专题1.7 预备知识90道计算题专项训练（9大题型）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题1.7 预备知识90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 基本不等式求积的最大值 题型二 基本不等式求和的最小值 题型三 二次与二次(或一次)的商式的最值 题型四 条件等式求最值 题型五 对勾函数求最值 题型六 求二次函数的值域或最值 题型七 解不含参数的一元二次不等式 题型八 解含有参数的一元二次不等式 题型九 由一元二次不等式的解确定参数 【经典计算题一 基本不等式求积的最大值】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有可围网长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少，可使每间虎笼面积最大？    【答案】长，宽 【分析】设每间虎笼长，宽，根据材料建立等式，利用基本不等式得出，根据等号成立的条件得到关系，联立求解方程组即可． 【详解】设每间虎笼长，宽， 则由“有可围网长的材料”，得，即． 设面积， 由于， 所以，得， 即， 且仅当时，等号成立． 解方程组 解得 所以每间虎笼设计长，宽分别为、时，面积最大为． 2．（23-24高一·全国·课后作业）已知，求： (1)的最大值； (2)的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】（1）， ∴， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为； （2）， ∴， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知为正实数，且. (1)求的最大值； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简得到，即可求解. 【详解】（1）解：因为且，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2）解：由且，可得， 所以，解得，所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值. 4．（22-23高一上·安徽阜阳·阶段练习）请用基本不等式求最值． (1)设，是满足的正数，求的最大值； (2)已知，求的最大值． 【答案】(1)50 (2) 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可； （2）根据题意可得，而，再由基本不等式即可得解． 【详解】（1）因为，，且， 所以，即,解得， 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为50. （2）因为， 所以，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为． 5．（23-24高一·全国·课后作业）已知，求的最大值及取到最大值时x的值． 【答案】最大值是，此时 【分析】变形，然后由基本不等式得最大值． 【详解】因为，所以．由基本不等式得， 当且仅当，即，时取等号， 所以，即的最大值是，此时． 6．（22-23高一上·浙江·期中）（1）已知，，求证：； （2）求最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据不等式作差法进行比较两式的平方数大小，再根据，比较根式大小； （2）可利用（1）的结论进行计算的最大值，再得出的最大值. 【详解】（1）证明：因为 所以 又因为，，所以得证．     （2）法一：由上不等式知 所以     法二：所以 当且仅当，即时等号成立. 所以 7．（22-23高一·河南新乡·阶段练习）设正数满足，且的最大值为． (1)求m； (2)求方程组的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式求解即可； （2）进行解方程组，然后利用列举法写出解集 【详解】（1）因为都为正数，且，且， 所以即（当且仅当即时，取等号）， 所以的最大值为； （2）由（1）得， 由①可得③， 将③代入②得，整理得，即， 解得或； 将代入③得；将代入③得， 所以方程组的解集为 8．（23-24高一下·全国·课后作业）在直线上求一点，使的值最大． 【答案】P的坐标为时，S取得最大值. 【分析】首先对目标函数进行分析，然后利用均值不等式求解即可. 【详解】由直线方程的性质易知，直线过第一、二、四象限， 欲求的值最大，易知，当最大时，在第一象限， ∴由均值不等式可知，， 即，当且仅当时，的值最大， ∴， 故答案为：P的坐标为时，S取得最大值. 9．（24-25高一上·贵州·阶段练习）如图，长方形的周长为8. (1)若点M在线段AB上运动，点N在线段BC上运动，且满足，则面积的最大值是多少? (2)沿AC折叠使点到点位置，交DC于点，请解决下面两个问题. (i)若，求AP的长； (ii)的面积是否存在最大值，若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）设，得到，再由基本不等式即可求解； （2）（i）通过及，即可求解；（ii）设，在中，求得，进而得到 ，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）当时，.设， 则，由基本不等式得， （利用一元二次函数求最值按照相应步骤给分）， 当且仅当，即时，等号成立； （2）（i）当时，， 因为，所以， 所以，设，则， 在中，有，解得，所以； （ii）设，则， 由（i）知，，在中，有， 解得， 则， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立 所以的面积最大值为. 10．（23-24高一上·江苏无锡·期中）如图， 是矩形对角线上一点，过作，，分别交、于、两点.    (1)当，时，设，找出、的关系式，求四边形面积的最大值，并指出此时P点的位置； (2)当矩形的面积为6时，四边形的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由. 【答案】(1)；点P在BD中点时，四边形面积取最大值. (2)点P在BD中点时，四边形面积取最大值 【分析】（1）根据相似三角形可得，结合基本不等式求最值； （2）利用基本不等式可得，由此可求出四边形的面积的最大值. 【详解】（1）在矩形中，，， ∴，，∵，， ∴， ，∴，                                       因为，所以，所以， 当且仅当取等号，此时点P在BD中点， 即点P在BD中点时，四边形面积取最大值. （2）由（1）可知， 因为，所以，所以， 当且仅当取等号，此时点P在BD中点， 即点P在BD中点时，四边形面积取最大值. 【经典计算题二 基本不等式求和的最小值】 11．（2024高三·全国·专题练习）求函数的最小值． 【答案】 【分析】先利用均值不等式证明，然后将函数表达式两边平方，并证明，而根据函数表达式显然有，从而可得，最后计算验证函数在时取到函数值，就能得到函数的最小值是. 【详解】首先我们有 . 然后，在函数表达式两边平方即得 ，而显然，故. 另一方面，当时，有. 所以函数的最小值是. 12．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）已知、、都是正数，求证：． （2）已知，求的最大值. （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3 【分析】（1）根据基本不等式可得，，，进而求证即可； （2）直接利用基本不等式求解即可； （3）先整理，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）证明：因为、、都是正数， 所以，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立. （2）由，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为. （3）由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3． 13．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若正数x，y满足，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式求得正确答案. （2）先化简已知条件，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）由于，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. （2）依题意，正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 14．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知正数，满足 (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)16； (2). 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）正数，，解得，当且仅当时取等号， 由且，解得， 所以当时，取得最小值16. （2）由，得，则， 于是， 当且仅当，即时取等号， 所以当，时，取得最小值. 15．（2024高一·全国·专题练习）题目将两正数积定以隐藏的形式给出.比如与的积为定值的式子有什么呢？与的积为定值的式子有什么呢？解决下面问题 (1)若，求的最小值. (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）与的积为定值的式子中分母应该含有，从而利用基本不等式，通过积定求和的最小值； （2）与的积为定值的式子中应该有，因此通过配凑，使其积为定值求和的最小值. 【详解】（1）若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为； （2）若，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 16．（2025高三·全国·专题练习）若面积为定值，求： (1)周长的最小值； (2)内切圆半径的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理和基本不等式的性质求出周长的最小值即可. （2）根据三角形面积相等列出等式，用将表示出来，然后根据周长的最小值即可求出内切圆半径的最大值. 【详解】（1）设直角三角形的两直角边为，斜边为， 则依题意得，所以. 所以的周长为. 因为，所以，当且仅当时等号成立， 此时的最小值为. 故 所以的周长最小值为. （2）设内切圆半径为，则， 所以. 由（1）知的最小值为， 所以. 17．（23-24高一上·云南昭通·期中）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值． 【答案】最大面积为， 【分析】设，根据题设条件可得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，矩形的周长为，且，则， 设，则，又为直角三角形， 所以，整理得到，则， ， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，时，取等号，满足， 故，时，取最大面积为. 18．（23-24高一上·上海黄浦·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． (1)老师请你模仿例题，研究的最小值， [提示：(，，，)]； (2)研究的最小值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿例题，结合提示证明，由此可求结论； （2）先证明，由此可求的最小值； （3）先证明，由此可求的最小值. 【详解】（1）由，结合提示可得，当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为； （2）由，， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为． （3）由，知， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取到最小值，最小值为． 19．（24-25高一上·上海宝山·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求，的最小值；解：利用平均值不等式，得到，于是，且等号当且仅当时成立；所以当且仅当时取到最小值； (1)请你模仿例题，研究，的最小值；（提示：） (2)研究，的最小值； (3)求出当时，，的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据例题，将变形为，再利用求解即可； （2）根据例题，将变形为，再利用求解即可； （3）根据例题，将变形为，再利用求解即可； 【详解】（1）因为，模仿例题，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. （2）因为，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. （3）因为，且，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. 20．（24-25高一上·湖北武汉·期中）（1）对于正实数求证:; （2）已知函数，利用（1）的结论，求函数的最小值，并求出此时对应的的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）最小值，此时 【分析】（1）作差，结合基本不等式求解即可； （2）由条件可得，再化为，结合（1）的结论求解即可； 【详解】（1），① 因为于正实数所以，所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以①，即. （2）由题意可得，解得， ， 因为，所以， 故，即， 由（1）可得，， 当且仅当即时取等号， 又，所以，此时. 【经典计算题三 二次与二次(或一次)的商式的最值】 21．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当， 即时，等号成立，故的最大值为． （2）因为，所以． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，函数取得最小值. 22．（2022高三·全国·专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）. 【答案】（1）3；（2）10. 【分析】（1）化简整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值. （2）令，整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取等号） 的最小值为3； （2）令，则， 当且仅当即t=3时取等号 y的最小值为10 23．（2025高一·全国·专题练习）已知，求的最大值； 【答案】 【解析】，然后利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以 所以 当且仅当，即时取等号， ∴的最大值为 【点睛】运用基本不等式求解问题时应满足“一正二定三相等”. 24．（2024高一·全国·专题练习）设，求的最大值. 【答案】1 【解析】，然后利用基本不等式求解. 【详解】∵，∴∴ 所以 当且仅当，即时等号成立 所以的最大值为 【点睛】运用基本不等式求解问题时应满足“一正二定三相等”. 25．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值． 【答案】 【分析】拆分分母构造均值不等式，匹配系数求解待定参数 ，最后利用均值不等式的放缩即可求解. 【详解】， 当时取等号. 为将化为常数，则需， 解得， 所以， 故的最大值为． 26．（23-24高一·全国·课后作业）（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）7；（2）5． 【分析】（1）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值； （2）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值. 【详解】（1）， 当且仅当时，等号成立，即． （2）， 当且仅当时，等号成立，即． 27．（2024高一·上海·专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）3；（2）；（3）10. 【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式（对勾函数）的结构，或利用基本不等式（1,、2）或利用函数单调性求最值. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； （2）令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值； 即y的最小值为 （3）令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=” 即y的最小值为10 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 28．（23-24高三上·江苏常州·期末）求函数的最小值. 【答案】最小值为2. 【解析】先求出函数的定义域，再将函数化简到，然后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】函数的定义域为，. ， 当且仅当，即时取到“”. 所以当时，函数的最小值为2. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 29．（23-24高一·全国·课后作业）（1）求当时，的最小值； （2）求当时，的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求出该函数的最小值； （2）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求出该函数的最小值. 【详解】（1）当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，函数的最小值为； （2）， 当时，，所以， 当且仅当，即在时等号成立， 所以，当时，的最小值为. 【点睛】利用基本不等式求最值时，要观察题中代数式的形式，若不能直接利用基本不等式，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能利用基本不等式的条件. 30．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）（1）求函数的最小值及此时的值； （2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值. 【答案】（1）函数的最小值为5，此时；（2）函数的最小值为5，此时. 【解析】（1）整理，利用基本不等式求解即可；（2）令，将代入整理得，利用基本不等式求解即可； 【详解】（1）∵， ∴， 当且仅当即时，等号成立. 故函数的最小值为5，此时； （2）令， 将代入得： ， ∵， ∴， 当且仅当， 即， 即时，等号成立. 故函数的最小值为5，此时. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题. 【经典计算题四 条件等式求最值】 31．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知x，y均为正数． (1)若，求xy的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用重要不等式即可求得xy的最大值； （2）利用重要不等式即可求得的最小值． 【详解】（1）x，y均为正数，则由，可得， 即，当且仅当时等号成立. 故xy的最大值为； （2）x，y均为正数， 则， 当且仅当时等号成立. 故的最小值为． 32．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）解答下列问题 (1)设，比较与的大小; (2)若实数满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差、配方法即可得出与的大小; （2）把转化为，利用基本不等式，得，解不等式即得. 【详解】（1）因为， 所以． （2）∵，又∵，∴，令，则， ∴，即， 当且仅当时，即，取等号， ∴的取值范围是． 33．（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义为个实数中的最小数，为个实数中的最大数. (1)设，都是正实数，且，求； (2)设，都是正实数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）设出后由基本不等式进行求解. 【详解】（1）由题意得，得，即，当且仅当时等号成立， 故； （2）设，由题意得，， 则，得， 当且仅当，即时等号同时成立. 故的最小值为. 34．（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）已知． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据已知先求的最大值，然后对目标式通分，结合不等式性质可得； （2）先将目标式平方，然后根据重要不等式可得. 【详解】（1），，， ， ，当且仅当时等号成立， 的最小值为8. （2）因为，， 所以 . 所以，当且仅当，即时取等号． 所以的最大值为. 35．（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）已知实数，，，求 (1)的取值范围； (2)的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】对于（1），通过，得到，解出关于的不等式的解，从而得到的取值范围；对于（2），可以将通分，得到，通过求出的范围，从而得到的取值范围. 【详解】（1）由基本不等式的定义可知，又 即，解得或（舍去）. 所以的取值范围为 （2）由基本不等式的定义可知，又 即，解得，即，当且仅当时，等号成立， 所以，因为，所以 所以， 所以的取值范围为 36．（2025高一·全国·专题练习）已知实数，，满足，求的最小值． 【答案】 【分析】解法1：利用“均值换元法设，，，其中，代入化简即可求解； 解法2：由即可求解； 解法3：直接由均值不等式求解即可. 【详解】解法1：由想到“均值换元法”，于是引入新的参数， 设，，，其中． ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是． 解法2：由， 得， 即，当且仅当时等号成立, 即的最小值是． 解法3：由均值不等式有， 所以，当且仅当时等号成立．即的最小值是． 37．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式放缩求解； （2）把不等式右边的式子变形为， 再利用“1”的代换，凑出积为定值，从而求得最小值． 【详解】（1），均为正数，且， ， ，， （当且仅当时取“”）， 的最小值为； （2） ， 当且仅当，时等号成立， 故不等式. 38．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若，，且，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由条件，结合结合基本不等式可得，解不等式可得结论； （2）由条件可得，，结合基本不等式求结论. 【详解】（1）因为，，所以，当且仅当时等号成立， 又， 所以， 所以， 又， 所以， 所以，当且仅当等号成立， 所以的取值范围为. （2）因为， 所以，因为，，所以，同理可得， 又可化为， 所以， 当且仅当，时等号成立； 所以的取值范围为. 39．（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知正实数满足. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，且的最小值不大于6，这实数的最大值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据条件整理为，再整理为基本不等式求取值范围； （2）首先表示，再代入表示，再整理为基本不等式的形式，求最小值，根据题意解不等式. 【详解】（1）由条件可知，，，得， 即， 所以的取值范围是； （2），，则， 所以， 当时，等号成立，所以， 则，所以， 所以，所以的最大值为. 40．（2024·全国·二模）已知实数，满足. (1)求证：； (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将两边平方后利用基本不等式证明； （2）将变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由得， 当且仅当时等号成立， 所以； （2）由已知，则， 则 ， 当且仅当，即一个为，一个为时等号成立. 所以的最小值. 【经典计算题五 对勾函数求最值】 41．（2024高一·上海·专题练习）（1）求函数在上的最小值； （2）若函数在上的最小值为6，求的取值范围； （3）若函数在上是减函数，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用基本不等式求函数的最小值；（2）根据（1）的结果，可直接求的取值范围；（3）利用对勾函数的单调性，求的取值范围. 【详解】（1），当时，即时等号成立， 所以函数在上的最小值是； （2）由（1）区间包含元素3，所以； （3）函数在区间单调递减，单调递增， 若函数在上是减函数， 则. 42．（23-24高一·浙江·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）已知，且，求的最大值． 【答案】（1）5；（2）7 【解析】（1）利用基本不等式即可求解； （2）将代入，利用二次函数的性质即可求出. 【详解】（1），， ， 当且仅当，即时等号成立，故函数的最小值为5； （2）由得， ，， ， 时，取得最大值为7. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 43．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数在时取得最小值，求的值． 【答案】36 【分析】利用基本不等式，可知当且仅当时，取得最小值，再结合题意，得到，即可求出的值. 【详解】因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，此时取得最小值， 又由在时取得最小值，所以，解得. 故的值为. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 44．（2024高三·全国·专题练习）求函数的最小值． 【答案】． 【分析】化简式子，使用换元法，注意换元之后的参数范围，根据对勾函数的单调性可得结果. 【详解】[错解]函数， 所以函数的最小值为2． [错因]使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件才能取等号． 上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的． [正解] ， 令，在时是单调递增的， ．故函数的最小值是． 【点睛】本题考查函数的最值，掌握基本不等式使用注意的条件：一正、二定、三相等，仔细审题，属基础题. 45．（23-24高一上·上海·课后作业）求下列函数的值域： （1）；（2）； （3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】对(1)(2)，结合对勾函数的图像与基本不等式求解值域，对(3)(4)，分别设，再结合对勾函数图像与基本不等式求值域即可. 【详解】(1)由基本不等式可知，当且仅当时取等号. 故值域为： (2)画出的图像，当时；当时. 故值域为： (3)令，则，当且仅当时取等号. 故值域为： (4)令，则，当且仅当时取等号.故值域为 【点睛】本题主要考查了对勾函数的值域问题，需要根据题意确定最值，进而得出值域，属于基础题. 46．（2023高三·全国·专题练习）（1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值； （4）当时，求函数的最大值； （5）设，求函数的值域． （6）①当时，求函数的最大值； ②求函数的最大值； 【答案】（1）；（2）；（3）;（4）;（5）;（6）①1；②. 【分析】（1）将函数变形为，利用基本不等式求解； （2）将函数变形为，利用基本不等式求解； （3）将函数变形为，利用基本不等式求解； （4）将函数变形为，再用换元法，利用基本不等式求解； （5）将函数变形为，利用基本不等式求解； （6）①利用换元法，以及基本不等式求解；②利用换元法，结合对勾函数的单调性求解. 【详解】（1）因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. （2）因为，所以， ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 所以函数的最大值为. （3）因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. （4）， 令，则， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以， 所以函数的最大值为. （5）, 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得等号， 所以， 所以函数的值域为. （6）①令，因为，所以， 所以， 因为， 当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以， 所以函数的最大值为1. ②令，则，所以， 所以， 因为函数在单调递增， 所以当时，即时，有最小值为4， 所以， 所以函数的最大值为. 47．（22-23高一上·全国·课后作业）已知x∈（0，+∞）. (1)求的值域； (2)求的最小值，以及y取得最小值时x的值. 【答案】(1)[2，+∞） (2)最小值2+2， 【分析】（1）由题意利用基本不等式即可求解． （2）由已知可得y2+（x），利用基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为x∈（0，+∞）， 所以， 取等号条件：x，x2＝1． 因为x∈（0，+∞）， 所以x＝1， 所以函数的值域为[2，+∞）． （2）y2+（x）， 因为x∈（0，+∞）， 所以x2， 所以y＝2+（x）≥2+2，取等号条件：x，x2＝3， 因为x∈（0，+∞）， 所以，当时，该函数取最小值2+2． 48．（23-24高一上·北京通州·期中）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络，“八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”.京津城际高铁丛北京南站到天津站全长约为120千米.假设高铁每小时的运输成本（单位：万元）由可变部分和固定部分组成；可变部分与平均速度（千米/时）（）的平方成正比，比例系数为0.0005；固定部分为万元（）.设高速列车在该线路上单程运行一次的总费用为. (1)把高速列车在该线路上单程运行一次的总费用表示成速度（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？ 【答案】(1)，定义域为 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意表示出可变部分的成本与列车的运行时间，即可表示出总的费用f（x）； （2）分三种情况，结合对勾函数求出取最小值时的的值即可. 【详解】（1）解：由题意可知，定义域为； （2）解：由（1）知， 令，（，）， 由对勾函数的性质可知，该函数在上单调递减，在上单调递增， ①，即时，在上单调递增，故时，单程运行一次总费用最小； ②，即时，在上单调递减，在上单调递增， 故时单程运行一次总费用最小； ③，即时，在单调递减，时单程运行一次总费用最小. 综上可知，时，时，单程运行一次总费用最小；时，时单程运行一次总费用最小；时，时单程运行一次总费用最小. 49．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. （1）求函数f（x）在区间上的最值； （2）若关于x的方程（x+2）f（x）-ax=0在区间（0，3）内有两个不等实根，求实数a的取值范围. 【答案】（1）最大值为3，最小值为2；（2） 【分析】（1）整理可得，根据基本不等式及对勾函数的性质，即可求得答案. （2）由题意整理可得在区间（0，3）内有两个不等实根，设，根据根据基本不等式及对勾函数的性质，数形结合，即可得答案. 【详解】（1）， 因为，所以 所以， 当且仅当时，，即时等号成立， 所以的最小值为2， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 所以函数f（x）在区间上的最大值为3，最小值为2. （2）因为关于x的方程（x+2）f（x）-ax=0在区间（0，3）内有两个不等实根， 所以在区间（0，3）内有两个不等实根， 整理得在区间（0，3）内有两个不等实根， 设 则， 当且仅当，即x=2时等号成立， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 且时，， 所以a的取值范围为 【点睛】解题的关键是熟练掌握基本不等式、对勾函数的性质，并灵活应用，难点在于，需合理的变形，再根据“一正”、“二定”，“三相等”进行计算求值，属中档题. 50．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知集合D＝{（x1，x2）|x1＞0，x2＞0，x1+x2＝k}（其中k为正常数）． （1）设，求的取值范围 （2）求证：当时，不等式对任意恒成立 （3）求使不等式对任意恒成立的的范围 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）利用基本不等式，其中和为定值，积有最大值； （2）结合（1）中的范围直接将左边展开，利用u在上单调递增即可比较； （3）结合（2）将（3）转化为求使对恒成立的的范围，利用函数的单调性解决，或者作差法求解． 【详解】（1），当且仅当时等号成立， 故u的取值范围为． （2） 由，又k≥1，k2﹣1≥0， ∴f（u）＝u在上是增函数 所以 即当k≥1时不等式成立． （3） 记， 则， 即求使对恒成立的k2的范围． 由（2）知，要使 对任意（x1，x2）∈D恒成立，必有0＜k＜1， 因此1﹣k2＞0， ∴函数在上递减，在上递增， 要使函数f（u）在上恒有，必有，即k4+16k2﹣16≤0， 解得． 【经典计算题六 求二次函数的值域或最值】 51．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最值． 【答案】无最大值，最小值2 【分析】思路一：由配方法即可求解；思路二：由主元法即可求解. 【详解】解法1：配完全平方式 ，等号成立当且仅当， 所以无最大值，最小值为2． 解法2：主元思想 设x为主元，则 因为其对称轴为， 所以 ， 所以无最大值，最小值为2． 52．（24-25高三上·全国·课前预习）函数，，求y的最小值． 【答案】答案见解析 【分析】利用二次函数的性质，结合分段讨论，即可得到最小值. 【详解】由，其对称轴为． （1）当即时，由图知，当时，． （2）当，即时，由图知，当时，． （3）当，即时，由图知，当时，． 综上可得：当时， ；当时， ；当时， ． 53．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值与最小值： (1)； (2)，； (3)； (4)，． 【答案】(1)最大值为1，无最小值； (2)最大值为1，最小值为-3； (3)最小值为-8，无最大值； (4)最小值为-6，最大值为0. 【分析】（1）由二次函数的性质，结合二次函数的图象可得最大值与最小值； （2）结合（1）的图象，由二次函数的性质可得最大值与最小值，需要注意定义域； （3）由二次函数的性质，结合二次函数的图象可得最大值与最小值； （4）结合（3）的图象，由二次函数的性质可得最大值与最小值，需要注意定义域； 【详解】（1）函数是一个以为对称轴，开口向下的二次函数， 如下图：时，，    所以函数的最大值为，无最小值； （2）由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减， 时，，时，， 所以函数的最大值为1，最小值为-3； （3）函数是一个以为对称轴，开口向上的二次函数， 如下图：时，，    所以函数的最小值为-8，无最大值； （4）由（3）可知，函数上单调递减， 时，，时，， 所以函数的最大值为0，最小值为-6. 54．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、是关于的方程的两个实根，求的最小值． 【答案】8 【分析】首先，利用韦达定理可得，，代入化成关于的二次函数即可求解. 【详解】∵一元二次方程有两个实根； ∴，解得或． ∵、是关于的一元二次方程的两个实根， ∴，， ． ∵或，∴，∴， 所以的最小值为8． 55．（24-25高三上·宁夏固原·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的最小值和最大值； (2)当，时，求函数的最小值. 【答案】(1)， (2)详见解析 【分析】（1）直接根据二次函数性质计算得到最值. （2）考虑，，三种情况，根据二次函数的单调性计算得到最值. 【详解】（1），， 故函数在上单调递减，在上单调递增， ，. （2）当，即时，函数在单调递减， ； 当，即时，函数在单调递减，在上单调递增， ； 当时，函数在单调递增，； 综上所述： 当时，； 当时， 当时，； 56．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)求的最大值； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别在、和的情况下，根据二次函数单调性确定最大值，由此可得； （2）根据（1）中结论可得，由二次函数性质可得结果. 【详解】（1）； 当，即时，在上单调递增， ； 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，； 当时，在上单调递减， ； 综上所述：. （2）由（1）知：当时，； 当时，； 综上所述：当时，的最大值为. 57．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的对称轴为，由二次函数的单调性，即可求解. （2）分类讨论定区间与对称轴的关系，结合二次函数的图象与性质，可得答案. 【详解】（1）∵函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上单调递减，在上单调递增，且． ∴，． （2）由（1）知对称轴为直线， ①当，即时， ，． ②当，即时， ，． ③当，即时， ，． ④当，即时， ，． 设函数的最大值为，最小值为， 则有， . 58．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数，． (1)若，求方程的解； (2)若方程有两解，求出实数a的取值范围； (3)若，记，试求函数在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) (3)答案不唯一，详见解析 【分析】（1）解方程得到答案. （2）确定，考虑，和三种情况，根据二次函数的性质得到答案. （3）确定，考虑，，，四种情况，根据二次函数的单调性计算最值得到答案. 【详解】（1），，，即，即， 解得. （2），，，即， 当时，，方程在有两解， 则，解得； 当时，，不成立； 当时，，方程在有两解， 则，解得； 综上所述： （3）， ①当时，则，对称轴 ，函数在上是增函数， 函数的最大值为； ②当时，， 对称轴，所以函数在上是减函数，在上是增函数， ，，若，即，函数的最大值为； 若，即，函数的最大值为. ③当时，对称轴，此时； ④当时，对称轴，.综上所述： 函数在区间上的最大值 59．（23-24高一·江苏·假期作业）如果函数定义在区间上，求的值域． 【答案】答案见解析 【分析】根据二次函数对称轴与所给自变量区间分类讨论，由二次函数性质求最值即可得解. 【详解】函数，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为，图象开口向上． 如图所示，    若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有，此时，当时，函数值最小， ，当时，函数值最大，. ∴函数的值域为. 如图所示，    若顶点横坐标在区间上时，有，即. 当时，函数的最小值为，当时，最大值为， ∴函数的值域为；当时，最大值为， 所以在上的值域为. 如图所示，    若顶点横坐标在区间右侧时，有，即. 当，函数的最小值为，最大值为， 所以函数的值域为. 综上，当时，函数的值域为. 当时，函数的值域为；当时，函数的值域为；当时，函数的值域为. 60．（2022高一上·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)当时，求函数在区间上的最大值； (3)求在上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）求出二次函数的单调区间，从而可求出函数的值域， （2）分和两种情况结合二次函数的性质求其最大值， （3）求出抛物线的对称轴，然后分，，和由种情况求函数的最值即可 【详解】（1）当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 函数在区间上的值域是； （2）当时，， ，函数在区间上的最大值； ，函数在区间上的最大值； 函数在区间上的最大值； （3）函数 的对称轴为， ①当，即时，函数在上是增函数， 当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为． ②当，即时， 当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为． ③当，即时， a时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为． ④当，即时，函数在上是减函数， 故当时，函数取得最大值为；当时，函数取得最小值为． 综上，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为 【经典计算题七 解不含参数的一元二次不等式】 61．（22-23高二下·黑龙江鸡西·期中）阅读下列材料，解答问题 设则， 则原方程可化为， 所以，即， 解之得， 则不等式的解集为． 请利用上述方法解不等式 【答案】 【分析】根据题目信息求得方程的根，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，先分析方程的根， 设，则， 则对应方程为， 所以，即， 解之得，， 则不等式的解集为． 62．（22-23高一上·海南儋州·期中）解下列不等式（组）并写出解集． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用一元二次不等式的解法求解； （2）先分别利用一元二次不等式的解法求解各不等式，再求两个不等式解集的交集即可得出该不等式组解集． 【详解】（1）由， 则， 解得， 所以不等式的解集是． （2）由，解得，即， 所以不等式组的解集是． 63．（24-25高一上·全国·课前预习）解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或． (3)一切实数． (4)． 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可得答案. 【详解】（1），方程的解是． 不等式的解为． （2）整理得，． ，方程的解为. 原不等式的解为或． （3）整理，得． 由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数． （4）整理，得． 由于当时，成立；而对任意的实数都不成立， 原不等式的解为． 64．（24-25高一上·全国·课前预习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或； (2) (3)或． (4) 【分析】首先变形不等式的形式，再求对应方程的实数根，再结合二次函数的图象，即可求解. 【详解】（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或； （2）原不等式可化为． 解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （3）原不等式可化为． 方程两根为2和-3． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （4）由原不等式得． 原不等式等价于． 解方程，得． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． 65．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）解下列不等式： (1) (2). 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先求方程的根，作出函数的图象，利用图像即可求解； （2）原不等式可化为，计算即可求解. 【详解】（1）∵方程有两个相等的实根. 作出函数的图象如图. 由图可得原不等式的解集为. （2）原不等式可化为， ∵，∴方程无实根， ∴原不等式的解集为. 66．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）要建造一个容积为，深为的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为100元，池底的造价为150元，设池底一边长为. (1)求为何值时，总造价最少？ (2)要使水池的总造价控制在12万元以内，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出未知数，根据造价等量关系列方程，再根据基本不等式计算最值即可. （2）解一元二次不等式即可. 【详解】（1）设水池总造价为元，因为水池的一边长为，所以另一边为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 答：当时，总造价最少，最少为10.8万元. （2）由（1）得，， 整理得，解得， 所以x的取值范围是. 67．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知，，． (1)求的解集； (2)当时，比较与的大小，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据绝对值的性质可得，再解一元二次不等式即可， （2）利用作差法即可比较. 【详解】（1）由可得，即， 对于，解得， 对于，故， 故的解集为 （2），证明如下：, 由于，所以，故，故， 68．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2). (3){或}. 【分析】（1）（2）（3）根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）不等式，即， 方程的根为， 由二次函数的图像与性质可知，不等式解集为. （2），由二次函数的图像与性质可知， 不等式解集为. （3）不等式等价于， 方程的根为， 由二次函数的图像与性质可知，不等式的解集为 69．（24-25高一上·山东青岛·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）    (1)请用表示的长； (2)请写出关于的函数关系式； (3)若总造价不超过138000元，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，即可求解；. （3）根据不等式求解可求得的取值范围. 【详解】（1）设，因为两个相同的矩形和构成的面积为， 所以可得，解之可得，且 所以 （2）由（1）知，所以 矩形的面积为 正方形为， 所以 . （3）由（2）知， 若总造价不超过138000元，即 化简可得，即， 解之可得，所以的取值范围. 70．（24-25高一上·湖南·阶段练习）如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道.设点到道路2的距离为米，点到道路1的距离为米. (1)当，求的值； (2)求面积的最大值，并求此时，的值. 【答案】(1) (2)最大值为平方米，米. 【分析】（1）根据题意分别设出切点坐标，利用切线长定理和勾股定理得到关系式，将代入即可求出的值； （2）利用（1）中得到的关系式结合基本不等式求出的范围即可求出面积的最大值以及此时，的值. 【详解】（1）设圆与道路1、道路2、直线的切点分为，，，连接，，， 由切线长定理可知，，则， 由题知且，，， 即，化简得.① 把代入①，解得； （2）由题有，， 因为，所以， 令，则，解得， 所以， 当且仅当时等号成立，即， 解得，此时，， 则， 所以的面积的最大值为平方米，此时米. 【经典计算题八 解含有参数的一元二次不等式】 71．（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 72．（24-25高一上·湖南永州·期中）设函数，求不等式的解集； 【答案】答案见解析 【分析】由题设有，应用分类讨论求一元二次不等式的解集. 【详解】由题设，所以不等式化为， 解方程，又， 所以当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为. 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 73．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式（）. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）若，则由， 解得或，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 74．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知二次函数. (1)当时，解关于的不等式 (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先因式分解，然后对进行分类讨论，从而求得正确答案. （2）对进行分类讨论，根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】（1）注意到， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. （2）①当时，在上单调递增， 所以. ②当，即时，. ③当，即时，在上单调递减， 所以， 综上可得. 75．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知不等式． (1)若，求该不等式的解集； (2)若，求该不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）当时，，解不等式，得到答案； （2）因式分解得到，分，，，和五种情况，得到不等式的解集. 【详解】（1）当时，，解得或， 故该不等式的解集为或； （2）， 当时，，解得； 若，则的两根分别为和3， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，不等式解集为或； 当时，，不等式解集为或； 综上，时，不等式解集为； 时，不等式解集为； 时，不等式解集为或； 时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 76．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先作出函数的图象，由图将参数分成，和三类情况，求出对应方程的实根，由不等式即可逐一得到不等式的解集. 【详解】设，． ①当时，如图1，当时，由，得（舍），， 当时，由，得，； 所以由图可得不等式的解集为 ②当时，如图2，当时，由，得（舍），； 当时，由，得，方程无实根； 所以由图可得不等式的解集为 ③当时，如图3，当时，由，得，（舍）． 当时，由，若，则，方程无实根；若，得（舍），（舍） 所以由图可得不等式的解集为，    综上得：当时，； 当时，； 当时，． 77．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 【答案】答案见解析 【分析】构造函数，，作出的图象，数形结合，利用图象即可求解. 【详解】设，． 又， 当时，图象如图1， 由，即，解得，， 由，即，解得，； 当时，图象如图2，可知，，． 综上，由图知， 当时，； 当时，； 当时，． 78．（24-25高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为 (1)若且，求实数的取值范围. (2)解已知不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据，，可求的取值范围. （2）原不等式转化为，再分情况讨论不等式的解集. 【详解】（1）； ， 所以 （2） ∴ 当时，，此时 当时，方程的两根为、， ∴       当时，方程的两根为、， ∴  时， 时， 时， 综上：时， 时， 时， 时， 时， 79．（24-25高二下·宁夏银川·期末）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式即可得解； （2），对分类讨论即可得解. 【详解】（1）若，，则，即， 而，故的解集为； （2）若，则， （i）当时，，解得， （ii）当时，解不等式得，， （iii）当时，解不等式得，或， （iv）当时，解不等式得，或， （v）当时，解不等式得，或， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 80．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，，. (1)当，且时，解关于x的不等式； (2)若，，，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）解含参数的一元二次不等式，分、和求解即可； （2）代入，再变形为，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时，即时，； 当时，即时，不等式无解； 当时，即时，， 综上，时，解集为； 时，解集为；时，解集为. （2）由，， 当且仅当时，取到等号，， 由于，，解得， 当且仅当时，取到等号，故的最小值为. 【经典计算题九 由一元二次不等式的解确定参数】 81．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或 (1)求的值； (2)解关于的不等式 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题中条件，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解出即可； （2）先化简不等式，因式分解后，讨论的范围得到解集. 【详解】（1）根据题意，得方程的两个根为1和， 由根与系数的关系得， 解之得 （2）由（1）得关于的不等式， 即，因式分解得． ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； 82．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知关于x的不等式的解集为. (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程的根之间的关系可得，，进而解一元一次不等式即可； （2）由（1），原不等式可化为，解之即可求解. 【详解】（1）关于的的不等式的解集为， 且和2是方程的两个根， ， 不等式可化为 ，解得， 不等式的解集为 （2）由（1）知， 不等式可化为， ，即，解得， 不等式的解集为. 83．（24-25高一上·广东珠海·期中）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得和3为方程的根，进而结合韦达定理求得的值，进而求解； （2）直接根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由题意，和3为方程的根， 则，解得， 所以. （2）由（1）知，， 所以不等式，即为， 即，即，解得或， 所以不等式的解集为. 84．（22-23高一上·天津滨海新·期中）设函数 (1)若不等式 的解集为 求 的值； (2)若 求不等式 的解集； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据不等式的解集与对应的方程的根的关系，利用韦达定理列方程求解即可； （2）整理不等式可得，根据的符号以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）由题意，不等式的解集为， 则和3是方程的两个根， 得，解得， 所以. （2）若，则，即， 因为，所以， ①当时，不等式的解集为， ②当时，，不等式的解集为， ③当时，解集为， ④当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 85．（23-24高一上·北京·期中）已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理即可求解； （2）根据（1）的结果，并不等式转化为，因式分解后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）由题意可知，的根是1和2， 所以，解得：，； （2）由（1）知，，， 所以不等式为，即， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 86．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）已知二次函数． (1)若的解集为，分别求a，b的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【详解】（1）由的解集为，则1，b是方程的根，且， 由，解得；由，解得， 所以. （2）由二次函数，知， 不等式整理得，即， 当时，不等式等价于， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 当，即时，解集为或； 当时，不等式等价于，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 87．（2025高三·全国·专题练习）若的解集为，求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据不等式解集得到，且为方程的两个根，，由韦达定理得到，转化为，得到不等式解集； （2）在（1）基础上，得到，求出解集； （3）在（1）基础上，得到，求出解集. 【详解】（1）的解集为，， 故，且为方程的两个根，， 故，即， ，即， 所以，且， 所以的解集为； （2）由（1）知，， 故，即， 其中，解得， 故的解集为； （3）由（1）知，， 故，即， 其中，解得， 故的解集为. 88．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)3 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【详解】（1）若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； （2）由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 89．（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，结合韦达定理可得结果. （2）讨论的范围，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）当时，关于的方程的两根为， 由韦达定理可得，解得. （2）原不等式可化为. 当时，原不等式为，解得，； 当时，方程的根为，， 当时，不等式可化为，解得或， ； 当，即时，原不等式为，； 当，即时，不等式可化为，解得，； 当，即时，不等式可化为，解得，. 综上所述，当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，. 90．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数，a， (1)若关于x的不等式的解集为或，求实数a，b的值； (2)解关于x的不等式 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知，和1是方程的两个根，再利用韦达定理求解即可； （2）分，和三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法求解． 【详解】（1）因为关于x的不等式的解集为或， 所以和1是方程的两个根， 所以， 解得； （2）不等式可化为：， 整理得， 即， 当时，， 则不等式的解集为， 当时，， 则不等式的解集为空集， 当时，， 则不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为空集； 当时，不等式的解集为 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 预备知识90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 基本不等式求积的最大值 题型二 基本不等式求和的最小值 题型三 二次与二次(或一次)的商式的最值 题型四 条件等式求最值 题型五 对勾函数求最值 题型六 求二次函数的值域或最值 题型七 解不含参数的一元二次不等式 题型八 解含有参数的一元二次不等式 题型九 由一元二次不等式的解确定参数 【经典计算题一 基本不等式求积的最大值】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有可围网长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少，可使每间虎笼面积最大？    2．（23-24高一·全国·课后作业）已知，求： (1)的最大值； (2)的最大值． 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知为正实数，且. (1)求的最大值； (2)求的最大值. 4．（22-23高一上·安徽阜阳·阶段练习）请用基本不等式求最值． (1)设，是满足的正数，求的最大值； (2)已知，求的最大值． 5．（23-24高一·全国·课后作业）已知，求的最大值及取到最大值时x的值． 6．（22-23高一上·浙江·期中）（1）已知，，求证：； （2）求最大值． 7．（22-23高一·河南新乡·阶段练习）设正数满足，且的最大值为． (1)求m； (2)求方程组的解集． 8．（23-24高一下·全国·课后作业）在直线上求一点，使的值最大． 9．（24-25高一上·贵州·阶段练习）如图，长方形的周长为8. (1)若点M在线段AB上运动，点N在线段BC上运动，且满足，则面积的最大值是多少? (2)沿AC折叠使点到点位置，交DC于点，请解决下面两个问题. (i)若，求AP的长； (ii)的面积是否存在最大值，若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由. 10．（23-24高一上·江苏无锡·期中）如图， 是矩形对角线上一点，过作，，分别交、于、两点.    (1)当，时，设，找出、的关系式，求四边形面积的最大值，并指出此时P点的位置； (2)当矩形的面积为6时，四边形的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由. 【经典计算题二 基本不等式求和的最小值】 11．（2024高三·全国·专题练习）求函数的最小值． 12．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）已知、、都是正数，求证：． （2）已知，求的最大值. （3）已知，求的最小值． 13．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若正数x，y满足，求的最小值. 14．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知正数，满足 (1)求的最小值； (2)求的最小值． 15．（2024高一·全国·专题练习）题目将两正数积定以隐藏的形式给出.比如与的积为定值的式子有什么呢？与的积为定值的式子有什么呢？解决下面问题 (1)若，求的最小值. (2)若，求的最小值. 16．（2025高三·全国·专题练习）若面积为定值，求： (1)周长的最小值； (2)内切圆半径的最大值. 17．（23-24高一上·云南昭通·期中）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值． 18．（23-24高一上·上海黄浦·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． (1)老师请你模仿例题，研究的最小值， [提示：(，，，)]； (2)研究的最小值； (3)当时，求的最小值． 19．（24-25高一上·上海宝山·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求，的最小值；解：利用平均值不等式，得到，于是，且等号当且仅当时成立；所以当且仅当时取到最小值； (1)请你模仿例题，研究，的最小值；（提示：） (2)研究，的最小值； (3)求出当时，，的最小值. 20．（24-25高一上·湖北武汉·期中）（1）对于正实数求证:; （2）已知函数，利用（1）的结论，求函数的最小值，并求出此时对应的的值. 【经典计算题三 二次与二次(或一次)的商式的最值】 21．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 22．（2022高三·全国·专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）. 23．（2025高一·全国·专题练习）已知，求的最大值； 24．（2024高一·全国·专题练习）设，求的最大值. 25．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值． 26．（23-24高一·全国·课后作业）（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 27．（2024高一·上海·专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 28．（23-24高三上·江苏常州·期末）求函数的最小值. 29．（23-24高一·全国·课后作业）（1）求当时，的最小值； （2）求当时，的最小值. 30．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）（1）求函数的最小值及此时的值； （2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值. 【经典计算题四 条件等式求最值】 31．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知x，y均为正数． (1)若，求xy的最大值； (2)求的最小值． 32．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）解答下列问题 (1)设，比较与的大小; (2)若实数满足，求的取值范围． 33．（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义为个实数中的最小数，为个实数中的最大数. (1)设，都是正实数，且，求； (2)设，都是正实数，求的最小值. 34．（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）已知． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 35．（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）已知实数，，，求 (1)的取值范围； (2)的取值范围； 36．（2025高一·全国·专题练习）已知实数，，满足，求的最小值． 37．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 38．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若，，且，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围. 39．（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知正实数满足. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，且的最小值不大于6，这实数的最大值. 40．（2024·全国·二模）已知实数，满足. (1)求证：； (2)求的最小值. 【经典计算题五 对勾函数求最值】 41．（2024高一·上海·专题练习）（1）求函数在上的最小值； （2）若函数在上的最小值为6，求的取值范围； （3）若函数在上是减函数，求的取值范围. 42．（23-24高一·浙江·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）已知，且，求的最大值． 43．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数在时取得最小值，求的值． 44．（2024高三·全国·专题练习）求函数的最小值． 45．（23-24高一上·上海·课后作业）求下列函数的值域： （1）；（2）； （3）；（4）. 46．（2023高三·全国·专题练习）（1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值； （4）当时，求函数的最大值； （5）设，求函数的值域． （6）①当时，求函数的最大值； ②求函数的最大值； 47．（22-23高一上·全国·课后作业）已知x∈（0，+∞）. (1)求的值域； (2)求的最小值，以及y取得最小值时x的值. 48．（23-24高一上·北京通州·期中）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络，“八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”.京津城际高铁丛北京南站到天津站全长约为120千米.假设高铁每小时的运输成本（单位：万元）由可变部分和固定部分组成；可变部分与平均速度（千米/时）（）的平方成正比，比例系数为0.0005；固定部分为万元（）.设高速列车在该线路上单程运行一次的总费用为. (1)把高速列车在该线路上单程运行一次的总费用表示成速度（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？ 49．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. （1）求函数f（x）在区间上的最值； （2）若关于x的方程（x+2）f（x）-ax=0在区间（0，3）内有两个不等实根，求实数a的取值范围. 50．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知集合D＝{（x1，x2）|x1＞0，x2＞0，x1+x2＝k}（其中k为正常数）． （1）设，求的取值范围 （2）求证：当时，不等式对任意恒成立 （3）求使不等式对任意恒成立的的范围 【经典计算题六 求二次函数的值域或最值】 51．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最值． 52．（24-25高三上·全国·课前预习）函数，，求y的最小值． 53．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值与最小值： (1)； (2)，； (3)； (4)，． 54．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、是关于的方程的两个实根，求的最小值． 55．（24-25高三上·宁夏固原·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的最小值和最大值； (2)当，时，求函数的最小值. 56．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)求的最大值； (2)当时，求的最大值． 57．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 58．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数，． (1)若，求方程的解； (2)若方程有两解，求出实数a的取值范围； (3)若，记，试求函数在区间上的最大值． 59．（23-24高一·江苏·假期作业）如果函数定义在区间上，求的值域． 60．（2022高一上·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)当时，求函数在区间上的最大值； (3)求在上的最大值与最小值． 【经典计算题七 解不含参数的一元二次不等式】 61．（22-23高二下·黑龙江鸡西·期中）阅读下列材料，解答问题 设则， 则原方程可化为， 所以，即， 解之得， 则不等式的解集为． 请利用上述方法解不等式 62．（22-23高一上·海南儋州·期中）解下列不等式（组）并写出解集． (1)； (2)． 63．（24-25高一上·全国·课前预习）解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 64．（24-25高一上·全国·课前预习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 65．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）解下列不等式： (1) (2). 66．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）要建造一个容积为，深为的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为100元，池底的造价为150元，设池底一边长为. (1)求为何值时，总造价最少？ (2)要使水池的总造价控制在12万元以内，求的取值范围. 67．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知，，． (1)求的解集； (2)当时，比较与的大小，并证明． 68．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； 69．（24-25高一上·山东青岛·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）    (1)请用表示的长； (2)请写出关于的函数关系式； (3)若总造价不超过138000元，求的取值范围. 70．（24-25高一上·湖南·阶段练习）如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道.设点到道路2的距离为米，点到道路1的距离为米. (1)当，求的值； (2)求面积的最大值，并求此时，的值. 【经典计算题八 解含有参数的一元二次不等式】 71．（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式： 72．（24-25高一上·湖南永州·期中）设函数，求不等式的解集； 73．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式（）. 74．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知二次函数. (1)当时，解关于的不等式 (2)当时，求的最小值. 75．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知不等式． (1)若，求该不等式的解集； (2)若，求该不等式的解集． 76．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 77．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 78．（24-25高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为 (1)若且，求实数的取值范围. (2)解已知不等式. 79．（24-25高二下·宁夏银川·期末）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． 80．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，，. (1)当，且时，解关于x的不等式； (2)若，，，求的最小值. 【经典计算题九 由一元二次不等式的解确定参数】 81．（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或 (1)求的值； (2)解关于的不等式 82．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知关于x的不等式的解集为. (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集. 83．（24-25高一上·广东珠海·期中）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)解不等式． 84．（22-23高一上·天津滨海新·期中）设函数 (1)若不等式 的解集为 求 的值； (2)若 求不等式 的解集； 85．（23-24高一上·北京·期中）已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 86．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）已知二次函数． (1)若的解集为，分别求a，b的值； (2)解关于x的不等式． 87．（2025高三·全国·专题练习）若的解集为，求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 88．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 89．（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 90．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数，a， (1)若关于x的不等式的解集为或，求实数a，b的值； (2)解关于x的不等式 学科网（北京）股份有限公司 $