专题2.7 函数60道计算题专项训练（6大题型）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

该高中数学讲义围绕函数核心概念，构建了“求值—解析式—单调性—最值—参数—幂函数”六类题型的系统复习框架，通过知识结构图清晰呈现各模块间的逻辑关联，用表格对比不同函数类型在定义域、单调区间和最值表现上的差异，突出分段函数与参数讨论的重难点分布，帮助学生建立从具体到抽象的认知路径。 讲义的亮点在于以“问题驱动+方法提炼”为核心设计练习，如第17题利用递推关系求分段函数值，培养运算能力和推理意识，第34题结合图像分析单调性与最值的关系，强化数形结合的数学思维，第52题通过幂函数图像对称性判断参数取值，体现数学建模的应用意识。每类题型均配解题策略指导和易错点警示，基础薄弱生可掌握通法，优等生能拓展思维，教师据此实现精准诊断与分层教学，助力学生自主建构函数认知体系。

专题2.7 函数60道计算题专项训练（6大题型） 题型一 求函数值 题型二 求分段函数解析式或求函数的值 题型三 根据函数的单调性求参数值 题型四 利用函数单调性求最值或值域 题型五 根据函数的最值求参数 题型六 根据函数是幂函数求参数值 【经典计算题一 求函数值】 1．（24-25高一·全国·课后作业）已知，， 分别求、、的值； 求的值． 2．（23-24高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值. 3．（24-25高一上·内蒙古通辽·期中）已知函数，. （1）求的值； （2）求的值． 4．（24-25高一上·四川·期中）已知函数. (1)求的值; (2)计算和，猜想的值并加以证明. 5．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 6．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数对任意的实数，，都有成立. (1)求，的值; (2)求证：（）; (3)若，（，均为常数），求的值. 7．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数 （1）求函数的定义域； （2）求的值； （3）求的值（其中且）. 8．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意实数，都有求．其中代表不超过的最大整数． 9．（22-23高一·全国·课堂例题）已知函数对任意正实数，，都有． (1)求的值； (2)若，（，为常数），求的值． 10．（2024·上海青浦·一模）记号[x]表示不超过实数x的最大整数，若，则的值为多少 【经典计算题二 求分段函数解析式或求函数的值】 11．（23-24高一上·四川·阶段练习）如图，等腰梯形的底角为，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，试求函数的解析式.     12．（23-24高一上·陕西延安·期中）如图所示，函数的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为，，. （1）求的值； （2）求函数的解析式. 13．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数，，求与的解析式. 14．（23-24高一·全国·课后作业）矩形球台中，，，小球以每秒的速度由射出与成角前进，碰到上的点后又折回与成角前进，到达后，沿回到，设小球从射出经秒后，的面积为，求与的关系式． 15．（24-25高一上·上海杨浦·期中）定义实数间的计算法则如下： （1）计算 （2）对的任意实数，判断等式是否恒成立，并说明理由： （3）写出函数的解析式，其中并求其值域. 16．（23-24高一上·内蒙古包头·期末）如图，是等腰直角三角形，，且直角边长为，记位于直线左侧的图形面积为，试求函数的解析式. 17．（2024高一·全国·专题练习）已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0，1]上有表达式f(x)＝x2. (1)求f(－1)，f(1.5)； (2)写出f(x)在区间[－2，2]上的表达式． 18．（23-24高一上·广东汕头·期中）设函数，其中为常数且.新定义：若满足，但，则称为的回旋点. （1）当时，分别求和的值； （2）当时，求函数的解析式，并求出回旋点； （3）证明函数在有且仅有两个回旋点，并求出回旋点. 19．（23-24高一上·上海·课后作业）如图，半径为x的圆O在边长为4的正方形内与正方形的一边相切并滚动一周后，圆O没有通过区域的面积为S. （1）试写出S关于x的函数解析式； （2）当x取何值时，S有最小值，并求出该最小值. 20．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数是的反函数. （1）当时，求函数的最小值的函数表达式； （2）若是定义在上的奇函数，在（1）的条件下，当时，，求的解析式，并画出的图象. 【经典计算题三 根据函数的单调性求参数值】 21．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数在定义域上单调函数，且，求函数. 22．（23-24高一上·江苏镇江·期中）设是定义在上的函数，且对任意实数，有. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围. 23．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 24．（2023高三·全国·专题练习）设是定义在上的非递减函数，且，，求． 25．（23-24高一·全国·课后作业）已知 . (1)若，试证明在内单调递增； (2)若且在内单调递减，求a的取值范围. 26．（22-23高一上·海南·期中）已知定义域为的函数． (1)当时，试讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上单调递减，求的取值范围． 27．（22-23高一上·陕西·期中）已知函数． (1)求的解析式； (2)若在上单调递减，求a的取值范围． 28．（23-24高一·湖南·课后作业）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围． 29．（23-24高一·全国·课后作业）已知f（x）（x≠a）． (1)若a＝2，试证明f（x）在（﹣∞，2）上单调递减； (2)若a＞0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围． 30．（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 【经典计算题四 利用函数单调性求最值或值域】 31．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最大值和最小值． 32．（2024高三·全国·专题练习）已知，求函数的最小值. 33．（2024高三·全国·专题练习）（1）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． （2）求出函数的最值． 34．（24-25高一上·天津南开·期中）已知函数，，. (1)若，写出函数的单调区间，并指出单调性； (2)若函数在上单调，且存在使成立，求的取值范围： (3)当时，求函数的最大值的表达式. 35．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数. (1)判断函数在的单调性，并用定义证明； (2)求函数在的值域. 36．（24-25高一上·湖南郴州·期中）已知函数 (1)求函数的定义域. (2)求函数的单调区间. (3)当时，求函数的最小值. 37．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，. (1)若，试判断的单调性并用定义法证明； (2)若，求函数的最大值的表达式. 38．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)当，求函数的值域. (2)若任意，使得恒成立，求实数的取值范围. 39．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，其中常数. (1)若函数分别在区间，上单调，求的取值范围； (2)当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 40．（22-23高一上·河北·期中）已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)设函数，若，求a的取值范围． 【经典计算题五 根据函数的最值求参数】 41．（23-24高一上·浙江·期中）设函数，其中. (1)判断并用定义证明函数的单调性； (2)若存在区间，函数在上的值域恰好为，求实数的取值范围. 42．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知为一个给定的实数，函数. （1）若为正实数，利用单调性的定义证明：“"是“函数在区间上是严格减函数”的充要条件； （2）若函数，无最小值，求实数的取值范围. 43．（24-25高一上·天津河西·开学考试）已知函数， （1）若，使得成立，求实数的取值范围； （2）若，，使得，求实数的取值范围． 44．（23-24高一·全国·课后作业）函数， （1）求的最小值； （2）若的最大值为，求实数的取值范围. 45．（23-24高二下·浙江温州·期中）已知函数，，. （1）若时，试判断的单调性并写出单调区间； （2）当的最大值是2时，求a的值； （3）当时，求函数的最大值的表达式. 46．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）已知函数的定义域为R，且的图像过点. （1）求实数b的值； （2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； （3）是否存在实数a，使函数在R上的最大值为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由？ 47．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知函数 （1）请用单调性的定义证明在区间上的单调性； （2）若在区间上恒成立，求a的取值范围. 48．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数． （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数在上的最小值为，求实数的值． 49．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若,存在,使得,求实数的取值范围． 50．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数 （1）当时，求函数的最小值； （2）若函数的最小值为，求实数的值. 【经典计算题六 根据函数是幂函数求参数值】 51．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 52．（24-25高一上·江西九江·阶段练习）已知幂函数的图像关于轴对称. (1)求实数的值； (2)设函数，求的定义域和单调递增区间. 53．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知幂函数为偶函数． (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，判断函数在区间的单调性并根据定义证明． 54．（23-24高一·全国·课后作业）已知幂函数，且在区间上单调递减， (1)求的解析式及定义域； (2)设函数，求证：在上单调递减． 55．（23-24高一上·浙江·期中）已知幂函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求函数的值域． 56．（24-25高一上·全国·课前预习）已知幂函数在上单调递增． (1)求的值； (2)当时，求函数的最小值． 57．（24-25高一上·全国·单元测试）已知幂函数的图象不关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增. 58．（2025高一·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的取值范围. 59．（24-25高一上·福建漳州·期末）已知幂函数在区间单调递增． (1)求的值； (2)若函数，，则是否存在实数，使得的最小值为4？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 60．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知幂函数的图像关于轴对称. (1)求的解析式； (2)若函数在区间内具有单调性，求实数的取值范围； (3)用单调性定义证明函数在区间上单调递增. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 函数60道计算题专项训练（6大题型） 题型一 求函数值 题型二 求分段函数解析式或求函数的值 题型三 根据函数的单调性求参数值 题型四 利用函数单调性求最值或值域 题型五 根据函数的最值求参数 题型六 根据函数是幂函数求参数值 【经典计算题一 求函数值】 1．（24-25高一·全国·课后作业）已知，， 分别求、、的值； 求的值． 【答案】；；；． 【分析】分别代入求值即可； 代入求值即可. 【详解】解： ； ； . . 【点睛】本题考查分段函数求值问题，考查分析问题能力，属于中档题. 2．（23-24高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)结合已知条件直接求函数值即可；(2)分别写出和，然后求二者之和即可；(3)结合(1)(2)中结论即可求解. 【详解】（1）由题意，. （2）由题意可知，，， 从而. （3）原式， 即的值为. 3．（24-25高一上·内蒙古通辽·期中）已知函数，. （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）1；（2）． 【分析】(1)直接将a和 代入解析式进行化简求和即可；（2）根据第一问可得到，故，又因为即可得到结果. 【详解】（1）由于， 所以． （2）方法一：因为，，， 所以． 方法二：由（1）知， 从而， 故． 而， 所以． 4．（24-25高一上·四川·期中）已知函数. (1)求的值; (2)计算和，猜想的值并加以证明. 【答案】(1) (2)，，证明见解析 【分析】（1）先求，再求即可； （2）先计算和，再猜想的值，并代入计算的值即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以， ， 猜想 证明： 5．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取都为时，代入题中关系式即可证明； （2）令，分析可得，进而可求，令，分析可得，整理得，即可得结果. 【详解】（1）因为， 取都为时，所以. （2）令，则，可得或， 当时，令，则，即与矛盾， 所以， 因为， 令，则，可得， 令，则， 即， 即， 可得， 用代可得， 可得，即， 所以. 6．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数对任意的实数，，都有成立. (1)求，的值; (2)求证：（）; (3)若，（，均为常数），求的值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）取，，代入计算得到答案. （2），根据得到证明. （3）计算，，根据，得到答案. 【详解】（1）令，则，故. 令，则，故. （2），，又， 故（）. （3）， ， 故. 7．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数 （1）求函数的定义域； （2）求的值； （3）求的值（其中且）. 【答案】（1）且；（2）；（3） 【分析】（1）要使函数有意义，则，由此能求出函数的定义域（2）由函数，能求出的值（3）由函数，能求出的值. 【详解】（1）要使函数有意义 则即且， ∴函数的定义域为且（区间表示也可以） （2）∵函数， ∴ ∴ （3）∵函数，且， ∴. 8．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意实数，都有求．其中代表不超过的最大整数． 【答案】1650 【分析】赋值得到，，从而得到当时，，计算出出答案. 【详解】，故， 取， 取， 取， 取，则． 所以， 当时，，当时，， 当时，，……，当时，， 于是． 9．（22-23高一·全国·课堂例题）已知函数对任意正实数，，都有． (1)求的值； (2)若，（，为常数），求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令,代入求解即可； （2）因为,则, 再次利用求解即可. 【详解】（1）令，，得，解得． （2）因为，所以 ． 10．（2024·上海青浦·一模）记号[x]表示不超过实数x的最大整数，若，则的值为多少 【答案】901 【分析】令，分别求出时，两个函数的值，相加可得答案． 【详解】解：令， 则 【点睛】本题考查的知识点是函数求值，运算量大，属于难题． 【经典计算题二 求分段函数解析式或求函数的值】 11．（23-24高一上·四川·阶段练习）如图，等腰梯形的底角为，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，试求函数的解析式.     【答案】. 【解析】分类讨论，将的范围分为：、、、，每种情况分别计算出的表达式，最后整合到一起. 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，. 【点睛】思路点睛：求解分段函数解析式的一般步骤： （1）根据题意要求，将定义域分为合适的若干段； （2）针对每一段定义域写出符合要求的函数解析式； （3）将函数用大括号整合到一起，并保证定义域不重不漏. 12．（23-24高一上·陕西延安·期中）如图所示，函数的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为，，. （1）求的值； （2）求函数的解析式. 【答案】（1）4；（2）. 【解析】（1）可以直接观察图象得出答案； （2）由点的坐标可以分别求出线段AB和BC所在的函数解析式，可得的解析式. 【详解】（1）由 图象得. （2）当时，设函数，代入，， 得， ，， 设函数为 ， 当时，代入，， 得，， ， 综上，. 【点睛】本题主要考查了由图象求函数值及函数解析式，由两点坐标分别求出一次函数解析式，再转化为分段函数解析式形式表示，注意的范围. 13．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数，，求与的解析式. 【答案】，. 【分析】分和两种情况讨论，结合函数和函数的解析式可得函数的解析式；分和两种情况讨论，结合函数和函数的解析式可得函数的解析式. 【详解】，. 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，得，则； 当时，得，则. 综上所述，，. 【点睛】本题考查复合函数解析式的求解，要注意对分段函数的定义域进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题. 14．（23-24高一·全国·课后作业）矩形球台中，，，小球以每秒的速度由射出与成角前进，碰到上的点后又折回与成角前进，到达后，沿回到，设小球从射出经秒后，的面积为，求与的关系式． 【答案】 【分析】根据题干画出相应图象，结合图象可知，，求出的大小，进而对分类讨论，得出相应解析式即可. 【详解】解：根据题意，画出如下图象： 由题意可知，设，则， 则，即，解得或. 令，则， , . 当小球在上，即时，如图所示： 过点作， ，则根据，得， 则的面积为. 当小球在上，即时，如图所示： 过点作， ，则根据，得. 则. 所以的面积为. 当小球在上，即时，如图所示： ， 则. 所以的面积为. 综上所述，与的关系式为. 【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查分析问题能力，属于中档题. 15．（24-25高一上·上海杨浦·期中）定义实数间的计算法则如下： （1）计算 （2）对的任意实数，判断等式是否恒成立，并说明理由： （3）写出函数的解析式，其中并求其值域. 【答案】（1）3     （2）对的任意实数，等式不是恒成立.  证明见解析          （3） ，当时，函数的值域为 【分析】（1）先求出，再求出的值即可； （2）分别求出和的值，判断即可； （3）分别求出和代入求出即可． 【详解】（1）由，则 则. （2）对的任意实数，等式不是恒成立. 由有，，则 ，则 若，则 若，则 所以对的任意实数，等式不是恒成立. (3) 由，所以 当时，， 当时，， 所以. 当时，，又当时，. 所以当时，函数的值域为 【点睛】本题考查了新定义问题，考查了函数解析式的求法，是一道中档题． 16．（23-24高一上·内蒙古包头·期末）如图，是等腰直角三角形，，且直角边长为，记位于直线左侧的图形面积为，试求函数的解析式. 【答案】 【分析】分、和三种情况讨论，当时，直线左边为直角边长为的等腰直角三角形；当时，由的面积减去直角边长为的等腰直角三角形面积得出；当时，直线左边为.综合可得出函数的解析式. 【详解】等腰直角三角形中，，且直角边长为，所以斜边， 当时，设直线与、分别交于点、，则， ； 当时，设直线与、分别交于点、，则， . 当时，. 综上所述，. 【点睛】本题考查分段函数解析式的求解，解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，注意处理好各段的端点，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 17．（2024高一·全国·专题练习）已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0，1]上有表达式f(x)＝x2. (1)求f(－1)，f(1.5)； (2)写出f(x)在区间[－2，2]上的表达式． 【答案】(1) f(－1)＝0，f(1.5)＝－.(2) 【分析】（1）利用，进行赋值，即可求得的值； （2）设，利用在区间上有表达式，，可求函数解析式. 【详解】(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0， f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－. (2)当时，f(x)＝x2； 当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)2； 当x∈[－1，0)时，， f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2； 当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1，0)， f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2. 所以 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解以及函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有根据题意利用赋值法求函数值，利用题中所给的条件，结合式子的特征，求函数解析式，属于中档题目. 18．（23-24高一上·广东汕头·期中）设函数，其中为常数且.新定义：若满足，但，则称为的回旋点. （1）当时，分别求和的值； （2）当时，求函数的解析式，并求出回旋点； （3）证明函数在有且仅有两个回旋点，并求出回旋点. 【答案】（1）， （2）；是的回旋点（3）见解析，，. 【分析】（1）利用函数解析式即可求出和的值； （2）由得出，讨论和时，的解析式，即可得出当时，函数的解析式；再根据题设中回旋点的定义，分段讨论，得出回旋点； （3）将分成和两种情况进行讨论，得出内的回旋点，结合（2）中得出的内的回旋点，即可证明函数在有且仅有两个回旋点. 【详解】解：（1）当时， ∴ （2）中时，值域也是 又， 由，得 ∴当时， 同理，当时， 当时， 当，由得 ，故不是的回旋点. 当时， 由得 是的回旋点 （3）当时，由解得 由于，故不是的回旋点； 当时由解得 因 故是的回旋点； 因此，函数有且仅有两个回旋点，，. 【点睛】本题主要考查了分段函数已知自变量求函数值以及求分段函数的解析式，属于较难题. 19．（23-24高一上·上海·课后作业）如图，半径为x的圆O在边长为4的正方形内与正方形的一边相切并滚动一周后，圆O没有通过区域的面积为S. （1）试写出S关于x的函数解析式； （2）当x取何值时，S有最小值，并求出该最小值. 【答案】（1）（2）当时，. 【分析】（1）分和两种情况，结合图形即可求解.（2）分段函数求最小值时，需先求出各段的最小值，然后取其最小的作为函数在其定义域上的最小值即可. 【详解】解： （1）时， +由线段、线段以及弧线围成的图形面积的4倍，四边形为正方形且其边长为， ， 时，正方形的面积变为0，只有由线段、线段以及弧线围成的图形面积的4倍，， 综合以上， （2）时， ，此时最小且 ，递增，时，最小且， ， 当时，. 【点睛】考查求分段函数的解析式及其最小值，解答的关键在于读懂题意转化成数学问题；难题. 20．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数是的反函数. （1）当时，求函数的最小值的函数表达式； （2）若是定义在上的奇函数，在（1）的条件下，当时，，求的解析式，并画出的图象. 【答案】（1）（2），图见解析 【分析】（1），化简得到，设，，，讨论，，三种情况分别计算得到答案. （2）时，，再利用奇函数得到，画出函数图像得到答案. 【详解】（1）由题意得.       则， 令，因为，所以    所以，其对称轴为. ①当时，在上单调递增，    ②当时， ③当时，在上单调递减，   故   （2）由（1）得，当时，    时，，所以； 因为是奇函数，所以，即. 所以时，.   又，所以   图象如图       【点睛】本题考查了函数解析式，函数图像，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 【经典计算题三 根据函数的单调性求参数值】 21．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数在定义域上单调函数，且，求函数. 【答案】或 【分析】设，当时得，当时得，进而可得，进而可得. 【详解】设，将代入中得， 故，则， 将代入中得， 得，得， 因函数在定义域上单调函数，， 故，解得， 即. 22．（23-24高一上·江苏镇江·期中）设是定义在上的函数，且对任意实数，有. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法求解即可； （2）由题意可得，设，结合和二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）由， 令，则， 则， 所以. （2）由， 设， 当，即时，恒成立， 此时，对称轴为， 则，即，所以； 当，即或时， 此时有或， 解得或，所以或. 综上所述，实数的取值范围为. 23．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）考虑函数的开口方向和对称轴，建立不等式，解出即可； （2）分类讨论的值，根据开口方向和根的大小解出即可. 【详解】（1）当时，的图像开口向上且对称轴方程为， 要使在上单调递减，需满足， 解得，所以的取值范围为. （2）不等式，即 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 不等式的解为； 当时，不等式化为， 若，即时，不等式的解为或， 若，即时，不等式的解为， 若，即时，不等式的解为或， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解为， 当时，不等式的解集为. 24．（2023高三·全国·专题练习）设是定义在上的非递减函数，且，，求． 【答案】 【详解】解法一：由题意，分别令，，， 得，，． 故，，，…，． ∴，，，…，． ∵是定义在上的非递减函数，且， ∴． 解法二：∵题中的是康托尔函数，容易算出，，， 从而当时，．了解这一背景，计算时就心中有数了． 利用将转化进入， 即， 这是∵． 解法三：利用三进制．∵， 经过步骤2变为0．0000001，经过步骤3，仍为0．0000001，以二进制读取， 即为．∴． 25．（23-24高一·全国·课后作业）已知 . (1)若，试证明在内单调递增； (2)若且在内单调递减，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据定义法证明函数单调性的基本步骤，逐步进行证明即可； （2）作差通分，根据已知可将问题转化为恒成立问题，分析即可得a取值范围. 【详解】（1）证明：设， 则. ∵，∴，， ∴，即， ∴在内单调递增. （2）设，则 . ∵，， ∴， ∴要使，只需恒成立， 若，则当时，， 当时，， ∴. 综上所述，a的取值范围为. 26．（22-23高一上·海南·期中）已知定义域为的函数． (1)当时，试讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增 (2) 【分析】（1）利用函数的单调性定义证明； （2）利用函数的单调性定义求解. 【详解】（1）解：当时，在上单调递减，在上单调递增． 证明如下： ，， 则， ， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 所以在上单调递减． 同理可得在上单调递增． （2）∵函数在区间上单调递减， ∴，， 则， ， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 由，的任意性，可得， 故． 27．（22-23高一上·陕西·期中）已知函数． (1)求的解析式； (2)若在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用换元法求解析式；（2）根据单调性列不等式即可求解. 【详解】（1）由函数，可设，则， 所以，即. （2）的对称轴为. 要使在上单调递减， 只需，解得：. 即实数a的取值范围为. 28．（23-24高一·湖南·课后作业）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据定义法证明函数的单调性，设任意的且，即可得到，依题意，即可得到，从而得到，求出的取值范围，即可得解； 【详解】解：设任意的且，则 因为函数在区间上是减函数，所以，即，即，又且，所以，，所以，所以，即，所以，即； 29．（23-24高一·全国·课后作业）已知f（x）（x≠a）． (1)若a＝2，试证明f（x）在（﹣∞，2）上单调递减； (2)若a＞0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）当时，，设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （2）在上单调递减，根据反比例函数的性质及函数图像的平移可求． 【详解】（1）当时，， 设时，有，， ，故， 故在上单调递减． （2）在上单调递减， 根据反比例函数的性质及函数图像的平移得，，即． 故实数a的取值范围为． 30．（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 【答案】(1) (2) 在区间上单调递增，证明见解析；(3) 【分析】（1）奇函数，，再代入易求解． （2）根据单调性定义，假设，判断定义即可． （3）首先考虑和在定义域内，再通过奇函数变化后根据单调性解抽象函数不等式即可． 【详解】（1）为定义在上的奇函数 在上恒成立 又, 检验：当时， 恒成立 为奇函数 （2）判断：在区间上单调递增 证明：对任意 ， 又， 在区间上单调递增 （3）为定义在上的奇函数 原不等式等价于不等式 为定义在上的奇函数 原不等式等价于不等式 又区间上单调递增 ,或 综上 【点睛】此题考查函数单调性定义，利用奇偶性，单调性解抽象函数不等式，属于较难题目． 【经典计算题四 利用函数单调性求最值或值域】 31．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最大值和最小值． 【答案】， 【分析】将函数变形换元，然后利用函数单调性求解即可. 【详解】因为，则， 令，因为，所以， 令， 取，且， 由 ， 因为，且， 所以， 所以且， 所以， 所以在上为减函数， 则，， 所以，又在上单调递减 所以，． 32．（2024高三·全国·专题练习）已知，求函数的最小值. 【答案】 【分析】可将原式变形分离常数后求最小值，需要注意根据的取值进行分类讨论. 【详解】由已知得. 当时，， 当且仅当时等号成立，∴. 当时，令，. ∵在区间上为增函数，∴， 当且仅当，即时等号成立，∴. 综上，. 33．（2024高三·全国·专题练习）（1）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． （2）求出函数的最值． 【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为，最小值为2 【分析】（1）根据题意，任取，令，利用作差法及单调性的定义分析证明； （2）根据（1）中可知：在区间上单调递增，可证在区间上单调递减，根据单调性分析可得最值． 【详解】（1）证明：任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递增； （2）由（1）可知：在区间上单调递增， 任取，令，则 ， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递减， 因为，且， 可知函数的最大值为，最小值为2． 34．（24-25高一上·天津南开·期中）已知函数，，. (1)若，写出函数的单调区间，并指出单调性； (2)若函数在上单调，且存在使成立，求的取值范围： (3)当时，求函数的最大值的表达式. 【答案】(1)单调区间为，；在上单调递增，上单调递减 (2) (3) 【分析】（1）根据条件，得，利用函数单调性的定义，即可求解； （2）利用（1）中结果，结合条件得，且，即可求解； （3）根据条件得，结合（1）中结果及基本函数的性质，对分类讨论，即可求解. 【详解】（1）当时，， 任取，且，则， 因为，且，则， 当时，，得到，即， 当时，，得到，即， 所以的单调区间为，；在上单调递增，上单调递减. （2）当时，. 易知的单调区间与的单调区间一致， 故由（1）知在上单调递增，上单调递减， 所以当时，在上单调递增， 又存在使成立， 所以，即，解得， 所以的取值范围为. （3），易知在区间上单调递增， ①当时，在单调递增，在上单调递增， 则； ②当时，在单调递增，单调递减，上单调递增， 因为，， （i）当时，即时，即时，； （ii）当时，即时，即时，； 综上所述，. 35．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数. (1)判断函数在的单调性，并用定义证明； (2)求函数在的值域. 【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）判断出函数在上单调递减，任取、且，作差，变形并判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （2）分析函数在上单调性，即可求出该函数在区间上的值域. 【详解】（1）函数在上单调递减，证明如下： 任取、且， 则 ， 因为，则，，， 因为，，则，可得， 所以，即， 所以函数在上是减函数. （2）任取、，且，即，则， ，可得，且，，， 所以，即， 所以函数在上为增函数， 故当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，，所以，， 因此函数在的值域为. 36．（24-25高一上·湖南郴州·期中）已知函数 (1)求函数的定义域. (2)求函数的单调区间. (3)当时，求函数的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）结合分式成立的条件即可求出函数的定义域； （2）利用单调性的定义进行证明即可； （3）结合（2）的单调性求时，函数的最小值. 【详解】（1）要使函数有意义，则， 即函数的定义域为. （2），令，则， 则， 当时，，则，故函数在上单调递增； 当时，，则，故函数在上单调递减； 当时，，则，故函数在上单调递减； 当时，，则，故函数在上单调递增； 综上知，的增区间为和，的减区间为和. （3）由（2）知，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 因此时，函数取得最小值为. 37．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，. (1)若，试判断的单调性并用定义法证明； (2)若，求函数的最大值的表达式. 【答案】(1)在区间上单调递增； (2) 【分析】（1）利用定义法证明函数单调性； （2）先化简函数，再利用单调性分别求在区间和上的最大值，取较大者即可.由于在区间上单调递增，在区间上单调递减，需对区间中的分类讨论. 【详解】（1）在区间上单调递增，证明如下： 若，因为，所以， ，且， 有. 因为，且，所以，. 于是，即. 故在区间上单调递增； （2）若，则， 先判断在上的单调性， 由于， 当，且时，，，所以， 即，故在区间上单调递增； 当，且时，，，所以， 即，故在区间上单调递减； 综上，在区间上单调递增，在区间上单调递减. ①当时，由（1）知，在区间上单调递增，所以； ②当时， （i）若，则在上单调递增，所以， 所以函数的最大值； （ii）若，则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以函数的最大值； （iii）若，则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以函数的最大值； 综上. 38．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)当，求函数的值域. (2)若任意，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明函数在上单调递增，即可求解最值得解， （2）分离参数，即可根据函数的单调性求解最值求解. 【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则，， 则， ，即， 函数是上的增函数，因此函数在上单调递增， 又故值域为 （2）由任意，使得恒成立可得对任意，恒成立， 由（1）的证明过程可推导函数在单调递减，故最小值为，故 39．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，其中常数. (1)若函数分别在区间，上单调，求的取值范围； (2)当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，． 【分析】（1）结合勾形函数的性质、绝对值的定义只要在上的最小值不小于0即可得； （2）作出函数的图象得4个单调区间，首先确定，以及区间的两个端点都不在区间上，在时有，，再由求出的范围，然后再分四个区间讨论确定范围． 【详解】（1）设，∵，∴函数分别在区间，上单调且， 要使函数分别在区间，上单调，则只需； （2）如图，可知，在、、、均为单调函数， 显然，， 若，则，，则， 若，则，令， ，因此， （Ⅰ）当时，在上单调递减， 则两式相除整理得， ∵∴上式不成立即，无解，无取值. （Ⅱ）当时，在上单调递增， 则，即在有两个不等实根， 而令则， ，，由二次函数性质可得：， （Ⅲ）当时，在上单调递减， 则，两式相除整理得 ∴，∴，∴， 由得， 则关于的函数是单调的，而应有两个不同的解，此时无解. （Ⅳ）当时，在上单调递增， 则，两式相除得，整理得， 又，，，即，因此不成立，所以无取值， 综上，的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的单调性，由于含有绝对值符号，因此作出函数图象有助于问题的求解，通过图象确定单调性，确定，否定单调区间的三个端点不属于区间，从而很形象地指出根据四个单调区间分类讨论． 40．（22-23高一上·河北·期中）已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)设函数，若，求a的取值范围． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2)[－,－2] 【分析】（1）在上单调递减，根据单调性的定义设，作差判断符号，即可得单调性； （2）先确定函数在上的值域，再根据，确定与值域的关系，即可得a的取值范围． 【详解】（1）解：在上单调递减，理由如下： 证明：设，则 ． ∵，∴∴ ∴，即， ∴在上单调递减． （2）解：当时，同（1）可得为增函数． 若，则， ∵，∴， 则在上的值域为. 所以 若，则，则． 依题意可得． 则,解得，故a的取值范围为[－,－2]． 【经典计算题五 根据函数的最值求参数】 41．（23-24高一上·浙江·期中）设函数，其中. (1)判断并用定义证明函数的单调性； (2)若存在区间，函数在上的值域恰好为，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】(1)根据增减函数的定义证明即可； (2)由(1)可得在R上为增函数，根据题意可得，整理化简并利用换元法得出方程有两个不等的正根，结合一元二次方程根的判别式计算即可. 【详解】（1）因为，所以，所以函数的定义域为R， ，设， 则， 由得，又，， 所以，所以， 即，所以函数在R上为增函数； （2）由(1)知函数在R上为增函数，而在的值域为， 所以， 即， 则方程有两个不等的根， 设，则方程有两个不等的正根， 所以，解得， 即m的取值范围为 42．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知为一个给定的实数，函数. （1）若为正实数，利用单调性的定义证明：“"是“函数在区间上是严格减函数”的充要条件； （2）若函数，无最小值，求实数的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】（1）由得，任取，且，再作差判断其正负，然后利用充要条件的定义证明. （2）根据单调性的定义，作差有，由，则，由，则，根据，然后分，讨论的正负即可. 【详解】（1）由得， 任取，且则： ， 因为，若， 所以， 又，则， 所以， 所以区间上是严格减函数，反之也成立， 所以“"是“函数在区间上是严格减函数”的充要条件； （2）任取，且则： ， 因为， 所以， 又，则， 当时，当时，，y单调递减，当时，y单调递增， 所以当时，函数取得最小值，不符合题意； 当时，则在上恒成立，所以成立， 所以函数在上单调递增，无最小值， 所以实数的取值范围是. 43．（24-25高一上·天津河西·开学考试）已知函数， （1）若，使得成立，求实数的取值范围； （2）若，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）化简可以判断其单调性，的取值范围即为在的值域； （2）先求出，则，，使得，可得，即可解出. 【详解】（1）， 当时，函数单调递增，则， 若，使成立， 则， 故实数的取值范围为； （2），若，则为增函数， 当时，， 若使得， 则，解得， 故实数的取值范围为. 44．（23-24高一·全国·课后作业）函数， （1）求的最小值； （2）若的最大值为，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）利用二次函数单调性质可得函数在的最小值; （2）当 时.函数在单减，；当时.函数在先减后增，所以代入解析式可得. 【详解】（1）,对称轴， 当时.函数在先减后增，所以 当时.函数在单减，所以 （2）当时.函数在单减，，解得 当时.函数在先减后增，所以 当时不满足， 当时，解得 ， 综上有或. 45．（23-24高二下·浙江温州·期中）已知函数，，. （1）若时，试判断的单调性并写出单调区间； （2）当的最大值是2时，求a的值； （3）当时，求函数的最大值的表达式. 【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）或；（3）. 【分析】（1）根据的取值范围去绝对值，根据二次函数的性质可得单调区间； （2）由得，去里面的绝对值，令，根据绝对值函数的性质可得的值； （3）去里面的绝对值，得，令，，分为和两种情形，结合绝对值函数的性质得最值. 【详解】（1）当时，∵， ∴. 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由题意知， ∵，∴，得. ∴ 令，∵，∴. 即在上有最大值为2 则或，得或. （3）∵且 则 令， 则， 若，即时， 若，即时， 综上所述，. 46．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）已知函数的定义域为R，且的图像过点. （1）求实数b的值； （2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； （3）是否存在实数a，使函数在R上的最大值为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由？ 【答案】（1）；（2）；（3）存在，. 【分析】（1）由图象变换可得f（0）＝log4b＝0，解得b； （2）可令t，可得t＞0，且函数t在[1，+∞）上单调递增，求出导数，由导数不小于0，解不等式即可得到a的范围； （3）假设存在实数a，使函数f（x）在R上的最大值为1﹣log43，即有t在R上的最大值为．将函数t整理为关于x的方程，运用判别式非负，结合二次方程的根的含义，代入，解方程即可得到a的值，检验即可得到所求值． 【详解】（1）y＝f（x+1）的图象过点A（﹣1，0）， 可得y＝f（x）的图象过点（0，0）， 即有f（0）＝log4b＝0，解得b＝1； （2）可令t， 可得t＞0，且函数t在[1，+∞）上单调递增， 由导数t′ 0恒成立， 由于x≥1，可得a﹣1≤0，即a≤1， 当a＝1时，函数t＝1为常数，舍去， 故a＜1； （3）假设存在实数a，使函数f（x）在R上的最大值为1﹣log43， 即有t在R上的最大值为． 即有（t﹣1）x2+（t﹣a）x+t﹣1＝0 由△＝（t﹣a）2﹣4（t﹣1）2≥0， 即有3t2﹣（8﹣2a）t﹣（a2﹣4）≤0， 由假设可得3（8﹣2a）（a2﹣4）＝0， 解得a＝2或， 当a＝2时，f（x）＝log4的定义域不为R，舍去， 则存在实数a为，使函数f（x）在R上的最大值为1﹣log43． 47．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知函数 （1）请用单调性的定义证明在区间上的单调性； （2）若在区间上恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见详解；(2). 【分析】(1)直接利用定义法证明函数在上的单调性即可； (2)根据的单调性求解出在上的最小值，根据与的关系求解出的取值范围. 【详解】(1)任取， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上单调递增； (2)因为函数在上单调递增，所以， 又因为在区间上恒成立，所以， 所以，即. 48．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数． （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数在上的最小值为，求实数的值． 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）将函数的解析式表示为分段函数的形式，然后分、、三种情况讨论，结合函数图象，得出二次函数对称轴与区间的位置关系，由此得出关于实数的不等式，解出即可； （2）分析函数在区间上的单调性，得出函数在该区间上的最小值关于的表达式，再由最小值为，求出实数的值. 【详解】（1）. ①当时，且当时，，此时函数在上递单调递增，可取； ②当时，，且当时，， 由于二次函数开口向上，对称轴为直线， 如图可知，函数在上单调递增，可取； ③当时，如图可知，若函数在上单调递增， 则或，得或． 综上所述，实数的取值范围是；             图1                  图2 （2）①当时，函数在上单调递增， 所以，即， 解得（舍）或； ②当时，函数在上单调递增， 所以，即，（均舍）； ③当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，. 当时，，所以，即， 得，均舍； 当时，，则，即， 得可取； ④当时，则，此时，函数在上单调递减，在上单调递增，，得，均舍． 综上，或． 49．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若,存在,使得,求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) . 【分析】(1)根据的不同取值,结合绝对值的性质,分类讨论求出函数的单调区间； (2) 求出二次函数的对称轴,根据对称轴和所给的区间的位置进行分类讨论,即可求出实数的取值范围． 【详解】(1)当时, ,因此函数在上单调递增,在上单调递减； 当时, , 在区间上单调递增,在区间上单调递减； 当时, , 在区间上单调递增,在区间上单调递减； (2)二次函数的对称轴为：. ①当时,二次函数是单调减函数,因此有： , 所以一元二次方程在区间上有两不等根,则有 ； ②当时,二次函数是单调增函数,因此有： ,所以可以看成一元二次方程两根,则，有； ③当时, ,所以由 函数的最大值是中的一个值, . ①若时,有,此时,所以或 (i)若时, (ii)若,由（舍）： ②若时,有,此时, 因此有, 根据 综上所述：实数的取值范围是. 50．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数 （1）当时，求函数的最小值； （2）若函数的最小值为，求实数的值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由，根据题意得到，配方整理，即可得出最值； （2）先令，分别讨论，两种情况，根据函数最小值，即可求出结果. 【详解】（1），， 令，，恒成立， ，； （2）令，则，且开口向上， （i）当，即时，， ，，不满足题意； （ii）当，或时，令，，所以时，； 时，； ①当时，，，，不满足题意； ②当时，，为增函数，， 或（舍）综上所述：. 【经典计算题六 根据函数是幂函数求参数值】 51．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值； (2)若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）由幂函数的性质即可列方程求解； （2）由题意得，由对勾函数性质可判断在上单调递增，再结合定义法证明即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或， 因为在上单调递增，所以，所以，则. （2）由（1）可知，则，故在上单调递增. 证明如下： 任取，，且， 则. 因为，所以. 因为，，所以，所以， 所以，即， 所以，即在上单调递增. 52．（24-25高一上·江西九江·阶段练习）已知幂函数的图像关于轴对称. (1)求实数的值； (2)设函数，求的定义域和单调递增区间. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由题知，进而解方程并根据图像关于y轴对称求解即可； （2）由（1）可得，求出定义域结合复合函数的单调性可得解. 【详解】（1）由，解得或， 又因为的图像关于y轴对称，所以为偶函数， 所以为偶数，所以， （2）由（1）得，所以， 由或， 所以的定义域为， 令，则， 根据复合函数的单调性可得，单调递增区间即是时单调递增区间， 即且，所以， 所以的单调递增区间是. 53．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知幂函数为偶函数． (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，判断函数在区间的单调性并根据定义证明． 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求解即可； （2）根据函数单调性的定义结合作差法计算即可. 【详解】（1）由幂函数， 得，解得或， 又因为函数为偶函数， 所以， 所以； （2）由（1）得， 函数在区间上单调递增， 令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递增. 54．（23-24高一·全国·课后作业）已知幂函数，且在区间上单调递减， (1)求的解析式及定义域； (2)设函数，求证：在上单调递减． 【答案】(1)，定义域为； (2)证明见解析 【分析】（1）由幂函数的定义可得答案； （2）求出利用单调性定义证明即可 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或， 若时，在上单调递增，不满足题意， 所以，，定义域为； （2）由（1）知函数， 设，则． 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减 55．（23-24高一上·浙江·期中）已知幂函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求函数的值域． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据函数是幂函数可得，再根据函数为奇函数确定； （2）令，根据二次函数的性质可求. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或2， 当时，是偶函数，不符合题意， 当时，为奇函数，符合题意， 所以； （2），， 令，则，可得， 则， 则时，，当时，， 所以的值域为, 56．（24-25高一上·全国·课前预习）已知幂函数在上单调递增． (1)求的值； (2)当时，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得的值.（2）讨论对称轴与区间的关系，根据函数的单调性求得在上的最小值． 【详解】（1）由幂函数的定义及单调性得 解得故． （2）由（1）知，则，对称轴为直线， 当，即时，在上单调递增，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，所以． 综上所述， 57．（24-25高一上·全国·单元测试）已知幂函数的图象不关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据幂函数定义列出方程，解得m，将m的值代入检验，得出符合题意的函数解析式； （2）由（1）可知，，利用单调性的定义证明在上的单调性即可. 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或. 当时，，定义域为R，关于原点对称， 显然成立，故为奇函数，其图象关于原点对称，所以不符合题意； 当时，， 此时的定义域为，不关于原点对称， 故不是奇函数，其图象不关于原点对称，所以符合题意. 故. （2）由（1）可知，，则， 任取，，且， 则 . 因为，所以，， 则，，所以， 则， 所以， 则，即， 故在上单调递增. 58．（2025高一·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的取值范围. 【答案】或 【分析】由幂函数在上单调递减，可得且，可得m的值为1或2，再结合图象关于轴对称确定函数解析式，最后结合幂函数的单调性解出不等式求出a的取值范围即可. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得， 又，所以，当时，，当时，， 因为函数图像关于轴对称，所以是偶数，解得； 则为， 由幂函数性质得在上均为减函数， 故等价于或或， 解得或，得到的取值范围为或. 59．（24-25高一上·福建漳州·期末）已知幂函数在区间单调递增． (1)求的值； (2)若函数，，则是否存在实数，使得的最小值为4？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）结合幂函数的定义、单调性求得的值； （2）求得的解析式，对进行分类讨论，结合的最小值为4来求得的值. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或， 当时，在区间单调递减，不符合题意， 当时，在区间单调递增，符合题意， 所以． （2）由（1）函数的解析式为，函数， 即，， 函数的对称轴为， ①当，即时，则， 解得，满足题意； ②当时，即，则，无解，舍去； ③当时，即时，则，解得，不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为4． 60．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知幂函数的图像关于轴对称. (1)求的解析式； (2)若函数在区间内具有单调性，求实数的取值范围； (3)用单调性定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】(1) (2)或. (3)证明见解析 【分析】（1）由幂函数的定义得到求出的值，得到幂函数解析式； （2）由（1）得到解析式，由二次函数的图像及性质得到不等式，求出实数的取值范围； （3）用定义法判断函数单调性，在区间内任取两个值并确定大小关系，再作差，由差的正负证明函数的单调性. 【详解】（1）因为是幂函数 所以，解得或 又图像关于轴对称，所以； 所以 （2）由题知，在区间内具有单调性， ①当在区间内单调递增时，，即； ②当在区间内单调递减时，，即； 综上，实数的取值范围为或. （3）由题知，证明如下： ，令，则 因为，所以，，， 所以，即， 故，即， 所以在区间上单调递增. 学科网（北京）股份有限公司 $