第二十二章二次函数单元测试-2025-2026学年人教版九年级数学上册提升试题

第二十二章二次函数单元测试 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自已的姓名，学号填写清楚，并认真核准条形 考生禁填： 缺考标记 口 码上的姓名、学号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【1【/1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、单选题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共30分) 1.[A][B][C][D]2.[A][B][C][D]3.[A][B][C][ D] 4.[A][B][C][D]5.[A][B][C][D]6.[A][B][C][ D] 7.[A][B][C][D]8.[A][B][C][D]9.[A][B][C][ D] 10.[A][B][C][D] 二、 填空题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共24分) 11. 12. 13. 14 15. 16. 17. 18 三、 解答题（共66分) (6平)I乙 (%6￥)0Z -L -L- -L (58Ψ)61 ■ 22.(本题9分) B 23.(本题9分) (华0[璐平)忆 ■ (华L*)Z ■ 2025-2026学年人教版九年级数学上册单元提升测试 第二十二章二次函数 单元测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 3．（本题3分）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图是二次函数的大致图象，则一次函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 5．（本题3分）二次函数的图象与x轴的交点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．根据m的值而定 6．（本题3分）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 7．（本题3分）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 8．（本题3分）如图，一矩形场地，两边长分别为、，现欲在矩形内修两条宽为的小路，剩余部分的面积是，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 9．（本题3分）已知，二次函数图象如图所示，其中对称轴为直线，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④（其中为任意实数） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 10．（本题3分）如图，在中， ，于点D．点P从点A出发，沿的路径运动，运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（   ） A．B．C．D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）函数是二次函数，则a的值是 ． 12．（本题3分）抛物线的顶点坐标是 ． 13．（本题3分）已知抛物线 当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 14．（本题3分）已知抛物线过点，，，则这个抛物线的解析式为 ． 15．（本题3分）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 16．（本题3分）二次函数与轴交点中有一个是点，则的值为 ． 17．（本题3分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是 ． 18．（本题3分）已知二次函数，当时有且只有一点使得，c的取值范围 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）已知二次函数． (1)直接写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向； (2)请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象． 20．（本题9分）已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为． (1)求，的值； (2)说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 21．（本题9分）如图，抛物线交轴于两点（在左侧），交轴于点．已知一次函数的图象过点，． (1)求抛物线的对称轴和一次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足的的取值范围． 22．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式和顶点坐标． (2)若点是直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时求 点坐标． 23．（本题9分）在平面直角坐标系中，，在二次函数的图象上． (1)当时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，求的取值范围． (3)若，且当时，有最小值，求的值． 24．（本题10分）端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） (1)若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出与x之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ (3)在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（）给福利院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围． 25．（本题12分）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式： (2)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (3)当时，抛物线的最大值为3，求的值． 第6页，共7页 第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D C A A C D A 1．C 【分析】本题考查二次函数定义，解题关键是掌握二次函数的形式：一般地，形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、是一次函数，不符合题意； 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的相关知识点是解此题的关键． 令，则，计算即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交点的横坐标是2，， 故选：A． 3．B 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，利用左加右减，上加下减的口诀即可解答，解决本题的关键是熟知抛物线平移的口诀． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是根据已知二次函数的图象判断系数、的符号．根据二次函数的图象开口方向、对称轴可以判断、的正负情况，从而可以判断一次函数的图象． 【详解】解：由二次函数的图象可知， ，， ， ， 一次函数的图象在第一、二、四象限． 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，正确掌握方程的根的情况和抛物线与轴交点的个数之间的关系是解题的关键．令，得到关于的一元二次方程，然后由△即可判断． 【详解】解：令，则， ， 方程有两个不相等的实数根， 二次函数的图象与轴有两个交点， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，求出函数值的范围即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最小值为； 当时，函数有最大值为； 故选A． 7．A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了平移、二次函数的应用等知识．把两条路进行平移，一条移动到上方，一条移动到左方，那么剩余部分就变成了边长为和的长方形，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：依题意得把两条路分别进行平移， 长为的路移动到上方，长为的路移动到左方， ∴草坪就变成了边长为和的长方形， ∴， 故选：C． 9．D 【分析】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与轴的交点、二次函数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题关键． 根据抛物线图象开口方向判断，根据对称轴为，得到，，根据图象可知抛物线与轴交于正半轴，可判断，据此可判断①②；根据可得，即有，可判断③；由二次函数的图象可知最大值在时，即最大值为，据此解题可判断④． 【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，即， 对称轴为， ， 且， 抛物线与轴交于正半轴， ， 故①错误，②正确； ③， ， 故③正确； ④抛物线的对称轴为， 当时，函数的最大值，且为， （为任意实数） （为任意实数）， 故④正确； 综上所述，正确的是②③④， 故选：D． 10．A 【分析】本题考查动点问题的函数图象的性质的应用．根据题意，分两段分别求，一是的过程，二是的过程，分别用含x的式子表示出y，再结合图象判断即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点P运动的路程为x， ∴当点P从点A出发，沿路径运动时，即时，，则， ∴， ∵四边形的面积为y， ∴， ∴当时，抛物线开口向下， 当点P沿路径运动时，此时， ∵平分， ∴， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， ∴， ∴当时，抛物线开口向上， 综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是 ． 故选：A 11． 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；由题意易得且，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：； 故答案为：． 12． 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的一般式与顶点式之间的转换是解题的关键，利用配方法将二次函数的一般式转换成顶点式，根据顶点式的特点即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质， 根据抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，可知在对称轴右侧，y随x的增大而减小，然后可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为，， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，把点，，代入，利用待定系数法列方程组，解方程组可得抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线过点，，， ∴， 解得， ∴这个抛物线的解析式为． 故答案为：． 15．， 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． ∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 16．16 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，代数式求值，根据抛物线上点的坐标特征求出的值，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：∵二次函数与x轴交点中有一个是， ∴，即， ， 故答案为：16． 17．， 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，结合抛物线与直线的两个交点坐标分别为，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为， ∴的解是，， 故答案为：， 18．或 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键． 由题意可得二次函数在时与有且只有一个交点，将两个解析式联立，得出，问题可转化为二次函数与在内有且只有一个交点，画出二次函数图象，求出两个端点及顶点处的纵坐标，结合图象即可求解． 【详解】解：由题意知，二次函数在时与有且只有一个交点， 联立， 整理可得， 则二次函数与在内有且只有一个交点， 二次函数在内的图象如图所示： 当时，， 当时，， ， 顶点坐标为， 结合图形可得，当或时满足题意， 解得或， 故答案为：或． 19．(1)顶点坐标为，对称轴为直线，开口向上 (2)见解析 【分析】本题考查二次函数图象，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）把函数表示为顶点式即可解答； （2）利用列表，描点，连线画出函数图象即可。 【详解】（1）解：， 顶点坐标为，对称轴为直线，开口向上； （2）解：列表如下： 0 2 4 6 0      0 图象如下： 20．(1)， (2)抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 【分析】（1）根据二次函数的平移规律求解即可； （2）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的表达式解析式可以确定其对称轴和顶点的坐标． 【详解】（1）因为平移不改变图象的形状， 所以， 抛物线向左平移两个单位长度得到， 即， 所以； （2）抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质以及平移规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 21．(1)抛物线对称轴为直线，一次函数解析式为 (2) 【分析】（）根据二次函数的解析式可求出抛物线的对称轴，再求出点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式； （）根据交点的坐标，结合两函数的图象即可得出不等式的解集； 本题考查了二次函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与不等式等，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入，得， 解得，， ∴点的坐标是，点的坐标是， 把代入，得， ∴点的坐标是， 把和代入得， ， 解得， ∴一次函数的解析式是； （2）解：∵抛物线与一次函数的交点为，， ∴根据函数图象可知，的的取值范围是． 22．(1)，顶点为 (2)面积的最大值为；此时点 【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质及铅垂法是解题的关键； （1）根据待定系数法求得解析式，进而化为顶点式求得顶点坐标； （2）过点M作轴，交直线于点H，由题意可求得直线的解析式，然后设点，则有，进而可得，最后根据铅垂法可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：令时，则有， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 过点M作轴，交直线于点H，如图所示： 设点，则有， ∴， ∴， 由可知取得最大值，最大值为， ∴此时点． 23．(1)该函数图象的顶点坐标 (2) (3)的值是或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据的值，得到在二次函数图象上，化成顶点式，得到顶点坐标； （2）根据点坐标，表示出，代入到，得到结果； （3）根据题意，得到解析式，结合题意，求得值即可． 【详解】（1）解：， ∴在二次函数图象上， ， 该函数图象的顶点坐标； （2）解：∵，在二次函数的图象上 ∴，， ， ∴ ， （3）解：， ， ， ， 该函数图象的对称轴为直线， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，符合题意， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，不合题意舍去， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得不合题意舍去， 综上所述，的值是或． 24．(1)； (2)A礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元 (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用； （1）根据利润=每盒利润×销量列式即可； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元，列出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）求出销售利润最大时两种礼盒的销量，再根据题意列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； ； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元， 由题意得： ∴当时，元， 即A种礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元； （3）由（2）可知，当时，A种礼盒每天售出盒，B种礼盒每天售出盒， 则， ， ， ． 25．(1)， (2)的面积最大值为 (3)的值为或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式及分类讨论思想等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可； （2）先用表示出，然后用含m的式子表示出 的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的值． 【详解】（1）解：抛物线过、两点， ，解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解得：， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， ，解得， 直线解析式为； （2）解：轴，点的横坐标为， ， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：抛物线，其对称轴为， 当，即时，在上，随的增大而增大， ∴当时，有最大值3， ∴，解得， ， ； 当，即时，在上，随的增大而减小， ∴当时，有最大值3， ∴，解得或， ； 当，即时，当时，有最大值，这种情况不存在； 综上的值为或． 答案第10页，共12页 第1页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $