专题06 整式的乘除章末49道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题06 整式的乘除章末49道压轴题型专训（7大题型） 题型一 单项式乘多项式的应用 题型二 多项式乘多项式与图形面积 题型三 多项式乘法中的规律性问题 题型四 平方差公式与几何图形 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 题型六 幂的运算综合应用 题型七 乘法公式的最值问题 【经典例题一 单项式乘多项式的应用】 1．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）若为自然数，试说明整式的值一定是3的倍数． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）根据图中所给数据，计算阴影部分面积． 3．（2025·上海宝山·模拟预测）观察下列等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论： 已知时，求代数式：的值．   只知道x的值，没有告诉y值，求不出答案 这道题与y值无关，是可以解的．   根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？ 5．（24-25七年级上·上海·期末）如图，已知正方形与正方形，点在边上，已知正方形的边长为，正方形的边长为，且．用、表示下列图形的面积．    (1)的面积． (2)的面积． (3)的面积． 6．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图1中的个小长方形，长为，宽为，按照图方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 7．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）阅读：已知x2y=3，求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值. 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入. 解：2xy(x5y2-3x3y-4x)=2x6y3-6x4y2-8x2y =2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y =2×33-6×32-8×3=-24. 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知ab=3，求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值； (2)已知a2＋a－1＝0，求代数式a3＋2a2＋2018的值． 【经典例题二 多项式乘多项式与图形面积】 8．（24-25七年级上·上海金山·期中）有一块长为米，宽为米的长方形空地，规划部门计划在这块地的中间留出一块边长为米的正方形地来修建喷泉，剩余部分进行绿化．求绿化部分的面积是多少平方米？ 9．（24-25七年级上·上海青浦·期中）根据几何图形的面积关系，可以直观的解释一些整式乘法的等式． (1)根据下图可以写出的整式乘法的等式是_____； (2)请你画出一个几何图形解释等式． 10．（24-25七年级上·上海静安·期末）如图．在长为，宽为的长方形铁片上，截去长为，宽为的小长方形铁片． (1)用含、的代数式表示剩余部分（即阴影部分）的面积；（结果化为最简形式） (2)求剩余部分的面积与截去的小长方形铁片的面积之差． 11．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为 ，宽为 ． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，使盒子更加美观，若花费为元/，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 12．（24-25七年级上·上海松江·期末）嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张，他用1张Ⅰ型、1张Ⅱ型和2张Ⅲ型卡片拼出一个新的图形（如图②）． (1)根据图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型卡片各多少张． (3)分解因式：． 13．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，长为12、宽为x的大长方形被分割成7小块，除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为y． (1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________；（用含y的代数式表示） (2)用含x，y的代数式分别表示阴影部分A，B的面积； (3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差． 14．（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些整式进行乘法运算． (1)图可以解释的代数恒等式是_____________ ； (2)现有足够多的正方形和矩形卡片，如图： ①若要拼出一个面积为的矩形，则需要1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片 张； ②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为． 【经典例题三 多项式乘法中的规律性问题】 15．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习） 观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： (2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简： 16．（2025·上海松江·模拟预测）观察下列式子： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)请写出第4个等式：______； (2)设一个两位数表示为，根据上述规律，请写出的一般性规律，并予以证明． 17．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）你能求出的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考下，从简单的情形入手，先计算下列各式的值： (1) ． (2) ． (3) ． (4)由此我们可以得到 ． (5)利用上面的结论，完成下面的计算： ① ②． 18．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）在多项式乘法的学习中，我们发现具有某些结构特征的整式的乘法运算及结果都有规律． 例如：； ； ． (1)请观察上述整式的乘法及其运算结果的规律，用含a，b的等式表示该规律并证明； (2)一个水平放置的长方体容器，其容积为，底面积为，装满水时的高度为．求n的值． 19．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处，1，2，3，4…）的展开式中的系数．杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两数之和． (1)请直接写出______； (2)利用上面的规律计算： ①______； ②______． (3)直接写出的展开式． 20．（24-25七年级上·上海松江·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)判断的展开式共有________项；写出的第三项的系数是_________； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①的展开式为________． ②猜想：的展开式中各项系数的和是________． (3)运用：若今天是星期三，那么再过天是星期_______． 21．（24-25七年级上·上海金山·期中）【阅读材料】爱思考的小李同学发现：两个两位数相乘，如果这两个两位数的个位数字相同，十位数字的和是10，对于这种特殊关系的两位数相乘，计算结果与原来的两位数数位上的数字有一些特殊的关联． 比如，它们乘积的前两位是31，等于，它们乘积的后两位是49，等于，用速算方法计算可得：．又如，它们乘积的前两位是12，等于，它们乘积的后两位是9，等于，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，用速算方法计算可得：．该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性． (1)观察与归纳：观察上述例子，请以这种速算方法计算___________； (2)推理与解释：对于这种特殊关系的两位数相乘，设其中一个两位数的十位数字为，个位数字是（表示的整数、表示的整数），则该两位数可表示为，另一个两位数可表示为___________；用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：___________；请运用所学知识，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果的理由． 【经典例题四 平方差公式与几何图形】 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）某公园原来有一块长方形草坪，经规划后，长要缩短12米，宽要加长12米，结果改造后的草坪刚好是一个边长为x米的正方形，则改造后草坪面积是增加了还是减少了？通过计算说明理由． 23．（24-25七年级上·上海松江·期中）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是______．若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它的面积是_____． （2）由（1）可以得到一个公式_______． （3）利用你得到的公式计算：． 24．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个） A．                B． C．                    D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 25．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）如图1，在边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成如图2所示的长方形． (1)比较图1和图2中空白部分的面积，可以得到等式：_________； (2)请用上面得到的公式计算下面各题： ①已知，，则_________； ②计算：； ③计算：． 26．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）（1）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． 比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母a，b表示）；    （2）已知：，求的值； （3）计算：． 27．（24-25七年级上·上海奉贤·开学考试）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形． (1)请表示图1中阴影部分的面积． (2)小颖将图1中的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，如何表示这个长方形的面积？ (3)比较（1）（2）的结果，你能得到怎样的等式？ (4)对于图1阴影部分的面积，你还有其他计算方法吗？ 28．（24-25七年级上·上海长宁·期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以验证的乘法公式是__________________； (2)并利用所得公式计算：； (3)运用以上规律计算． 【经典例题五 完全平方公式在几何图形中的应用】 29．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，，P是线段上一点，分别以，为边作正方形． (1)设，求两个正方形的面积之和S； (2)当分别为，，时，比较S的大小； 30．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，． (1)求的值； (2)求图中阴影部分的面积． 31．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（图②），两个边长为b的小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示，； (2)若，，求的值． 32．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）如图，4个完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可用两种方法表示，进而得到一个等式． 【基础应用】 (1)方法1： ，方法2： ； (2)这个等式为 ． 【解决问题】 (3)已知，，求的值． 33．（24-25七年级上·上海闵行·期末） 阅读下列材料，并解答问题： 已知，，求的值． 老师是这样讲解的： 解：因为，所以． 因为，，所以． (1)已知，，求的值； (2)如图，在中，，分别以，为边向其外部作正方形和正方形．若，正方形和正方形的面积和为18，求的面积． 34．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如，由图1可以根据面积相等得到公式：． (1)利用公式解答下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求的值． (2)如图2，四边形的对角线与相交于点，已知，若，求的面积． 35．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）通过学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图（1）可以得到；如图（2）可以得到．现有长与宽分别为a，b的长方形若干个，用四个这样的长方形拼成如图（3）所示的图形，请认真观察图形，解答下列问题： 【探索发现】 (1)根据图（3），猜想并验证与之间的关系（用含a，b的式子表示）： ． (2)【解决问题】 ①若，，则＝ ； ②当时，求的值． (3)【迁移应用】 如图（4），在长方形空地上铺五个相同的蓝色小长方形，两个相同的白色大正方形和两个相同的白色小正方形地砖．已知长方形空地的周长为米，每个小长方形地砖的面积为平方米．设每个小长方形地砖的长为m米，宽为n米． ①＝ ； ②求长方形空地中白色地砖的总面积． 【经典例题六 幂的运算综合应用】 36．（24-25七年级上·上海松江·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值； (2)若，求的值． 37．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求：的值； (2)已知，求x的值． 38．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：_________； (2)计算：． 39．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）“已知，，求的值．”对于这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得，所以，所以． 请利用这样的思考方法解决下列问题． 已知，，求下列代数的值： (1)； (2)． 40．（24-25七年级上·上海虹口·期中）阅读理解： 根据乘方的意义“”可以推导出幂的相关运算法则． (1)下面是积的乘方法则：的推导过程，在括号里写出每一步的依据。 （______） （______） （______） ∴ (2)请你完成下列问题： ①写出“同底数幂的乘法”法则______． ②类比（1）的方法写出推导过程，并写出每一步的依据． 41．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：与（，、都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作． 运算法则如下： ． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)如果，求出的值； (3)如果，请直接写出的值． 42．（24-25七年级上·上海金山·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【经典例题七 乘法公式的最值问题】 43．（2025七年级上·上海虹口·模拟预测）整数满足条件：，． (1)若，则___________ (2)求的最小值． 44．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值． 45．（24-25七年级上·上海静安·期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：， 因为，所以，所以的最小值是2． (1)当取最小值时，相应的x的值是______； (2)求代数式的最小值； (3)对于代数式：，请直接写出它的最值（请说明“最大值”或“最小值”）并写出此时相应的x的值． 46．（24-25七年级上·上海宝山·期末）定义：将多项式变形为的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：． 例如：若将多项式进行配方，则． 配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用． (1)将多项式配方为的形式，则__________， __________； (2)若多项式，证明：无论取何值，均成立； (3)已知为直角三角形的两条直角边的长，斜边长为，关于的代数式可变形为（为常数），求的值． 47．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 48．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先仔细阅读材料，再尝试解决问题： 完全平方公式及的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式 因为无论x取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求 (1)多项式的最小值是多少，并写出对应的x的取值； (2)多项式的最大值是多少，并写出对应的x的取值． 49．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习） 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式 ； (2)已知，则 ； (3)已知 x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (4)已知实数x、y满足，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 整式的乘除章末49道压轴题型专训（7大题型） 题型一 单项式乘多项式的应用 题型二 多项式乘多项式与图形面积 题型三 多项式乘法中的规律性问题 题型四 平方差公式与几何图形 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 题型六 幂的运算综合应用 题型七 乘法公式的最值问题 【经典例题一 单项式乘多项式的应用】 1．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）若为自然数，试说明整式的值一定是3的倍数． 【答案】见解析 【分析】先把n（2n＋1）−2n（n−1）进行计算，然后合并同类项，即可得出n（2n＋1）−2n（n−1）的值一定是3的倍数． 【详解】解：∵n（2n＋1）−2n（n−1）＝2n2＋n−2n2＋2n＝3n，n为自然数， ∴3n是3的倍数， ∴n（2n＋1）−2n（n−1）的值一定是3的倍数． 【点睛】此题考查了整式乘法的应用，解题的关键是把所求的式子进行计算，然后进行整理，得到3n，n为自然数，说明一定是3的倍数． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）根据图中所给数据，计算阴影部分面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，单项式乘以单项式的应用，阴影部分的面积等于最大的长方形面积减去中间空白部分的面积，据此列式求解即可． 【详解】解： ． 3．（2025·上海宝山·模拟预测）观察下列等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，多项式乘以多项式，找到规律是解题的关键； （1）观察前几个式子得出第5个等式：； （2）猜想：第个等式为，根据多项式乘以多项式，进行计算证明，即可求解． 【详解】（1）解：第5个等式：． 故答案为：． （2）猜想：第个等式为 证明：左边 右边 左边右边 ∴ 4．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论： 已知时，求代数式：的值．   只知道x的值，没有告诉y值，求不出答案 这道题与y值无关，是可以解的．   根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？ 【答案】小红说得对，见解析 【分析】首先对多项式进行化简，根据平方差公式，多项式相乘，单项式乘多项式计算，然后去括号合并同类项，确定结果中的项不含字母y，即可作出判断． 【详解】小红说得对，理由如下： ， 代数式的值与值无关． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值的无关型问题，熟练掌握平方差公式，多项式相乘的法则，单项式乘多项式法则，去括号法则，合并同类项法则，是解决问题的关键． 5．（24-25七年级上·上海·期末）如图，已知正方形与正方形，点在边上，已知正方形的边长为，正方形的边长为，且．用、表示下列图形的面积．    (1)的面积． (2)的面积． (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）三角形以为底，为高，利用三角形面积公式求出即可； （2）三角形以为底，为高，利用三角形面积公式求出即可； （3）三角形面积=正方形面积+正方形面积+三角形面积三角形面积三角形面积，求出即可． 【详解】（1）解：根据题意得：的面积； （2）解：根据题意得：的面积； （3）解：根据题意得：的面积． 【点睛】此题考查了整式混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 6．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图1中的个小长方形，长为，宽为，按照图方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题；设，由图可知,则，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可知的值与的值无关，即有，则问题得解． 【详解】设 由图可知， 则 ； 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 7．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）阅读：已知x2y=3，求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值. 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入. 解：2xy(x5y2-3x3y-4x)=2x6y3-6x4y2-8x2y =2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y =2×33-6×32-8×3=-24. 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知ab=3，求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值； (2)已知a2＋a－1＝0，求代数式a3＋2a2＋2018的值． 【答案】(1)-78；(2)2019. 【分析】(1)将待求式展开化为−4(ab)3+6(ab)2−8ab形式，将ab=3整体代入所化简的式子求值即可； (2)所求式子第二项拆项后，前两项提取a，将已知等式变形为a2＋a=1代入计算即可求出值. 【详解】解：(1)(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b) =-4a3b3+6a2b2-8ab =-4(ab)3+6(ab)2-8ab 将ab=3代入上式，得 −4×33+6×32−8×3=-78 所以(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)=−78 (2)∵a2＋a=1， ∴a3＋2a2＋2018 =a3＋a2＋a2＋2018 =a(a2＋a)＋a2＋2018 =a＋a2＋2018 =1＋2018 =2019. 【点睛】本题考查了单项式乘多项式，将所求式子进行适当的变形和整体代入是解题关键． 【经典例题二 多项式乘多项式与图形面积】 8．（24-25七年级上·上海金山·期中）有一块长为米，宽为米的长方形空地，规划部门计划在这块地的中间留出一块边长为米的正方形地来修建喷泉，剩余部分进行绿化．求绿化部分的面积是多少平方米？ 【答案】绿化部分的面积是平方米． 【分析】此题考查了多项式乘多项式的应用，完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 绿化面积长方形面积正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； 【详解】解：根据题意得， 绿化部分的面积 ． ∴绿化部分的面积是平方米． 9．（24-25七年级上·上海青浦·期中）根据几何图形的面积关系，可以直观的解释一些整式乘法的等式． (1)根据下图可以写出的整式乘法的等式是_____； (2)请你画出一个几何图形解释等式． 【答案】(1)； (2)画出见解析． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握多项式乘法的乘法法则进行求解是解题的关键． （）应用多项式乘法乘多项式的法则进行计算即可得出答案； （）应用多项式乘法乘多项式的法则进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可知，， 故答案为：； （2）解：， 图形如下： 10．（24-25七年级上·上海静安·期末）如图．在长为，宽为的长方形铁片上，截去长为，宽为的小长方形铁片． (1)用含、的代数式表示剩余部分（即阴影部分）的面积；（结果化为最简形式） (2)求剩余部分的面积与截去的小长方形铁片的面积之差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）分别表示出长方形的面积，剪去铁片的面积，再根据整式的减法运算法则计算即可； （2）根据题意，运用整式的减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：长方形的面积为，剪去铁片的面积为， ∴， ∴剩余部分（即阴影部分）的面积为； （2）解：． 11．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为 ，宽为 ． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，使盒子更加美观，若花费为元/，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 【答案】(1) (2)涂漆这个铁盒需要元钱 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与图形的面积； （1）根据长方形的长乘以宽进行计算即可求解； （2）根据（1）减去4个边长为的正方形面积，进而乘以，即可求解． 【详解】（1）解：原铁皮的面积是； （2）油漆这个铁盒的表面积是：． 则油漆这个铁盒需要的钱数是： 答：涂漆这个铁盒需要元钱． 12．（24-25七年级上·上海松江·期末）嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张，他用1张Ⅰ型、1张Ⅱ型和2张Ⅲ型卡片拼出一个新的图形（如图②）． (1)根据图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型卡片各多少张． (3)分解因式：． 【答案】(1) (2)需要Ⅰ型卡片1张，Ⅱ型卡片2张，Ⅲ型卡片3张 (3) 【分析】本题主要考查了多项式的乘法与图形的面积以及因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解． （1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是； （2）由面积计算可得共需Ⅰ型卡片1张，Ⅱ型卡片2张，Ⅲ型卡片3张； （3）根据（2）的结论，进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）这个乘法公式是， 故答案为； （2）如图，拼成一个长为，宽为的大长方形， 根据， 则需要Ⅰ型卡片1张，Ⅱ型卡片2张，Ⅲ型卡片3张． （3）如图 由图形可得． 13．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，长为12、宽为x的大长方形被分割成7小块，除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为y． (1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________；（用含y的代数式表示） (2)用含x，y的代数式分别表示阴影部分A，B的面积； (3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差． 【答案】(1) (2)阴影部分A的面积为：，阴影部分B的面积为： (3)当时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关，此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差为 【分析】本题主要考查整式的运算与几何图形面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据图示列代数式求解即可； （2）根据图示，分别得到阴影部分A，B的边长，结合面积的计算公式求解即可； （3）根据整式混合运算求解即可． 【详解】（1）解：根据图示中长方形的长边得到，每个小长方形较长一边长为； （2）解：大长方形的面积为：， 阴影部分A的长为：，宽为：， ∴阴影部分A的面积为：， 阴影部分B的长为：，宽为：， ∴阴影部分B的面积为：； （3）解：阴影部分A与阴影部分B的面积之差： ， ∵面积之差与x的值无关， ∴， 解得，， ∴当时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关， ∴阴影部分A与阴影部分B的面积之差为：． 14．（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些整式进行乘法运算． (1)图可以解释的代数恒等式是_____________ ； (2)现有足够多的正方形和矩形卡片，如图： ①若要拼出一个面积为的矩形，则需要1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片 张； ②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为． 【答案】(1) (2)①1，2，3 ②见解析 【分析】本题考查了多项式乘多项式与几何图形的面积，解题的关键是体会数形结合的思想． （1）根据图形的面积可得； （2）①根据，可得各号卡片的个数； ②根据得出各号卡片的个数，画出图形即可． 【详解】（1）解：根据图形可得， ， 故答案为：； （2）解：① ∴需要1号卡片1张，2号卡片2张，3号卡片3张， 故答案为：①1，2，3； ②， 根据上述恒等式可知需要1号卡片2张，2号卡片2张，3号卡片5张； 画图如下： 【经典例题三 多项式乘法中的规律性问题】 15．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习） 观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： (2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简： 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的乘法运算和探究与表达规律． （1）根据上述式子，即可得到规律； （2）根据整式的乘法运算法则进行运算，即可证明； （3）利用结论，把看成，进行化简，即可． 【详解】（1）由题意得，． 故答案为：． （2） ． （3） ． 16．（2025·上海松江·模拟预测）观察下列式子： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)请写出第4个等式：______； (2)设一个两位数表示为，根据上述规律，请写出的一般性规律，并予以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索： （1）仿照题意求解即可； （2）观察可知，再分别去掉等式左右两边的括号进行证明即可. 【详解】（1）解：根据题意可得第4个等式为：； 故答案为：； （2）解：规律：． 证明：左边， 右边， 左边右边，即. 17．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）你能求出的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考下，从简单的情形入手，先计算下列各式的值： (1) ． (2) ． (3) ． (4)由此我们可以得到 ． (5)利用上面的结论，完成下面的计算： ① ②． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)①；② 【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算和归纳能力，关键是能准确理解并运用该计算方法进行正确地计算、归纳和运用． （1）运用多项式乘多项式的运算法则进行展开，合并同类项，即可作答． （2）运用多项式乘多项式的运算法则进行展开，合并同类项，即可作答． （3）运用多项式乘多项式的运算法则进行展开，合并同类项，即可作答． （4）结合（1）（2）（3）的结论，推出规律，即可作答． （5）结合（4），归纳出该类题目的计算规律，并运用该规律求解第（5）小题． 【详解】（1）解：由平方差公式， 得 ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：； （4）解：由以上计算结果可得， ， ， 故答案为：； （5）解：①上面的结论可得， ； ②上面的结论可得， ． 18．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）在多项式乘法的学习中，我们发现具有某些结构特征的整式的乘法运算及结果都有规律． 例如：； ； ． (1)请观察上述整式的乘法及其运算结果的规律，用含a，b的等式表示该规律并证明； (2)一个水平放置的长方体容器，其容积为，底面积为，装满水时的高度为．求n的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】此题考查了多项式乘法中的规律． （1）观察已知条件中的等式可知两个数的和乘以与这两个数的平方和与它们乘积的差=这两个数的立方和，按照此规律，用含a，b的等式表示该规律并证明即可； （2）按照（1）中规律，利用长方体的容积公式，列出算式，进行计算，从而得到关于n的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 证明：左边右边， ； （2）由题意得： 由（1）可令，得 对比两式，， 解得． 19．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处，1，2，3，4…）的展开式中的系数．杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两数之和． (1)请直接写出______； (2)利用上面的规律计算： ①______； ②______． (3)直接写出的展开式． 【答案】(1) (2)①，② ； (3) 【分析】此题主要考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出此题的数字规律是正确解题的关键. （1）根据杨辉三角数表规律解答即可； （2）由杨辉三角的数表规律和（1）题的结果可得所求式子，据此解答即可；②由杨辉三角的数表规律可得所求式子，据此解答即可． （3）根据杨辉三角数可得，再解答即可. 【详解】（1）解：； （2）①； ②； （3） . 20．（24-25七年级上·上海松江·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)判断的展开式共有________项；写出的第三项的系数是_________； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①的展开式为________． ②猜想：的展开式中各项系数的和是________． (3)运用：若今天是星期三，那么再过天是星期_______． 【答案】(1)六，15 (2)① ；② (3)二 【分析】本题考查了杨辉三角，整式的混合运算，有理数的乘方，数字规律探索，通过观察得到系数的规律是解题的关键． （1）根据通过杨辉三角的规律得出结果即可； （2）①通过规律展开即可；②将，代入即可求出； （3），展开式除了最后一项外，均含有因数7，都能被7整除，求出最后一项为，可得为星期三往前数一天即可得出结果． 【详解】（1）解：根据杨辉三角可得： 则的展开式共有六项，的第三项的系数是15， 故答案为：六；15； （2）① ； ②将，代入， ， 故答案为：① ；②； （3），展开式除了最后一项外，均含有因数7，都能被7整除， 展开式最后一项为， 故为星期三往前数一天，即为星期二， 故答案为：二． 21．（24-25七年级上·上海金山·期中）【阅读材料】爱思考的小李同学发现：两个两位数相乘，如果这两个两位数的个位数字相同，十位数字的和是10，对于这种特殊关系的两位数相乘，计算结果与原来的两位数数位上的数字有一些特殊的关联． 比如，它们乘积的前两位是31，等于，它们乘积的后两位是49，等于，用速算方法计算可得：．又如，它们乘积的前两位是12，等于，它们乘积的后两位是9，等于，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，用速算方法计算可得：．该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性． (1)观察与归纳：观察上述例子，请以这种速算方法计算___________； (2)推理与解释：对于这种特殊关系的两位数相乘，设其中一个两位数的十位数字为，个位数字是（表示的整数、表示的整数），则该两位数可表示为，另一个两位数可表示为___________；用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：___________；请运用所学知识，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果的理由． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，正确理解题意是解题的关键； （1）十位数字与十位数字相乘后加上个位数字后再乘以100后加上个位数字即为答案； （2）另外一个两位数的十位数字为，个位数字为b，则可表示出另外的两位数，再根据（1）得到速算式子；根据多项式乘以多项式的计算法则求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得，另外一个两位数的十位数字为，个位数字为b，则另外一个两位数为， ∴用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：； ． 【经典例题四 平方差公式与几何图形】 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）某公园原来有一块长方形草坪，经规划后，长要缩短12米，宽要加长12米，结果改造后的草坪刚好是一个边长为x米的正方形，则改造后草坪面积是增加了还是减少了？通过计算说明理由． 【答案】增加了，改造后草坪面积增加了144平方米．理由见解析 【分析】用正方形的边长表示出原来长方形的长，宽，计算其面积，与正方形的面积作差比较即可． 本题考查了平方差公式的应用，整式的加减运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：增加了．理由如下： 由题可得，原来长方形草坪长米，宽米，面积为平方米，则草坪面积的变化为（平方米）， 故改造后草坪面积增加了144平方米． 23．（24-25七年级上·上海松江·期中）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是______．若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它的面积是_____． （2）由（1）可以得到一个公式_______． （3）利用你得到的公式计算：． 【答案】（1）图①阴影部分的面积为；图②长方形的面积为；（2）；（3）1 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何应用，利用面积建立等量关系是解答此题的关键．（1）利用正方形的面积公式，图①阴影部分的面积为大正方形的面积-小正方形的面积，图②长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论； （2）由（1）建立等量关系即可； （3）根据平方差公式即可解答． 【详解】（1）图①阴影部分的面积为：， 图②长方形的长为，宽为， 所以面积为：； （2）由（1）可以得到一个公式：； （3） ． 24．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个） A．                B． C．                    D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B． （2）解：，且， ， 解得：； （3）解： ． 25．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）如图1，在边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成如图2所示的长方形． (1)比较图1和图2中空白部分的面积，可以得到等式：_________； (2)请用上面得到的公式计算下面各题： ①已知，，则_________； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1) (2)①8；②；③ 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题． （1）分别求出两个图中空白部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，，将代入即可求出答案； ②根据平方差公式求解即可； ③先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，大正方形面积，小正方形面积， 空白部分面积大正方形面积小正方形面积， 如图2，长方形的宽，长方形的长， 长方形的面积， 由拼接可知：空白部分面积相等，可以得到等式：； （2）①，， ∴ ∴； ② ； ③ ． 26．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）（1）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． 比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母a，b表示）；    （2）已知：，求的值； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）45；（3） 【分析】（1）利用两个面积相等列式即可得到乘法公式； （2）利用所得平方差公式变形，代入计算即可； （3）将算式乘以，再利用平方差公式逐步计算即可． 【详解】解：（1）图①中的阴影面积为，图②的面积为， ∵这两个面积相等， ． 故答案为：； （2）∵， ∴； （3） ． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式解决问题是关键． 27．（24-25七年级上·上海奉贤·开学考试）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形． (1)请表示图1中阴影部分的面积． (2)小颖将图1中的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，如何表示这个长方形的面积？ (3)比较（1）（2）的结果，你能得到怎样的等式？ (4)对于图1阴影部分的面积，你还有其他计算方法吗？ 【答案】(1) (2) (3) (4)方法见解析 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的应用是解题的关键． （1）求出大正方形及小正方形的面积，作差即可得出阴影部分的面积； （2）图乙所示的长方形的长和宽分别为、，由此可计算出面积； （3）根据阴影部分的面积相等可得出平方差公式． （4）方法一：将图1阴影部分按特定方式裁剪后拼成图4梯形，利用梯形面积公式，确定上底为、下底为、高为 ，计算出面积，以此表示图1阴影部分面积．方法二：移动图1中小正方形位置后裁剪，拼成图6平行四边形，依据平行四边形面积公式 ，确定底为、高为 ，算出面积 ，来表示图1阴影部分面积． 【详解】（1）解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， 故图中..， （2）长方形的长和宽分别为、， 故重拼的长方形的面积为， （3）比较（1）和（2）的结果，都表示同一阴影的面积，它们相等， 即； （4）方法一：将图1按图3的方式裁剪，阴影部分可拼成图4．图4中梯形的面积是，等于图1阴影部分的面积． 方法二：将图1中的小正方形移动位置到大正方形正中间，按对应点裁剪(如图5)，并拼成图6．图6中平行四边形的面积是，等于图1阴影部分的面积． 28．（24-25七年级上·上海长宁·期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以验证的乘法公式是__________________； (2)并利用所得公式计算：； (3)运用以上规律计算． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的前提． （1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2矩形的长为，宽为，因此面积为，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式； （2）将写为，利用平方差公式即可求解； （3）配个因式，连续利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ，， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 【经典例题五 完全平方公式在几何图形中的应用】 29．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，，P是线段上一点，分别以，为边作正方形． (1)设，求两个正方形的面积之和S； (2)当分别为，，时，比较S的大小； 【答案】(1) (2)为时S最小，为和时S相等且最大 【分析】本题主要考查正方形的面积公式、整式的混合运算法则、完全平方公式，关键在于熟练掌握正方形的面积公式、完全平方公式． （1）根据，得出的长度，即可得出的表达式，然后运用完全平方公式、合并同类项即可推出最后结果； （2）根据（1）得出的式子，可推出关于的表达式，然后，通过乘法运算，合并同类项即可推出最后结果，然后进行比较大小即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：设当分别为，，时所对应的两个正方形的面积和分别为，，， 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∵ ∴． 30．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，． (1)求的值； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)184 (2)57 【分析】此题考查了完全平方公式的变形应用，单项式乘以多项式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用完全平方公式的变形求解即可； （2）首先表示出，，，然后利用代入求解即可． 【详解】（1）； （2）由题意得：，，， ，， ． 31．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（图②），两个边长为b的小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示，； (2)若，，求的值． 【答案】(1)； (2)34 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够运用数形结合、恰当进行代数式的变形是解答本题的关键． （1）根据正方形面积之间的关系，即可用含，的代数式表示，； （2）根据，直接将条件代入即可． 【详解】（1）解：依题意，； ， ； （2）解： ． 当，时， 原式 ． 32．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）如图，4个完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可用两种方法表示，进而得到一个等式． 【基础应用】 (1)方法1： ，方法2： ； (2)这个等式为 ． 【解决问题】 (3)已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)36 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由图可知，阴影部分的面积是4个长方形的面积，也是大正方形的面积减去小正方形的面积，即可解答； （2）由（1）得，方法1和方法2表示的阴影部分面积相等，即可得出答案； （3）令，，代入（2）中的结论得到，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：方法1： 由题意得，1个长方形的面积为， 阴影部分的面积； 方法2： 由题意得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分的面积； 故答案为：；． （2）解：由（1）得，方法1和方法2表示的阴影部分面积相等， 这个等式为． 故答案为：． （3）解：由（2）得，， 令，，则， 又，， ， 整理得：． 的值为36． 33．（24-25七年级上·上海闵行·期末） 阅读下列材料，并解答问题： 已知，，求的值． 老师是这样讲解的： 解：因为，所以． 因为，，所以． (1)已知，，求的值； (2)如图，在中，，分别以，为边向其外部作正方形和正方形．若，正方形和正方形的面积和为18，求的面积． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题主要考查的是完全平方公式的应用，对公式进行适当变形是解题的关键． （1）对公式变形，再代入求解即可； （2）由题可得，利用，展开再代入求解即可． 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以， 所以． （2）由题意得， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 34．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如，由图1可以根据面积相等得到公式：． (1)利用公式解答下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求的值． (2)如图2，四边形的对角线与相交于点，已知，若，求的面积． 【答案】(1)①25；②29 (2)34 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）①根据代入计算即可； ②根据题意可得，根据进行计算即可； （2）设，由题意可得，，根据，求出即可求出的面积． 【详解】（1）解：①已知， 将代入，可得． 已知，把值代入上式得：； ②令， 根据，则． 因为，所以． 又已知， 则， 移项可得； （2）解：设， 因为，即，所以， ， 已知，即，两边同乘得， 根据，可得， 把代入得：， ，把代入得． 35．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）通过学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图（1）可以得到；如图（2）可以得到．现有长与宽分别为a，b的长方形若干个，用四个这样的长方形拼成如图（3）所示的图形，请认真观察图形，解答下列问题： 【探索发现】 (1)根据图（3），猜想并验证与之间的关系（用含a，b的式子表示）： ． (2)【解决问题】 ①若，，则＝ ； ②当时，求的值． (3)【迁移应用】 如图（4），在长方形空地上铺五个相同的蓝色小长方形，两个相同的白色大正方形和两个相同的白色小正方形地砖．已知长方形空地的周长为米，每个小长方形地砖的面积为平方米．设每个小长方形地砖的长为m米，宽为n米． ①＝ ； ②求长方形空地中白色地砖的总面积． 【答案】(1) (2)①12；②1904 (3)①；②长方形空地中白色地砖的总面积为平方米 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图（3）中各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系即可得出答案； （2）①利用代入计算即可；②设，，由题意得，，由进行计算即可； （3）①根据图（4）中各个部分之间的关系即可得出，即可； ②根据代入求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：图（3）中大正方形的边长为，因此面积为，中间阴影小正方形的边长为，因此面积为，4个空白长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2） 解：①，而，， ， ， 故答案为：12； ②设，，由题意得，， ； （3） 解：①由题意得，，，即， 故答案为：； ②长方形空地中白色地砖的总面积为（平方米）， 答：长方形空地中白色地砖的总面积为平方米． 【经典例题六 幂的运算综合应用】 36．（24-25七年级上·上海松江·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用积的乘方法则计算即可； （2）先逆用幂的乘方法则，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求出m的值． 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：， ． 37．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求：的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1)6 (2)6 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算； （1）根据计算即可； （2）先全部根据幂的乘方的逆运算化成同底数幂，再比较指数即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得． 38．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：_________； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）模仿题干过程，根据同底数幂的乘法解决此题． （2）模仿题干过程，根据同底数幂的乘法解决此题． 本题主要考查乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握乘方的定义、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． 【详解】（1）解：依题意， ， ． （2）解：依题意， , ． , ． 39．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）“已知，，求的值．”对于这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得，所以，所以． 请利用这样的思考方法解决下列问题． 已知，，求下列代数的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方法则，同底数幂乘除法的逆运算： （1）先计算出，再根据进行求解即可； （2）先计算出，，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵，， ∴，，即，， ∴． 40．（24-25七年级上·上海虹口·期中）阅读理解： 根据乘方的意义“”可以推导出幂的相关运算法则． (1)下面是积的乘方法则：的推导过程，在括号里写出每一步的依据。 （______） （______） （______） ∴ (2)请你完成下列问题： ①写出“同底数幂的乘法”法则______． ②类比（1）的方法写出推导过程，并写出每一步的依据． 【答案】(1)乘方的意义；乘法的交换律，乘法的结合律；乘方的意义 (2)①aman=am+n②见解析 【分析】（1）根据乘方的意义，乘法的交换律、交换律，同底数幂的乘法的法则，即可得出答案， （2）①“同底数幂的乘法”法则：aman=am+n， ②类比（1）的过程进行推导即可． 【详解】（1）解：（乘方的意义）， （乘法交换律，乘法结合律）， （乘方的意义）， ∴； 故答案为：乘方的意义；乘法的交换律，乘法的结合律；乘方的意义； （2）解：①“同底数幂的乘法”法则：aman=am+n， 故答案为：aman=am+n ②aman=（乘方的意义）， =（乘法结合律）， =am+n（乘方的意义）， ∴aman=am+n. 【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，掌握乘方的意义、乘法的交换律、乘法的结合律，同底数幂相乘的法则是解决问题的关键． 41．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：与（，、都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作． 运算法则如下： ． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)如果，求出的值； (3)如果，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据定义的运算法则计算即可； （2）逆用运算法则列一元一次方程求解； （3）分两种情况讨论：，求解可知； ，求解可得，即可获得最终答案； 【详解】（1）解： （2）解：原等式可化为： 所以： 解得： （3）解：当时， 解得： 当时， 解得： 所以：或 【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算，掌握乘方运算法则、分类讨论思想的运用是解题的关键． 42．（24-25七年级上·上海金山·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 【经典例题七 乘法公式的最值问题】 43．（2025七年级上·上海虹口·模拟预测）整数满足条件：，． (1)若，则___________ (2)求的最小值． 【答案】(1)1011 (2)1 【分析】（1）根据题意可得到，，，，……，，从而得到，即可求解； （2）根据题意可得到或或2，或，或2，……，或，从而得到的最小值为，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ， ， ， ……， ， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即 故答案为：1011 （2）解：∵， ∴或或2，或，或2，……，或， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，数字类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 44．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值． 【答案】(1)5 (2)5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，难度不大，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴的最小值是5； （2）解：， ∵， ∴， ∴ ∴代数式的最大值是5． 45．（24-25七年级上·上海静安·期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：， 因为，所以，所以的最小值是2． (1)当取最小值时，相应的x的值是______； (2)求代数式的最小值； (3)对于代数式：，请直接写出它的最值（请说明“最大值”或“最小值”）并写出此时相应的x的值． 【答案】(1) (2)4 (3)有最大值5，此时x=1 【分析】（1）将原代数式变形为，即得出答案； （2）将原代数式变形为，即得出答案； （3）将原代数式变形为，即得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴当取最小值2时，x的值为：-1． 故答案为：-1； （2）∵ ∴代数式的最小值是4； （3） ∵， ∴ ∴代数式有最大值5，此时相应的x值是1． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用．读懂题意，理解配方法的定义是解题关键． 46．（24-25七年级上·上海宝山·期末）定义：将多项式变形为的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：． 例如：若将多项式进行配方，则． 配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用． (1)将多项式配方为的形式，则__________， __________； (2)若多项式，证明：无论取何值，均成立； (3)已知为直角三角形的两条直角边的长，斜边长为，关于的代数式可变形为（为常数），求的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由即可得到的值； （2）把的式子带入得到，利用完全平方公式的非负性得到结果； （3）由题意得到，，利用求出的值． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ； ， ． 无论x取何值，均成立； （3）解：， ， ， ， 在直角三角形中，斜边长为6， ， ， ， ， 答：的值为． 47．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 48．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先仔细阅读材料，再尝试解决问题： 完全平方公式及的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式 因为无论x取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，此时，进而的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求 (1)多项式的最小值是多少，并写出对应的x的取值； (2)多项式的最大值是多少，并写出对应的x的取值． 【答案】(1)当时，原多项式的最小值是3 (2)当时，原多项式的最大值是9 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点、正确理解题意是解题的关键． （1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案； （2）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 因为无论x取什么数，都有的值为非负数， 所以的最小值为0，此时， 所以的最小值是． 所以当时，原多项式的最小值是3； （2）解： ， ∵， ∴当值最大， 解得， 此时原式的最大值为． ∴时，原多项式的最大值是9． 49．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习） 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式 ； (2)已知，则 ； (3)已知 x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (4)已知实数x、y满足，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，理由见详解 (4)． 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）把29拆成两个整数的平方即可； （2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （4）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． （3）解： 当时，S为“完美数”，理由如下： 把代入， 得 ， ∵，为整数， ∴，也是整数， ∴当时，S为“完美数”； （4）解：∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴当时，的值最大，为． 学科网（北京）股份有限公司 $