精品解析：2023年陕西省 西安市 碑林区西北工业大学附属中学丘成桐少年班选拔初试数学真题（二）

2023年西工大附中丘成桐少年班选拔初试真题（二） (满分：120分 时间：120分钟) 一、填空题(每小题3分，共45分) 1. （分数的计算）计算： ___________． 【答案】205 【解析】 【分析】本题考查了分数的运算，熟练掌握分数的运算法则与运算律是解题关键．先将原式变形为，再利用乘法的分配律计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故答案为：205． 2. （年龄问题）甲、乙、丙三人，甲的年龄是丙的3倍多2岁，乙的年龄是丙的4倍少7岁，三人共83岁；那么乙的年龄是________岁． 【答案】37 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设丙的年龄为x岁，则甲的年龄为岁，乙的年龄为岁，由题意可得方程，进而求解即可． 【详解】解：设丙的年龄为x岁，则甲的年龄为岁，乙的年龄为岁，由题意得： ， 解得：； ∴乙年龄为（岁）； 故答案为37． 3. （分数的应用）一枚火箭加上所载燃料共重5200公斤，当用掉的燃料后，火箭及剩下的燃料共重4600公斤，那么火箭净重_________公斤． 【答案】2800 【解析】 【分析】本题考查了分数的应用，正确列出式子，求出这枚火箭所载燃料的重量是解题关键．先求出的燃料的重量，则可得这枚火箭所载燃料的重量，然后利用火箭加上所载燃料的总重量减去所载燃料的重量即可得． 【详解】解：由题意得：的燃料的重量为（公斤）， 所以这枚火箭所载燃料的重量为（公斤）， 所以火箭净重为（公斤）， 故答案为：2800． 4. （三角形三边长）三边长都是整数且周长为10的三角形共有__________个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键． 先确定三边取的值为，再根据周长为10，且满足三角形三边关系那么只有2个． 【详解】解：由题意得三角形的各边必定小于5， 则能取的值为， 满足周长为10， 则符合三角形三边关系的只有和，共2个， 故答案为：2． 5. （排列组合）将12颗相同的水果糖分给三个人，每人至少分到3颗水果糖，则有________种不同的分法． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了排列组合问题，正确列出所有可能组合情况是解题关键．先求出每人分3颗水果糖，剩下3颗，再将剩下的3颗水果糖分给三个人，有三种情况：①都分给一个人，②分给两个人，③平分给三个人，列出所有可能的不同的分法，由此即可得． 【详解】解：每人分3颗水果糖，剩下颗， 将剩下的3颗水果糖分给三个人，有三种情况： ①都分给一个人，则有3种不同的分法； ②分给两个人，则有分到1颗、分到2颗；分到1颗、分到2颗；分到1颗、分到2颗；分到1颗、分到2颗；分到1颗、分到2颗；分到1颗、分到2颗；共有6种不同的分法； ③平分给三个人，则有1种不同的分法； 综上，总共有种不同的分法， 故答案为：10． 6. （工程问题）甲、乙、丙合修一段砖墙，甲、乙合修5天完成，乙、丙合修2天完成余下的，然后甲、丙合修了5天才完工，整个工程的劳动报酬是8000元，那么乙应分得_______元． 【答案】1400 【解析】 【分析】本题考查了工程问题，正确求出乙单独修的工作效率是解题关键．先求出甲、乙合修，乙、丙合修，甲、丙合修的工作效率，则可得甲、乙、丙合修的工作效率，再求出乙单独修的工作效率，则可得乙总共完成了这项工程的量，由此即可得． 【详解】解：甲、乙合修，每天完成这项工程的， 乙、丙合修，每天完成这项工程的， 甲、丙合修，每天完成这项工程的， 则甲、乙、丙合修，每天完成这项工程的， 所以乙单独修，每天完成这项工程的， 因为乙总共修了（天）， 所以乙总共完成了这项工程的， 因为整个工程的劳动报酬是8000元， 所以乙应分得的钱数为（元）， 故答案为：1400． 7. （因数）x是一个恰好有8个因数（包括1及本身）的正整数，已知35和77为x的其中两个因数，则_____________． 【答案】385 【解析】 【分析】本题考查了因数，熟练掌握因数的求法是解题关键．根据，可得这个数必有质因数，再根据是一个恰好有8个因数（包括1及本身）的正整数可得，由此即可得． 【详解】解：，， 所以这个数必有质因数， 因为是一个恰好有8个因数（包括1及本身）的正整数， 所以，其恰好有这8个因数， 故答案为：385． 8. （数列问题）从中任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为__________． 【答案】108 【解析】 【分析】本题考查数列问题，解题的关键是理解题意．被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66……，其中只要取到两个相邻的，这两个数的差为13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余序列当中不可能有两个数的差为13，对于任意一条长度为x的序列，都最多能取个数，使得取出的数中没有两个数的差为13，即从第1个数起隔1个取1个． 【详解】解：把n个数分成13个序列，每条序列的长度为或， 两个长度差为1的序列，要使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13， 则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1， 那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数， 则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9， 那么当n最小时， 可以取出57个数，其中任两个数的差不为13， 所以要使任取57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108； 故答案为：108． 9. （涂色问题）将一个大立方体涂成绿色，然后切成64块同样大小的小立方体，那么有________个小立方体至少有一个面被涂成绿色． 【答案】56 【解析】 【分析】64个小正方体是按的形式摆放的，位于内部的小正方体没有涂色，然后用总的小正方体数量减去没有涂色的小正方体数量即可求解问题． 【详解】解：（块）， 所以每条棱上有4块小正方体， ∴没有涂色的小正方体有（块）， ∴至少有一个面被涂成绿色的小正方体有（块）； 故答案为56． 10. （平均数问题）有四个不同的数，每次从中挑选三个数，求其平均数然后再加上第四个数．因为每次可留下一个不同的数不选，因此这样的操作有4种不同的方式．已知得出的四个结果分别为17，21，23，29，那么原来的四个数中最大的数是___________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了方程的应用、平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解题关键．设原来的四个数分别为，根据题意可得四个等式，将四个等式相加可得，代入结果最大的那个等式求解即可得． 【详解】解：设原来的四个数分别为， 则①， ②， ③， ④， 由①②③④得：， 所以， 将代入①得：， 解得， 即原来的四个数中最大的数是21， 故答案为：21． 11. （数独问题）的方格表的每一个方格中都写有一个正数．已知每一行数的乘积和每一列数的乘积都是1，而每一个的正方形中的数的乘积都是2，则正中间方格中的数是________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了数独问题，画出表格，根据题意正确建立等式是解题关键．画出表格，利用字母表示9个正数，根据题意列出字母之间的乘法关系，然后利用乘法交换律与结合律计算即可得． 【详解】解：由题意，画出下表：（其中表示9个正数） 则，，，，，，，，，， 所以， 所以， 所以，即， 所以， 所以， 所以，即， 所以正中间方格中的数是16， 故答案为：16． 12. （正方形面积）如图，三角形是直角三角形，是斜边的中点，四边形是正方形，点N在上，点P在上，如果的长度是12 厘米，的长度是8厘米，那么，正方形的面积是_______平方厘米． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 取的中点，连接，先根据三角形的中位线定理可得厘米，，再证出，根据全等三角形的性质可得厘米，则可得厘米，然后利用勾股定理可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵是直角三角形，且是斜边， ∴， ∵是斜边中点，点是的中点，的长度是12 厘米， ∴是的中位线，厘米， ∴厘米，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴厘米， ∴厘米， ∴在中，（平方厘米）， ∴正方形的面积是（平方厘米）， 故答案为：20． 13. （最优化问题）西安市为了控制汽车流量，规定每辆私人汽车每个星期停驶2天（一星期为7天）．而小李家由于业务繁忙每天必须至少要有10辆汽车在行驶．如果小李能够自行选择停驶时间，那么小李家至少应当拥有__________辆汽车． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了整数乘法与除法的应用，正确列出运算式子是解题关键．先根据题意可得每辆车一个星期内有5天的时间可以行驶，再利用小李家一星期总共需要车辆次数除以5即可得． 【详解】解：由题意得：每辆车一个星期内有5天的时间可以行驶， 所以至少应当拥有汽车的辆数为（辆）， 故答案为：14． 14. （不等式化简）已知整数x，y，z满足，则_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了不等式、完全平方公式，利用平方根解方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式可得，根据平方项的非负性和整数可得，再分析可得或，则可得或或，然后分别求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵都是整数，且平方项都是非负的， ∴，是整数，且小于1， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 又∵是非负的，且是整数， ∴或， 解得或或， ①当时，则， ∴，即， ∴此时； ②当时，则， ∴不存在整数满足这个不等式； ③当时，， ∴不存在整数满足这个不等式； 综上，， 故答案为：0． 15. （数列问题）晚会上来了100人，然后在参会者中没有熟人的人都离开了晚会；接着在剩下的人中恰有1个熟人的人都离开了晚会；再接着在剩下的人中恰有2，3，4，…，99 个熟人的人依次全都离开了晚会．那么最后最多可有________人留下． 【答案】98 【解析】 【分析】本题考查了数列问题，掌握题中的逻辑推理，正确利用举例说明是解题关键．设最后有个人留下，先分析有一种情况，即有两个人与之间不认识，剩下所有人的关系是皆为认识，那么，当有98个熟人的人离开时，与都走了，剩下的人都只有97个熟人，所以剩下98人；再分别说明当时和时，均不成立，由此即可得． 详解】解：设最后有个人留下， 有一种情况，即有两个人与之间不认识，剩下所有人的关系是皆为认识，那么，当有98个熟人的人离开时，与都走了，剩下的人都只有97个熟人，所以剩下98人； 显然当时，不成立， 下面证明时，也不成立， 当时，那么，走的一个人的熟人数必小于其他人的熟人数，且这个人的离开必然导致剩下人的熟人数全都减小，所以，这个人与剩下的人都为熟人，即熟人数为99，则剩下的人的熟人数便不小于99，矛盾，所以时，也不成立， 所以最后最多可有98人留下． 故答案为：98． 二、计算题(每小题5分，共10分) 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；由题意易得，然后方程可进行求解． 【详解】解： ∴ 解得：， 经检验：是原方程的解． 17. 已知，求的值. 【答案】1. 【解析】 【分析】由abc=1，代入所求分式进行化简即可得出答案． 【详解】原式 = = =1． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，难度不大，关键是条件abc=1的灵活运用． 三、解答题(共65 分) 18. （错数求解）小李同学漏看了写在两个三位数之间的乘号，将其当成了一个六位数，该六位数刚好是原来的乘积的7倍．试求这两个三位数． 【答案】这两个三位数都是143 【解析】 【分析】本题考查了和差倍问题，正确求出其中一个三位数的取值范围是解题关键．设这两个三位数分别是，则，再分析出，，则可得，求出的取值范围，然后根据都是三位数求解即可得． 【详解】解：设这两个三位数分别是， 由题意得：， ∴， ∵都是正整数， ∴是正整数， ∴也是正整数， 又∵均为三位数且为正整数， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，不是三位数，不符合题意，舍去； 综上，这两个三位数都是143． 19. 今有浓度为的甲、乙、丙三种盐水分别为，现要配制成浓度为的盐水．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克? 【答案】甲种盐水最多可用，最少可用 【解析】 【详解】设3种盐水应分别取，， 解得所以， 解得． 答：甲种盐水最多可用，最少可用． 20. （面积计算）如图所示，平行四边形中，分别是的中点，，交于点P，Q．求与平行四边形的面积比． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形判定与性质、三角形的中位线定理等知识、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．取的中点，连接，设，，则，先证出，根据相似三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，，然后求出，，，最后根据可得，由此即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 设，，则， ∵分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴与平行四边形的面积比为． 21. （行船问题）游客在10时15分从码头划船逆流而上，要求在当天不迟于13时返回．已知水流速度是千米/时，船在静水中的速度是3千米/时．如果游客每划30分钟就休息15分钟，而且只能在某次休息后往回划，那么他应该怎样安排才能使划离码头的距离最远? 【答案】游客应逆流而上划行三个完整的30分钟划船段，每段后休息15分钟，在第三次休息结束后，开始顺流返回码头，这样安排才能使划离码头的距离最远 【解析】 【分析】本题考查了行船问题，注意顺流与逆流的速度是解题关键．先求出划船时间最长为165分钟，则可得游客可逆流划行90分钟，中间可休息三次，再根据在他第三次休息时，逆行了3次，回漂了2次，求出游客划离码头的最远距离，然后求出剩下的时间，划行的距离，与划离码头的最远距离进行大小比较，即可得出答案． 【详解】解：划船时间最长为：13时10时15分小时45分（分钟）， 因为， 所以游客可逆流划行分钟，中间可休息三次， 30分钟 小时，分钟小时， 因为在他第三次休息时，逆行了3次，回漂了2次， 所以游客划离码头的最远距离为（千米）， 剩下的时间可以休息15分钟，顺流划行30分钟，路程为（千米）， 因为， 所以游客有足够的时间返回码头，这种安排是合理， 答：游客应逆流而上划行三个完整的30分钟划船段，每段后休息15分钟，在第三次休息结束后，开始顺流返回码头，这样安排才能使划离码头的距离最远． 22. (数列问题)在1，2，3，…，20中，存在P个数，其中任何两个数的和都不是平方数，求P的最大值． 【答案】P的最大值为10 【解析】 【分析】本题主要考查抽屉原理及平方数，解题的关键是理解题意；由可把1，2，3，…，20，这20个数分成若干组，使得同一组的两个数之和为平方数，这样每组最多只能取一个数，然后得出P的最大值即可． 【详解】解：因为，所以把1，2，3，…，20，这20个数分成若干组，使得同一组的两个数之和为平方数，这样每组最多只能取一个数，估计出P的最大值的上界，随意分组是不行的，应该让尽可能多的数都能搭配到同一组使和为平方数，否则抽屉个数太多，不可能得到P的最大值上界的临界值，由于从小到大相邻两个平方数的差越来越大，也就是大数不容易配对，优先安排小数，使1到10分别属于不同的组，得到如下11组：，每组最多取1个数，所以； 如果，选取的数中必然包括10、11，因为选取了10，所以不能选6和15，那么与6和15同组的1和19必须选取；选1就不能选8，与8同组的17必须选取，但为平方数，矛盾，所以； 通过上述分析可知不能取10，我们从11开始，每组取一个数，取11去掉5与14；取5与14同组的20与2，去掉7与16；取7与16同组的18与9；对于剩下的这五组，可以取3、4、8、15、19（不唯一），例如：符合题意； 综上所述：P的最大值为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年西工大附中丘成桐少年班选拔初试真题（二） (满分：120分 时间：120分钟) 一、填空题(每小题3分，共45分) 1. （分数计算）计算： ___________． 2. （年龄问题）甲、乙、丙三人，甲年龄是丙的3倍多2岁，乙的年龄是丙的4倍少7岁，三人共83岁；那么乙的年龄是________岁． 3. （分数应用）一枚火箭加上所载燃料共重5200公斤，当用掉的燃料后，火箭及剩下的燃料共重4600公斤，那么火箭净重_________公斤． 4. （三角形三边长）三边长都是整数且周长为10三角形共有__________个． 5. （排列组合）将12颗相同水果糖分给三个人，每人至少分到3颗水果糖，则有________种不同的分法． 6. （工程问题）甲、乙、丙合修一段砖墙，甲、乙合修5天完成，乙、丙合修2天完成余下的，然后甲、丙合修了5天才完工，整个工程的劳动报酬是8000元，那么乙应分得_______元． 7. （因数）x是一个恰好有8个因数（包括1及本身）的正整数，已知35和77为x的其中两个因数，则_____________． 8. （数列问题）从中任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为__________． 9. （涂色问题）将一个大立方体涂成绿色，然后切成64块同样大小的小立方体，那么有________个小立方体至少有一个面被涂成绿色． 10. （平均数问题）有四个不同的数，每次从中挑选三个数，求其平均数然后再加上第四个数．因为每次可留下一个不同的数不选，因此这样的操作有4种不同的方式．已知得出的四个结果分别为17，21，23，29，那么原来的四个数中最大的数是___________． 11. （数独问题）的方格表的每一个方格中都写有一个正数．已知每一行数的乘积和每一列数的乘积都是1，而每一个的正方形中的数的乘积都是2，则正中间方格中的数是________． 12. （正方形面积）如图，三角形是直角三角形，是斜边的中点，四边形是正方形，点N在上，点P在上，如果的长度是12 厘米，的长度是8厘米，那么，正方形的面积是_______平方厘米． 13. （最优化问题）西安市为了控制汽车流量，规定每辆私人汽车每个星期停驶2天（一星期为7天）．而小李家由于业务繁忙每天必须至少要有10辆汽车在行驶．如果小李能够自行选择停驶时间，那么小李家至少应当拥有__________辆汽车． 14. （不等式化简）已知整数x，y，z满足，则_____． 15. （数列问题）晚会上来了100人，然后在参会者中没有熟人的人都离开了晚会；接着在剩下的人中恰有1个熟人的人都离开了晚会；再接着在剩下的人中恰有2，3，4，…，99 个熟人的人依次全都离开了晚会．那么最后最多可有________人留下． 二、计算题(每小题5分，共10分) 16. 解方程： 17. 已知，求的值. 三、解答题(共65 分) 18. （错数求解）小李同学漏看了写在两个三位数之间的乘号，将其当成了一个六位数，该六位数刚好是原来的乘积的7倍．试求这两个三位数． 19. 今有浓度为的甲、乙、丙三种盐水分别为，现要配制成浓度为的盐水．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克? 20. （面积计算）如图所示，平行四边形中，分别是的中点，，交于点P，Q．求与平行四边形的面积比． 21. （行船问题）游客在10时15分从码头划船逆流而上，要求在当天不迟于13时返回．已知水流速度是千米/时，船在静水中的速度是3千米/时．如果游客每划30分钟就休息15分钟，而且只能在某次休息后往回划，那么他应该怎样安排才能使划离码头的距离最远? 22. (数列问题)在1，2，3，…，20中，存在P个数，其中任何两个数的和都不是平方数，求P的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $