第十一章 整式的乘除重难点检测卷 -2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第十一章 整式的乘除重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级上册第十一章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（2025·上海宝山·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）若与一个多项式的积为，则这个多项式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）小丽复习“整式的乘除”相关内容时，在笔记本上发现这样一道题：，那么■中的一项是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图， 边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)， 若拼成的矩形一边长为4， 则另一边长为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025·上海松江·模拟预测）计算： ． 8．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 9．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习） ． 10．（24-25七年级上·上海闵行·期中）要使的展开式中不含项，则 ． 11．（24-25七年级上·上海静安·期中）不论x为何值，,，则 ． 12．（24-25七年级上·上海长宁·期中）将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ． 13．（24-25七年级上·上海虹口·期末）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 ． 14．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）观察下列等式：第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；其中为常数，按照上面的规律，则 ； ；若，则 ． 15．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图（1）的杯子中盛满水，如果将这个杯子中的水全部倒入图（2）的瓶子中，那么一共需要 个这样的杯子才能将这个瓶子装满． 16．（24-25七年级上·上海虹口·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为 ，余式为 ． 17．（2025·上海嘉定·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到，基于此，若，，则的值为 ． 18．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）“杨辉三角”揭示了的展开式的项数及各项系数的有关规律，如图表： 展开式 通过观察寻求规律，写出的展开式共有 项，各项系数的和是 ． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26七年级上·上海闵行·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（24-25七年级上·上海普陀·开学考试）运算能力计算： (1)； (2)． 21．（24-25七年级上·上海闵行·随堂练习）观察下列各式： ； ； …． 由此我们可以得出结论：． 利用乘法交换律、结合律及乘方的意义可以验证： 利用以上信息计算：． 22．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，；所以，；所以，；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则___________； 【类题探究】 （2）若满足．求的值． 23．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； 探究问题： （2）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最大值． 24．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）某数学兴趣小组的小林和小颖两位同学将连续的正整数1，2，3，…排成如图1所示的数表，从中框出某些数，做了如下探索： (1)小林在数表中框出“”字形，并将相对的两数相乘，再作差，请你帮忙完成研究过程． ①计算： ， ． ②化简：图2是从图1中取出的一部分，在选中的七个数中，若设中心数为，则所对应的数分别为，，，，请你利用整式的运算，对进行化简． (2)小颖在数表中框出“”字形，并将顶端左右两数相乘，再与底端数平方作差，即图3中，则在框出的“”字形中，的值能否等于？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 25．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）【问题情境】 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式：_______； 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将看成，则 _______（结果化简）； ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 整式的乘除重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级上册第十一章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（2025·上海宝山·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和单项式的除法，掌握这些法则是关键．根据法则依次计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）若与一个多项式的积为，则这个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式除以单项式，单项式乘多项式，根据题意进行列式，结合多项式除以单项式的运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：∵与一个多项式的积为 ∴这个多项式 ， 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）小丽复习“整式的乘除”相关内容时，在笔记本上发现这样一道题：，那么■中的一项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式乘除法的运算，理解整式乘除法的运算法则是解答关键． 根据整式乘除法的运算列出算式得到即可求解． 【详解】解：根据题意得 ， ， ， ． 故选：A． 5．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式法则计算现面积与原面积的差，即可判断． 【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米）， 第二年按照庄园主的想法，面积变为（平方米） ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴面积变小了， 故选：A． 6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图， 边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)， 若拼成的矩形一边长为4， 则另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查整式除以的应用，完全平方公式的计算，由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为4，利用矩形的面积公式即可求出另一边长． 【详解】解：设拼成的矩形一边长为x， 则依题意得：， 解得，， 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025·上海松江·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，以及同底数幂的乘法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据积的乘方，同底数幂的乘法运算法则，计算求解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】/ 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟知单项式乘以单项式的计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运算以及积的乘方，先运用同底数幂相乘的逆运算，再运用积的乘方进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海闵行·期中）要使的展开式中不含项，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了单项式乘多项式，以此判断不含某一项的结果，先根据单项式乘多项式进行化简，然后让这一项的系数为0即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项， ∴， 故答案为：0． 11．（24-25七年级上·上海静安·期中）不论x为何值，,，则 ． 【答案】5 【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，求出a的值以及a与k的关系，然后可得答案． 本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】∵， 又∵， ∴， ，， ， ． 故答案为：5． 12．（24-25七年级上·上海长宁·期中）将中的“b”换成“”得到．类似的，已知，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 依据，将b换作，即可得到计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·上海虹口·期末）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，正确将已知式的局部进行计算成为解题的关键． 先运用平方差公式对局部进行计算，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）观察下列等式：第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；其中为常数，按照上面的规律，则 ； ；若，则 ． 【答案】 2022 【分析】本题主要考查了数字规律，涉及整式运算和有理数混合运算，熟练发现数字规律进行计算是解答本题的关键．根据示例得出规律，进而可求解． 【详解】解：∵第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； ∴； ； 当时， = = = = =2022， 故答案为：；；2022． 15．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图（1）的杯子中盛满水，如果将这个杯子中的水全部倒入图（2）的瓶子中，那么一共需要 个这样的杯子才能将这个瓶子装满． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的体积，解本题的关键在熟练掌握圆柱的体积公式．圆柱的体积公式．首先算出图（1）中瓶子的体积，然后再算出图（2）中杯子的体积，即可得出结论． 【详解】解：图（2）瓶子的上半部分的体积为； 图（2）瓶子的下半部分的体积为； ∴图（2）瓶子的体积为； 图（1）杯子的体积为； ∴一共需要杯子为个 故答案为： 16．（24-25七年级上·上海虹口·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为 ，余式为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了整式的除法运算，仿照条件中的方法，列出竖式，进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 的商式为，余式为3， 故答案为：，3． 17．（2025·上海嘉定·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到，基于此，若，，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算，直接利用完全平方公式变形计算即可．熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：13． 18．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）“杨辉三角”揭示了的展开式的项数及各项系数的有关规律，如图表： 展开式 通过观察寻求规律，写出的展开式共有 项，各项系数的和是 ． 【答案】 7 64 【分析】本题考查数字类规律，多项式乘多项式，根据已有等式，得到的展开式中，共项，且所有系数的和为，进行求解即可． 【详解】解：由题可知：的展开式中，共一项，且所有系数的和为； 展开式中，共二项，且所有系数的和为； 展开式中，共三项，且所有系数的和为； 展开式中，共四项，且所有系数的和为； 展开式中，共五项，且所有系数的和为 ∴的展开式中，共项，且所有系数的和为； 则展开式共有7项，所有项的系数和为 故答案为：7，64 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26七年级上·上海闵行·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】该题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂乘法法则是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂乘法法则计算即可； （3）根据同底数幂乘法法则计算即可； （4）根据同底数幂乘法法则计算即可； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． ． 20．（24-25七年级上·上海普陀·开学考试）运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，乘方，零次幂的计算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法法则计算，再合并同类项即可； （2）先根据绝对值、有理数的乘方、零指数幂的法则计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（24-25七年级上·上海闵行·随堂练习）观察下列各式： ； ； …． 由此我们可以得出结论：． 利用乘法交换律、结合律及乘方的意义可以验证： 利用以上信息计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算性质 ，熟练掌握幂的运算法则是解决此类问题的关键． 根据积的乘方运算性质 来化简计算即可． 【详解】解：． 22．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，；所以，；所以，；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则___________； 【类题探究】 （2）若满足．求的值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，把完全平方公式适当的变形是解题的关键． （1）由可得，再代入，即可求出的值； （2）设，，则，进而得到，根据题意可得，求出的值，即可求出的值，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：3； （2）设，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为． 23．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； 探究问题： （2）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最大值． 【答案】（）；（）；（）的最大值为． 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把分成和即可； （）由，然后根据为“完美数”，从而求出的值； （）先求出，则，然后由，从而即可求解． 【详解】解：（）， 故答案为：； （） ， ∵为“完美数”， ∴， ∴； （）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最大值为． 24．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）某数学兴趣小组的小林和小颖两位同学将连续的正整数1，2，3，…排成如图1所示的数表，从中框出某些数，做了如下探索： (1)小林在数表中框出“”字形，并将相对的两数相乘，再作差，请你帮忙完成研究过程． ①计算： ， ． ②化简：图2是从图1中取出的一部分，在选中的七个数中，若设中心数为，则所对应的数分别为，，，，请你利用整式的运算，对进行化简． (2)小颖在数表中框出“”字形，并将顶端左右两数相乘，再与底端数平方作差，即图3中，则在框出的“”字形中，的值能否等于？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①36，36；②36 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）①直接计算即可；②先设未知数，再代入计算即可； （2）先表示出，再代入计算，然后根据数的位置得出结论． 【详解】（1）解：①，， 故答案为：36，36； ② ． （2）解：∵图3中，， ， 若， 则， 解得， 由图可知，， ∴在框出的“”字形中，的值不能等于． 25．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）【问题情境】 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式：_______； 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将看成，则 _______（结果化简）； ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求m的值． 【答案】（1）；（2）①；② 9 或 25 ；（3） 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法分别用代数式表示图2的面积即可； （2）①根据（1）的结论直接写出结果即可；②根据，求出的值，再代入计算即可； （3）将两个等式相加得到，进而得到，即进行计算即可． 【详解】解：（1）图2是边长为的正方形，因此面积为，拼成图2的九个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）①， 故答案为：； ②∵，即， ， ， 当时，， 当时，， 所以的值为 9 或 25 ； （3）， ， 即， ， 又， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $