专题01 整式的乘法重难点题型专训（7个知识点+11大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题01 整式的乘法重难点题型专训 （7个知识点+11大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 用科学记数法表示数的乘法 题型二 同底数幂相乘 题型三 幂的乘方运算 题型四 积的乘方运算 题型五 计算单项式乘单项式 题型六 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型七 计算单项式乘多项式及求值 题型八 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型九 利用单项式乘多项式求字母的值 题型十 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型十一 多项式乘多项式——化简求值 拓展训练一 同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的逆用 拓展训练二 多项式乘多项式与图形面积 拓展训练三 单项式乘多项式的应用 拓展训练四 多项式乘法中的规律性问题 知识点一：幂的定义 如果一个数a的n次方等于b，那么我们就说a是b的n次方根。例如，2的3次方等于8，我们就说2是8的3次方根。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方，根据幂的乘方等于底数不变，指数相乘计算即可. 【详解】解：原式. 故选：B. 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据法则，底数不变，指数相乘即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： ． 知识点二：幂的性质 包括幂的乘法、除法、指数法则等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方等。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法与除法，幂的乘方和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘法指数是相加，幂的乘方指数是相乘．根据同底数幂乘法与除法，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）比较大小： ． 【答案】/小于 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方的逆运算法则得到，，据此可得答案． 【详解】解；，， ∵， ∴， 故答案为：． 知识点三：幂的运算法则 包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘除法计算，单项式乘以多项式，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，掌握是解题关键．根据幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点四：幂的运算顺序 在进行幂的运算时，需要遵循一定的运算顺序。一般来说，先进行括号内的运算，再进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，，，，则这四个数从小到大排列顺序是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用幂的乘方逆运算法进行化简，然后比较底数即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算的逆运算，正确将各数统一指数是解题关键． 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方．在“”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的 ．（按运算顺序填序号） 【答案】③②① 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，熟练掌握各个运算的法则是解题的关键． 先进行积的乘方，然后进行幂的乘方，最后进行同底数幂的乘法运算． 【详解】解：在“”的运算过程中，先进行积的乘方运算，然后进行幂的乘方运算，最后进行同底数幂的乘法运算． 故答案为：③②①． 知识点五：单项式与单项式的乘法 法则概述：单项式乘以单项式，需要将它们的系数相乘，相同字母的指数分别相乘，只在一个单项式中出现的字母则直接作为积的一个因式。 计算步骤：交换并相乘各单项式的系数，确定符号后再计算绝对值；相同字母进行同底数幂的乘法，底数不变指数相加；只在单个单项式中存在的字母连同其指数一起作为结果的一部分。 运算顺序和合并同类项：在混合运算时应注意运算顺序，有同类项时必须进行合并，以得到最简结果。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式相乘的运算，需将系数相乘，同底数幂相乘． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据单项式乘多项式的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点六：单项式与多项式的乘法 分配律的应用：单项式与多项式相乘实际上是一个分配律的应用过程，即将单项式乘以多项式的每一项，然后将所有结果累加。 计算细节：需要注意符号问题，包括多项式中的每一项及其前面的符号；同时注意单项式的符号。混合运算中要注意先乘除后加减的顺序，并在最后合并同类项以得到最简形式。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海长宁·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式运算法则成为解题的关键． 直接根据单项式乘多项式运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选D． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 知识点七：多项式与多项式的乘法 乘法过程：两个多项式相乘涉及一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将所有结果加在一起。 结果化简：多项式乘以多项式的结果仍为多项式，且在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积。最后结果需化简到最简形式，合并同类项。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列多项式乘法运算正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据多项式乘多项式法则计算即可判断． 【详解】解：A、，故错误，不合题意； B、，故错误，不合题意； C、，故错误，不合题意； D、，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式的乘法，解题的关键是掌握运算法则，注意符号的变化． 2．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）若，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，利用多项式乘多项式的法则对等式左边进行运算，再根据等式的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：3． 【经典例题一 用科学记数法表示数的乘法】 【例1】（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）计算(2×102)4的结果用科学记数法表示为(     ) A．8×106 B．8×108 C．1.6×108 D．1.6×109 【答案】D 【分析】先用积的乘方公式计算，再把结果化为a×10n(1)的形式即可. 【详解】(2×102)4=16×108= 1.6×109 故选D. 【点睛】此题主要考查积的乘方公式，解题的关键是把结果化为科学记数法的形式. 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）地球上水的总储量为1.39×1018m3，但目前能被人们生产、生活利用的水只占总储量的0.77％，即约为0.0107×1018m3，因此我们要节约用水．请将0.0107×1018m3用科学记数法表示是 A．1.07×1016m3 B．0.107×1017m3 C．10.7×1015m3 D．1.07×1017m3 【答案】A 【详解】解题时注意是哪个数据， 2．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）若0.000 000 25＝2.5×10m，则m＝ . 【答案】－7 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000 000 25=2.5×10-7， 故答案为-7. 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3．（24-25七年级上·上海长宁·期中）计算： .（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据科学记数法的数的乘法，乘号前面的数相乘，乘号后面的数相乘计算即可得解． 【详解】原式=（3×8）×（105×105） =24×1010 =2.4×1011． 故答案为2.4×1011． 【点睛】本题考查了科学记数法表示数的乘法运算，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． 4．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）某户居民家的水龙头有漏水现象，据观察，1分钟漏水40滴，若一年（按365天计算）由于这种现象而浪费的水的质量为千克，则1滴水的质量为多少克？（结果用科学记数法表示） 【答案】5×10－2克． 【分析】根据每天的时间进而得出每年的时间，求出水滴的总数进而得出1滴水的质量． 【详解】∵1分钟漏水40滴，若一年（按365天计算）由于这种现象而浪费的水的质量为1.0512×103千克， ∴1滴水的质量为：1.0512×103×1000÷(24×60×40×365)=0.05=5×10-2（克）， 答：1滴水的质量为5×10-2克． 【点睛】此题主要考查了科学记数法以及有理数的计算，得出每年的水滴数是解题关键． 【经典例题二 同底数幂相乘】 【例2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”进行计算即可． 【详解】解： ． 故选D． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的法则，将左边各数转化为2的幂次形式，利用同底数幂相乘法则计算，再解方程求m.熟练掌握同底数幂相乘法则是解题的关键. 【详解】解：由， 得 ， ∴， ∴， 得， 解得. 故选：D 2．（24-25七年级上·上海虹口·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法乘法运算，先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是掌握相关的知识．根据幂的乘方把式子化为同底数幂的乘法，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可． （2）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可． （3）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可． （4）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可，同底数幂乘法解答即可． 本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【经典例题三 幂的乘方运算】 【例3】（24-25七年级上·上海虹口·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方，将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：． 故答案为：B ． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法的意义，乘方的意义，同底数幂的乘法以及幂的乘方等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用乘法的意义，乘方的意义以及幂的乘方等运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）指数运算可以做如下推广：m，n是实数，时满足运算：，，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算的应用，由，得，即可求解；能熟练利用幂的运算公式求解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·开学考试）我们规定关于任意正整数、的一种新运算：，例如：时，则； 如果，那么＝ ，＝ ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据（8）解答；根据新的运算定义，将原式化成个（2）的积乘以1010个（2）的积，再代值进行计算便可． 【详解】解：（2）， （8）； ． 故答案为：，． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）（1）已知，求x的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）32 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用幂的乘方与同底数幂的乘法法则得到，解方程即可； （2）利用幂的乘方与同底数幂的乘法法则得出，然后整体代入解答即可． 【详解】解：（1）由题得：， ∴， ∴； （2）由题得：． ． 【经典例题四 积的乘方运算】 【例4】（24-25七年级上·上海宝山·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数运算，涉及合并同类项、积的乘方、负整数指数幂及零指数幂的定义，需逐一验证各选项的正确性 【详解】选项A： 合并同类项：，结果应为而非，故A错误； 选项B： 根据积的乘方法则，，且系数需单独乘方： ，与选项B一致，故B正确； 选项C： 负整数指数幂定义：，故 ，结果应为而非，故C错误； 选项D： 根据初中数学规定，无意义，属于未定义表达式，故D错误； 故选B 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，积的乘方等知识点，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，积的乘方等运算法则，逐一分析各选项的运算是否正确． 【详解】解：A. ，故A错误，不符合题意； B. ，故B错误，不符合题意； C.不是同类项，无法合并，故C错误，不符合题意； D. ，该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·上海崇明·开学考试）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，表示，利用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海金山·期末）已知，，、为正整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海闵行·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了单项式除以单项式和积的乘方的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的知识，进行作答，即可求解； （2）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的知识，进行作答，即可求解； （3）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： 【经典例题五 计算单项式乘单项式】 【例5】（2025七年级上·上海静安·模拟预测）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的运算，包括合并同类项、整式乘法、单项式乘法和幂的运算，根据相关运算法则需逐一验证即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意． B、，故B错误，不符合题意． C、，计算正确，符合题意． D、，结果为而非，故D错误，不符合题意． 故选：C． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）在计算整式的值过程中，的取值比原来扩大，的取值比原来缩小，则该整式的值（    ） A．比原来扩大 B．比原来缩小 C．比原来扩大 D．比原来缩小 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减及乘法运算，根据题意列出代数式计算即可判断求解，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴该整式的值比原来缩小． 故选：． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法计算，根据积的乘方，单项式与单项式相乘的法则进行求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海静安·期中）形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则为．例如．按照这种运算规定，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键．根据二阶行列式的运算法则求解即可； 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海闵行·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方，整式乘法； （1）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （2）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （3）先算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （4）先算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式 ． 【经典例题六 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例6】（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）若，则的值分别为（　　） A．3，2 B．2，3 C．3，3 D．2，2 【答案】B 【分析】利用同底数幂的乘法法则将原式变形为，从而得到7n=14，2+k=5，可得结果． 【详解】解：∵， ∴7n=14，2+k=5， ∴n=2，k=3， 故选B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握运算法则． 1．（24-25七年级上·上海·期中）若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据积的乘方计算后，再用单项式乘单项式法则计算，最后根据相同字母的指数分别相同列方程求解即可． 【详解】∵=，∴，解得：m=2，n=1． 故选C． 【点睛】本题考查了单项式乘法．掌握单项式乘法法则是解答本题的关键． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如果与相乘的结果是，那么 ． 【答案】12 【分析】根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ， ， ，， ， 故答案为：12 【点睛】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如果单项式与单项式的乘积为，则 ． 【答案】-5 【分析】根据已知条件可求得，约分可得，根据单项式相乘的原则：底数不变，指数相加可得求解即可. 【详解】单项式与单项式的乘积为，即 两边约分后可得 根据底数不变，指数相加原则可得 可求得. 故答案为-5. 【点睛】此题考查单项式乘单项式，解题关键在于掌握运算法则. 4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）某公园欲建如图13-2-3所示形状的草坪（阴影部分），求需要铺设草坪多少平方米？若每平方米草坪需120元，则为修建该草坪需投资多少元？（单位：米） 【答案】平方米；2520元 【详解】解：根据题意可得：草坪的长为7a米，宽为3a米 则S=7a·3a=21（平方米） 21×120=2520 （元） 【经典例题七 计算单项式乘多项式及求值】 【例7】（24-25七年级上·上海长宁·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘以多项式及多项式乘以多项式法则进行运算，即可判定． 【详解】解：A．，正确，故该选项不符合题意； B．，正确，故该选项不符合题意； C．，故该选项错误，符合题意； D．，正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式及多项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，单项式乘多项式．根据题意，列出式子，再将变形为，整体代入求出结果． 【详解】解：由题意得 ． ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）直接写出答案：＝ .(为正整数） 【答案】 【分析】运用单项式乘以多项式的运算法则直接进行计算即可. 【详解】, = =. 故答案为. 【点睛】本题考查了多项式乘以单项式法则和积的乘方和幂的乘方，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 4．（24-25七年级上·上海长宁·期中）计算或化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，单项式乘以多项式，积的乘方，正确计算是解题的关键； （1）根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方计算即可； （2）根据单项式乘以多项式，积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【经典例题八 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例8】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）的积的常数项是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式乘多项式，利用多项式乘以多项式的运算法则求出乘积，根据结果中常数项为求出的值即可，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵积的常数项是， ∴， ∴， 故选：． 1．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号""如记， ，已知，则m的值是（  ） A．40 B．-70 C．-40 D．-20 【答案】B 【分析】由系数可知n=6，再根据题中新定义，将已知等式左边展开化简，然后使常数项相等即可求解． 【详解】解：∵系数为5， ∴n=6， ∴ = = =， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式、整式的加减，理解新定义，并判断出n=6是解答的关键． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果，那么 ， 【答案】 6 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 故答案为：，6． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若则a，b的值可能分别是 ． 【答案】， 【分析】观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到，，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ，， ，或，， a，b的值可能分别是，． 故答案为：，． 【点睛】本题属于规律探索题，观察已知条件得出与的值是解题的关键． 4．（24-25七年级上·上海静安·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)n的值为 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想； （2）利用（1）的猜想先求出，再根据得关于m、n的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 根据上面的计算，可发现： 故答案为：；； （2）解：由（1）的规律知：， ∵， ∴． ∴，． ∴． 答：n的值为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关键． 【经典例题九 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例9】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用单项式乘多项式的法则进行求解，再结合不含项，则其项的系数为0，从而求解． 【详解】解： ， 结果中不含有项， ， 解得 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）已知边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，则ab2+a2b的值为（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】B 【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出ab，a+b，进而利用提取公因式法分解因式得出答案. 【详解】解：由边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4， .则2（a+b）=10，ab=4，则a+b=5，故ab2+a2b=ab（b+a）=4×5=20. 故选B. 【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键. 2．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）如果的展开式中只含有这一项，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中只含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】 ， 的展开式中只含有这一项， ， 解得：． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．（24-25七年级上·上海静安·期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 ． 【答案】 【分析】利用多项式除以单项式法则计算即可得出“■”中的项，然后利用单项式乘多项式的法则进行计算验证即可． 【详解】解：∵ 即 ， ∴“■”中的一项是2y． 故答案为：2y． 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 4．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 【经典例题十 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例10】 （24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）要使多项式不含的一次项，则的值为（    ） A． B．4 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握好多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项，漏字母． 根据多项式乘以多项式的法则，可表示为计算，再根据乘积中不含的一次项，得出它的系数为0，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得： ， 与的乘积中不含的一次项， ， ； 故选：B． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）关于的三次三项式（其中，，，均为常数），关于的二次三项式（，均为非零常数），下列说法有几个正确（　　） ①当的结果为关于的三次三项式时，则； ②若二次三项式能分解成，则； ③当多项式与的乘积中不含项时，则； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①计算的值，再根据题意列方程求解；②计算的值，根据题意列方程求，的值，再计算；③先求的值，再根据题意列方程求解；④先求，再列方程求解． 【详解】解：①， ，均为非零常数， ， ， 故①正确； ②， ，， ， 故②是正确的； ③， ， ， 故③是错误的； ④ ， ， 解得：， ， 故④是错误的； 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式，整式的加减，方程思想是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式中不含某项的条件；先按多项式乘以多项式法则运算得，再由多项式中不含某项的条件即可求解，理解多项式中不含某一项的条件就是使得这一项的系数为零是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 展开式中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得， 故答案：． 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法： ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④．其中正确的有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．将代入代数式求出的值，判断①，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，求出的值，确定②，计算多项式乘多项式后，项的系数为，求出的值判断③，根据恒等式对应项的系数相等，求出的值，判断④．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，；故①正确； ∵，为关于x的三次三项式，且a，b均为非零常数， ∴， ∴；故②错误； ∵ ， 又多项式M与N的乘积中不含项， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）若的展开式中不含的项，求m，n的值 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法中多项式乘多项式，正确计算是关键；按照多项式乘多项式法则展开，合并同类项，则的项的系数为0，即可求得m与n的值． 【详解】解：原式 ， ∵的展开式中不含的项 ∴； ∴． 【经典例题十一 多项式乘多项式——化简求值】 【例11】（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）已知，则（　　） A． B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用多项式乘多项式的法则进行计算，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选D． 【点睛】本题考查多项式乘多项式求值．熟练掌握多项式乘多项式的法则，利用整体思想进行求值，是解题的关键． 1．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）若均为整式，且满足,则可以（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等号右侧最高项为x2，可设，利用多项式乘多项式将等号左侧展开，再利用对应系数法求出a和N即可. 【详解】设， ， 故 解得，则， 故选D. 【点睛】此题考查的是多项式乘多项式，掌握用对应系数法求参数值是解决此题的关键. 2．（24-25七年级上·上海宝山·期末）已知，，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式展开，在把已知式子代入求解即可； 【详解】由题可知， ∵，， ∴原式； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了整式的化简和代数式求值，准确化简计算是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海闵行·单元测试）计算： （1） ．        （2） ． （3） ·    （4） ． （5） ． （6） ． 【答案】 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【分析】根据单项式的和差运算和同底数幂的乘方运算，即可解答. 【详解】解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【点睛】本题考查了单项式的和差运算和同底数幂的乘方运算，特别是思则混合运算需要引起足够重视. 4．（24-25七年级上·上海虹口·期中）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式． 又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于的代数式为对称式（为常数）． (1)求的值； (2)已知，若，求对称式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的含义是解题的关键． （1）先求出，交换a、b的位置得出，根据对称式的定义得出，得出，求解即可； （2）就，，得出，，把代入即可求解． 【详解】（1）解：， 交换a、b的位置， ∵代数式为对称式， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：； （2）解：∵，， ∴， 即， ∴，， 把代入得： ． 【拓展训练一 同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的逆用】 1．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的逆应用，幂的乘方的逆应用等运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法的逆应用． 利用同底数幂的除法的逆应用，幂的乘方的逆应用等运算整理代数式，然后代数求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 2．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方的逆运算将变形为，再根据题目中的规定即可求解； （2）将变形为，计算出，即可求解； （3）由得，再将变形为即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）①根据同底数幂的乘法和积的乘方逆运算求解即可； ②根据幂的乘方和积的乘方逆运算求解即可； （2）根据同底数幂的乘法得到，然后指数相等得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 【拓展训练二 多项式乘多项式与图形面积】 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）银川市某中学计划在校园内的长方形绿化区中建造一座生态花园（图中阴影部分）．绿化区原长为4米，宽为3米．根据设计方案，花园的北侧（靠近教学楼一侧）需留出x米宽的观景步道，东、西两侧各留出x米宽的通行步道，供师生日常使用（图中空白部分）．校方希望计算生态花园的实际可用面积，以便合理选择植物种类和数量．则生态花园的面积为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，根据图形用x表示生态花园的实际长和宽，然后利用长方形面积公式计算即可． 【详解】解：生态花园的实际可用面积： 答：生态花园的实际可用面积：平方米. 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图，公园有一块长为米．宽为米的空地，图中空白处有一些樱花树，为了能使新栽中的花有充足的阳光，计划在阴影部分栽种牡丹． (1)请用表示牡丹栽种的面积，结果化为最简； (2)若种植牡丹费用为元/平方米．已知米，米．那么栽种牡丹需要的费用为多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】本题主要考查整式运算与图形面积，理解图示面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据图示，阴影部分的宽为，阴影部分（包括两个空白处）的面积为（平方米），阴影部分两个空白部分的面积为：（平方米），由此即可求解； （2）把米，米代入计算即可． 【详解】（1）解：公园有一块长为米．宽为米的空地， 根据图示，阴影部分的宽为， ∴阴影部分（包括两个空白处）的面积为（平方米）， 阴影部分两个空白部分的面积为：（平方米）， ∵计划在阴影部分栽种牡丹， ∴牡丹栽种的面积为：（平方米）； （2）解：已知米，米， ∴牡丹栽种的面积为（平方米）， ∵种植牡丹费用为元/平方米， ∴（元）， ∴栽种牡丹需要的费用为元． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图1，它所对应的公式为______（填写对应公式的序号） ①： ②： ③： (2)如图2，边长为a，b的长方形，它的周长为16，面积为6，求的值． (3)将正方形与正方形如图3摆放，当正方形与正方形面积和为40，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)① (2)15 (3) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景、平方差公式的几何背景等知识点，熟练运用完全平方公式和平方差公式计算是解题的关键． （1）大正方形的面积的第一种表示方法为，第二种表示方法为，据此即可解答； （2）由题意可得、，然后将展开，然后将、整体代入计算即可； （3）设正方形与正方形的边长分别为x、y，由题意可得，，求出，得，所以，可得，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积的第一种表示方法为，第一种表示方法为， ∴． 故答案为①． （2）解：∵边长为a，b的长方形，它的周长为16，面积为6， ，， ， ． （3）解：设正方形与正方形的边长分别为x、y， 两个正方形的面积和为40，， ∴，， ， ，解得：， ， 或（负数舍去）， ， 阴影部分的面积为： ， ， 答：图中阴影部分的面积是 【拓展训练三 单项式乘多项式的应用】 1．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）一个长方体的包装箱，长为米，宽为米，高为米． (1)求该包装箱的体积． (2)若给该包装箱的表面都喷上油漆，则共需喷上多少平方米的油漆？ 【答案】(1)立方米 (2)共需喷上平方米的油漆 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式： （1）根据长方体体积公式列式求解即可； （2）根据长方体表面积计算公式列式求解即可． 【详解】（1）解：立方米， ∴该包装箱的体积为立方米； （2）解：平方米， ∴共需喷上平方米的油漆． 2．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，已知窗框的长都是x米，宽都是y米．    (1)制作这两种造型的窗框各一个，共需要多少材料？ (2)若一位用户需要A型的窗框5个，B型的窗框3个，且这种材料每米的价格为a元，求这位用户共需要花多少钱？（接缝处忽略不计） 【答案】(1)米的材料 (2)元 【分析】（1）由长方形图形特征，列代数式表示图形中线段长即可求解； （2）根据题意，知共需材料的长度为：，去括号，合并同类项，得原式，相应求解所需钱数． 【详解】（1）解：根据题意得，制作A种造型的窗框一个，需要材料米， 制作B种造型的窗框一个，需要材料米， 则 (米)． 即制作这两种造型的窗框各一个，共需要米的材料； （2）解：共需材料的长度为： (米)， ∵这种材料每米的价格为a元， ∴这位用户共需要花的钱数为元． 【点睛】本题考查列代数式，整式的运算；根据几何图形构建代数式是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海金山·期中）图1是一种长为cm，宽为cm的长方形板材（），嘉淇分别用4块板材铺成图2的大正方形和图3的大长方形两种形状，中间分别空出一个小正方形和小长方形（即图中阴影部分）． (1)设图2的大正方形的面积为，图3大长方形的面积为，请用含、的代数式分别表示和；（结果需化简） (2)比较图2和图3中阴影部分的面积的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)图2中阴影部分的面积比图3中阴影部分的面积的大，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，完全平方公式，正确列出代数式是正确解答的关键． （1）根据拼图分别求出图2的大正方形的边长和图3大长方形的长和宽，即可求解； （2）求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意图2的大正方形的边长为：，则面积； 图3大长方形的长为，宽为，则面积； （2）解：由（1）知，； ， ， ， ， ， 图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积为， ，即图2中阴影部分的面积比图3中阴影部分的面积的大． 【拓展训练四 多项式乘法中的规律性问题】 1．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）观察归纳和应用 (1)___________ (2)___________ (3)___________ (4)___________ (5)计算（要求有过程） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用平方差公式即可求解； （2）利用多项式乘多项式即可求解； （3）利用多项式乘多项式即可求解； （4）观察（1）、（2）、（3）总结规律，利用规律求解； （5）利用得出的规律化简，计算即可求出值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：； （4）解：观察（1）、（2）、（3）得， ， ∴ 故答案为：； （5）解： ． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，要熟练掌握，注意根据所给的算式总结出规律，并能利用总结出的规律解决实际问题． 2．（24-25七年级·上海闵行·单元测试）观察下列算式： ①； ②； ③； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第④个算式：____________； (2)根据这个规律写出你猜想的第n个算式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据规律进行计算即可求解； （2）根据单项式乘以单项式，完全平方公式进行计算即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，； ，； ，； ∴第④个算式为：. （2）解：第个算式为：. 证明：. 【点睛】本题考查了数字类规律，单项式乘以单项式，完全平方公式，找到规律是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海静安·期中）【阅读材料】爱思考的小李同学发现：两个两位数相乘，如果这两个两位数的个位数字相同，十位数字的和是10，对于这种特殊关系的两位数相乘，计算结果与原来的两位数数位上的数字有一些特殊的关联． 比如，它们乘积的前两位是31，等于，它们乘积的后两位是49，等于，用速算方法计算可得：．又如，它们乘积的前两位是12，等于，它们乘积的后两位是9，等于，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，用速算方法计算可得：．该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性． (1)观察与归纳：观察上述例子，请以这种速算方法计算___________； (2)推理与解释：对于这种特殊关系的两位数相乘，设其中一个两位数的十位数字为，个位数字是（表示的整数、表示的整数），则该两位数可表示为，另一个两位数可表示为___________；用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：___________；请运用所学知识，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果的理由． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，正确理解题意是解题的关键； （1）十位数字与十位数字相乘后加上个位数字后再乘以100后加上个位数字即为答案； （2）另外一个两位数的十位数字为，个位数字为b，则可表示出另外的两位数，再根据（1）得到速算式子；根据多项式乘以多项式的计算法则求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得，另外一个两位数的十位数字为，个位数字为b，则另外一个两位数为， ∴用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：； ． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算（   ） A． B．1 C． D．-1 【答案】C 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，积的乘方和幂的乘方的逆用．掌握积的乘方和幂的乘方的逆用法则是解题关键．根据积的乘方和幂的乘方的逆用法则得出原算式，求解即可． 【详解】解： ． 故选C． 2．（2025·上海松江·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式的混合运算，利用幂的乘方和单项式乘法计算后，再合并同类项即可． 【详解】解： 故选：B 3．（2025·上海静安·模拟预测）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方，根据题意可得，再结合运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵a，b是正整数，且满足， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，准确识图，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，则，再分别求出，，，进而得，据此即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ，， 又， ， 若要求出的面积，只需知道的长． 故选：D． 5．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，首先确定含的项是的展开式中的第二项，再根据杨辉三角可得展开式中的第二项系数为n，据此可得答案． 【详解】解：由图中规律可知： 含的项是的展开式中的第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，可知展开式中的第二项系数为n， ∴的展开式中的第二项系数为2023， 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的变化类、数学常识、多项式、完全平方式，解决本题的关键是理解“杨辉三角”． 6．（2025七年级上·上海闵行·模拟预测） ．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法以及幂的乘方，正确计算出结果是解题的关键． 先进行幂的乘方，然后化为科学记数法的变式即可． 【详解】解： 故答案为． 7．（24-25七年级上·上海闵行·期中）规定“★”为一种新运算：．例如：．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减，单项式的乘法．原式利用题中的新定义化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为 ．    【答案】7 【分析】本题考查多项式乘多项式表示面积，计算长方形的面积并写成多项式的形式，其中项的系数即为答案． 【详解】解：，， ， 即， 故需要C类纸片的张数为：7， 故答案为：7． 9．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 行第 列． 【答案】 64 5 【分析】找到第n行第n列的数字，找到规律，代入2021即可求解 【详解】通过观察发现： 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 …… 故第n行第n列数字为：， 则第n行第1列数字为：，即+1 设2021是第n行第m列的数字，则： 即,可以看作两个连续的整数的乘积， 为正整数， 当时， 故答案为：64，5 【点睛】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键． 10．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：），现在需要把滑梯区和休闲区都铺上软垫，那么至少需要 的软垫（用含有、的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先表示出滑梯区和休闲区的面积，再求出它们的和，即可作答． 【详解】解：依题意，休闲区的面积：， 滑梯区的面积：， ∴， 故答案为：那么至少需要的软垫， 故答案为： 11．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，先计算多项式乘多项式，单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 12．（24-25七年级上·上海宝山·期末）老师布置了这样一道作业题：“先化简，再求值，其中”小明同学把“”错抄成“”，但他的计算结果却是正确的，你知道原因吗？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．利用多项式乘多项式，单项式乘多项式运算法则化简原式，可知该式的结果与的值无关，即可说明他的计算结果是正确的． 【详解】解： ； 则该式的结果与的值无关， ∴无论取何值，结果都为， ∴小明的计算结果是正确的． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）设a，b，c，d为有理数，则我们把形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为．例如：．请你按照上述运算法则计算：． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，整式的运算．根据新运算的法则，列出代数式，进行计算即可． 【详解】解： ． 14．（2025·上海杨浦·模拟预测）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． (1)请根据上述规律计算： ； ． (2)我们可以用所学的知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理．请证明上述阅读材料中的结论． 【答案】(1)5621，7224 (2)见解析 【分析】此题考查数字的变化规律，从简单情形考虑，找出一般规律，利用规律解决问题． （1）运用题目中的规律进行计算，即可求出答案； （2）根据，，利用多项式乘多项式的运算法则即可证明． 【详解】（1）解：由上述规律可知，， ， 故答案为：5621，7224； （2）证明：∵， ． 15．（24-25七年级上·上海松江·期末）在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式，例如，如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式： ； (2)如图3，现有，的正方形纸片和的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为的长方形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此长方形的长和宽； (3)如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若， 的值． 【答案】(1) (2)见详解（画图不唯一）： (3)20 【分析】此题考查的是几何图形面积与多项式的乘法，数形结合是解题的关键． （1）由图中大矩形的面积=中间的各图片的面积的和，就可得出代数式； （2）面积为，那么最小的正方形使用2次，较大的正方形使用2次，边长为a，b的长方形使用5次，依此即可求解； （3）根据正方形面积，正方形面积,可得等式，根据，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，如下图： ； 故答案为：； （2）解：； 画图不唯一，画图正确即可，如下图： （3）解：由图4可知， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘法重难点题型专训 （7个知识点+11大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 用科学记数法表示数的乘法 题型二 同底数幂相乘 题型三 幂的乘方运算 题型四 积的乘方运算 题型五 计算单项式乘单项式 题型六 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型七 计算单项式乘多项式及求值 题型八 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型九 利用单项式乘多项式求字母的值 题型十 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型十一 多项式乘多项式——化简求值 拓展训练一 同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的逆用 拓展训练二 多项式乘多项式与图形面积 拓展训练三 单项式乘多项式的应用 拓展训练四 多项式乘法中的规律性问题 知识点一：幂的定义 如果一个数a的n次方等于b，那么我们就说a是b的n次方根。例如，2的3次方等于8，我们就说2是8的3次方根。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末） ． 知识点二：幂的性质 包括幂的乘法、除法、指数法则等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方等。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）比较大小： ． 知识点三：幂的运算法则 包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 知识点四：幂的运算顺序 在进行幂的运算时，需要遵循一定的运算顺序。一般来说，先进行括号内的运算，再进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，，，，则这四个数从小到大排列顺序是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方．在“”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的 ．（按运算顺序填序号） 知识点五：单项式与单项式的乘法 法则概述：单项式乘以单项式，需要将它们的系数相乘，相同字母的指数分别相乘，只在一个单项式中出现的字母则直接作为积的一个因式。 计算步骤：交换并相乘各单项式的系数，确定符号后再计算绝对值；相同字母进行同底数幂的乘法，底数不变指数相加；只在单个单项式中存在的字母连同其指数一起作为结果的一部分。 运算顺序和合并同类项：在混合运算时应注意运算顺序，有同类项时必须进行合并，以得到最简结果。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算： ． 知识点六：单项式与多项式的乘法 分配律的应用：单项式与多项式相乘实际上是一个分配律的应用过程，即将单项式乘以多项式的每一项，然后将所有结果累加。 计算细节：需要注意符号问题，包括多项式中的每一项及其前面的符号；同时注意单项式的符号。混合运算中要注意先乘除后加减的顺序，并在最后合并同类项以得到最简形式。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海长宁·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期末）计算： ． 知识点七：多项式与多项式的乘法 乘法过程：两个多项式相乘涉及一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将所有结果加在一起。 结果化简：多项式乘以多项式的结果仍为多项式，且在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积。最后结果需化简到最简形式，合并同类项。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列多项式乘法运算正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 2．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）若，则 ． 【经典例题一 用科学记数法表示数的乘法】 【例1】（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）计算(2×102)4的结果用科学记数法表示为(     ) A．8×106 B．8×108 C．1.6×108 D．1.6×109 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）地球上水的总储量为1.39×1018m3，但目前能被人们生产、生活利用的水只占总储量的0.77％，即约为0.0107×1018m3，因此我们要节约用水．请将0.0107×1018m3用科学记数法表示是 A．1.07×1016m3 B．0.107×1017m3 C．10.7×1015m3 D．1.07×1017m3 2．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）若0.000 000 25＝2.5×10m，则m＝ . 3．（24-25七年级上·上海长宁·期中）计算： .（结果用科学记数法表示） 4．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）某户居民家的水龙头有漏水现象，据观察，1分钟漏水40滴，若一年（按365天计算）由于这种现象而浪费的水的质量为千克，则1滴水的质量为多少克？（结果用科学记数法表示） 【经典例题二 同底数幂相乘】 【例2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级上·上海虹口·期末）计算： ． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果，那么的值是 ． 4．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【经典例题三 幂的乘方运算】 【例3】（24-25七年级上·上海虹口·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）指数运算可以做如下推广：m，n是实数，时满足运算：，，已知，，则 ． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·开学考试）我们规定关于任意正整数、的一种新运算：，例如：时，则； 如果，那么＝ ，＝ ． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）（1）已知，求x的值； （2）已知，求的值． 【经典例题四 积的乘方运算】 【例4】（24-25七年级上·上海宝山·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海崇明·开学考试）计算的结果是 ． 3．（24-25七年级上·上海金山·期末）已知，，、为正整数，则的值为 ． 4．（25-26七年级上·上海闵行·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题五 计算单项式乘单项式】 【例5】（2025七年级上·上海静安·模拟预测）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）在计算整式的值过程中，的取值比原来扩大，的取值比原来缩小，则该整式的值（    ） A．比原来扩大 B．比原来缩小 C．比原来扩大 D．比原来缩小 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 3．（24-25七年级上·上海静安·期中）形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则为．例如．按照这种运算规定，计算 ． 4．（25-26七年级上·上海闵行·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题六 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例6】（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）若，则的值分别为（　　） A．3，2 B．2，3 C．3，3 D．2，2 1．（24-25七年级上·上海·期中）若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如果与相乘的结果是，那么 ． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）如果单项式与单项式的乘积为，则 ． 4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）某公园欲建如图13-2-3所示形状的草坪（阴影部分），求需要铺设草坪多少平方米？若每平方米草坪需120元，则为修建该草坪需投资多少元？（单位：米） 【经典例题七 计算单项式乘多项式及求值】 【例7】（24-25七年级上·上海长宁·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 3．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）直接写出答案：＝ .(为正整数） 4．（24-25七年级上·上海长宁·期中）计算或化简： (1) (2) 【经典例题八 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例8】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）的积的常数项是，则的值是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号""如记， ，已知，则m的值是（  ） A．40 B．-70 C．-40 D．-20 2．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果，那么 ， 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若则a，b的值可能分别是 ． 4．（24-25七年级上·上海静安·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 【经典例题九 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例9】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）已知边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，则ab2+a2b的值为（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 2．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）如果的展开式中只含有这一项，那么的值为 ． 3．（24-25七年级上·上海静安·期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 ． 4．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【经典例题十 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例10】 （24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）要使多项式不含的一次项，则的值为（    ） A． B．4 C． D．1 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）关于的三次三项式（其中，，，均为常数），关于的二次三项式（，均为非零常数），下列说法有几个正确（　　） ①当的结果为关于的三次三项式时，则； ②若二次三项式能分解成，则； ③当多项式与的乘积中不含项时，则； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为，则 ． 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法： ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④．其中正确的有 ． 4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）若的展开式中不含的项，求m，n的值 【经典例题十一 多项式乘多项式——化简求值】 【例11】（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）已知，则（　　） A． B．1 C．3 D．2 1．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）若均为整式，且满足,则可以（   ）. A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期末）已知，，化简的结果是 ． 3．（24-25七年级上·上海闵行·单元测试）计算： （1） ．        （2） ． （3） ·    （4） ． （5） ． （6） ． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期中）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式． 又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于的代数式为对称式（为常数）． (1)求的值； (2)已知，若，求对称式的值． 【拓展训练一 同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的逆用】 1．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）若，求的值． 2．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 【拓展训练二 多项式乘多项式与图形面积】 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）银川市某中学计划在校园内的长方形绿化区中建造一座生态花园（图中阴影部分）．绿化区原长为4米，宽为3米．根据设计方案，花园的北侧（靠近教学楼一侧）需留出x米宽的观景步道，东、西两侧各留出x米宽的通行步道，供师生日常使用（图中空白部分）．校方希望计算生态花园的实际可用面积，以便合理选择植物种类和数量．则生态花园的面积为多少？ 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图，公园有一块长为米．宽为米的空地，图中空白处有一些樱花树，为了能使新栽中的花有充足的阳光，计划在阴影部分栽种牡丹． (1)请用表示牡丹栽种的面积，结果化为最简； (2)若种植牡丹费用为元/平方米．已知米，米．那么栽种牡丹需要的费用为多少元？ 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图1，它所对应的公式为______（填写对应公式的序号） ①： ②： ③： (2)如图2，边长为a，b的长方形，它的周长为16，面积为6，求的值． (3)将正方形与正方形如图3摆放，当正方形与正方形面积和为40，，求图中阴影部分的面积． 【拓展训练三 单项式乘多项式的应用】 1．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）一个长方体的包装箱，长为米，宽为米，高为米． (1)求该包装箱的体积． (2)若给该包装箱的表面都喷上油漆，则共需喷上多少平方米的油漆？ 2．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，已知窗框的长都是x米，宽都是y米．    (1)制作这两种造型的窗框各一个，共需要多少材料？ (2)若一位用户需要A型的窗框5个，B型的窗框3个，且这种材料每米的价格为a元，求这位用户共需要花多少钱？（接缝处忽略不计） 3．（24-25七年级上·上海金山·期中）图1是一种长为cm，宽为cm的长方形板材（），嘉淇分别用4块板材铺成图2的大正方形和图3的大长方形两种形状，中间分别空出一个小正方形和小长方形（即图中阴影部分）． (1)设图2的大正方形的面积为，图3大长方形的面积为，请用含、的代数式分别表示和；（结果需化简） (2)比较图2和图3中阴影部分的面积的大小，并说明理由． 【拓展训练四 多项式乘法中的规律性问题】 1．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）观察归纳和应用 (1)___________ (2)___________ (3)___________ (4)___________ (5)计算（要求有过程） 2．（24-25七年级·上海闵行·单元测试）观察下列算式： ①； ②； ③； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第④个算式：____________； (2)根据这个规律写出你猜想的第n个算式（用含n的式子表示），并证明． 3．（24-25七年级上·上海静安·期中）【阅读材料】爱思考的小李同学发现：两个两位数相乘，如果这两个两位数的个位数字相同，十位数字的和是10，对于这种特殊关系的两位数相乘，计算结果与原来的两位数数位上的数字有一些特殊的关联． 比如，它们乘积的前两位是31，等于，它们乘积的后两位是49，等于，用速算方法计算可得：．又如，它们乘积的前两位是12，等于，它们乘积的后两位是9，等于，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，用速算方法计算可得：．该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性． (1)观察与归纳：观察上述例子，请以这种速算方法计算___________； (2)推理与解释：对于这种特殊关系的两位数相乘，设其中一个两位数的十位数字为，个位数字是（表示的整数、表示的整数），则该两位数可表示为，另一个两位数可表示为___________；用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：___________；请运用所学知识，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果的理由． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算（   ） A． B．1 C． D．-1 2．（2025·上海松江·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海静安·模拟预测）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 5．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 6．（2025七年级上·上海闵行·模拟预测） ．（结果用科学记数法表示） 7．（24-25七年级上·上海闵行·期中）规定“★”为一种新运算：．例如：．计算： ． 8．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为 ．    9．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 行第 列． 10．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：），现在需要把滑梯区和休闲区都铺上软垫，那么至少需要 的软垫（用含有、的式子表示）． 11．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算： 12．（24-25七年级上·上海宝山·期末）老师布置了这样一道作业题：“先化简，再求值，其中”小明同学把“”错抄成“”，但他的计算结果却是正确的，你知道原因吗？ 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）设a，b，c，d为有理数，则我们把形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为．例如：．请你按照上述运算法则计算：． 14．（2025·上海杨浦·模拟预测）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． (1)请根据上述规律计算： ； ． (2)我们可以用所学的知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理．请证明上述阅读材料中的结论． 15．（24-25七年级上·上海松江·期末）在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式，例如，如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式： ； (2)如图3，现有，的正方形纸片和的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为的长方形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此长方形的长和宽； (3)如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若， 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $