第二十一章 一元二次方程单元测试-2025-2026学年人教版九年级数学上册提升试题

第二十一章一元二次方程单元测试 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自已的姓名，学号填写清楚，并认真核准条形 考生禁填： 缺考标记 口 码上的姓名、学号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【1【/] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、单选题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共30分) 1.[A][B][C][D]2.[A][B][C][D]3.[A][B][C][ D] 4.[A][B][C][D]5.[A][B][C][D]6.[A][B][C][ D] 7.[A][B][C][D]8.[A][B][C][D]9.[A][B][C][ D] 10.[A][B][C][D] 二、 填空题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共24分) 11. 12. 13. 14 15. 16. 17. 18 三、 解答题（共66分) (58平)I乙 (%8￥)0Z 0=L-xt-x(⑦) (E-x)xZ=(E-x)+(I) (58Ψ)61 ■ ■ ■ 22.(本题9分) 23.(本题9分) (华乙IΨ)忆 ■ (马L平)S乙 ■ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A B B D C C C 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键． 根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，分母有未知数，不是整式方程，故本选项错误，不符合题意； B、，未强调，故本选项错误，不符合题意； C、，整理后为，是一元二次方程，符合题意； D、，是二元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是明确一元二次方程一般形式中各项系数的定义． 根据一元二次方程的一般形式，直接确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：方程，其中二次项是，所以二次项系数； 一次项是，所以一次项系数； 常数项． 故答案为：D． 3．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解法，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解：因为方程0是一元二次方程， 所以 ， 解得． 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 5．B 【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 6．B 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系． 先求出这个方程的解，再根据等腰三角形及三角形的三边关系即可求出周长． 【详解】解：解方程得， ∵三角形为等腰三角形， ∴三边长为5，5，2或2，2，5（舍去） ∴周长为， 故选B． 7．D 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；根据一元二次方程根与系数的关系“”进行求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴； 故选D． 8．C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，由题意知或，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，3， 一元二次方程中，或， 则关于的一元二次方程中，或， 解得，， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查根的判别式，根据新定义运算法则以及一元二次方程的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴没有实数根， 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位数字为x，则个位数字为，根据这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合这个两位数是，即可得出这个两位数是36或63． 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为， 依题意得：， 整理得：， 解得． 当时，，此时这个两位数是； 当时，，此时这个两位数是． 故选：C． 11． 【分析】此题考查一元二次方程的解的定义．解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 将代入一元二次方程，即可求得k的值，本题得以解决． 【详解】解： ∵一元二次方程有一个根为， ∴， 解得，， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a、b、c为常数，掌握这一形式是解题的关键，方程去括号、移项、再合并同类项即可化为一般形式． 【详解】解：去括号得：， 移项、合并同类项得：， 即一般形式为． 13． 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，即可解出方程的另一个根． 【详解】解：设另一个根为m， 由根与系数的关系得， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为关于的方程有两个相等的实数根， 所以， 解得． 故答案为：． 15．或/或4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义和解一元二次方程，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，得，解方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：或． 16．10 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．根据题意可知实数是方程的两个根，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，即可求解． 【详解】解：实数满足，，且， ∴实数是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：10 ． 17．1 【分析】本题主要考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式；根据题意得到，结合解一元二次方程的方法和一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 时， ， ， ； 时， ， ， ∴方程无解； ∴； 故答案为：1． 18．或 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据不同情况表示出四边形的面积，进而列出方程求解． 分三种情况讨论，分别用含时间t的式子表示出相关线段长度，再根据四边形面积与三角形面积的关系列出方程求解． 【详解】解：①当P在线段上，Q在线段上时， ， ， ， 得（舍去）； ②当P在线段上，Q在线段延长线上时， ， ，得； ③当P在线段的延长线上，点Q在线段延长线上时， ， ， 解得，都不符合题意，舍去， 综上：或． 故答案为：或． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等）是解题关键． （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用配方法解答即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴， 即， 解得：； （2）解： ， ， 即， ∴， 解得：． 20．(1)且； (2)不存在； 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，代入可得关于a的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：且 解得：且 ∴ a的取值范围为：且. （2）不存在；             由题可知： ∴ 解得： 经检验是原分式方程的解；                                       又∵且； ∴不存在实数a使得等式成立. 21．(1) (2)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，进行解答，即可． （1）根据此方程的一个根为，把代入，解出，即可； （2）根据方程都有两个不相等的实数根，则验证，即可． 【详解】（1）解：∵此方程的一个根为， ∴代入， ∴， 解得：． （2）证明，如下： ∵关于的方程为， ∴， ， ， ， ∵无论为何值，； ∴， ∴无论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 22．(1)方程是“三倍根方程” (2)或9 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断； （2）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义求出n的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∴方程是“三倍根方程”； （2）∵， ∴， 解得，， ∵是“三倍根方程”， ∴或， 即或， ∴或9． 23．(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查配方法，涉及完全平方公式、平方非负性等知识，读懂题意，利用配方法，结合平方非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案； （2）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， 的最小值是3； （2）解： ， ，， ， 无论取任何实数时，多项式的值总为正数． 24．(1) (2)元 (3)不能，理由见解析 【分析】（）根据题意列出函数关系式即可； （）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （）根据题意列出一元二次方程，由方程的解的情况即可判断求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：由题意得，， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件汉服降价元时，该商家平均每天可盈利元； （3）解：不能，理由如下： 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴不能平均每天盈利元． 25．(1)1秒 (2)2秒 (3) 【分析】（1）由题意得，t秒后，，，根据，列方程求出t的值即可； （2）在中，, , , ，根据勾股定理列方程，求出t的值即可； （3）根据，将，代入化简即可． 【详解】（1）解：由题意得，t秒后，，， ∵， ∴， 解得，． 由题意得P点从A点运动到B点需要秒，Q点从B点运动到C点需要秒， ∴， ∴不合题意，舍去． ∴经过1秒钟后，的面积等于4cm2． （2）解：在中，, , , ， ∴， ∴， 解得（舍去）, ． ∴经过2秒钟后，的长度等于5cm． （3）解：由题意得 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，根据题意表示出线段和的长是解题的关键． 答案第10页，共12页 第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版九年级数学上册单元提升测试 第二十一章 一元二次方程  单元测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，5，3 B．5，2，3 C．，2， D．2，， 3．（本题3分）关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B． C．3 D．以上都不对 4．（本题3分）方程经过配方法化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 6．（本题3分）若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定 7．（本题3分）已知是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C． D．2 8．（本题3分）关于的一元二次方程的两根分别为，3，则关于的一元二次方程的两根分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 9．（本题3分）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 10．（本题3分）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A．36 B．63 C．36或63 D．或 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）已知关于x的方程的一个根是，则 ． 12．（本题3分）将一元二次方程化为一般形式是 ． 13．（本题3分）已知关于的方程的一个根是2，则它的另一个根为 ． 14．（本题3分）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 15．（本题3分）若最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 16．（本题3分）已知实数满足，，且，则的值为 ． 17．（本题3分）已知实数满足，则m的值为 ． 18．（本题3分）如图，在中，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时，点也从点开始沿射线方向以的速度运动． 秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为？ 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）用合适的方法解方程 (1) (2) 20．（本题8分）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求a的取值范围． (2)是否存在实数a，使成立？ 21．（本题8分）已知关于的方程． (1)若此方程的一个根为，求的值； (2)求证：无论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 22．（本题9分）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是1和3，则方程 就是“三倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“三倍根方程”？ (2)若是“三倍根方程”，求n的值． 23．（本题9分）阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 24．（本题12分）某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件元时，每天可售出件；售价每降低元，日销售量增加件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元． (1)请写出日销售量（单位：件）与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围） (2)每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利元？ (3)该商家希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 25．（本题12分）如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止． (1)经过几秒钟后， 的面积等于？ (2)经过几秒钟后，的长度等于？ (3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围． 答案第2页，共5页 答案第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $