专题1.5 预备知识易错必刷题型专训（64题16个考点）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题1.5 预备知识易错必刷题型专训（64题16个考点） 【易错必刷一 判断是否为同一集】 1．（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 2．（多选题）（24-25高一上·浙江·期中）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对选项中的集合元素逐一分析判断即可. 【详解】A选项中，集合P中方程无实数根，故，表示同一个集合； B选项中，集合P中有两个元素2，5，集合Q中页有两个元素2，5，表示同一个集合； C选项中，集合P中有一个元素是点，集合 Q中有一个元素是点，元素不同，不是同一集合； D选项中，集合表示所有奇数构成的集合，集合也表示所有奇数构成的集合，表示同一个集合. 故选：ABD. 3．（23-24高一·全国·课后作业）给出下列四种说法 ①任意一个集合的表示方法都是唯一的； ②集合与集合是同一个集合 ③集合与集合表示的是同一个集合； ④集合是一个无限集. 其中正确说法的序号是 .（填上所有正确说法的序号） 【答案】②③④ 【分析】根据集合的表示方法判断①；根据集合相等的定义判断②③，从而得解； 【详解】解：①集合的表示方法不唯一，可以用列举法，描述法和图形法，故①错误； ②集合与集合含有的元素相同，故是同一个集合，故正确； ③集合表示的是所有的奇数组成的集合，集合也表示的是所有的奇数组成的集合，故集合与集合表示的是同一个集合；故③正确； ④满足的实数有无数多个，故集合是一个无限集.即④正确； 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查集合相等的判断，集合的表示的理解，属于基础题. 4．（24-25高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由． （1）集合与集合表示同一集合； （2）集合与集合表示同一集合； （3）集合与集合表示同一集合； （4）集合与集合表示同一集合； 【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）错误 【分析】（1）根据元素的无序性可知两集合为同一集合；（2）集合为点集，元素不同，不是同一集合；（3）两集合均表示大于的所有实数的集合，为同一集合；（4）两集合分别为数集和点集，不是同一集合. 【详解】（1）集合元素具有无序性，与元素完全相同，故为同一集合，正确 （2）两集合为点集，与表示的点不同     两集合表示的不是同一集合，命题错误 （3）与均表示大于的所有实数的集合     即两集合表示的是同一集合，命题正确 （4）为数集；为点集 两集合表示的不是同一集合，命题错误 【点睛】本题考查同一集合的判定，关键是明确只有元素完全相同时，两集合为同一集合；易错点是忽略点集和数集的区别. 【易错必刷二 求集合的子集(真子集)】 5．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 6．（多选题）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 7．（24-25高一·上海·假期作业）设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则 ． 【答案】8 【分析】利用子集的定义求出所有的非空子集，然后计算所有元素之和即可得解． 【详解】易知的非空子集为，，，，，，，，，，，，，，， 则所有非空子集的元素之和为． 故答案为：8． 8．（22-23高一上·山东聊城·阶段练习）设集合，列出集合A 的子集. 【答案】A的子集为 【分析】先由条件确定集合的元素，再根据子集的定义写出其所有子集. 【详解】由化简可得， 所以A的子集为 【易错必刷三 交集的概念及运算】 9．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解集合和集合，再根据交集的定义即可求出. 【详解】因为集合， ， 所以. 故选：A. 10．（多选题）（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，则能成为的元素的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AD 【分析】求出集合B，即可求得，即可得答案. 【详解】由题意得，，所以， 故选：AD 11．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）设集合，，则 ． 【答案】 【分析】将两集合的交集问题转化为两直线的交点问题求解即可. 【详解】依题意，集合和集合都是点集，其中，集合表示在直线上的点，集合表示在直线上的点，因此集合和集合的交集元素为直线和直线的交点坐标. 联立，解得，得. 故答案为：. 12．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出，然后根据交集的定义计算； （2）先判断出，然后分，求解. 【详解】（1）由题意，当时，则，， 所以； （2）因为，所以， ①当，即时，解得，此时满足题意； ②当，即时，解得， 因为，所以，则有， 综上：或. 【易错必刷四 并集的概念及运算】 13．（23-24高三上·北京西城·期中）已知全集，集合，，则． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 故选A 14．（多选题）（24-25高三下·江西·阶段练习）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合和中元素的定义，对不同情况下元素的运算结果进行分析，判断其是否属于相应集合. 【详解】当时，，则，正确. 设，，则未必属于错误. ，因为， 所以，所以，D正确. 同理可得C正确. 故选：ACD 15．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知集合，则 【答案】 【分析】由并集运算即可求解. 【详解】由， 可得：， 故答案为： 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到，再利用集合的并集运算求解； （2）由，得到，再分和求解. 【详解】（1）不等式解得，集合， 当时，集合， 所以； （2）由，得， 当时，，即，符合题意； 当时， ，解得， 综上：实数m的取值范围. 【易错必刷五 充分条件】 17．（24-25高一上·辽宁·期中）“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要性定义，根据条件间的推出关系判断关系即可. 【详解】若，对于有，即方程有实数解，充分性成立； 当时，方程有实数解， 当时，则有实数解，则，可得且，必要性不成立； 所以“”是“方程有实数解”的充分不必要条件. 故选：A 18．（多选题）（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知：，若是的充分条件，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由是的充分条件，所以对应的集合是对应集合的子集，逐项判断即可. 【详解】因为：，所以：， 由于是的充分条件，所以对应的集合是对应集合的子集， 选项对应集合是集合的子集的只有B和D符合. 故选：BD. 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据充分条件的定义逐一判断即可. 【详解】（1）由，可以推出，所以命题（1）符合题意； （2）由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以命题（2）符合题意； （3）由，可以推出，所以命题（3）符合题意； （4）由，得或，所以不一定推出，所以命题（4）不符合题意. 故答案为：（1）（2）（3） 20．（23-24高一上·广东潮州·阶段练习）设全集，集合，非空集合 (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，从而列出不等式组，进而可求得实数的取值范围； （2）根据求解即可. 【详解】（1）因为是的充分条件， 所以， 又，即，解得. 故实数的取值范围为. （2）命题“，则”是真命题，故. 因为，且， 所以，解得； 综上所述，实数的取值范围. 【易错必刷六 根据必要不充分条件求参数】 21．（2024·江西上饶·模拟预测）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】“，”为真命题可转化为恒成立，可得，根据充分必要条件可选出答案． 【详解】若“，”为真命题，得恒成立，只需， 所以时，不能推出“，”为真命题， “，”为真命题时推出， 故是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件， 故选：A． 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 22．（多选题）（23-24高二下·广东·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】令或，，依题意可得真包含于，即可求出参数的取值范围. 【详解】令或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以真包含于，所以或， 解得或，结合选项可知符合题意的有B、C、D. 故选：BCD 23．（24-25高一上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 【答案】 【分析】设或，，由题意可得是的真子集，即可得实数的取值范围，可得的最大值. 【详解】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，则， 即实数的最大值是. 故答案为：. 24．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）设集合，集合．设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由是成立的必要不充分条件，可知集合是集合的真子集，利用集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】因为是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，得, 当时，解得，经验证，时符合题意， 综上实数的取值范围是， 【易错必刷七 根据全称命题的真假求参数】 25．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由为真命题，可得，即可得到结果. 【详解】因为命题为真命题， 则对恒成立， 所以， 即的取值范围是. 故选：D 26．（多选题）（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知命题，.若为假命题，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】BC 【分析】根据题意，求得当命题为真命题时，的取值范围，即可得到结果. 【详解】若命题为真命题，则，解得，则当命题为假命题时，. 故选：BC 27．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】假设两个命题均为真命题求出的取值范围，再取其补集即可. 【详解】当命题为真命题时，， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得， 故与不同时为真命题时，的取值范围是或 故答案为：或 28．（24-25高一上·河南·期中）已知命题. (1)若命题均为真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据全称命题为真命题求出参数的取值范围即可； （2）由题意可得有真假和假真两种情况，分别计算参数的取值范围，并取并集可得结果. 【详解】（1）当为真命题时，，解得， 当为真命题时，， 故的取值范围为. （2）当为真命题，为假命题时，得， 当为假命题，为真命题时，得， 故的取值范围为或. 【易错必刷八 根据特称(存在性)命题的真假求参数】 29．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意分或分类讨论即可求解. 【详解】由题意有：当时，满足题意， 当时，， 所以， 故选：C. 30．（多选题）（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】依题意可知中存在小于的元素且不存在大于或等于的元素，即可判断. 【详解】依题意可知中存在小于的元素且不存在大于或等于的元素， 则集合和均符合题意. 故选：AD 31．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若命题：，使得为假命题，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】根据题意，可得为真命题，从而求得的范围. 【详解】因为命题为假命题，所以命题为真命题， ，， 所以实数的取值集合为. 故答案为：. 32．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1)，使；若为真命题，； (2)或 【分析】（1）根据题意写出，由求出的取值范围； （2）按照为真、为假和为假、为真两种情况分别求出的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意，，使. 若为真命题，方程有实数解，，解得. 所以的取值范围为. （2）若命题为真、为假，有，得. 若命题为假、为真，有，得. 综上所述，若命题、一真一假，实数的取值范围为或. 【易错必刷九 由不等式的性质比较数(式)大小】 33．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出每个数的取值范围，再结合不等式的性质可得出各数的大小关系． 【详解】因为，所以，，． 由于，故在不等式上同时乘以a得，即， 因此，． 故选：C 34．（多选题）（24-25高一上·贵州·期中）下列命题中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质，推理判断ACD；举例说明判断B. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，由，得，则，因此，C正确； 对于D，由，得，而，则，D正确. 故选：AB 35．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知某商品的原价为元，由于市场原因，先降价出售，一段时间后，再提价出售，则该商品提价后的售价 该商品的原价.（填“高于”“低于”或“等于”） 【答案】低于 【分析】根据已知第一次降价后的售价为元，第二次提价后的售价为元，再计算判断即可. 【详解】第一次降价后的售价为元，第二次提价后的售价为元. 因为，所以，所以， 所以，即该商品提价后的售价低于该商品的原价. 故答案为：低于. 36．（24-25高一·全国·课后作业）已知，，（，），判定，，的大小关系. 【答案】. 【分析】先将化为，再根据不等关系判断其与的大小关系；接下来将化为，再根据不等关系判断其与的大小关系，最后得出，，的大小关系. 【详解】∵， ， ∴. 【点睛】本题重点考查不等式与不等关系的应用，熟练掌握相关不等关系是解答此类题目的关键，考查逻辑思维能力和推理能力，属于常考题. 【易错必刷十 由不等式的性质证明不等式】 37．（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和绝对值的意义，即可求解. 【详解】因为，两边平方得到， 整理得到，所以等号当且仅当时成立， 故选：D. 38．（多选题）（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知实数，，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】举反例排除A；利用不等式的性质逐一判断BCD即可得解. 【详解】当，，，时，满足条件， 此时，A项错误； 由，得， 则，，所以，B项正确； 由，，得，C项正确； 由，得，所以，则， 又，所以，D项正确． 故选：BCD． 39．（2023高一·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】根据不等式的基本性质即可逐一判断. 【详解】对于①∵，∴只有时才成立，∴①不正确； 对于②，；，∴②正确； 对于③，若，如，但，∴③不正确； 对于④，，∴，， 又∵，∴，∴，∴，∴④正确． 故答案为：②④. 40．（23-24高一·上海·课堂例题）已知实数，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据已知条件及不等式的性质证明即可. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 综上，. 【易错必刷十一 由基本不等式比较大小】 41．（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小. 【详解】因为、为互不相等的正实数， 所以由重要不等式可得，则， 所以，，则， 由基本不等式可得，所以， 因此，最大的数为. 故选：C. 42．（多选题）（24-25高一上·四川眉山·期末）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断大小关系，即可得答案. 【详解】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：ACD 43．（2023高一·江苏·专题练习）比较大小： 2(填“”“”“”或“”)． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故答案为：. 44．（24-25高一上·全国·课后作业）已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？ 【答案】(a-c)≥4 【分析】由a-c=(a-b)+(b-c)得(a-c)＝[(a-b)+(b-c)]，利用基本不等式求得最小值即可判断． 【详解】(a-c)≥4，理由如下： 因为a-c=(a-b)+(b-c)， 所以[(a-b)+(b-c)] =2++， 又a>b>c，所以+≥2， 故(a-c)≥4， 当且仅当=时，取等号. 【易错必刷十二 由基本不等式证明不等关系】 45．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件. 【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意. 故选：A. 46．（多选题）（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式证明求解判断各选项. 【详解】， 对A，因为，当且仅当时等号成立， 所以， 即，A正确； 对B，，当且仅当时取等号，因此最小值是36，B错； 对C，由三元均值不等式知C正确； 对D， ，当且仅当时取等号， 所以，D正确， 故选：ACD. 47．（2023高一·上海·专题练习）已知都是正实数，若，则则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合基本不等式，求得，，，再利用不等式的性质，即可求解. 【详解】因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 所以， 同理可得，， 所以， 即，即. 故答案为：. 48．（24-25高一·全国·课后作业）已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 【答案】证明见解析 【分析】利用基本不等式证明. 【详解】因为, 所以,即≥,当且仅当时取得等号, 则有， 同理得≥，≥， 相加可得++≥++，当且仅当时等号成立. 【易错必刷十三 求二次函数的值域或最值】 49．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）若函数的定义域为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数在上的单调性，即可得出该函数的值域. 【详解】因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，，所以函数在上的值域为. 故选：B. 50．（多选题）（23-24高二下·广西玉林·期末）已知函数，且，则以下结论一定正确的是：（    ） A． B．的最小值为 C．的顶点坐标为 D．的图像关于直线对称 【答案】ACD 【分析】由二次函数的相关概念判断即可. 【详解】因为，所以对称轴为，， 所以顶点坐标为，的最小值为，所以ACD正确，B错误. 故选：ACD 51．（23-24高一上·海南儋州·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数单调性求解值域. 【详解】 开口向上，对称轴为, 函数单调递减，函数单调递增， 当时，, 当时，, 所以. 故答案为： 52．（2025高三·全国·专题练习）已知二次函数和一次函数，且，. (1)求证：两函数有两个不同的交点； (2)求线段在轴上的投影的长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）联立两个函数的方程得．利用即证； （2）由题意得，再根据二次函数的性质求得即得. 【详解】（1）由消去，得． ． ，，，． ，，即两函数的图象交于不同的两点. （2）设方程的两根为和，则，． ． 的对称轴方程是， 由，可得， 所以， ，故． 【易错必刷十四 求二次函数的解析式】 53．（24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知二次函数的图象的对称轴是，并且通过点，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象的对称轴可得，根据图象过点可得，联立两方程可求得结果. 【详解】∵图象的对称轴是， ∴①， 又图象过点，∴，即②， 联立①②解得，， 故选：C. 54．（多选题）（22-23高一上·江苏镇江·开学考试）下列结论中正确的是（    ） A．若二次函数的图像过点，则二次函数的解析式为 B．若抛物线的顶点为，且过点则此抛物线的解析式为 C．若二次函数的图像与轴交于点和，且过点，则二次函数的解析式为 D．若抛物线经过点，其顶点的纵坐标为6，则这个抛物线的解析式为 【答案】AB 【分析】由一元二次函数的图像和性质判断各选项即可. 【详解】选项A：将代入得解得，所以二次函数解析式为：，A正确； 选项B：因为二次函数的顶点为，且过点所以解得，所以抛物线解析式为：，B正确； 选项C：将，，代入得解得，所以二次函数解析式为：，C错误； 选项D：因为抛物线经过点，由抛物线的对称性得对称轴为，顶点为，由解得，D错误. 故选：AB 55．（22-23高一上·甘肃酒泉·期中）已知二次函数的图象过点，图象向左平移个单位后的对称轴是轴，向下平移个单位后与轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合二次函数的图象与性质，设，由二次函数的图象过点，代入求得的值，即可求解 【详解】因为二次函数图象向左平移个单位后的对称轴是轴， 再向下平移个单位后与轴只有一个交点， 所以二次函数的图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 又因为二次函数的图象过点，代入可得， 所以二次函数的解析式为. 故答案为：. 56．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，满足. (1)若函数有最小值，且此最小值为，求函数的解析式； (2)记为函数在区间上的最大值，求的表达式. 【答案】(1)当，时，；当，时，. (2) 【分析】（1）根据已知条件得到，，代入函数后，利用其最小值列出方程，进而求得参数，得到函数的解析式； （2）分类讨论和两种情况，结合二次函数的性质分析求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以有，， 所以， 由函数有最小值可知， 函数的最小值为，解得或. 当时，，函数的解析式为； 当时，，函数的解析式为. （2）①时， i.当对称轴即时， 函数在区间上的最大值， ii.当对称轴即时，与矛盾，舍去. 故当时，函数在区间[1，2]上的最大值; ②时， i.当对称轴即时， 函数在区间[1，2]上的最大值， ii.当对称轴即时， 函数在区间上的最大值， iii.当对称轴即时， 函数在区间上的最大值. 综上所述，. 【易错必刷十五 一元二次不等式的概念及辨析】 57．（24-25高二上·河南郑州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接解不等式得到答案. 【详解】解得 故选 【点睛】本题考查了解不等式，属于简单题型. 58．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】由于含有根式（）不是一元二次不等式，是分式不等式， 因此只有、是一元二次不等式，即只有A、D符合题意. 故选：AD． 59．（23-24高三·宁夏银川·阶段练习）已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先得到不等式的解集为，再确定的解为 或，解得答案. 【详解】不等式的解集为，则不等式的解集为 的解为： 或 解得答案： 故答案为 【点睛】本题考查了解不等式，将看成整体可以简化运算，是解题的关键. 60．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）解不等式组． 【答案】或 【分析】先将，移项，通分，合并同类项，变形为，转化为等价的整式不等式组解不等式组，再分类讨论，当时，解不等式，；当时，解不等式，画数轴，即可. 【详解】 解得或 当时，变形为，解得 当时，变形为，解得 画数轴为： 由图可知，或 所以，解集为：或. 【点睛】本题考查分式不等式以及一元二次不等式的解法.属于中档题. 【易错必刷十六 解不含参数的一元二次不等式】 61．（2025·天津河北·模拟预测）不等式的解集为（    ） A．，或 B． C．，或 D． 【答案】A 【分析】应用一元二次不等式的解法求解集. 【详解】由，可得或，故解集为，或. 故选：A 62．（多选题）（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）下列不等式的解集为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分别解每个不等式即可. 【详解】解，解集为； ，解集为； ，解得或； ，解集为. 故选：ABD 63．（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式的解集为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式可得，结合的概念可得不等式的解集. 【详解】由得，，解得， 所以或，故，所以原不等式的解集为. 故答案为：. 64．（24-25高一上·安徽·期中）已知关于的函数． (1)若，求时的取值范围． (2)是否存在实数，满足当时，的最大值为3?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）问题转化成解一元二次不等式解决. （2）分情况讨论函数在上最大值，令最大值为3求的值. 【详解】（1）当时，可转化为：. 所以或. 所以的取值范围是：. （2）函数在的最大值，可能是在行或或时取得. 若.此时为开口向上的抛物线，且，，所以满足题意. 若.此时为开口向下的抛物线，且，，对称轴为，所以满足题意； 若，解得或. 当时，，对称轴为，故不合题意. 综上可知：存在实数或，使得满足当时，的最大值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 预备知识易错必刷题型专训（64题16个考点） 【易错必刷一 判断是否为同一集】 1．（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（多选题）（24-25高一上·浙江·期中）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·全国·课后作业）给出下列四种说法 ①任意一个集合的表示方法都是唯一的； ②集合与集合是同一个集合 ③集合与集合表示的是同一个集合； ④集合是一个无限集. 其中正确说法的序号是 .（填上所有正确说法的序号） 4．（24-25高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由． （1）集合与集合表示同一集合； （2）集合与集合表示同一集合； （3）集合与集合表示同一集合； （4）集合与集合表示同一集合； 【易错必刷二 求集合的子集(真子集)】 5．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一·上海·假期作业）设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则 ． 8．（22-23高一上·山东聊城·阶段练习）设集合，列出集合A 的子集. 【易错必刷三 交集的概念及运算】 9．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，则能成为的元素的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）设集合，，则 ． 12．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【易错必刷四 并集的概念及运算】 13．（23-24高三上·北京西城·期中）已知全集，集合，，则． A． B． C． D． 14．（多选题）（24-25高三下·江西·阶段练习）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知集合，则 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【易错必刷五 充分条件】 17．（24-25高一上·辽宁·期中）“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（多选题）（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知：，若是的充分条件，则可以是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 20．（23-24高一上·广东潮州·阶段练习）设全集，集合，非空集合 (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 【易错必刷六 根据必要不充分条件求参数】 21．（2024·江西上饶·模拟预测）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 22．（多选题）（23-24高二下·广东·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A．3 B． C． D． 23．（24-25高一上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 24．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）设集合，集合．设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【易错必刷七 根据全称命题的真假求参数】 25．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（多选题）（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知命题，.若为假命题，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 27．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 28．（24-25高一上·河南·期中）已知命题. (1)若命题均为真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个真命题，求的取值范围. 【易错必刷八 根据特称(存在性)命题的真假求参数】 29．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（多选题）（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若命题：，使得为假命题，则实数的取值集合是 . 32．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【易错必刷九 由不等式的性质比较数(式)大小】 33．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 34．（多选题）（24-25高一上·贵州·期中）下列命题中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 35．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知某商品的原价为元，由于市场原因，先降价出售，一段时间后，再提价出售，则该商品提价后的售价 该商品的原价.（填“高于”“低于”或“等于”） 36．（24-25高一·全国·课后作业）已知，，（，），判定，，的大小关系. 【易错必刷十 由不等式的性质证明不等式】 37．（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 38．（多选题）（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知实数，，，满足，则（    ） A． B． C． D． 39．（2023高一·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是 ． 40．（23-24高一·上海·课堂例题）已知实数，求证：． 【易错必刷十一 由基本不等式比较大小】 41．（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 42．（多选题）（24-25高一上·四川眉山·期末）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 43．（2023高一·江苏·专题练习）比较大小： 2(填“”“”“”或“”)． 44．（24-25高一上·全国·课后作业）已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？ 【易错必刷十二 由基本不等式证明不等关系】 45．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 46．（多选题）（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 47．（2023高一·上海·专题练习）已知都是正实数，若，则则与的大小关系是 ． 48．（24-25高一·全国·课后作业）已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 【易错必刷十三 求二次函数的值域或最值】 49．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）若函数的定义域为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 50．（多选题）（23-24高二下·广西玉林·期末）已知函数，且，则以下结论一定正确的是：（    ） A． B．的最小值为 C．的顶点坐标为 D．的图像关于直线对称 51．（23-24高一上·海南儋州·阶段练习）函数的值域为 ． 52．（2025高三·全国·专题练习）已知二次函数和一次函数，且，. (1)求证：两函数有两个不同的交点； (2)求线段在轴上的投影的长度的取值范围. 【易错必刷十四 求二次函数的解析式】 53．（24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知二次函数的图象的对称轴是，并且通过点，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 54．（多选题）（22-23高一上·江苏镇江·开学考试）下列结论中正确的是（    ） A．若二次函数的图像过点，则二次函数的解析式为 B．若抛物线的顶点为，且过点则此抛物线的解析式为 C．若二次函数的图像与轴交于点和，且过点，则二次函数的解析式为 D．若抛物线经过点，其顶点的纵坐标为6，则这个抛物线的解析式为 55．（22-23高一上·甘肃酒泉·期中）已知二次函数的图象过点，图象向左平移个单位后的对称轴是轴，向下平移个单位后与轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 ． 56．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，满足. (1)若函数有最小值，且此最小值为，求函数的解析式； (2)记为函数在区间上的最大值，求的表达式. 【易错必刷十五 一元二次不等式的概念及辨析】 57．（24-25高二上·河南郑州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 58．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 59．（23-24高三·宁夏银川·阶段练习）已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为 . 60．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）解不等式组． 【易错必刷十六 解不含参数的一元二次不等式】 61．（2025·天津河北·模拟预测）不等式的解集为（    ） A．，或 B． C．，或 D． 62．（多选题）（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）下列不等式的解集为的是（    ） A． B． C． D． 63．（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式的解集为 . 64．（24-25高一上·安徽·期中）已知关于的函数． (1)若，求时的取值范围． (2)是否存在实数，满足当时，的最大值为3?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $