专题12.2 正比例函数的图象与性质重难点题型专训（3个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2024）

专题12.2 正比例函数的图象与性质重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 正比例函数的定义 题型二 正比例函数的图象 题型三 正比例函数的性质 题型四 用待定系数法求函数解析式 题型五 判断正比例函数图像通过象限 题型六 已知正比例函数图像经过象限求其参数 题型七 根据正比例函数的增减性求参数 题型八 与正比例函数有关的最值问题 拓展训练一 正比例函数的综合问题 拓展训练二 正比例函数图像及其应用 知识点一：正比例函数的定义 正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）若是正比例函数，则b的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·贵州毕节·三模）若函数是关于x的正比例函数，则k满足的条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，确定其表达式中系数需满足的条件，进而求解的取值． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：． 知识点二：正比例函数的图像与性质 正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线. 正比例函数的性质： k的符号 图像 图像的位置 增减性 k＞0 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大 k＜0 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小 【补充】正比例函数必过点（0,0）、（1，k）. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，正比例函数，其中y随x增大而减小的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数图象，利用正比例函数的性质可判断，然后根据正比例函数的图象经过原点和第二、四象限进行判断． 正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当，直线经过第一、三象限；当，直线经过第二、四象限． 【详解】解：正比例函数，随的增大而减小， ， 直线经过原点和第二、四象限． 故选：C． 2．（2025·湖南岳阳·一模）点、是直线上的两点，则 （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数图象的增减性，根据k值判断一次函数图象的增减性是解题的关键． 根据一次函数中时，y随x增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随x增大而增大， 又∵， ∴． 故答案为． 知识点三：用待定系数法求正比例函数解析式 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定正比例函数解析式的一般步骤： 1）设：设正比例函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k的一元一次方程； 3）解：解一元一次方程，求出k； 4）代：将k的值代回所设的函数解析式中. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）若与成正比例，且当时，．若点在该函数的图象上，的值是 ． A． B．-2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例．熟练掌握求函数解析式，求自变量的值，是解题的关键． 设出函数解析式，再代入已知的数据求出k值，把代入所求解析式中进行求解即可． 【详解】解：设与之间的函数关系式为．， 把时，代入得：， 解得， ∴，即； ∵点在该函数的图象上∴， 解得． 故答案选：D. 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知与成正比例，且当时，，则y与x的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义与性质，形如的函数，叫做正比例函数，其中叫比例系数，正比例函数上的点都满足解析式，熟练掌握正比例函数的定义与性质是解题的关键．由与成正比例可设，代入，，进行计算求出的值，整理即可得到答案． 【详解】解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ， 整理得：， 与之间的函数关系式为：， 故答案为：． 【经典例题一 正比例函数的定义】 【例1】（24-25八年级上·江西萍乡·期中）下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握正比例函数的定义． 根据形如（是常数，）的函数叫做正比例函数进行分析即可． 【详解】解：根据正比例函数的定义，（是常数，）， 满足该定义的为， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·广东阳江·期末）已知y关于x的函数 ，且该函数是正比例函数，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数定义．根据正比例函数定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 1．（23-24八年级上·四川成都·期末）在我国东汉时期的经学家和教育家郑玄在为《考工记·弓人》一文中“量其力，有三钧”一句做注解时，提到“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺．”揭示了在弹性限度内弓的弹力和弓的形变量成正比例关系．假设一轻弹簧原长为，竖直悬挂重为的重物时，弹簧伸长了，则该弹簧的劲度系数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的应用，当竖直悬挂重为的重物时，弹簧的弹力为，弹簧伸长的长度为，再结合正比例函数的相关知识点计算即可得解，熟练掌握正比例函数的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：当竖直悬挂重为的重物时，弹簧的弹力为， 弹簧伸长的长度为， ∵在弹性限度内弓的弹力和弓的形变量成正比例关系， ∴该弹簧的劲度系数为， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）若是正比例函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数是一次函数的常数的特殊情况，解题的关键是根据定义得到关于的方程．根据正比例函数的定义：形如的函数为正比例函数，据此可得，据此便能求出的值． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， 解得：， 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知是关于的正比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义：形如的函数称为正比例函数是解题的关键．根据正比例函数的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的正比例函数， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知y与x成正比例，当时，，求y与x间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数，待定系数法求函数解析式，设，将，，代入求出k值，即可求解． 【详解】解：y与x成正比例，设， ， 解得：， ． 【经典例题二 正比例函数的图象】 【例1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题综合考查了正比例的定义，函数图象上点的坐标特征．正确理解正比例的定义是解题的关键； （1）根据正比例的定义设，然后把，，代入计算求出值，再整理即可； （2）将点代入（1）中所求的函数解析式求的值． 【详解】（1）y与成正比例 可设， 把，代入得，， 解得， ； （2）若点在这个函数的图象上，则， 解得． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知4个正比例函数，，，的图像如图，则下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数图像的性质，首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，即可判断四个数的大小． 【详解】解：首先根据直线经过的象限，知：，，，， 再根据直线越陡，越大，知：，， 则． 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下面哪个点在函数的图象上？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，直接把各点代入函数进行检验即可． 【详解】解：A、∵时，，∴此点在函数图象上，故本选项正确； B、∵时，，∴此点不在函数图象上，故本选项错误； C、∵时，，∴此点不在函数图象上，故本选项错误； D、∵时，，∴此点不在函数图象上，故本选项错误． 故选：A． 3．（2024·上海徐汇·二模）已知正比例函数的函数值y随着自变量的值增大而减小，那么符合条件的正比例函数可以是 ．（只需写出一个） 【答案】 【分析】根据正比例函数：当时，随着自变量的值增大而增大；当时，随着自变量的值增大而减小，从而得出答案． 【详解】正比例函数：当时，随着自变量的值增大而增大；当时，随着自变量的值增大而减小 ∴要使随着自变量的值增大而减小，需满足即可 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查正比例函数的增减性，掌握的意义是解题关键． 4．（24-25八年级下·广东江门·期中）画出函数的图象．    (1)列表： … 0 1 2 … … … (2)描点并连线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的画法是解题的关键． （1）根据的值求出的值即可； （2）描点、连线即可作出一次函数的图象． 【详解】（1）解：列表： x … … … … （2）描点、连线： 【经典例题三 正比例函数的性质】 【例1】（24-25九年级下·山西吕梁·阶段练习）已知点在正比例函数的图象上，若点，也在这个正比例函数的图象上，且，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，解题时要熟练掌握正比例函数的性质是关键． 依据题意，由点在正比例函数的图象上，从而，进而可得正比例函数的解析式，再结合正比例函数的性质即可判断得解． 【详解】解：由题意，点在正比例函数的图象上， ． ． 正比例函数为 ， 函数随的增大而减小． 点，在这个正比例函数图象上， 又， ，即． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知正比例函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象． (2)判断点、点是否在这个函数的图象上． 【答案】(1)图象见解析 (2)点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数图象及性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． （1）先求出正比例函数的图象过点，结合正比例函数图象过原点，即可画出图象； （2）把点、的横坐标代入正比例的函数表达式，求出的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：对于，令，得， 所以正比例函数的图象过点．函数的图象如图所示． （2）解：当时，， 所以点不在这个函数的图象上； 当时，， 所以点在这个函数的图象上． 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）关于函数，下列判断正确的是（    ） A．图象必过点和 B．图象经过第一、第三象限 C．y随x的增大而减小 D．不论x为何值，总有 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质，根据正比例函数图象上的坐标特征，正比例函数图象的性质对各选项分析判断求解． 【详解】解：A、当时，；当时，，故图象不过点，A选项错误； B、函数的图象经过第二、第四象限，B选项错误； C、，y随x的增大而减小，C选项正确； D、当时，，D选项错误． 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应解析式：①；②；③．将a，b，c从小到大排列为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查正比例函数的性质，根据直线所过象限可得，，，再根据直线陡的情况可判断出，进而得到答案． 【详解】解：根据三个函数图象所在象限可得，，， 再根据直线越陡，越大，可知， ， 故选B． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）正比例函数中，y随着x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知时，正比例函数y的值随x的增大而减小是解题关键． 根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵中， ∴y随着x的增大而减小． 故答案为：减小． 4．（24-25八年级下·河南周口·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点，是该正比例函数图象上的两点，试比较、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，解答关键是熟练掌握正比例函数的性质：当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限． （1）根据正比例函数的图象与性质解即可； （2）根据正比例函数图象的增减性作答即可． 【详解】（1）解：正比例函数的图象经过第二、四象限， 解得； （2）解：由（1）知，，则正比例函数中y的值随x的增大而减小， 点，是该正比例函数图象上的两点， ， ． 【经典例题四 用待定系数法求函数解析式】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·期末）已知y与x成正比例，且当x=2时，y=4，则该正比例函数的解析式为（） A．y= B．y= C．y= D．y= 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义与解析式求解，利用待定系数法，设y=kx（），代入已知x、y值求k. 【详解】解：∵与x成正比例， ∴设y=kx（）， ∵当x=2时，y=4， ∴4=k2， 解得：k=2， ∴该正比例函数的解析式为y=2x。 故选：A 【例2】（23-24八年级下·上海·期末）已知y与x成正比例，且当x=-1时，y=3，求y与x的函数解析式. 【答案】y=-3x 【分析】本题考查正比例函数的定义与解析式求解，利用待定系数法，设y=kx（k≠0），代入已知x、y值求k. 【详解】解：∵与x成正比例， ∴设y=kx（k≠0）， ∵当x=-1时，y=3， ∴3=k×-1， 解得：k=-3， ∴y与x之间的函数关系式为：y=-3x. 1.（24-25八年级下·山东青岛·期末）若y+1与x成正比例，当x=3时，y=5，则y与x的函数解析式为（） A．y= B．y= C．y=-1 D．y= 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义与解析式求解，先设y+1=kx（），再代入已知x、y值求k，最后整理出y与x的解析式. 【详解】解：∵y+1与x成正比例， ∴设y+1=kx（）， ∵当x=3时，y=5， ∴5+1=k3， 即6=3k， 解得：k=2， ∴y+1=2x， 整理得：y=2x-1 故选：A 2.（24-25八年级下·江西上饶·期末）已知y-3与x成正比例，当x=1时，y=5，则y与x的函数解析式为（） A．y= B．y= C．y=+3 D．y= 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义与解析式求解，先设y-3=kx（k0），再代入已知x、y值求k，最后整理出y与x的解析式. 【详解】解：∵-3与x成正比例， ∴设y-3=kx（k0）， ∵当x=1时，y=5， ∴5-3=k×1， 即2=k， ∴y-3=2x， 整理得：y=2x+3. 故选：A. 3.（24-25八年级下·广西百色·期末）已知y与x+1成正比例，当x=1时，y=4，则y与x的函数解析式为______. 【答案】y=2x+2 【分析】本题考查正比例函数的定义与解析式求解，先设y=kx+1（k≠0），再代入已知x、y值求k，最后整理出y与x的解析式. 【详解】解：∵与x+1成正比例， ∴设y=kx+1（k≠0）， ∵当x=1时，y=4， ∴4=k×1+1， 即4=2k， 解得：k=2， ∴y=2x+1， 整理得：y=2x+2. 故答案为：y=2x+2. 4.（24-25八年级下·青海·期末）已知y-2与x成正比例，当x=2时，y=6，求y与x的函数解析式. 【答案】y=2x+2 【分析】本题考查正比例函数的定义与解析式求解，先设y-2=kx（k≠0），再代入已知x、y值求k，最后整理出y与x的解析式. 【详解】解：∵-2与x成正比例， ∴设y-2=kx（k≠0）， ∵当x=2时，y=6， ∴6-2=k×2， 即4=2k， 解得：k=2， ∴y-2=2x， 整理得：y=2x+2， ∴y与x之间的函数关系式为：y=2x+2. 【经典例题五 判断正比例函数图像通过象限】 【例1】（2023·江苏南京 模拟题）正比例函数(y=5x)的图像经过的象限是（） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数图像的象限分布，关键在于根据比例系数的符号判断. 【详解】解：对于正比例函数(y=kx)（(k≠0)），当(k>0)时，图像经过第一、三象限；当(k<0)时，图像经过第二、四象限. 在函数(y=5x)中，(k=5>0)，因此该函数图像经过第一、三象限. 故选：A. 【例2】（2022·广东广州 模拟题）已知正比例函数y=(4-2m)x，当m为何值时，函数图像经过第二、四象限？ 【答案】m>2 【分析】本题考查正比例函数图像性质与不等式的综合应用，需根据象限分布确定比例系数的取值范围. 【详解】解：正比例函数y=kx（(k≠0)）的图像经过第二、四象限时，比例系数k<0. 对于函数y=(4-2m)x，要使其图像经过第二、四象限，则需满足：4-2m<0 解不等式：-2m<-4 两边同时除以-2（不等号方向改变）： m>2 因此，当(m>2)时，该函数图像经过第二、四象限. 1.（2024·山东济南 模拟题）若正比例函数(y=(a-3)x)的图像经过第一、三象限，则(a)的取值范围是（） A．a>3 B．a<3 C．a=3 D．a≤3 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数图像性质与参数取值范围的关系，需结合象限分布确定系数符号. 【详解】解：正比例函数y=kx（(k≠0)）的图像经过第一、三象限时，(k>0). 对于函数y=(a-3)x，需满足： a-3>0 解得：(a>3) 故选：A. 2.（2025·四川成都 模拟题）下列正比例函数中，图像经过第二、四象限的是（） A．y=x B．y=0.3x C．y=-7x D．y=2023x 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数图像的象限特征，需通过比例系数的符号判断函数所属类别. 【详解】解：正比例函数y=kx(k≠0)中，当k<0时，图像经过第二、四象限. 选项A中k=x>0，选项B中k=0.3>0，选项C中k=-7<0，选项D中k=2023>0. 因此，只有选项C的函数图像经过第二、四象限. 故选：C. 3.（2024·浙江杭州 模拟题）已知正比例函数y=(m+5)x的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是______. 【答案】m<-5 【分析】本题考查正比例函数图像性质的逆应用，需根据象限分布确定参数的取值范围. 【详解】解：正比例函数y=kx(k≠0)的图像经过第二、四象限时，k<0. 对于函数y=(m+5)x，需满足： m+5<0 解得：m<-5 故答案为：m<-5. 4.（2023·北京 模拟题）已知正比例函数y=kx的图像经过点(-2,4)，判断该函数图像经过哪些象限，并说明理由. 【答案】该函数图像经过第二、四象限 【分析】本题考查正比例函数的解析式求解与象限判断的综合应用，需先确定比例系数的符号. 【详解】解：已知正比例函数y=kx经过点(-2,4)，将点的坐标代入函数解析式得： 4=k×(-2) 解得：k=-2 因为k=-2<0，根据正比例函数的性质，当k<0时，函数图像经过第二、四象限. 因此，该函数图像经过第二、四象限. 【经典例题六 已知正比例函数图像经过象限求其参数】 【例1】（2023·江苏苏州 期中）若正比例函数y=2k-1x的图像经过第一、三象限，则k的取值范围是（） A．k> B．k< C．k= D．k≤ 【答案】A 【分析】本题考查根据正比例函数图像经过的象限求参数取值范围，关键是明确比例系数的符号与象限的关系。 【详解】解：正比例函数y=kx（k≠0）的图像经过第一、三象限时，比例系数k>0。 对于函数y=(2k-1)x，要使其图像经过第一、三象限，则需满足： 2k-1>0 解不等式得：2k>1，即k> 故选：A。 【例2】（2023·广东深圳 期中）已知正比例函数y=(m-5)x的图像经过第二、四象限，求m的取值范围。 【答案】m<5 【分析】本题考查正比例函数图像性质与参数取值范围的关系，根据函数图像经过的象限确定比例系数的符号。 【详解】解：正比例函数y=kx（k≠0）的图像经过第二、四象限时，比例系数k<0。 对于函数y=(m-5)x，因其图像经过第二、四象限，所以： m-5<0 解这个不等式得：m<5 因此，m的取值范围是m<5。 1.（2024·山东青岛 期中）若正比例函数y=(3-a)x的图像经过第一、三象限，则a的取值范围是（） A．a>3 B．a<3 C．a=3 D．a≥3 【答案】B 【分析】本题考查根据正比例函数图像的象限分布求参数取值，需依据比例系数的符号建立不等式。 【详解】解：正比例函数y=kx（k≠0）的图像经过第一、三象限时，k>0。 对于函数y=(3-a)x，要满足图像经过第一、三象限，需： 3-a>0 解得：a<3 故选：B。 2.（2025·四川成都 期中）已知正比例函数y=(2m+4)x的图像经过第二、四象限，则m的值可能是（） A．0 B．1 C．-1 D．-3 【答案】D 【分析】本题考查根据正比例函数图像经过的象限判断参数的可能取值，需先确定参数的取值范围。 【详解】解：正比例函数y=kx（k≠0）的图像经过第二、四象限时，k<0。 对于函数y=(2m+4)x，有： 2m+4<0 解得：m<-2 选项中只有-3<-2，所以m的值可能是-3。 故选：D。 3.（2024·浙江宁波 期中）若正比例函数y=(n-2)x的图像经过第二、四象限，则n的取值范围是______。 【答案】n<2 【分析】本题考查正比例函数图像性质的应用，根据图像经过的象限确定比例系数的符号，进而求出参数范围。 【详解】解：正比例函数y=kx（k≠0）的图像经过第二、四象限时，k<0。 对于函数y=(n-2)x，因图像经过第二、四象限，所以： n-2<0 解得：n<2 故答案为：n<2。 4.（2023·上海 期中）已知正比例函数y=(-4)x的图像经过第二、四象限，求k的取值范围。 【答案】-2<k<2 【分析】本题考查正比例函数图像性质与二次不等式的综合应用，需结合比例系数的符号和正比例函数定义求解。 【详解】解：正比例函数y=kx（k≠0）的图像经过第二、四象限时，k<0。 对于函数y=(-4)x，要满足是正比例函数且图像经过第二、四象限，需： 解不等式-4<0得：<4，即-2<k<2 此时已满足-4≠0 因此，k的取值范围是-2<k<2。 【经典例题七 根据正比例函数的增减性求参数】 【例1】（2023·江苏无锡 期末）若正比例函数y=(3k-2)x在定义域内y随x的增大而增大，则k的取值范围是（） A．k> B．k< C．k= D．k≤ 【答案】A 【分析】本题考查根据正比例函数的增减性求参数取值范围，核心是掌握“比例系数符号与增减性的关系”. 【详解】解：对于正比例函数y=kx（k≠0），其增减性规律为：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 已知函数y=(3k-2)x中y随x的增大而增大，因此比例系数需满足： 3k-2>0 解不等式：3k>2，即k> 故选：A. 【例2】（2023·广东珠海 期末）已知正比例函数y=(m+4)x，当m为何值时，该函数在定义域内y随x的增大而减小？ 【答案】m<-4 【分析】本题考查正比例函数增减性与参数的关系，需根据“y随x增大而减小”的条件确定比例系数的符号，进而列不等式求解. 【详解】解：正比例函数y=kx（k≠0）的增减性由比例系数k决定：当k<0时，y随x的增大而减小. 对于函数y=(m+4)x，要使其y随x的增大而减小，需满足： m+4<0 解不等式得：m<-4 因此，当m<-4时，该函数在定义域内y随x的增大而减小. 1.（2024·山东烟台 期末）若正比例函数y=(2-5a)x的y值随x值的增大而减小，则a的取值范围是（） A．a> B．a< C．a= D．a≥ 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数增减性的逆用，需先根据“y随x增大而减小”确定比例系数的符号，再建立关于a的不等式求解. 【详解】解：正比例函数y=kx（k≠0）中，y随x增大而减小的条件是k<0. 已知函数y=(2-5a)x满足y随x增大而减小，因此： 2-5a<0 解不等式：-5a<-2，两边同时除以-5（不等号方向改变），得a> 故选：A. 2.（2025·四川绵阳 期末）下列选项中，能使正比例函数y=(3m-1)x的y随x增大而增大的m值是（） A．0 B． C． D．-1 【答案】C 【分析】本题考查根据正比例函数的增减性判断参数的可能值，需先确定m的取值范围，再匹配选项. 【详解】解：正比例函数y=kx（k≠0）中，y随x增大而增大的条件是k>0. 对于函数y=(3m-1)x，需满足： 3m-1>0 解得：m> 选项中只有>，因此能使函数y随x增大而增大的m值是. 故选：C. 3.（2023·浙江温州 期末）已知正比例函数y=(n-3)x的y值随x值的增大而增大，则n的取值范围是______. 【答案】n>3 【分析】本题考查正比例函数增减性与参数的直接关联，根据“y随x增大而增大”的条件，直接列不等式求解参数范围. 【详解】解：正比例函数y=kx（k≠0）中，y随x增大而增大的条件是k>0. 对于函数y=(n-3)x，需满足： n-3>0 解得：n>3 故答案为：n>3. 4.（2023·天津 期末）已知正比例函数y=-9)x，且该函数的y值随x值的增大而减小，求k的取值范围. 【答案】-3<k<3 【分析】本题考查正比例函数增减性与二次不等式的综合应用，需同时满足“y随x增大而减小”的系数条件和“正比例函数定义（系数不为0）”的双重要求. 【详解】解：第一步，明确正比例函数增减性的条件： 对于正比例函数y=kx（k≠0），y随x增大而减小的条件是k<0. 因此，函数y=-9)x需满足：-9<0. 第二步，解不等式-9<0： 整理不等式得：<9， 根据平方数的性质，解得：-3<k<3. 第三步，验证正比例函数定义： 当-3<k<3时，-9≠0（若-9=0，则k=3，不在此范围内），满足正比例函数“系数不为0”的定义. 综上，k的取值范围是-3<k<3. 【经典例题八 与正比例函数有关的最值问题】 【例1】（2023·江苏常州 模拟题）已知正比例函数y=-2x，当x在-3≤x≤2范围内时，y的最大值为（） A．6 B．-4 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的增减性与最值求解，需先判断函数增减性，再根据自变量取值范围确定最值. 【详解】解：对于正比例函数y=kx（k≠0），当k<0时，y随x的增大而减小，此时在自变量取值范围内，x越小，y越大；x越大，y越小. 已知函数y=-2x中k=-2<0，故y随x的增大而减小. 自变量x的取值范围为-3≤x≤2，则当x=-3时，y取得最大值： y=-2×(-3)=6 故选：A. 【例2】（2024·广东中山 模拟题）已知正比例函数y=3x，若自变量x的取值范围是-1≤x≤4，求y的取值范围（即y的最大值与最小值）. 【答案】y的最小值为-3，最大值为-12，y的取值范围是-3≤y≤12 【分析】本题考查正比例函数在限定自变量范围内的最值求解，核心是利用函数增减性确定最值对应的自变量取值. 【详解】解：第一步，判断正比例函数的增减性： 对于正比例函数y=kx（k≠0），当k>0时，y随x的增大而增大. 已知函数y=3x中k=3>0，因此y随x的增大而增大. 第二步，求y的最值： 自变量x的取值范围是1≤x≤4，根据“y随x增大而增大”的性质： 当x取最小值-1时，y取得最小值，代入函数得：y=3×(-1)=-3； 当x取最大值4时，y取得最大值，代入函数得：y=3×4=12. 第三步，确定y的取值范围： 综上，y的取值范围是-3≤y≤12，即y的最小值为-3，最大值为12. 1.（2024·山东东营 模拟题）若正比例函数y=(m+1)x在x∈[2,5]时，y的最大值比最小值大6，且y随x的增大而减小，则m的值为（） A．-2 B．-3 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数增减性与最值的综合应用，需先根据增减性确定最值对应的自变量，再结合“最大值最小值=6”列方程求解. 【详解】解：第一步，根据增减性确定最值对应的x： 已知y随x的增大而减小，故正比例函数y=(m+1)x中k=m+1<0. 在x∈[2,5]范围内，x越小，y越大；x越大，y越小，因此： y的最大值为x=2时的函数值：=2(m+1)； y的最小值为x=5时的函数值：=5(m+1). 第二步，根据“最大值-最小值=6”列方程求解： 由题意得：2(m+1)-5(m+1)=6， 提取公因式：(2-5)(m+1)=6，即-3(m+1)=6， 两边同时除以-3：m+1=-2， 解得：m=-3. 第三步，验证增减性： 当m=-3时，k=m+1=-2<0，满足“y随x的增大而减小”的条件. 故选：B. 2.（2025·四川攀枝花 模拟题）已知正比例函数y=kx（k≠0），当x满足2≤x≤3时，y的取值范围是6≤y≤9，则k的值为（） A．3 B．-3 C．3或-3 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数增减性与最值的逆向求解，需先根据x与y的取值范围匹配关系判断k的符号，再计算k值. 【详解】解：第一步，判断k的符号： 若k>0，则y随x的增大而增大，此时x最小对应y最小，x最大对应y最大： 当x=-2时，y=-6，代入得：-6=k×(-2)，解得k=3>0，符合条件； 验证x=3时，y=3×3=9，与y的最大值一致，符合取值范围. 若k<0，则y随x的增大而减小，此时x最小对应y最大，x最大对应y最小： 当x=-2时，y=9，代入得：9=k×(-2)，解得k=-4.5<0； 验证x=3时，y=-4.5×3=-13.5，与y的最小值-6不符，故k<0不成立. 第二步，确定k的值： 综上，只有k=3满足条件. 故选：A. 3.（2024·浙江台州 模拟题）正比例函数y=-4x中，若y的取值范围是-8≤y≤12，则自变量x的取值范围是______. 【答案】-3≤x≤2 【分析】本题考查正比例函数中“y的范围求x的范围”，需利用函数增减性将y的最值转化为x的最值. 【详解】解：第一步，判断函数增减性： 正比例函数y=-4x中k=-4<0，故y随x的增大而减小，即y越大，x越小；y越小，x越大. 第二步，根据y的范围求x的范围： 已知-8≤y≤12： 当y=12（y的最大值）时，x取得最小值，代入函数得：12=-4x，解得x=-3； 当y=-8（y的最小值）时，x取得最大值，代入函数得：-8=-4x，解得x=2. 因此，自变量x的取值范围是-3≤x≤2. 故答案为：-3≤x≤2. 4.（2023·重庆 模拟题）已知正比例函数y=(2t-5)x，当x∈[1,3]时，函数的最大值与最小值之差为8，求t的值. 【答案】t=3或t=1 【分析】本题考查正比例函数增减性与最值的综合计算，需分“k>0”和“k<0”两种情况讨论，分别根据增减性列方程求解. 【详解】解：正比例函数y=(2t-5)x的比例系数为k=2t-5，需分两种情况讨论： 情况一：k>0（即2t-5>0，t>） 此时y随x的增大而增大，在x∈[1,3]范围内： y的最大值：当x=3时，=3(2t-5)； y的最小值：当x=-1时，=-1(2t-5). 根据“最大值-最小值=8”列方程： 3(2t-5)-[-(2t-5)]=8 整理得：3(2t-5)+(2t-5)=8 提取公因式：4(2t-5)=8 两边同时除以4：2t-5=2 解得：2t=7，t=3.5，满足t>，符合条件. 情况二：k<0（即2t-5<0，t<） 此时y随x的增大而减小，在x∈[1,3]范围内： y的最大值：当x=-1时，=-1(2t-5)； y的最小值：当x=3时，=3(2t-5). 根据“最大值-最小值=8”列方程： -(2t-5)-3(2t-5)=8 整理得：-4(2t-5)=8 两边同时除以-4：2t-5=-2 解得：2t=3，t=1.5，满足t<，符合条件. 排除k=0的情况 若k=0，2t−5=0，t=，此时函数为y=0（常函数），最大值与最小值均为0，差为0，不符合“差值为8”的条件，故舍去。 综上，t的值为或. 【拓展训练一 正比例函数的综合问题】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若一次函数（m为常数，）的图象从左向右下降，则函数的图象经过（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数的增减性确定m的符号，进而判断正比例函数的图象所经过的象限． 【详解】解：一次函数的图象从左向右下降， ， ， 的图象经过第一、三象限。 故选：A． 【例2】（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2) (3)停车距离约为． 【分析】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用； （1）设，，结合题意可得，，再进一步求解即可； （2）结合（1）可得：； （3）当刹车距离为时，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．骑行速度为， ∴，， ∵当骑行速度为时，反应距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∵当骑行速度为时，刹车距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时，． （2）解：设骑行速度为，而，， ∴y关于x的函数表达式为． （3）解：∵当刹车距离为时， ∴， 解得：，（舍去）， ∴ ∴停车距离约为． 1．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）在正比例函数中，当自变量时，函数值y为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的函数值计算，直接将自变量的值代入函数表达式即可求解． 【详解】解：将自变量代入正比例函数中，得： 因此，当时，函数值为6， 故选：A． 2．（23-24八年级上·上海长宁·期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．数形结合是解题的关键． 如图，由题意知，根据，确定此时的值，然后根据正比例函数的图象越靠近轴，的值越大，进行作答即可． 【详解】解：如图，    将分别代入， 解得，，， 由题意知，正比例函数的图象越靠近轴，的值越大， ∴正比例函数的图象与线段有交点，则或； 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数是正比例函数，点在其函数图象上．当时，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义和性质，根据正比例函数定义得到，再根据当时，得到，最后确定的值即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得， ∵点在其函数图象上．当时，， ∴随的增大而减小， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·甘肃天水·开学考试）汽车是现在人们出行的重要交通工具，但是汽车在公路上高速行驶会给行人带来很多安全隐患，其原因为汽车在刹车后，车还需要滑动一段距离．经过专业人员多次测试，发现刹车距离y和刹车时的速度有一定的函数关系，相关统计数据如下表： 刹车时的速度 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 (1)请求出y关于x的函数关系式． (2)若要求刹车距离小于12米，则车速应该限制在多少以内？ 【答案】(1) (2)车速应该限制在以内 【分析】本题主要考查了正比例函数的应用，解题时要能读懂题目，理解题意，正确进行计算是关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意得出，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，可知y与x满足正比例函数关系，设y关于x的函数关系式为． 将，代入，得，解得：， ∴y关于x的函数关系式为． （2）解：由题意，得，解得：， ∴车速应该限制在以内. 【拓展训练二 正比例函数图像及其应用】 【例1】（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）正比例函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题目主要考查了正比例函数的图象和性质，关键理解正比例函数的定义，正比例函数的一般形式．斜率的正负对函数图象的影响；当时，函数图象是一条经过原点且从左下到右上的直线；当时，函数图象是一条经过原点且从左上到右下的直线；函数图象经过的点的确定，即可解答． 【详解】解：∵函数，即， ∵， ∴函数图象是一条从左上到右下的直线， ∵函数经过原点， ∴当时，， 即：点也在函数图象上， ∴函数的图象是一条从左上到右下的直线，经过原点和点， 观察选项，选项D符合这个描述． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知正比例函数． (1)若点在它的图象上，求正比例函数的解析式及的值； (2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式、正比例函数的性质、解一元一次不等式，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据正比例函数的性质可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴正比例函数的表达式为． （2）解：∵的图象经过第二、四象限， ∴， ∴． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图为某函数的图像，当时，图像上存在个不同的点使得恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键． 设，判断出点，，……，在正比例函数上，根据图象判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有4个交点，即可得到答案． 【详解】解：设， 则……，， 即点，，……，在正比例函数上， 如图，正比例函数的图象与某函数的图象（）最多有4个交点， ∴k的最大取值为4， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，正确求出点的坐标是解题关键．先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边与轴平行，且，顶点的坐标为， ∴， 又∵直角三角形的两直角边与轴平行，且， ∴， 设这个正比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得， 则这个正比例函数的表达式为， 故选：A． 3．（24-25九年级下·山东聊城·阶段练习）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是 ． 【答案】丙 【分析】根据题意，得，故，根据图象，列式比较解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，正确读懂图形，正确处理信息是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 根据图象，得，, 故即； 同理，即； ，即 故丙的电阻最大， 故答案为：丙． 4．（24-25八年级下·北京·期中）已知点在正比例函数的图象． (1)求k的值； (2)画出这个函数的图象； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式、画函数图象、正比例函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将代入求得k的值即可； （2）描出原点和，然后过两点作直线即可； （3）根据正比例函数的性质求出函数值的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入可得，即． （2）解：如图即为所求． （3）解：∵， ∴随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，即；当时，有最小值，即； ∴当，y的取值范围为． 1．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）下列函数关系式中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，由（）进行判断即可． 【详解】解：A.是正比例函数，故符合题意； B.中是分式，不是正比例函数，故不符合题意； C.是一次函数，含有常数项，故不符合题意； D.自变量的次数不是，不是正比例函数，故不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）若函数是正比例函数，则关于m，n的值，下列正确的是（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可得，，再计算即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ，， 解得：，， 故选：A． 3．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，形如为常数且的函数是正比例函数，需满足：①自变量的次数为1；②无常数项；③分母不含自变量．根据正比例函数的定义解答即可． 【详解】解：A．是正比例函数，符合题意； B．，是反比例函数，不符合题意； C．，未知数的次数是二次，不符合题意； D．，是一次函数，不是正比例函数，不符合题意． 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图像向左平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图像，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图像的平移，根据平移的性质可得平移后的解析式为，再结合正比例函数图像过原点可得答案． 【详解】解：将一次函数的图像向左平移个单位长度后， 得到， 把代入， 得， 解得， 故选C． 5．（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）下列关系式中，表示是的正比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，一般地，形如(是常数，且)的函数叫做正比例函数，根据正比例函数的定义判断即可求解，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是正比例函数，该选项不合题意； 、是正比例函数，该选项符合题意； 、是一次函数，该选项不合题意； 、不是正比例函数，该选项不合题意； 故选：． 6．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当增加1时，增加2 D．图象经过一、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握正比例函数中k的几何意义及函数的增减性、图象所在象限等知识点． 根据正比例函数的性质，依次分析各选项；将点代入函数验证是否在图象上，依据k的符号判断增减性和所在象限，通过计算自变量变化时函数值的变化量判断选项正误． 【详解】选项把代入得所以点在这个图象上，A正确． 选项在正比例函数中，根据正比例函数性质，函数值y随自变量x的增大而增大，而非减小，B错误． 选项当x增加1时，设原来的x为对应的y为变化后的x为对应的y为则即y增加2，C正确． 选项因为所以正比例函数的图象经过第一、三象限，D正确． 故选：B． 7．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）若点在正比例函数的图象上，则下列各点不在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据点A在正比例函数的图象上，求出正比例函数的解析式，再把各点代入函数解析式验证即可． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ， ， 故函数解析式为：； A、当时，，故此点在正比例函数图象上； B、当时，，故此点在正比例函数图象上； C、当时，，故此点在正比例函数图象上； D、当时，，故此点不在正比例函数图象上； 故选：D． 【点睛】本题考查的是正比例函数的图象上点的坐标，要明确图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 8．（24-25八年级下·北京海淀·期中）若某正比例函数过，则关于此函数的叙述不正确的是（    ）． A．函数值随自变量的增大而增大 B．函数值随自变量的增大而减小 C．函数图象关于原点对称 D．函数图象过二、四象限 【答案】A 【详解】解：设正比例函数解析式， ∵正比例函数过， ∴， ∴， ∴正比例函数解析式为， ∵， ∴图象过二、四象限，函数值随自变量增大而减小，图象关于原点对称， ∴四个选项中，只有A选项中的不正确，其余三个选项中的结论都是正确的. 故选． 9．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）将正方形置于平面直角坐标系中，其中，，直线L：与正方形的边有两个交点M，N，当时，的取值范围是（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】如图中的阴影部分，即可求出的取值范围． 【详解】解：如图，当直线L：经过点时，此时    同理，当直线L：经过点或或时，均有 此时或或， 而当直线L：经过点时，均有 如图中的阴影部分，k的取值范围是或． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，正比例函数图象的性质，本题的关键是数形结合的思想方法． 10．（23-24八年级下·浙江杭州·开学考试）直线y=kx+b过点（2，2）且与直线y=-3x相交于点（1，a），则两直线与x轴所围成的面积为（     ） A．2 B．2.4 C．3 D．4.8 【答案】B 【详解】解: 点（2，2）在直线y=-3x上, ∴a=-3, 又y=kx+b过点（2，2）, （1，-3） ∴，解得 , 所以,直线为 y=5x-8, 令y=0 ,则5x-8=0 ,解得x= , 所以,与x 轴的交点坐标为（）， ∵直线y=-3x经过坐标原点, 两直线与x轴所围成的面积=×3=2.4. 故选B . 11．（23-24八年级下·吉林延边·期中）如图，已知正比例函数经过点P，若，则y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质已经函数增减性的判断，属于基础题． 先根据正比例函数的性质求出函数表达式，再结合的取值范围求出的取值范围． 【详解】解：正比例函数的表达式为， 因为正比例函数经过点， 将点代入中，可得：， 解得， 所以，正比例函数的表达式为， 已知，因为， 所以随的增大而减小． 当时，； 当时，． 所以当时，． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和的图象如图所示，则的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查正比例函数图象与性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的绝对值的大小，最后判断三个系数的大小． 【详解】解：由直线经过的象限知：， ∵根据直线越陡，越大， ， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知正比例函数的图象与x轴所成的锐角为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质．设正比例函数的图象的异于原点的一点的坐标为，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设正比例函数的图象的异于原点的一点的坐标为， 当时， ∵正比例函数的图象与x轴所成的锐角为， ∴正比例函数的图象是第一，三象限的角平分线， ∴， ∴； 当时， ∵正比例函数的图象与x轴所成的锐角为， ∴正比例函数的图象是第二，四象限的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，k的值为． 故答案为： 14．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正比例函数的图象，以及图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键． 根据相关函数的定义求出正比例函数的相关函数为，再分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可． 【详解】解：由题意可得，正比例函数的相关函数为， ∵点在这个函数的相关函数的图象上， 当时，把点代入得，， ∴， 当时，把点代入得，， ∴， ∴或． 故答案为：或． 15．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）若正比例函数随的增大而减小，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正比例函数的定义及性质，正比例函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．根据正比例函数的定义和性质，即可求解． 【详解】解：由题意得， 且， 解得， 故答案为：3． 16．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知是关于x的正比例函数．当时，求x的值． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，已知函数值求自变量的值，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义，求出，得到，再将代入求解即可． 【详解】解：是关于x的正比例函数， ， ， 关于x的函数解析式是， 当时，， ． 17．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知与成正比例，且当时，．求与的函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式．利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】解：设与的函数解析式：， ∵时，， ∴， ∴与的函数解析式：． 18．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）若是正比例函数，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握形如的函数关系式的称为y关于x的正比例函数是解题的关键． 根据正比例函数的定义，即可求解． 【详解】解：∵是正比例函数， ， 解得：， ∴． 19．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）函数是正比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了正比例函数的定义及性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键． （）根据正比例函数定义列出，然后求出的值即可； （）由题意可得出函数解析式为，当时，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴； （2）解：由（）得， ∴函数解析式为， ∴当时，，解得：， ∴的值为． 20．（24-25八年级下·福建泉州·期末）为了预防新冠病毒的传播，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过5分钟的集中药物喷洒，再封闭教室10分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（分钟）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两一次函数，在通风后又成反比例，如图所示． （1）问：室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间可达到几分钟？ （2）当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于30分钟时，才能完全有效杀灭传染病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？    【答案】（1）11分钟；（2）此次消毒不完全有效，分析见解析． 【分析】（1）由题意得，由可求得直线的解析式，将代入即可求出时间，从而得出答案； （2）利用求出反比例函数的解析式再分别计算出时的的值，进而可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ，把代入得：， 解得：， （分钟）， 答：室内空气中的含药量不低于的持续时间可达到11分钟． （2）解：设反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：，， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得： ， 此次消毒是不完全有效． 答：此次消毒不完全有效． 【点睛】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的应用，掌握正比例函数和反比例函数图象的形状，掌握两个函数的解析式的形式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.2 正比例函数的图象与性质重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 正比例函数的定义 题型二 正比例函数的图象 题型三 正比例函数的性质 题型四 用待定系数法求函数解析式 题型五 判断正比例函数图像通过象限 题型六 已知正比例函数图像经过象限求其参数 题型七 根据正比例函数的增减性求参数 题型八 与正比例函数有关的最值问题 拓展训练一 正比例函数的综合问题 拓展训练二 正比例函数图像及其应用 知识点一：正比例函数的定义 正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）若是正比例函数，则b的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 2．（2025·贵州毕节·三模）若函数是关于x的正比例函数，则k满足的条件为 ． 知识点二：正比例函数的图像与性质 正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线. 正比例函数的性质： k的符号 图像 图像的位置 增减性 k＞0 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大 k＜0 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小 【补充】正比例函数必过点（0,0）、（1，k）. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，正比例函数，其中y随x增大而减小的图象是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南岳阳·一模）点、是直线上的两点，则 （填“”或“”或“”）． 知识点三：用待定系数法求正比例函数解析式 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定正比例函数解析式的一般步骤： 1）设：设正比例函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k的一元一次方程； 3）解：解一元一次方程，求出k； 4）代：将k的值代回所设的函数解析式中. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）若与成正比例，且当时，．若点在该函数的图象上，的值是 ． A． B．-2 C． D． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知与成正比例，且当时，，则y与x的函数关系式是 ． 【经典例题一 正比例函数的定义】 【例1】（24-25八年级上·江西萍乡·期中）下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东阳江·期末）已知y关于x的函数 ，且该函数是正比例函数，求m的值． 1．（23-24八年级上·四川成都·期末）在我国东汉时期的经学家和教育家郑玄在为《考工记·弓人》一文中“量其力，有三钧”一句做注解时，提到“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺．”揭示了在弹性限度内弓的弹力和弓的形变量成正比例关系．假设一轻弹簧原长为，竖直悬挂重为的重物时，弹簧伸长了，则该弹簧的劲度系数为（　　）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）若是正比例函数，则（   ） A．0 B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知是关于的正比例函数，则 ． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知y与x成正比例，当时，，求y与x间的函数关系式． 【经典例题二 正比例函数的图象】 【例1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 【例2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知4个正比例函数，，，的图像如图，则下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下面哪个点在函数的图象上？（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海徐汇·二模）已知正比例函数的函数值y随着自变量的值增大而减小，那么符合条件的正比例函数可以是 ．（只需写出一个） 4．（24-25八年级下·广东江门·期中）画出函数的图象．    (1)列表： … 0 1 2 … … … (2)描点并连线． 【经典例题三 正比例函数的性质】 【例1】（24-25九年级下·山西吕梁·阶段练习）已知点在正比例函数的图象上，若点，也在这个正比例函数的图象上，且，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知正比例函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象． (2)判断点、点是否在这个函数的图象上． 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）关于函数，下列判断正确的是（    ） A．图象必过点和 B．图象经过第一、第三象限 C．y随x的增大而减小 D．不论x为何值，总有 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应解析式：①；②；③．将a，b，c从小到大排列为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）正比例函数中，y随着x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 4．（24-25八年级下·河南周口·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点，是该正比例函数图象上的两点，试比较、的大小． 【经典例题四 用待定系数法求函数解析式】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·期末）已知y与x成正比例，且当x=2时，y=4，则该正比例函数的解析式为（） A．y= B．y= C．y= D．y= 【例2】（23-24八年级下·上海·期末）已知y与x成正比例，且当x=-1时，y=3，求y与x的函数解析式. 1.（24-25八年级下·山东青岛·期末）若y+1与x成正比例，当x=3时，y=5，则y与x的函数解析式为（） A．y= B．y= C．y=-1 D．y= 2.（24-25八年级下·江西上饶·期末）已知y-3与x成正比例，当x=1时，y=5，则y与x的函数解析式为（） A．y= B．y= C．y=+3 D．y= 3.（24-25八年级下·广西百色·期末）已知y与x+1成正比例，当x=1时，y=4，则y与x的函数解析式为______. 4.（24-25八年级下·青海·期末）已知y-2与x成正比例，当x=2时，y=6，求y与x的函数解析式. 【经典例题五 判断正比例函数图像通过象限】 【例1】（2023·江苏南京 模拟题）正比例函数(y=5x)的图像经过的象限是（） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【例2】（2022·广东广州 模拟题）已知正比例函数y=(4-2m)x，当m为何值时，函数图像经过第二、四象限？ 1.（2024·山东济南 模拟题）若正比例函数(y=(a-3)x)的图像经过第一、三象限，则(a)的取值范围是（） A．a>3 B．a<3 C．a=3 D．a≤3 2.（2025·四川成都 模拟题）下列正比例函数中，图像经过第二、四象限的是（） A．y=x B．y=0.3x C．y=-7x D．y=2023x 3.（2024·浙江杭州 模拟题）已知正比例函数y=(m+5)x的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是______. 4.（2023·北京 模拟题）已知正比例函数y=kx的图像经过点(-2,4)，判断该函数图像经过哪些象限，并说明理由. 【经典例题六 已知正比例函数图像经过象限求其参数】 【例1】（2023·江苏苏州 期中）若正比例函数y=2k-1x的图像经过第一、三象限，则k的取值范围是（） A．k> B．k< C．k= D．k≤ 【例2】（2023·广东深圳 期中）已知正比例函数y=(m-5)x的图像经过第二、四象限，求m的取值范围。 1.（2024·山东青岛 期中）若正比例函数y=(3-a)x的图像经过第一、三象限，则a的取值范围是（） A．a>3 B．a<3 C．a=3 D．a≥3 2.（2025·四川成都 期中）已知正比例函数y=(2m+4)x的图像经过第二、四象限，则m的值可能是（） A．0 B．1 C．-1 D．-3 3.（2024·浙江宁波 期中）若正比例函数y=(n-2)x的图像经过第二、四象限，则n的取值范围是______。 4.（2023·上海 期中）已知正比例函数y=(-4)x的图像经过第二、四象限，求k的取值范围。 【经典例题七 根据正比例函数的增减性求参数】 【例1】（2023·江苏无锡 期末）若正比例函数y=(3k-2)x在定义域内y随x的增大而增大，则k的取值范围是（） A．k> B．k< C．k= D．k≤ 【例2】（2023·广东珠海 期末）已知正比例函数y=(m+4)x，当m为何值时，该函数在定义域内y随x的增大而减小？ 1.（2024·山东烟台 期末）若正比例函数y=(2-5a)x的y值随x值的增大而减小，则a的取值范围是（） A．a> B．a< C．a= D．a≥ 2.（2025·四川绵阳 期末）下列选项中，能使正比例函数y=(3m-1)x的y随x增大而增大的m值是（） A．0 B． C． D．-1 3.（2023·浙江温州 期末）已知正比例函数y=(n-3)x的y值随x值的增大而增大，则n的取值范围是______. 4.（2023·天津 期末）已知正比例函数y=-9)x，且该函数的y值随x值的增大而减小，求k的取值范围. 【经典例题八 与正比例函数有关的最值问题】 【例1】（2023·江苏常州 模拟题）已知正比例函数y=-2x，当x在-3≤x≤2范围内时，y的最大值为（） A．6 B．-4 C．0 D．4 【例2】（2024·广东中山 模拟题）已知正比例函数y=3x，若自变量x的取值范围是-1≤x≤4，求y的取值范围（即y的最大值与最小值）. 1.（2024·山东东营 模拟题）若正比例函数y=(m+1)x在x∈[2,5]时，y的最大值比最小值大6，且y随x的增大而减小，则m的值为（） A．-2 B．-3 C．2 D．3 2.（2025·四川攀枝花 模拟题）已知正比例函数y=kx（k≠0），当x满足2≤x≤3时，y的取值范围是6≤y≤9，则k的值为（） A．3 B．-3 C．3或-3 D．无法确定 3.（2024·浙江台州 模拟题）正比例函数y=-4x中，若y的取值范围是-8≤y≤12，则自变量x的取值范围是______. 4.（2023·重庆 模拟题）已知正比例函数y=(2t-5)x，当x∈[1,3]时，函数的最大值与最小值之差为8，求t的值. 【拓展训练一 正比例函数的综合问题】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若一次函数（m为常数，）的图象从左向右下降，则函数的图象经过（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【例2】（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 1．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）在正比例函数中，当自变量时，函数值y为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．（23-24八年级上·上海长宁·期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数是正比例函数，点在其函数图象上．当时，，则的值为 ． 4．（24-25九年级下·甘肃天水·开学考试）汽车是现在人们出行的重要交通工具，但是汽车在公路上高速行驶会给行人带来很多安全隐患，其原因为汽车在刹车后，车还需要滑动一段距离．经过专业人员多次测试，发现刹车距离y和刹车时的速度有一定的函数关系，相关统计数据如下表： 刹车时的速度 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 (1)请求出y关于x的函数关系式． (2)若要求刹车距离小于12米，则车速应该限制在多少以内？ 【拓展训练二 正比例函数图像及其应用】 【例1】（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）正比例函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知正比例函数． (1)若点在它的图象上，求正比例函数的解析式及的值； (2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图为某函数的图像，当时，图像上存在个不同的点使得恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·山东聊城·阶段练习）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是 ． 4．（24-25八年级下·北京·期中）已知点在正比例函数的图象． (1)求k的值； (2)画出这个函数的图象； (3)若，求y的取值范围． 1．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）下列函数关系式中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）若函数是正比例函数，则关于m，n的值，下列正确的是（      ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图像向左平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图像，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 5．（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）下列关系式中，表示是的正比例函数的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当增加1时，增加2 D．图象经过一、三象限 7．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）若点在正比例函数的图象上，则下列各点不在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·北京海淀·期中）若某正比例函数过，则关于此函数的叙述不正确的是（    ）． A．函数值随自变量的增大而增大 B．函数值随自变量的增大而减小 C．函数图象关于原点对称 D．函数图象过二、四象限 9．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）将正方形置于平面直角坐标系中，其中，，直线L：与正方形的边有两个交点M，N，当时，的取值范围是（    ）． A． B． C．或 D．或 10．（23-24八年级下·浙江杭州·开学考试）直线y=kx+b过点（2，2）且与直线y=-3x相交于点（1，a），则两直线与x轴所围成的面积为（     ） A．2 B．2.4 C．3 D．4.8 11．（23-24八年级下·吉林延边·期中）如图，已知正比例函数经过点P，若，则y的取值范围是 ． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和的图象如图所示，则的大小关系是 ．（用“”连接） 13．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知正比例函数的图象与x轴所成的锐角为，则k的值为 ． 14．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为 ． 15．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）若正比例函数随的增大而减小，则的值是 ． 16．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知是关于x的正比例函数．当时，求x的值． 17．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知与成正比例，且当时，．求与的函数解析式． 18．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）若是正比例函数，求的值． 19．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）函数是正比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 20．（24-25八年级下·福建泉州·期末）为了预防新冠病毒的传播，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过5分钟的集中药物喷洒，再封闭教室10分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（分钟）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两一次函数，在通风后又成反比例，如图所示． （1）问：室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间可达到几分钟？ （2）当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于30分钟时，才能完全有效杀灭传染病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？    学科网（北京）股份有限公司 $