精品解析：2025年黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校中考模拟数学试卷（四）

2025年69中学中考模拟题四 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 年政府工作报告提到：年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长、，新能源汽车年产量突破万辆．其中数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 图1是某校运动会颁奖时场景，图2是领奖台的示意图，则此领奖台的左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知为的直径，点C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数经过点和点，则a的值为（ ） A 2 B. 5 C. 10 D. 9. 数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在边上的点处，则的度数为（ ） A. B. C. 条件不足，无法计算 D. 10. 如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 函数中自变量x的取值范围是__． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 13. 不等式组的解集是________． 14. 将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的顶点是____________． 15. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则______． 16. 如图，按一定规律摆放小黑点，则第6个图案中的小黑点个数为________个． 17. 若一个扇形圆心角为，半径是，则这个扇形的面积是________．（结果保留） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为__________． 19. 中，，的平分线与边所夹的锐角为，则________． 20. 如图，在四边形中，，，的垂直平分线交于点，垂足为点，求的长为________． 三、解答题：（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共60分） 21. 先化简,再求代数式的值，其中． 22. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为、． （1）在图中画出以线段为一边的等腰钝角三角形，点在小正方形的顶点上；并写出的面积． （2）画出关于轴对称的轴对称图形，并写出、的坐标．（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为） 23. 某中学毕业学年开展排球、篮球、足球三项体育课外活动，要求每位学生必须参加．下图所示是该年级（1）班学生参加排球、篮球、足球三项课外活动人数的条形统计图及扇形统计图（设每位学生只参加其中一种球类活动）． （1）求该年级（1）班有多少名学生； （2）请你补全条形统计图，并直接写出的值； （3）若该校毕业学年共有800人，按照（1）班参加三种球类课外活动的情况，请估计该校毕业学年参加排球课外活动的人数？ 24. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求和的长． 25. 文教店用1200元购进了甲、乙两种钢笔，已知甲种钢笔进价为每支12元，乙种钢笔进价为每支10元．在销售时甲种钢笔售价为每支15元，乙种钢笔售价为每支12元，全部售完后共获利270元． （1）文教店购进甲、乙两种钢笔各多少支？ （2）文教店以原价再次购进甲、乙两种钢笔，且购进甲种钢笔的数量不变，而购进乙种钢笔的数量是第一次的2倍，乙种钢笔按原售价销售，而甲种钢笔降价销售，当两种钢笔销售完毕时，要使再次购进的钢笔获利不少于340元，甲种钢笔每支最低售价应为多少元？ 26. 为直径，弦（不是直径）交于，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，为上一点，为延长线上一点，连接，，若，，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接、，延长至，使，连接、，若，，求半径． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，且． （1）如图，求抛物线的解析式； （2）如图，点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，连接，交轴于点，的面积为，求与之间的函数关系式； （3）如图，在（）条件下，点在上（点不与点重合），过点作轴交抛物线于点，交于点，连接，点在上，连接，交于点，若，，，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年69中学中考模拟题四 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是2025， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据同底数幂相乘、幂的乘方、完全平方和公式、平方差公式对各选项计算后即可得解． 【详解】A. ，故此项错误； B. ，故此项错误； C. ，故此项错误； D. ，故此项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、乘法公式，熟练掌握运算性质是解题的关键． 3. 年政府工作报告提到：年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长、，新能源汽车年产量突破万辆．其中数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示方法． 根据科学记数法的表示方法即可得解． 【详解】解：根据科学记数法可得：万． 故答案为：． 4. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 图1是某校运动会颁奖时的场景，图2是领奖台的示意图，则此领奖台的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．结合几何体的形状，找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左边看时，可得选项A的图形． 故选：A． 6. 如图，已知为的直径，点C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由OA=OC，可得∠OAC=∠OCA，根据三角形外角性质∠OCA=即可． 【详解】解：∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵∠BOC=∠BAC+∠ACO，， ∴∠OCA=． 故选择B． 【点睛】本题考查圆的半径相等，等腰三角形性质，三角形外角性质，掌握圆的半径相等，等腰三角形性质，三角形外角性质是关键． 7. 已知抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴该抛物线顶点坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8. 已知反比例函数经过点和点，则a的值为（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据k=xy即可得到关于a的方程，解方程即可求得． 【详解】：∵反比例函数经过点（2，5）和点（1，a）， ∴k=2×5=a， 解得：a=10． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 9. 数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在边上的点处，则的度数为（ ） A. B. C. 条件不足，无法计算 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，尺规作图之角平分线，尺规作图之垂直平分线，三角形内角和，三角形的外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，可知平分，被垂直平分，那么，，接着利用三角形内角和求得，由，求得． 【详解】解：根据题意，可知平分，被垂直平分，在垂直平分线上， 四边形为矩形， ， 平分， ， ， 被垂直平分，在的垂直平分线上， ， ， ， ， 故选：D． 10. 如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴A选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴C选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴D选项不正确，符合题目要求． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 函数中自变量x的取值范围是__． 【答案】x≠3 【解析】 【详解】根据题意得x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为x≠3． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． 直接提取公因，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】 故答案为：． 13. 不等式组的解集是________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法，熟知解不等式组的解法是正确解题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 则不等式组的解集是：． 故答案为：． 14. 将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的顶点是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，求出新的抛物线的解析式，进行得到顶点坐标即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∴平移后的顶点坐标为：； 故答案为：． 15. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】∵在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球， ∴共有(2+n)个球，其中黄球n个， 根据概率公式知：P(摸到黄球)=， 解得n=8. 故答案为8. 【点睛】此题考查概率公式，解题关键在于根据概率公式列出方程. 16. 如图，按一定规律摆放小黑点，则第6个图案中的小黑点个数为________个． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是找出图形的一般规律；由题意可知第1个图案有小黑点个；第2个图案有小黑点个；第3个图案有小黑点个；第4个图案有小黑点个；……；第n个图案有小黑点个（除第一个图案外）；然后问题可求解． 【详解】解：第1个图案有小黑点（个）； 第2个图案有小黑点（个）； 第3个图案有小黑点（个）； 第4个图案有小黑点（个）； ……； ∴第n个图案有小黑点个（除第一个图案外）； ∴第6个图案中的小黑点个数为（个）； 故答案为：40． 17. 若一个扇形圆心角为，半径是，则这个扇形的面积是________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：一个扇形的圆心角为，半径是， 这个扇形的面积是， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为__________． 【答案】． 【解析】 【分析】如图作点C关于直线OB的对称点C′，连接OC′，CC′，AC′，AC′交OB于P′，连接P′C，此时P′A+P′C的值最小，最小值为线段AC′的长． 【详解】解：如图作点C关于直线OB的对称点C′，连接OC′，CC′，AC′，AC′交OB于P′，连接P′C，此时P′A+P′C的值最小，最小值为线段AC′的长． 在Rt△OAB中，∵OA=3，AB=， ∴tan∠BOA=， ∴∠BOA=30°， 根据对称性可知：∠COC′=60°，OC=OC′=1， ∴△OCC′是等边三角形， ∴C′（，）， ∵A（3，0）， ∴AC′=， ∴PA+PC的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形的性质及解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题． 19. 中，，的平分线与边所夹的锐角为，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到，当时，根据三角形外角的性质得到，即可求得；当时，根据三角形内角和定理得到，即可求得． 【详解】解：设的角平分线交于点， 当时，如图1， ， ， ， ， ， ； 当时，如图2， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 20. 如图，在四边形中，，，的垂直平分线交于点，垂足为点，求的长为________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用和矩形的判定和性质，解题关键是构造直角三角形利用双勾股列方程求长，过点作，连接、，构造求出，再利用双勾股求出， ，由此即可在中求出， 【详解】解：过点作，连接、， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵在和中，，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴在中，， 故答案为． 三、解答题：（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共60分） 21. 先化简,再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将分式进行因式分解把除法变乘法后约分，再通分合并，化为最简分式，利用特殊三角函数值求出x，再把x的值化简代入得出答案． 【详解】解:原式 当 原式 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，因式分解，通分与约分，特殊角三角函数值，二次根式化简，正确掌握上述知识、准确计算是解题关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为、． （1）在图中画出以线段为一边的等腰钝角三角形，点在小正方形的顶点上；并写出的面积． （2）画出关于轴对称的轴对称图形，并写出、的坐标．（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为） 【答案】（1）图见解析，的面积， （2）图见解析，、 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形面积，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． （1）由勾股定理可知，由此即可作出以线段为一边的等腰钝角三角形，由三角形面积公式即可求出三角形面积； （2）利用轴对称的特点得到，，的位置，再顺次连接得到，由作图可直接得出答案． 【小问1详解】 解：如图，的面积， ， ∴， ∴的面积， 【小问2详解】 如图，为所求，、 23. 某中学毕业学年开展排球、篮球、足球三项体育课外活动，要求每位学生必须参加．下图所示是该年级（1）班学生参加排球、篮球、足球三项课外活动人数的条形统计图及扇形统计图（设每位学生只参加其中一种球类活动）． （1）求该年级（1）班有多少名学生； （2）请你补全条形统计图，并直接写出的值； （3）若该校毕业学年共有800人，按照（1）班参加三种球类课外活动的情况，请估计该校毕业学年参加排球课外活动的人数？ 【答案】（1） （2）图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解和掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提． （1）从两个统计图中可得选择“篮球”的有18人，占班级人数的，可求出班级人数； （2）求出选择“排球”的人数即可补全条形统计图；由足球人数除以总人数即可得出足球所占百分比； （3）用该班参加排球课外活动的人数所占的百分比，估计总体的百分比即可． 【小问1详解】 解:（名）， 答:（1）班有60名学生； 【小问2详解】 解：选择“排球”的人数：名， 补全条形统计图，如图： 参加排球课外活动的人数所占的百分比， 故； 【小问3详解】 解：名， 答：估计该校毕业年级参加排球课外活动的人数约为240人． 24. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求和的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）证为的中位线，则，再证四边形为平行四边形，然后根据，即可得出结论； （2）根据菱形的性质得到，，，根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理求出，于是得到． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵点E中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，． ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点E为的中点，， ∴， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 25. 文教店用1200元购进了甲、乙两种钢笔，已知甲种钢笔进价为每支12元，乙种钢笔进价为每支10元．在销售时甲种钢笔售价为每支15元，乙种钢笔售价为每支12元，全部售完后共获利270元． （1）文教店购进甲、乙两种钢笔各多少支？ （2）文教店以原价再次购进甲、乙两种钢笔，且购进甲种钢笔的数量不变，而购进乙种钢笔的数量是第一次的2倍，乙种钢笔按原售价销售，而甲种钢笔降价销售，当两种钢笔销售完毕时，要使再次购进的钢笔获利不少于340元，甲种钢笔每支最低售价应为多少元？ 【答案】（1）文教店购进甲种钢笔50支， 乙种钢笔60支 （2）甲种钢笔每支售价最低应14元 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题的方法和步骤，列一元一次不等式及解一元一次不等式的方法和过程．在解答的过程中建立等量与不等量关系式是关键． （1）设文教店购进甲种钢笔x支，乙种钢笔y支，根据其进价和利润建立等量关系列出方程组求出其解即可． （2）设甲种钢笔每只的售价为m元，就可以求出甲种钢笔每只的利润，表示出甲种钢笔的总利润再加上乙种钢笔的总利润就是两种钢笔销售完后的总利润，由题意就可以建立不等式．从而求出其解． 【小问1详解】 解：设文教店购进甲种钢笔x支，乙种钢笔y支 解得： 答：文教店购进甲种钢笔50支， 乙种钢笔60支 【小问2详解】 解：设甲种钢笔每支售价应为m元 解得： 答：甲种钢笔每支售价最低应14元． 26. 为直径，弦（不是直径）交于，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，为上一点，为延长线上一点，连接，，若，，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接、，延长至，使，连接、，若，，求半径． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查圆与几何的综合题，熟练掌握圆的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的性质是解题的关键， （1）根据圆中弧的性质可得，易证，从而得到； （2）作垂足为，设，则，易，故得到，设，则，由勾股定理可得的值，从而得到的值； （3）作交于，连接、，易证，又因为，所以可以得到，由于为圆的直径，，从而得到，，延长至，使，连接，可得，进而得到，，作延长线于，由圆的内接四边形可得，再由角度的换算可得，从而得到，设，在中，由勾股定理可得，得到，解得：，进而得到，，进而即可求得的值． 【小问1详解】 解：连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：作垂足为，设， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：作交于，连接、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ， ∴，， 延长至，使，连接， ∴， ∴，， 作延长线于， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，，在中，， ∴， ∴或（舍）， ∴，， ∴， ∴， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，且． （1）如图，求抛物线的解析式； （2）如图，点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，连接，交轴于点，的面积为，求与之间的函数关系式； （3）如图，在（）的条件下，点在上（点不与点重合），过点作轴交抛物线于点，交于点，连接，点在上，连接，交于点，若，，，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）过作轴于，证明得，即得，进而可得，再根据三角形的面积公式解答即可求解； （）过作轴于，可得直线解析式为，直线的解析式为，设（），则，，可得，，由得，即得，进而可得，又由得，由得，即得，，得到，即得到，可得，得，利用待定系数法求得直线解析式为，最后把代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：（）令得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：过作轴于，如图： 由得或， ∴， ∵点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：过作轴于，如图： ∵，，， ∴直线解析式为，直线的解析式为， 设（），则，， ∴， ， ∵， ∴ 解得（舍去）或， ∴， ∴， ∵， ∴轴，， ∵轴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 把代入，得， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的几何应用，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $