了函数关系式． （1）根据当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，则小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量； （2）根据阴影部分的面积大正方形的面积个小正方形的面积，即可解答； （3）根据当小正方形的边长由变化到时，x增大，也随之增大，则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小． 【详解】（1）解：∵当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化， ∴小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量， 故答案为：阴影部分的面积； （2）解：由题意可得：； （3）解：由（2）知：， 当小正方形的边长由变化到时，x增大，也随之增大，则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小， 当时，y有最大值，， 当时，y有最小值，． ∴当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积由变到． 1．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图表示小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，请你根据趋势图预测6月份小树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要了用图象表示变量之间的关系，根据趋势图中的直线，即可得出预测结果． 【详解】解：根据小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，预测6月份小树的高度约为左右， 只有比较符合， 故选：C 2．（24-25七年级下·山东济宁·期末）“某市之约，跑者之说”．2025年4月6日某市马拉松激情开跑，这也是某市首次举办全马的赛事．为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．某同学报名参加 “欢乐跑”马拉松比赛．若他跑步的“跑速”如图所示，则下列说法中正确的是（   ） ①前的平均速度大于最后的平均速度；②第和第的平均速度相同；③第的平均速度最大． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查从图象中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可． 【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间， 由于前的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故①说法错误； 第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选②说法正确； 由图可知，第配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故③说法正确； 综上所述：说法正确的是②③． 故选：B． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）运动生理学实验发现，跳绳所消耗的卡路里体重跳绳次数，一名体重的学生跳绳次，他所消耗的卡路里（单位：）与（单位：次）之间的关系式为： ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键．根据跳绳所消耗的卡路里体重跳绳次数计算即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小明离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米； (2)小华在超市停留了______分钟； (3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米； (4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)2100 (2)4 (3)2700 (4)在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内 【分析】本题考查用图象表示两个变量之间的关系，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间； （2）根据图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间； （3）根据图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程； （4）根据题意和图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：根据图象纵轴数据，小华家到鸭绿江断桥的距离是2100米， 故答案为：2100； （2）解：根据图象纵轴数据，小华在超市停留了分钟， 故答案为：4； （3）解：根据图象纵轴数据，本次骑行途中，小华一共行驶了（米）， 故答案为：2700； （4）解：当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； ∵， ∴在整个骑行途中在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内． 【拓展训练二 自变量求解问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）函数y＝中自变量x的取值范围是（   ） A．x≠0 B．x≥2或x≠0 C．x≥2 D．x≤﹣2且x≠0 【答案】C 【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由题意可得： 解得： ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）下列式子中的是的函数吗？为什么？ ；     ；     ． （2）请再举出一些函数的例子． （3）分别对（1）中各函数解析式进行讨论： ①自变量在什么范围内取值时函数解析式有意义？ ②当时对应的函数值是多少？ 【答案】（1）是函数，是函数，是函数，（2）见详解，答案不唯一 （3）①，x可为任意实数；；； ②；；． 【分析】本题考查函数的定义，自变量取值范围及函数值的定义，解题的关键是熟练掌握各式有意义的条件． （1）根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可逐一判断． （2）根据函数的定义列举即可 （3）①根据整式有意义的条件：全体实数，分式有意义的条件：分母不为0，二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0即可求解；②将分别代入各式计算即可． 【详解】解：（1）满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； 满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； 满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，y是x的函数； （2）例如：、等对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数． （3）①∵整式有意义的条件是全体实数， ∴有意义时自变量x取值范围是全体实数， ∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴有意义时自变量x取值范围，即， ∵二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0， ∴有意义时自变量x取值范围，即； ②将代入，得：， 将代入，得：， 将代入，得：． 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标特点，将点代入各个函数解析式进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、当时，，满足函数，符合题意； 、当时，，不满足函数，不符合题意； 、当时，，不满足函数，不符合题意； 、当时，，不满足函数，不符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和，输出的值相等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把x=6与x=2代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值． 【详解】当时，， 当时，， 由题意得：， 解得：． 故选：． 【点睛】本题主要考查了函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法． 3．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）课堂上老师设计了程序图，若输出的值是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的值，将分别代入两个函数解析式，求出自变量的值，然后检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将代入得， ，解得，不符合题意； 将代入得， ，解得，符合题意； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）某油箱容量为的汽车，加满汽油后行驶了时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩余油量为， (1)你能写出与之间的关系式是______． (2)当汽车行驶的路程为，油箱中还有多少油？ (3)汽车最多能行驶多远？ 【答案】(1) (2)油箱中还有油 (3)汽车最多能行驶千米 【分析】本题考查了列函数关系式，求函数值或自变量的值； （1）根据油箱容量为升的汽车，加满汽油后行驶了千米时，油箱中的汽油大约消耗了升，可以求出每千米的耗油量，从而可以得到与之间的函数关系式． （2）将代入关系式，即可求解； （3）令，代入关系式，即可求解． 【详解】（1）解： 每千米耗油量为：（升）， 由题意得：， 即与之间的函数关系式是：． 故答案为：． （2）当时，， （3）当时， 解得： 汽车最多能行驶千米 【拓展训练三 函数图象的综合问题】 【例1】（25-26九年级上·北京·开学考试）关于x的函数图象如图所示，其图象分两部分，一部分在直线（）和直线之间，另一部分在直线的右侧，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．由图象识别出函数是由两段组成，即可解答． 【详解】解：由题意得， ∴， 由函数解析式和图象可知， 函数是由两段组成， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）如图1，在长方形中，，点P从点A出发以秒的速度沿的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． (1)点P 从点A 出发，经过多少秒后到达点 D？ (2)点P从点A 出发，经过多少秒后三角形的面积恰好是 ？ 【答案】(1)10秒 (2)秒或秒 【分析】本题主要考查动点运动的函数图象问题，根据图2得出的长进而求出是解题的关键． （1）由图2可知，点P运动3秒到达点B，再由点P的运动速度和进行求解即可； （2）由（1）中求得的数据，可知长方形的面积，进而可得出点P在上运动时，的面积为定值24，再对点P的位置在和上进行分类即可． 【详解】（1）解：由图2知，点P运动3秒时到达B点， 又∵点P的运动速度是秒， ∴． 又∵， ∴， 又∵四边形是长方形， ∴． ∴， ∴（秒）． ∴点P从点A出发，经过10秒后到达点D． （2）解：由（1）知，， 当点P在上运动时，的面积恒为：， 又，故不符合题意； 当点P在边上时， ， （秒）； 当点P在边上时， ， （秒）． 综上所述，经过秒或秒后三角形的面积恰好是． 1．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图所示，长为2宽为1的矩形和边长为3的正方形在同一水平线上，矩形沿该水平线从左向右匀速穿过正方形；设穿过的时间为t，正方形除去矩形面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，分三个阶段分析，得出解析式，进而结合选项中的函数图象即可求解． 【详解】解：根据题意，①矩形向右未完全穿入大正方形，减小； ②矩形穿入大正方形但未穿出大正方形，不变； ③矩形穿出大正方形，增大． ④完全与大正方形没重合时，不变； 分析选项可得，A符合． 故选：A． 2．（23-24八年级下·河南南阳·期中）在地球中纬度地区，从地面到高空大约之间，气温随高度的升高而下降，每升高，气温大约下降；高于但不高于，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为，设该城市距离地面高度为处的气温为，则与的函数图像是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出和解析式即可解答． 【详解】解：由题意可知，当高度x=0时，y=20℃； 当x=11时，y=20-11×6=-46℃， ∴y=-6x+20（） 当时，y=-46 根据一次函数的性质可知，只有B选项的图像符合题意． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了运用函数图像描述实际问题的能力，根据题意确定函数解析式成为解答本题的关键． 3．（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图1所示，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x的关系如图2所示，当时，则 秒． 【答案】或3 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，几何图形与函数图象的关联信息，正确理解几何图形与函数图象的关联信息是解题的关键； 根据动点P所在的位置与图象的关系求出，，然后根据动点P在边和上分析即可． 【详解】解：根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴， 由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， 当时，设点P运动的时间为x秒，有两种情况： 当动点P在边上时，由得 ； 当动点P在边上时，由得 ， 综上，当时，秒或3秒， 故答案为：或3． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）已知小华的家、文化广场、购书中心依次在同一条直线上，文化广场离家，购书中心离家．小华骑自行车从家出发，先匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留了一段时间，之后又以同样的速度骑行了到购书中心，在购书中心买过书后，再以高于出发时的速度匀速骑行了返回家．小华离家的距离（单位：）与离家的时间（单位：）之间的关系如图所示．根据相关信息，解答下列问题： (1)小华从家出发到文化广场的速度为 ，小华在文化广场停留的时间为 ； (2)小华离家时，离家的距离是多少？ (3)小华离家时，离家的时间是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（）根据函数图象解答即可； （）求出从文化广场出发到离家的时间，进而求出这段距离，再加上即可求解； （）分两种情况：①到达购书中心前离家；②到达购书中心后离家，根据时间路程速度解答即可； 本题考查了函数图象的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，小华从家出发到文化广场的速度为，小华在文化广场停留的时间为， 故答案为：，； （2）解：， ， ∴小华离家时，离家的距离是； （3）解：从文化广场出发骑行至经过的距离为， ∴骑行这段距离所用时间为， ①到达购书中心前，小华离家时，离家的时间为； ②从购书中心返回家的速度为， 从购书中心骑行至离家时所用时间为， ∴到达购书中心后，小华离家时，离家的时间为； 综上所述，小华离家时，离家的时间是或． 1．（24-25六年级下·山东烟台·期末）小明的爸爸到单位附近的加油站加油，如图1所示的是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的自变量是（    ） A．数量 B．单价 C．金额 D．金额和数量 【答案】A 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握这些数学知识是解题的关键，根据常量与变量的意义，即可解答． 【详解】解：小明的爸爸到单位附近的加油站加油，如图所示的是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的自变量是数量，因变量是金额，常量是单价， 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）乌鸦在井旁找到了一个装有小半瓶水的玻璃瓶，由于瓶口狭窄，它想到了办法，将旁边的石子投入圆柱形玻璃瓶中使水面上升（假设石子的大小相同，瓶颈口的高度忽略不计）．下列关于乌鸦喝水的描述正确的有（    ） ①瓶子的高度是常量；②自变量是瓶中水面高度；③投入石子的数量是变量；④乌鸦投入的石子数量与水面高度满足函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】该题考查了常量、变量和函数的定义，根据题意解答即可． 【详解】解：常量是瓶子的高度，变量是石子的数量和瓶中水面高度， 自变量是石子的数量，因变量是瓶中水面高度， 随着石子数量的增加，瓶中水面高度也增加，故乌鸦投入的石子数量与水面高度满足函数关系， 故①正确；②错误；③正确；④正确． 正确的是①③④，共3个， 故选：C． 3．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）一个圆柱的高为，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也发生了变化，在这个变化过程中（   ） A．是因变量，是自变量 B．是自变量，是因变量 C．是自变量，是因变量 D．是自变量，是因变量 【答案】B 【分析】主要考查了函数的定义，根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量． 【详解】解：一个圆柱的高h为，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积也发生了变化，在这个变化过程中r是自变量，V是因变量， 故选：B． 4．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，若以固定流量向蓄水池里注水，那么下列哪个图能大致表示水的深度h和时间t之间的关系（   ）    A．   B．       C．     D．   【答案】D 【分析】本题考查了图象表示变量关系，能够根据题中所给的信息，分析出水的深度变化是先快后慢是解题关键．因为蓄水池的底面大，上面小，这个蓄水池以固定的流量注水，所以水的深度变化是先慢后快，据此即可得到答案． 【详解】解：A、表示水的深度变化匀速上升后静止不动，不符合题意，选项错误； B、表示水的深度变化匀速上升，不符合题意，选项错误； C、表示水的深度变化先快后慢，不符合题意，选项错误； D、表达水的深度变化先慢后快，符合题意，选项正确； 故选：D． 5．（24-25六年级上·上海·期末）六年级学生周末去爬山，他们在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到出发地．图（    ）准确地描述了这个过程． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据用一个单位长度表示一定数量，用折线的上升或下降表示数量的多少和增减变化，容易看出数量的增减变化情况分析求解即可．本题考查了折线统计图的应用问题，熟练掌握折线统计图的特征是解题的关键． 【详解】解：根据六年级学生在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到出发地； 准确地描述了这个过程． 故选：B． 6．（2025·上海·模拟预测）关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：A．当时，，即图象与y轴的交点坐标为，故选项A说法正确，不符合题意； B．因为，所以，即图象与x轴没有交点，故选项B说法错误，符合题意； C．因为，所以图象不经过第三、四象限，故选项C说法正确，不符合题意； D．函数图象关于y轴对称，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 7．（24-25六年级下·山东济宁·期末）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是表中的数据： 鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/分钟 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为千克，烤制时间为．当千克时，的值约为（    ） A．168 B．170 C．172 D．174 【答案】C 【分析】本题考查了的是函数关系式，解题的关键是根据题目的已知及图表条件得到相关的信息．观察表格数据可知，鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟，即可得到烤制时间与质量的关系式，再代入计算即可． 【详解】解：由表格数据可知，质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟， 则烤制时间与质量的关系式为， 当时， （分钟）． 故选：C． 8．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）已知如图1，正方形中，点从A出发，沿着的路线到停止运动，若点的运动时间为秒，速度为每秒1个单位长度，的面积为关于的函数图象如图2所示，那么下面与相关的描述一定成立的有（   ） ①，②，③，④． A．①② B．①②④ C．②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是动点函数图象，正确理解字母代表的意义是解题的关键．利用函数的图象得到正方形的边长，结合题意求得关系式，逐次解答即可． 【详解】解：①由题意得：当时，． 正方形的边长为a，则， 当点P在上时，则， 当时，，故①正确，符合题意； ②时，点P在上，即，即，故②正确，符合题意； ③若，则， 从图看，上述等式不一定成立，故③错误，不符合题意； ④由①知，，则， 假设， ， 整理得：， 解得：， 即只有时，等式才成立，故④不成立，不符合题意； 故选：A． 9．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）王红骑自行车去与家相距的樱花园赏花游玩，王红以的速度匀速骑行，出发后，王红的哥哥发现王红的身份证落在了家中，于是哥哥按照王红行驶的路线骑电动车以的速度追王红，当哥哥将身份证送给王红后，又按原路原速返回，哥哥从家出发到返回家中所用的时间是，王红到达目的地时，哥哥恰好也同时到达家中．若从王红出门开始，则哥哥和王红之间的距离与王红的行驶时间的函数关系图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的确定，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据题意逐段进行分析，求出每个关键点的函数值和自变量的值，然后对比选项函数图象即可． 【详解】解：根据题意，当王红出门开始时，哥哥和王红的距离逐渐增大，当时，； 当哥哥开始追王红时，哥哥和王红的距离逐渐减小，哥哥追上王红所用时间为：，当时，； 当哥哥和王红离开时，哥哥和王红的距离逐渐增大，此时，哥哥到家和王红到达终点所用时间为，即当时，； 通过选项对比，只有B选项符合要求， 故选：B． 10．（2024九年级·内蒙古通辽·学业考试）小明使用图形计算器探究函数的图象，他输入了一组的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的的值满足( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过本题已知条件可知，本题考查函数的探究拓展，需要根据题目所给图像特点，选定特殊区间确定参数范围 【详解】由图像可知，当x＞0时,，函数值 ,可知 ∴ 由图像可知，在自变量 范围内，分子，同时该区间内当取某一值时，值非常大，有且仅当取值接近于值时，即分母接近于0，该y值会出现 ∴ 故本题选A选项 【点睛】本题非常规例题，考查对于函数清晰的理解以及图像信息点抓取能力，作答时为提升效率可采取试数的方式作答 11．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）地表以下岩层的温度y（）随着所处深度x（）的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式来表示，当时， ． 【答案】720 【分析】本题主要考查了利用自变量的值求函数值的计算，把自变量的值代入函数关系式中求出相应的函数值是解题的关键； 把代入关系式计算，可得结果． 【详解】由题知，当时，． 故答案为：720 ． 12．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）一支签字笔的单价为元，李老师买了支，总价为元，则 ，其中变量是 ． 【答案】 和 【分析】本题考查常量与变量，掌握总价单价数量及变量的定义是解题的关键．根据总价单价数量写出关于的函数关系式，再由变量的定义判断哪些是变量即可． 【详解】解：，其中变量是和． 故答案为：，和． 13．（24-25七年级下·广东佛山·期中）小鹏发现，按照航空公司的规定，他需交的行李费用（单位：元）和携带的行李量（单位：）的关系是，则他携带行李需要交行李费 元． 【答案】300 【分析】本题考查求函数值，掌握代入自变量的值求对应函数值的方法是解题的关键． 当时，求出对应的值即可． 【详解】解：当时，， ∴他携带 行李需要交行李费 300 元． 故答案为：300． 14．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值，根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系为，将代入求值即可，解题的关键是正确列出函数关系式． 【详解】解：由题意，得， 当时，， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·重庆·期末）农历五月初五是中国的传统节日端午节．端午节当天早晨，小颖与哥哥约定一起从家出发去超市采购粽子，哥哥因事耽误，让小颖先走，6分钟后哥哥从家出发追赶小颖．追上小颖后，哥哥发现自己忘带手机，于是哥哥立即调头以原来速度的2倍跑步回家取手机，之后再以提高后的速度赶往超市．在哥哥回家的过程中，小颖到达了超市，10分钟后哥哥也抵达超市．如图表示的是哥哥和小颖之间的距离（米）与小颖离开家的时间（分钟）之间的关系（哥哥调头与取手机的时间忽略不记），则小颖家离超市的距离为 米． 【答案】1050 【分析】设小颖和哥哥从家出发时的速度分别为V1，V2，哥哥提速后的速度为V，设小颖从家出发t分钟时到达超市，根据题意逐步分析，求出V，V1，V2，t，从而计算结果． 【详解】解：设小颖和哥哥从家出发时的速度分别为V1，V2， 哥哥提速后的速度为V， 则V= 2V2， 设小颖从家出发t分钟时到达超市，由图象可知， 小颖先出发6分钟，当x=6时小颖与哥哥的距离为300米， 则小颖的速度为：V1=300÷6=50米/分钟， 当x= 18时，y=0，即小颖从家出发18分钟时被哥哥追上， 此时哥哥从家出发18-6=12分钟， 则12V2=18V1，解得V2=1.5V1=1.5×50=75米/分钟， 哥哥调头提速后的速度V=2V2=2×75=150米/分钟， 所以哥哥返回家中拿手机需要用时12V2÷V=6分钟， 即x=24时哥哥返回家中拿到手机，而小颖在哥哥返回家中拿手机的途中到达超市， 即18<t< 24， 在小颖到达超市时，哥哥还需要(24-t)分钟到达家中， 在小颖到达超市10分钟后哥哥到达超市， 则哥哥拿到手机从家到超市总共用时：10-(24-t)=t-14， 所以用小颖家离超市的距离为等式列方程为：tV1= (t-14)V， 所以50t=(t-14)×150，解得：t=21， 所以小颖从家出发21分钟后到达超市，速度为V1=50米/分钟， 即小颖家离超市的距离为21V1=21×50=1050米， 答案为：1050． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，解题的关键是要充分理解题中的运动过程，结合图像进行分析得出数据，难度较大． 16．（2023·江西九江·模拟预测）图①为汽车沿直线运动的速度v(m/s)与时间t(s)(0≤t≤40)之间的函数图象．根据对此图象的分析、理解，在图②中画出描述在这段时间内汽车离开出发点的路程s(m)与时间t(s)之间的函数图象．    【答案】见解析 【分析】根据时间与速度的乘积等于路程求出各段的路程，即可画出图形． 【详解】根据图①的信息， 从0秒到20秒，时间为20 s，速度为10 m/s， 则离开出发点的路程为 (m)； 从20秒到30秒，时间为10 s，速度为0 m/s， 则离开出发点的路程还是 (m)； 从30秒到40秒，时间为10 s，速度为20 m/s， 则离开出发点的路程是 (m)； ∴这段时间内汽车离开出发点的路程s(m)与时间t(s)之间的函数图象如图所示：    【点睛】本题考查了函数图象的相关知识，是一道比较典型的函数综合题，解决本题的关键是根据图象获取相关信息． 17．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）小刚从家里出发，沿着笔直的公路慢跑锻炼，已知他离开家的距离y（千米）与时间x（分钟）之间的关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)在哪些时间段内，小刚在原地休息？ (2)小刚离家的最远距离是 千米；他在这120分钟内一共跑了 千米； (3)小刚在前20分钟内的慢跑速度是多少千米/分钟？ 【答案】(1)在20~40分钟、60~80分钟时，小刚都在原地休息 (2)3，6 (3)千米/分钟 【分析】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息，数形结合是解题的关键． （1）观察图象平行于横轴的线段，距离没有发生变化，即原地休息； （2）观察图像，纵轴的最大值即为最远距离；120分钟时距家0千米，说明返回家中，则120分钟内慢跑距离是最远距离的2倍； （3）在前20分钟内的慢跑速度可由所跑路程除以所用时间求得． 【详解】（1）解：根据函数图象得：20到40分钟、60到80分钟原地休息 （2）由图象知，小刚离家最远距离是3千米； （千米）， 则小刚在120分钟内一共跑了6千米， 故答案为：3，6； （3）（千米/分钟） ∴小刚在前20分钟内的慢跑速度是千米/分钟． 18．（24-25七年级下·湖南·开学考试）某地出租车行驶里程x（）与所需费用y（元）的关系如图，若乘客一次乘坐出租车行驶里程，则该乘客需支付车费多少元？ 【答案】该乘客需支付车费20元 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系、从图象中获得信息．根据从图象中获得的信息，求解即可． 【详解】解：由图象得（元） （元） 答：该乘客需支付车费20元． 19．（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为．图中的折线表示与之间的关系． (1)甲、乙两地之间的距离为__________千米；慢车和快车的速度依次为__________、__________； (2)图中转折点表示的实际意义为__________； (3)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 【答案】(1)900；75；150 (2)快车到达乙地时，两车之间的距离 (3)小时 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息： （1）由图象可知甲、乙两地之间的距离；由图象可知慢车行驶900千米，用12小时，求出慢车的速度，根据行驶4小时，慢车和快车相遇，求出两车的速度之和，进一步求出快车速度，即可； （2）直接观察图象，即可求解； （3）根据第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，可求出两列快车之间的距离，从而得到两列快车出发的间隔时间． 【详解】（1）解：由图象可知：甲、乙两地之间的距离是900千米， 由图象可知慢车行驶900千米，用12小时， ∴慢车的速度：（千米/小时）， ∵行驶4小时，慢车和快车相遇， ∴慢车和快车行驶速度之和为：（千米/小时）， ∴快车的速度：（千米/小时）， 故答案为：900；75；150 （2）解：观察图象得：转折点表示的实际意义为快车到达乙地时，两车的距离； 故答案为：快车到达乙地时，两车之间的距离； （3）解：∵第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇， ∴当慢车与第二列快车相遇时，与第一列快车的距离是（千米）， 而此时慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离千米， ∴两列快车出发的间隔时间：（小时）， ∴第二列快车比第一列快车晚出发小时． 20．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【图象问题】已知动点P 以每秒 的速度沿图1边框按的路线移动，相应的三角形 的面积S与时间t之间的关系如图2中的图象所示．若 ，则图1中的图形面积是 ，图2中的a和b的值分别是 和 ．（写出简要过程） 【答案】；24；17 【分析】本题考查了从图象获取信息，面积的计算等，从图象获取准确的信息并利用路程等于速度乘时间得到各边的长是解题的关键．根据题意，利用路程速度时间，计算得到、、的长度，即可得到图形的面积和a的值，然后计算得到的长度和在上运动的时间，从而得到的长度和在上运动的时间，即可得到值． 【详解】解：根据题意可知， 动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒，得， 动点P在上运动时，对应的时间为4到6秒，得， 动点P在上运动时，对应的时间为6到9秒，得， 因为， 所以， 所以上运动的时间为秒， 所以图1中的图形面积为，； 因为， 所以上运动时间为秒， 所以， 故答案为：；24；17． 学科网（北京）股份有限公司 $