专题2.5 函数易错必刷题型专训（52题13个考点）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题2.5 函数易错必刷题型专训（52题13个考点） 【易错必刷一 求函数值】 1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（    ） A．0 B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）已知，下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）定义在上的函数满足:，则 . 4．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现； (3)求的值． 【易错必刷二 具体函数的定义域】 5．（24-25高一上·云南昭通·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列函数中，定义域不是的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河南商丘·期末）函数的定义域为 . 8．（2023高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3)（）. 【易错必刷三 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 9．（2023高二·重庆·学业考试）下列值域是的是（   ） A． B． C． 10．（多选题）（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列四个函数中，定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 12．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列函数的值域： （1），； （2），. 【易错必刷四 已知f(g(x))求解析式,】 13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 14．（多选题）（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2025高一·全国·专题练习）若函数满足，则的解析式为 ． 16．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）解答下面两题 (1)已知，求的函数解析式； (2)已知函数是一次函数，若，求 【易错必刷五 求分段函数解析式或求函数的值】 17．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数则（    ） A．1 B．6 C．8 D．9 18．（多选题）（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．当 19．（2025高二下·浙江·学业考试）函数，已知，则 ． 20．（23-24高一上·全国·课后作业）如图，已知动点P从边长为1的正方形ABCD顶点A开始沿边界绕一圈，若用x表示点P从A出发后的行程，y表示PA的长．求y关于x的函数解析式． 【易错必刷六 定义法判断或证明函数的单调性】 21．（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 22．（多选题）（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为且，下列选项可判断为单调函数的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数在上是严格增函数，对于任意的，下列结论中正确的有 ． ①；②； ③；④． 24．（2025高三·全国·专题练习）讨论函数在区间上的单调性. 【易错必刷七 求函数的单调区间】 25．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 26．（多选题）（23-24高一上·福建龙岩·期中）函数在下列区间（    ）上单调递减． A． B． C． D． 27．（23-24高三下·全国·自主招生）函数的单调递减区间为 ． 28．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满． (1)若，求的值； (2)若时，，求的解析式，并直接写出的单调递减区间． 【易错必刷八 复合函数的单调性】 29．（24-25高一上·江苏常州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 30．（多选题）（22-23高一下·河南·阶段练习）已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 31．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为 . 32．（23-24高一·全国·课后作业）求下列函数的单调区间 （1）函数的单调递增区间 （2）函数的单调递增区间 【易错必刷九 函数奇偶性的定义与判断】 33．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 34．（多选题）（2025·湖南·模拟预测）若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 35．（24-25高一下·广东汕头·期末）判断为 函数（选填 “奇” “偶” “非奇非偶”） 36．（24-25高一上·上海·期中）已知函数，其中． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若，判断并证明函数在区间上的单调性． 【易错必刷十 抽象函数的奇偶性】 37．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 38．（多选题）（2022·辽宁·模拟预测）已知不恒为0的函数满足对任意，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．若当时，，则当时， 39．（23-24高一·浙江·单元测试）已知函数均为定义在R上的奇函数，且，则下列各函数：①；②；③；④中，为偶函数的是 ，为奇函数的是 .（均填写序号） 40．（22-23高一·全国·课堂例题）（1）已知函数，，若，都有，求证：为奇函数. （2）设函数定义在上，证明：是偶函数，是奇函数. （3）已知是定义在上的函数，设，，试判断与的奇偶性；根据，与的关系，你能猜想出什么样的结论？ 【易错必刷十一 求幂函数的解析式】 41．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 42．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知幂函数满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 43．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知幂函数的图象过点，则 . 44．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点． (1)求的解析式； (2)若，用定义法证明：函数在上单调递增． 【易错必刷十二 判断与幂函数相关的复合函数的单调性】 45．（23-24高三上·河南平顶山·阶段练习）若函数满足，则的单调递增区间为 A．(-∞，2] B．(-∞，1] C．[1，+∞) D．[2，+∞) 46．（多选题）（23-24高一上·安徽池州·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的单调增区间是 . 48．（24-25高一上·广西·阶段练习）已知幂函数的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)设函数，写出函数的单调区间和值域． 【易错必刷十三 判断五种常见幂函数的奇偶性】 49．（23-24高三上·吉林·期末）设，使函数的定义域是R，且为偶函数的所有的值是（    ） A．2 B．1，2 C．，2 D．，1，2 50．（多选题）（22-23高一·全国·课后作业）（多选）若∈{－1，1，2，3}，则使函数为奇函数的的值可以为（    ） A．－1 B．1 C．2 D．3 51．（23-24高三上·辽宁·期中）写出一个同时满足下列性质的幂函数 ． ①偶函数    ②在上递增 52．（23-24高一·江苏·课后作业）写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性： （1）；     （2）；     （3）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 函数易错必刷题型专训（52题13个考点） 【易错必刷一 求函数值】 1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先赋值求出，接着赋值，求出，再赋值求出，最后赋值，即可求解. 【详解】令，得，所以； 令，，得， 又，所以；令，得； 令，，得. 故选：D. 2．（多选题）（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）已知，下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对四个选项逐一验证即可求得结果. 【详解】对于选项A： ，，则，故A不正确； 对于选项B：，，则，故B不正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，，则，故D不正确. 故选：ABD. 3．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）定义在上的函数满足:，则 . 【答案】0 【分析】赋值法得到，再令，得到，结合，求出. 【详解】定义在上的函数满足：， 令时，，则， 令时，即， 因为，所以. 故答案为：0. 4．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现； (3)求的值． 【答案】(1)答案见详解 (2)，证明见详解 (3)0 【分析】（1）根据函数解析式代入数值计算即可； （2）通过（1）化简的函数解析式求出的解析式，相加化简即可； （3）根据（2）的结论，分析原式中一共有多少项数，进行求和即可. 【详解】（1）由， 所以， ； ，. （2）由（1）中求得的结果发现，证明如下： 因为， 所以. （3）由（2）知， 所以. 【易错必刷二 具体函数的定义域】 5．（24-25高一上·云南昭通·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列出使函数解析式有意义的不等式，解出的取值范围即函数的定义域. 【详解】函数有意义，则且，所以定义域为， 故选：D． 6．（多选题）（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列函数中，定义域不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别求出各选项中函数的定义域即可. 【详解】函数的定义域为； 函数的定义域为； 函数的定义域为； 函数的定义域为. 所以选项ACD 中的函数定义域不是. 故选：ACD. 7．（24-25高一上·河南商丘·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由函数定义域的定义列出不等式求得自变量的取值范围即可得到结果. 【详解】由题意可知解得且， 故函数的定义域为. 故答案为：. 8．（2023高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3)（）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，解不等式组可得答案， （2）由题意得，解不等式组可得答案， （3）由解析式得，解不等式组可得答案， 【详解】（1）因为 所以，解得或 所以函数的定义域为； （2）因为， 所以，解得：或 所以函数的定义域为； （3）因为（） 所以解得： 所以函数（）的定义域为； 【易错必刷三 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 9．（2023高二·重庆·学业考试）下列值域是的是（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】分别求出各函数的值域. 【详解】对A：值域为，故A错误； 对B：值域为，故B错误； 对C：的定义域为，在定义域上为增函数，故值域为，故C正确. 故选：C. 10．（多选题）（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列四个函数中，定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用一次函数、二次函数、以及分段函数的性质逐项求出定义域和值域即可. 【详解】对于A，的定义域为，值域为，故A正确； 对于B，值域为，与所给定义域不相同，故B错误； 对于C，的定义域为，当时，该函数取得最小值，所以值域为，所以定义域与值域不相同，故C错误； 对于D，，定义域为，当时，， 当时，，所以函数的值域为，故D正确. 故选：AD. 11．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 12．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列函数的值域： （1），； （2），. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1），结合定义域，求出的最大值和最小值即可； （2）分和两段，根据反比例函数的单调性即可得值域. 【详解】（1）， ∵，∴当时，取得最小值； 当时，取得最大值5， ∴函数的值域为. （2）当时，单调递增，； 当时，单调递增，， ∴函数的值域为. 【易错必刷四 已知f(g(x))求解析式,】 13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令求解析式，注意的取值范围． 【详解】令，则，因为，则， ， 所以． 故选：B． 14．（多选题）（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据已知代入特殊值可得的值，可判断A，B；再根据换元法求解解析式即可得，从而判断C，D. 【详解】因为，所以时，可得，故A正确； 所以时，可得，故B正确； 令，则，所以，则，故C正确，D不正确. 故选：ABC. 15．（2025高一·全国·专题练习）若函数满足，则的解析式为 ． 【答案】（且） 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】设，则， 由题意可知且，所以且， 将代入，得， 所以的解析式为（且）． 故答案为：（且）. 16．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）解答下面两题 (1)已知，求的函数解析式； (2)已知函数是一次函数，若，求 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）用换元法解方程即可； （2）用待定系数法列方程并解出即可. 【详解】（1）令，则， 代入原式有， 所以. （2）由题意可设， 则 又， 所以， 即 解得或 所以或. 【易错必刷五 求分段函数解析式或求函数的值】 17．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数则（    ） A．1 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义域代入求解. 【详解】因为已知函数， 所以，则， 故选：D 18．（多选题）（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．当 【答案】AD 【分析】当时，，根据递推关系以及求出对应的函数值及函数. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，所以，，故B错误； 对于C，所以，故C错误； 对于D，当时，所以，故D正确. 故选：AD. 19．（2025高二下·浙江·学业考试）函数，已知，则 ． 【答案】0 【分析】分别讨论，，代入求解即可. 【详解】时，，； 时，，. 综上所述，. 故答案为：0 20．（23-24高一上·全国·课后作业）如图，已知动点P从边长为1的正方形ABCD顶点A开始沿边界绕一圈，若用x表示点P从A出发后的行程，y表示PA的长．求y关于x的函数解析式． 【答案】 【分析】分别按在上时，讨论的长，最后汇总表达为分段函数 【详解】当在时，即当 时，; 当在时，即当 时，; 当在时，即当 时，; 当在时，即当 时，; 综上： 【易错必刷六 定义法判断或证明函数的单调性】 21．（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【答案】B 【分析】利用给定条件结合函数单调性的定义求解即可. 【详解】因为，所以和异号， 所以当时，，当时，， 故在上是严格减函数，故B正确. 故选：B 22．（多选题）（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为且，下列选项可判断为单调函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，由函数单调性定义得在上单调递减；B选项，变形得到，故，在上单调递增；C选项，变形得到，在上单调递增，D选项，易得或，不是单调函数. 【详解】A选项，，有， 由函数单调性定义得在上单调递减，A正确； B选项，， 因为，故，故， 由函数单调性定义得在上单调递增，B正确； C选项，，故， 由函数单调性定义得在上单调递增，C正确； D选项，由题意得或，不是单调函数，D错误. 故选：ABC. 23．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数在上是严格增函数，对于任意的，下列结论中正确的有 ． ①；②； ③；④． 【答案】①② 【分析】利用函数单调性的性质逐个判断即可. 【详解】因为函数在上是严格增函数， 所以和同号，故①，②正确， 因为的大小关系无法判断，所以的大小关系也无法判断，故③④错误. 故答案为：①② 24．（2025高三·全国·专题练习）讨论函数在区间上的单调性. 【答案】在上单调递减，在上单调递增 【分析】根据题意，由函数单调性的定义证明即可. 【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 以下根据函数单调性的定义证明： ①设， 则 ， ，即， 在内是减函数. ②设 由①知 ， 即， 在内是增函数. 【易错必刷七 求函数的单调区间】 25．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 26．（多选题）（23-24高一上·福建龙岩·期中）函数在下列区间（    ）上单调递减． A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先将函数解析式写出分段函数型，再画出函数图象，结合图象即可求出函数的单调区间； 【详解】解：因为，函数图象如下所示： 由图可知函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和 故选：AC 27．（23-24高三下·全国·自主招生）函数的单调递减区间为 ． 【答案】（或） 【分析】利用二次函数的性质求解即可. 【详解】的对称轴为， 因为，所以函数的图象开口向下， 所以函数的单调递减区间为（或）. 故答案为：（或） 28．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满． (1)若，求的值； (2)若时，，求的解析式，并直接写出的单调递减区间． 【答案】(1) (2)；单调递减区间为， 【分析】（1）由及即可直接求出解析式； （2）令得，再由的解析式及即可求得当时的解析式，则的解析式可得，结合分段函数的性质即可得单调递减区间. 【详解】（1）因为 所以， 所以， 故， 所以． （2）中，令得，， 当时，，， 因为， 所以， 所以 则的单调递减区间为，． 【易错必刷八 复合函数的单调性】 29．（24-25高一上·江苏常州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，再结合复合函数单调性可得． 【详解】由得，又， 所以在在上递增函数，在上是递减函数， 又函数在是递增函数， 所以在是递减函数. 故选：D. 30．（多选题）（22-23高一下·河南·阶段练习）已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】AD 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断选项. 【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递减， 所以在区间上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法， 可知，在上单调递增，故A正确，B错误； 在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：AD 31．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】先确定的定义域，然后利用的单调性和的单调性，即可确定的单调区间. 【详解】要求的单调递增区间，即求的单调递减区间， 又的定义域为或. 令, 当时，单调递减，从而单调递减； 当时，单调递增，从而单调递增， 因此函数的单调递增区间为. 故答案为：. 32．（23-24高一·全国·课后作业）求下列函数的单调区间 （1）函数的单调递增区间 （2）函数的单调递增区间 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由和的单调性即可求出； （2）先求出的定义域，再求出的增区间即可. 【详解】（1）令，则，由，得， 又因为在上单调递增，在定义域上是增函数， 所以的单调递增区间是. （2）由解得，也即函数的定义域为， 因为函数开口向下，对称轴为， 所以函数在上递增，在上递减. 而在上是增函数，根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递增区间为. 【点睛】本题考查复合函数单调性的判断，属于基础题. 【易错必刷九 函数奇偶性的定义与判断】 33．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性的定义判断可得结论． 【详解】因为的定义域为R，又因为，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是奇函数，符合题意． 故选：D． 34．（多选题）（2025·湖南·模拟预测）若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】根据偶函数定义判断A，B，奇函数定义判断C，D. 【详解】函数的定义域都为， 对于A，因为，所以是偶函数，故A正确； 对于B，因为为奇函数，所以，则是偶函数，故B正确； 对于C，因为偶函数，则，即是偶函数，故C错误； 对于D，因，则为偶函数，又因为为奇函数，则是奇函数，故D正确. 故选：ABD. 35．（24-25高一下·广东汕头·期末）判断为 函数（选填 “奇” “偶” “非奇非偶”） 【答案】奇 【分析】根据题意确定函数的定义域，利用奇偶函数的定义判断即可. 【详解】由题可知，解得， 所以函数的定义域为， 又， ， 所以，又定义域关于原点对称，所以为奇函数. 故答案为：奇. 36．（24-25高一上·上海·期中）已知函数，其中． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若，判断并证明函数在区间上的单调性． 【答案】(1)答案见解析 (2)在区间上单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据条件，分和两种情况，再利用奇偶函数的定义，即可判断； （2）根据条件，利用函数单调性的定义，即可求解. 【详解】（1）易知，的定义域为，关于原点对称， 又， 当时，，此时为偶函数， 当时，不恒为，，此时为非奇非偶函数. （2）在区间上单调递增，证明如下， 任取，且， 则， 因为，且，则， 又，所以，得到，即， 所以在区间上单调递增. 【易错必刷十 抽象函数的奇偶性】 37．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断． 【详解】在中， 令，则，又，所以， 令得，所以， 所以是偶函数， 故选：B． 38．（多选题）（2022·辽宁·模拟预测）已知不恒为0的函数满足对任意，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．若当时，，则当时， 【答案】AD 【分析】令求得，再令求得，判断AB，令，，推理后判断C，令得出关系式，然后由D中条件推理判断D． 【详解】令得，，A正确； 再令得，，，B错； 令，，则，是偶函数，C错； 对选项D，令，则， 所以， 当时，，，所以，D正确． 故选：AD 39．（23-24高一·浙江·单元测试）已知函数均为定义在R上的奇函数，且，则下列各函数：①；②；③；④中，为偶函数的是 ，为奇函数的是 .（均填写序号） 【答案】 ③④ ①② 【解析】根据奇偶性的概念，以及题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【详解】函数均为定义在R上的奇函数， 则，. 对于①，设， 则， 即为奇函数； 对于②，设， 则， 即为奇函数； 对于③，设， 则， 即为偶函数； 对于④，设， 则， 即为偶函数. 故答案为：③④；①② 【点睛】本题主要考查判断函数奇偶性，熟记概念即可，属于常考题型. 40．（22-23高一·全国·课堂例题）（1）已知函数，，若，都有，求证：为奇函数. （2）设函数定义在上，证明：是偶函数，是奇函数. （3）已知是定义在上的函数，设，，试判断与的奇偶性；根据，与的关系，你能猜想出什么样的结论？ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）答案见解析 【分析】（1）对，适当赋值，使所给的式子出现及，从而利用奇函数定义证明即可；对于（2）（3）可直接用奇偶性的定义判断. 【详解】（1）令，则，所以， 令，，则，所以， 所以是奇函数. （2）因为，所以，可见的定义域也是， 设，， 则与的定义域也是，显然定义域是关于原点对称的. 因为， ， 所以为偶函数，为奇函数， 即是偶函数，是奇函数. （3）因为，， 所以是偶函数，是奇函数. ， 由此可得一般结论：如果一个函数的定义域关于原点对称， 那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 【易错必刷十一 求幂函数的解析式】 41．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求的值. 【详解】设，则，得， 所以， 所以， 故选：D. 42．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知幂函数满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】将代入幂函数的解析式中可求得的值，进而可求解. 【详解】因为幂函数满足， 所以，所以， 则，从而. 故选：B. 43．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】 【分析】利用幂函数过点计算求参，再计算求出函数值. 【详解】幂函数的图象过点， ，解得， ，则 故答案为： 44．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点． (1)求的解析式； (2)若，用定义法证明：函数在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由幂函数定义，结合单调性可解； （2）运用单调性定义，且，作差比较大小即可. 【详解】（1）由幂函数的定义可知，，解得， 由幂函数在上单调递增，可得， 所以． （2）证明：由的图象经过点，得，所以． 则． 对，且，则有 ， 因为，所以，， 所以． 因为，所以，所以， 则， 故函数在上单调递增． 【易错必刷十二 判断与幂函数相关的复合函数的单调性】 45．（23-24高三上·河南平顶山·阶段练习）若函数满足，则的单调递增区间为 A．(-∞，2] B．(-∞，1] C．[1，+∞) D．[2，+∞) 【答案】A 【分析】因为函数满足，则函数关于对称，进而求出参数的值，进而求出函数的递增区间. 【详解】解法1:由知，函数图象关于对称，所以，=2.函数在(-∞，2]单调递减，在[2，+∞)单调递增；而在(-∞，+∞)上递减，由复合函数的单调性知，函数的单调递增区间为(一∞，2]，故选A. 解法2:由函数图象变换可知，=2且函数的单调递增区间为(一∞，2].故选A. 【点睛】在函数的性质中，有几个表达式值得去关注： （1），关于对称； （2），关于点对称； （3），函数周期为. 46．（多选题）（23-24高一上·安徽池州·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据幂函数，及复合函数的单调性依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，在上单调递增，错误； 对于B选项，函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，故正确； 对于C选项，由二次函数性质得在上单调递减，故正确； 对于D选项，时，在上单调递减，故正确. 故选:BCD. 47．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的单调增区间是 . 【答案】 【分析】求出函数的定义域，结合复合函数的单调性即可求出结果. 【详解】函数的定义域满足，解得， 故函数的定义域为 令，则， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且函数在上单调递增， 结合复合函数的单调性可知函数在上单调递增，在上单调递减， 故答案为：. 48．（24-25高一上·广西·阶段练习）已知幂函数的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)设函数，写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，，无单调递减区间，值域为． 【分析】（1）待定系数法去求函数的解析式； （2）依据反比例函数性质即可得到函数的单调区间和值域． 【详解】（1）设，则，则， ∴函数的解析式为． （2）因为， ∴函数的单调递增区间为，，无单调递减区间，值域为． 【易错必刷十三 判断五种常见幂函数的奇偶性】 49．（23-24高三上·吉林·期末）设，使函数的定义域是R，且为偶函数的所有的值是（    ） A．2 B．1，2 C．，2 D．，1，2 【答案】A 【分析】把分别代入验证即可. 【详解】当时，，定义域为，故； 当时，，定义域为，但是为奇函数，故； 当时，，定义域为，为偶函数，故. 故选：A 50．（多选题）（22-23高一·全国·课后作业）（多选）若∈{－1，1，2，3}，则使函数为奇函数的的值可以为（    ） A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】ABD 【解析】对的四个取值逐一分析的值域和奇偶性，由此确定正确选项. 【详解】当时，，为奇函数，满足条件； 当时，为奇函数，满足条件； 当时，为偶函数，不满足条件； 当时，为奇函数，满足条件. 故选：ABD 51．（23-24高三上·辽宁·期中）写出一个同时满足下列性质的幂函数 ． ①偶函数    ②在上递增 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的奇偶性以及单调性，即可直接写出. 【详解】因为，其定义域为，关于原点对称； 又，故是偶函数； 又当时，是单调减函数，故当时，是单调增函数. 故答案为：. 52．（23-24高一·江苏·课后作业）写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性： （1）；     （2）；     （3）. 【答案】（1）定义域是，奇函数；（2），函数既不是奇函数，也不是偶函数；（3），是偶函数. 【分析】确定函数式有意义的自变量的集合，根据奇偶性定义判断奇偶性. 【详解】解（1）函数的定义域是. 因为对任意的，，且都有， 所以由奇函数的定义知，函数是奇函数. （2）函数即，其定义域是. 因为当时，， 所以由奇函数、偶函数的定义可知，函数既不是奇函数，也不是偶函数. （3）由函数即可知，所以此函数的定义域是. 因为对任意的，，都有，，且， 所以由偶函数的定义知，函数是偶函数. 学科网（北京）股份有限公司 $