精品解析：云南省云南省昆明市第十中学2025-2026学年上学期九年级开学数学试卷

2025－2026学年云南省昆明十中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式满足被开方数不含开得尽的因式或因数，不含分母． 根据最简二次根式进行判断． 【详解】解：，故A选项错误； 是最简二次根式，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误． 故选：B． 2. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. C. D. 2，3，4 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【分析】解：A.∵，∴不能构成直角三角形，故选项不合题意； B. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不合题意； C. ∵，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意； D. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不合题意． 故选：C． 3. 下列各式中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．根据二次根式的加减乘除运算法则以及二次根式的性质化简各项后，再进行判断即可得到结论． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B正确，符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故答案为：B． 4. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（ ） A. 3 B. 2 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理． 直接利用勾股定理求解． 【详解】解：正方形A的边长为， 故选：B． 5. 点，，均在的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；根据反比例函数图象的性质，结合各点的横坐标代入计算对应的纵坐标，再比较大小． 【详解】解：∵点，，均在的图象上 ∴ 当时，； 当时，； 当时，； ∴ 故选：C． 6. 一次函数的解析式为，则下列说法正确的是（　　） A. 其图象与轴的交点坐标为 B. 随的增大而减小 C. 此函数图象经过第一、二、三象限 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 根据一次函数的性质，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：A．图象与轴的交点在时，代入得，解得，故图象与轴的交点为，正确； B．一次函数，故随的增大而增大，而非减小，错误； C．，，图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，错误； D．当时，，解得．而题目中条件为，此时在到之间时，错误． 故选：A． 7. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程中的常数项移至右侧，再通过配方将左侧转化为完全平方形式，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：D． 8. 要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这三名学生进行了10次数学测试，三人的平均成绩均为90分，甲的方差为0.025，乙的方差为0.04，丙的方差为0.061，则这10次测试成绩比较稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，掌握方差是反映一组数据离散程度的统计量，方差越小，数据越稳定是关键． 方差是反映数据离散程度的统计量，方差越小，离散程度越小，就越稳定． 【详解】解：∵3人的平均成绩均为90分，甲的方差为乙的方差为丙的方差为， ∴甲在这10次测试成绩比较稳定． 故选：A． 9. 下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）中，是一次函数的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：（1），是正比例函数，属于一次函数； （2），符合一次函数定义； （3），是正比例函数，属于一次函数； （4），不符合一次函数定义． 综上，是一次函数的有（1）、（2）、（3），一共3个． 故选：C． 10. 如图，在中，的平分线交边于E，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质及角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质． 由平行四边形的性质及是平分线可推出为等腰三角形，得到，进而求出的长，进而得到长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又是， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 11. 某学校举行“我爱科学”演讲比赛，成绩由“演讲内容”“语言表达”和“形象风度”的三项得分按的比例计算后确定个人的最终得分．小明、小华和小晨三位同学的三项成绩（百分制）如下表： 演讲内容 语言表达 形象风度 小明 80 90 85 小华 80 85 90 小晨 90 85 80 则本次比赛最终得分最高的是（ ） A. 小明 B. 小华 C. 小晨 D. 三位同学最终得分一样高 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查求加权平均数，熟练掌握求加权平均数是解题的关键；根据题意分别求出小明、小华、小晨的加权平均数，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： 小明：； 小华：； 小晨：； ∴本次比赛最终得分最高的是小晨； 故选C． 12. 如图，已知A为反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为点B，则的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合反比例函数关系是，设出点A坐标，再根据三角形面积即可求出答案． 【详解】∵A为反比例函数的图象上的一点， ∴设， ∵轴， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数k的几何意义． 13. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程有两个实数根，可知且，求出解即可． 【详解】∵一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 故选：C． 14. 某父子骑自行车沿直线骑行，孩子先前进了一段长距离，在休息亭休息了一段时间后未见爸爸，又按原路原速度返回一段短距离，相遇后，又再前进一段距离，则孩子离出发点的距离与时间的关系示意图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采用排除法求解．应根据时间的不断变化，来反映离家的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回，再前进”，要通过图象反映出来． 【详解】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D； C选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，应排除C． 故选∶B． 15. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点的横坐标代入，求出其纵坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， 把代入，得：， 则关于、的方程组的解为． 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 16. 若在实数范围内有意义，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：． 17. 如图，在中，是的中点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质可得出，再根据三角形的中位线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴． 故答案为：3． 18. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象进行求解即可 【详解】解：观察图象可知，y随x的增大而增大，且图象经过点， ∴不等式的解集为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是理解函数图象上点的坐标意义，能根据图象的增减性求解． 19. 如图，圆柱的高为10，底面圆的直径为8，若取3，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到的中点E的最短距离为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出爬行路线的展开图，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算二次根式的乘法和除法以及零指数幂，再进行加减计算． 【详解】解： 21. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是∶ （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解∶ ， ，， ， ，． 22. 在八年级学生中随机抽取若干名学生参加普法知识竞赛，将成绩收集、整理成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的学生人数是_________． （2）在样本中，94分的学生人数为_______．抽取的样本中，学生成绩的中位数是_______． （3）已知八年级共有学生300人，若普法知识竞赛成绩在96分及以上为优秀，请你估计该校八年级共有多少名学生可以获得优秀成绩． 【答案】（1）60 （2） （3）210名 【解析】 【分析】（1）92分的人数和占比计算即得； （2）94分的人数等于抽取的总人数乘其占比；根据前3组总人数33人，得第30名和第31名学生的成绩在第3组，即96分组，得中位数为96分； （3）300乘96分及以上人数上比即得． 【小问1详解】 解：∵92分的有6人，占， ∴抽取的总人数为（人）， 故答案为：60人； 【小问2详解】 解：94分的人数：（人）； ∵（人）， ∴竞赛成绩按从小到大的顺序排列，第30名和第31名学生的成绩在96分组， ∴中位数为96分； 故答案为：12，96； 【小问3详解】 解：（人）， 故该校八年级共约有210名学生可以获得优秀成绩． 【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图．熟练掌握扇形统计图和条形统计图互补性，关键信息，求中位数，样本估计总体，是解题的关键． 23. 某超市经销甲、乙两种商品，两次采购商品的情况如下表所示： 采购批次 甲商品数量 乙商品数量 总费用 第一次 件 件 元 第二次 件 件 元 （1）求甲、乙两种商品每件的进价； （2）超市决定甲商品以每件元出售，乙商品以每件元出售，为了满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的倍．若商品全部售完，请求出获得最大利润的进货方案． 【答案】（1）甲商品每件的进价为元，乙商品每件的进价为元； （2）当购进甲商品件，乙商品件时，可获得最大利润元． 【解析】 【分析】（）根据题意设甲商品每件的进价为元，乙商品每件的进价为元，找出数量关系，列二元一次方程组求解即可； （）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，卖完甲、乙两种商品的利润为元，根据甲乙两种商品的数量关系确定购进甲商品的取值范围，根据一次函数的增减性即可求解； 本题主要考查了二元一次方程组，一次函数的综合运用，理解题目中的数量关系，列方程组，解方程组，掌握一次函数增减性求最优方案是解题的关键． 【小问1详解】 设甲商品每件的进价为元，乙商品每件的进价为元， 由题意，得，解得， 答：甲商品每件的进价为元，乙商品每件的进价为元； 【小问2详解】 设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，卖完甲、乙两种商品的利润为元， ∵，解得，即的取值范围是， 由题意得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时． 答：当购进甲商品件，乙商品件时，可获得最大利润元． 24. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长至，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形ABCD是菱形， ，， ， ，即， ， 又， 四边形AEFD是平行四边形， ， ， 四边形AEFD是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用菱形对边平行且相等的性质，结合推出与平行且相等，证得四边形是平行四边形，再依据得到一个直角，从而证明它是矩形． （2）根据菱形性质和判定是等边三角形，结合求出、、的长度，再利用矩形对边相等得出（即）和的长度，进而计算矩形面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形和矩形的性质，以及等边三角形的判定是解题的关键． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）求出另一个交点B的坐标； （3）根据图象直接写出当时，不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先把点代入中求出得到然后把点坐标代入中求出得到反比例函数的表达式； （2）先求出直线与轴交点的坐标，然后解析式联立，解方程组求得的坐标； （3）利用图象即可求得当时，不等式的解集； 【小问1详解】 把点代入，得． ∴． 把代入， ∴． ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解 得或， ； 【小问3详解】 由图象可知， 当时，不等式的解集或； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是求得交点坐标． 26. 一元二次方程两根分别为，且（） （1）若此方程一个根为1，则______； （2）当，时，求a，b的值； （3）若，，且时，求证： 【答案】（1）6 （2）； （3） 证明：当，，且， ①， ②， 得：， 即， 因， ， ， 由题知：， 即， 故 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； （3）将，代入方程，作差，进行因式分解得到，继而得到，然后用m表示n，再根据已知条件即可求证． 【小问1详解】 解：将代入方程，则， ； 【小问2详解】 解：，， ，， 解得：，； 【小问3详解】 略 27. 图，在平面直角坐标系中，y=-3x+15经过点A（3，a），与x轴交于点C，线段AB平行于x轴，交直线于B点，连接OA，CB． （1）直接写出：a=___________，点C的坐标为___________． （2）求证：四边形AOCB为平行四边形． （3）动点P从O出发，沿对角线OB以每秒2个单位长度的速度向B运动，直到点B为止，动点Q同时从B出发，沿对角线BO以每秒2个单位长度的速度向O运动，直到点O为止，两个点运动几秒后，四边形CPAQ为矩形． 【答案】（1）6；（5，0）； （2） 由（1）得点A的坐标为（3，6）， ∵AB∥x轴， ∴点B的纵坐标为6， ∵点B在直线上， ∴当y=6时，，解得x=8， ∴点A的坐标为（8，6）， ∴AB=5， ∵点C的坐标为（5，0）， ∴AB=OC=5， 又∵， ∴四边形AOCB是平行四边形； （3）两个点运动或秒后，四边形CPAQ为矩形 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的性质求解即可； （2）先求出点B的坐标，即可推出AB=OC，，即可证明结论； （3）根据矩形的性质可以推出AC=PQ，利用勾股定理求出AC，OB的长，然后表示出PQ的长，由此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在平面直角坐标系中，y=-3x+15经过点A（3，a），与x轴交于点C， ∴，点Ｃ的坐标为（5，0）， 故答案为：6；（5，0）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图1所示，当点P在AC下方时，设运动时间为t秒， 由题意得， ∵四边形CPAQ是矩形， ∴AC=PQ， ∵,， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，当点P在AC上方时，则， 同理可得， ∴； 综上所述，两个点运动或秒后，四边形CPAQ为矩形． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的判定，勾股定理，矩形的性质等等熟知相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年云南省昆明十中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. C. D. 2，3，4 3. 下列各式中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（ ） A. 3 B. 2 C. 5 D. 4 5. 点，，均在的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的解析式为，则下列说法正确的是（　　） A. 其图象与轴的交点坐标为 B. 随的增大而减小 C. 此函数图象经过第一、二、三象限 D. 当时， 7. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 8. 要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这三名学生进行了10次数学测试，三人的平均成绩均为90分，甲的方差为0.025，乙的方差为0.04，丙的方差为0.061，则这10次测试成绩比较稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判断 9. 下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）中，是一次函数的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，的平分线交边于E，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 11. 某学校举行“我爱科学”演讲比赛，成绩由“演讲内容”“语言表达”和“形象风度”的三项得分按的比例计算后确定个人的最终得分．小明、小华和小晨三位同学的三项成绩（百分制）如下表： 演讲内容 语言表达 形象风度 小明 80 90 85 小华 80 85 90 小晨 90 85 80 则本次比赛最终得分最高的是（ ） A. 小明 B. 小华 C. 小晨 D. 三位同学最终得分一样高 12. 如图，已知A为反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为点B，则的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 13. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 14. 某父子骑自行车沿直线骑行，孩子先前进了一段长距离，在休息亭休息了一段时间后未见爸爸，又按原路原速度返回一段短距离，相遇后，又再前进一段距离，则孩子离出发点的距离与时间的关系示意图是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 16. 若在实数范围内有意义，那么的取值范围是______． 17. 如图，在中，是的中点，若，则______． 18. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 19. 如图，圆柱的高为10，底面圆的直径为8，若取3，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到的中点E的最短距离为______． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： 21. 解下列方程： （1）； （2）． 22. 在八年级学生中随机抽取若干名学生参加普法知识竞赛，将成绩收集、整理成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的学生人数是_________． （2）在样本中，94分的学生人数为_______．抽取的样本中，学生成绩的中位数是_______． （3）已知八年级共有学生300人，若普法知识竞赛成绩在96分及以上为优秀，请你估计该校八年级共有多少名学生可以获得优秀成绩． 23. 某超市经销甲、乙两种商品，两次采购商品的情况如下表所示： 采购批次 甲商品数量 乙商品数量 总费用 第一次 件 件 元 第二次 件 件 元 （1）求甲、乙两种商品每件的进价； （2）超市决定甲商品以每件元出售，乙商品以每件元出售，为了满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的倍．若商品全部售完，请求出获得最大利润的进货方案． 24. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长至，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）求出另一个交点B的坐标； （3）根据图象直接写出当时，不等式的解集． 26. 一元二次方程两根分别为，且（） （1）若此方程一个根为1，则______； （2）当，时，求a，b的值； （3）若，，且时，求证： 27. 图，在平面直角坐标系中，y=-3x+15经过点A（3，a），与x轴交于点C，线段AB平行于x轴，交直线于B点，连接OA，CB． （1）直接写出：a=___________，点C的坐标为___________． （2）求证：四边形AOCB为平行四边形． （3）动点P从O出发，沿对角线OB以每秒2个单位长度的速度向B运动，直到点B为止，动点Q同时从B出发，沿对角线BO以每秒2个单位长度的速度向O运动，直到点O为止，两个点运动几秒后，四边形CPAQ为矩形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $