精品解析：黑龙江省大庆市2026届高三第一次教学质量检测数学试题

大庆市2026届高三年级第一次教学质量检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】已知集合，集合， 集合表示所有小于等于的实数构成的集合， 集合中的元素都满足， 即, 所以集合和集合的公共元素是和， 那么. 故选： 2. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线,满足，所以，则. 所以准线方程是. 故选A. 3. 已知等比数列，则（ ） A. 14 B. 32 C. 16 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的下标和性质即可得出答案. 【详解】由题意可知. 故选：B 4. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行化简，再通过模公式求出模即可. 【详解】由题意，， 所以. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. -3 B. -5 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用化弦为切及和差公式即可求解. 【详解】，可得， 所以. 故答案为：. 6. 如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ） A. 为定值16 B. 为定值32 C. 最大值为32 D. 与的位置有关 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点为，结合题意利用向量的数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，取的中点为，连接， 因为为等腰三角形，所以，又， 所以. 所以. 所以为定值32. 故选：. 7. 已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对称性及单调性求解函数不等式. 【详解】由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称， 又函数在上单调递减，则不等式， 即，解得，所以所求不等式的解集为. 故选：D 8. 已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作辅助线，找到二面角的平面角，利用相关线段长度，结合二面角的余弦值求出的长度，再利用勾股定理求出正三棱锥的高，设外接球半径为，根据外接球的性质，结合勾股定理列出关于的方程，求解出，最后利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接. 由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知，数列是首项为9,公差为-3的等差数列，由此求得其通项公式和前n项和公式，并对选项逐一判断即可. 【详解】因为，所以，又所以数列是首项为9,公差为-3的等差数列. 记公差为d,则,所以,. 选项A：.所以选项A正确. 选项B：因为公差为-3，所以数列是递减数列.所以选项B错误. 选项C：当，即.所以选项C正确. 选项D：,所以在时单调递增，在时单调递减.因为,所以当或时，取得最大值，最大值为18.所以选项D正确. 故选：ACD. 10. 某高校组织全体学生参加以“庆祝中华人民共和国成立75周年”为主题的知识竞赛，随机抽取了100名学生的成绩（单位：分）进行统计，按成绩分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图. 根据图中数据，下列结论正确的是（ ） A. 这100名学生成绩的中位数约为75 B. 这100名学生成绩的平均数约为78 C. 从100名学生中随机抽取一名，估计其成绩不低于70分的概率为0.7 D. 从该校学生中随机抽取两名，在这两名学生成绩都不低于70分的条件下，恰有一名学生成绩在内的概率估计值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于ABC选项，可根据频率分布直方图的性质，逐项分析即可，对于D选项，先求出两名学生成绩都不低于70分的概率，再求出一名学生分数为80到100分且另一名学生分数为70到80分的概率，结合条件概率公式即可求出． 【详解】对于A，前组的频率之和为，所以样本数据的中位数约为80，故A错误； 对于B，这100名学生成绩的平均数约为. 故B正确； 对于C，成绩不低于70分的频率为， 所以从100名学生中随机抽取一名，估计其成绩不低于70分的概率为0.7，故C正确； 对于D，成绩在内的频率为，成绩在的频率为0.5， 设“两名学生成绩都不低于70分”为事件，“恰有一名学生成绩在内”为事件， ， ， 根据条件概率公式，故D错误． 故选：BC． 11. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则的最小值为 C. 若，关于的方程在区间上最多有4个不相等的实数解 D. 当时，设在区间上的最大值为，最小值为，若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期性可求解判断A，利用正弦型函数的图象和性质可计算并判断B，C，利用正弦型函数的单调性，结合分类讨论的取值范围，可求得函数的值域，从而可判断D. 【详解】对于A，因为，所以的最小周期为，故A错误； 对于B，因为，所以，整理得， 因为，所以当时，取得最小值，故 B 正确； 对于C，若​，则，那么， 当时，，区间长度为且不包括端点， 结合正弦函数​的解的分布，可知最多有 3 个不相等实数解，故C错误； 对于D，当时，函数，其最小正周期， 而区间的长度为，即，且， 由可得， 所以函数的单调递增区间为. ①当时，即， 则有 ， 而，所以，即. ②当时，即， 则有 ， 而，所以，即. ③当时，即， 当时， ， 则， ，所以； 当时， ， 则， ，所以. ④当时，即， 当时， ， 则， ，所以； 当时， ， 则， ，所以. 综上，的最小值为，故D正确. 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】因为随机变量，且， 所以， 则. 故答案为： 13. 已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件结合圆的弦长公式求得，利用建立不等式即可求得双曲线的离心率范围. 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，， 由，得，即，解得， 即，于是，而， 所以双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为： 14. 对于任意的，不等式恒成立，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，先分析出仅一个零点，且在两端异号，设，则也只有唯一零点，先探求出的取值，然后加以验证. 【详解】设，显然在上单调递增， 注意到， 于是； 设， 要使得对于任意的恒成立， 需满足，且； 由，即，即， 整理得， 设，， 则，单调递增，，单调递减， 故，即，于是无解， 只可能，解得； 下面检验，且； 由于，即检验，且； ，， ， 设，， 则，单调递增，，单调递减， 故，此时， 结合即得证. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边角互化并化简得，结合角的范围即可求解； （2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从而可得，即可得到结果. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得， 因为，所以，则，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以，所以. 由余弦定理可得， 即，所以. 所以. 则的周长为. 16. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形，为的中点，且平面平面，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解. （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，由线面垂直证明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，然后得到点坐标，由空间向量的数量积证明线线垂直，从而得到线面垂直； （2）由空间直角坐标系得到点坐标，由空间向量求得平面的一个法向量，由空间向量的夹角求得线面角的正弦值. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，， 在正三角形中，， ∵平面平面，平面平面， ∴平面，且平面， ∴， 在梯形中，，∴四边形为平行四边形， ∴，又∵，∴， 又，平面，平面， ∴平面，平面， ∴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， ∵，， ∴且，且，平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 由（1）可知， ∴，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 直线与平面所成角， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线交于两点.当时，轴，且. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴，直线的斜率可得，可分析出，然后结合椭圆的定义列方程求解； （2）设，联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式和韦达定理求解. 【小问1详解】 令，解得，由题意，， 又轴，则，，故， 由，根据椭圆定义，， 解得，则， 椭圆方程为. 【小问2详解】 由（1）知点的坐标为， 设，直线的方程为， 由弦长公式，， 将与椭圆方程联立得， 由韦达定理：，， 故． 又， 所以，解得． 所以直线的方程为． 18. 已知函数，. （1）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）当时，证明：. （2）设，，若存在，使得.证明：. 【答案】（1）（i）； （ii）设，则， 令，则， 在上单调递增，又，， 在上单调递增，又，， 即当时，. （2） 不妨设，由得：， 即， 令，则， 在上单调递增，，即， ，； 由（1）知：当时，，即， ，即， ， 又， ， ， 又，，， ，，. 【解析】 【分析】（1）（i）根据导数几何意义直接求得切线斜率，由此可得切线方程； （ii）设，求导后可求得在上单调递增，由此可得结论； （2）设，化简得；构造函数，利用导数可证得，可缩放方程左侧小于；根据（1）中所证不等式可放缩方程右侧得到，代入已知方程整理可得到结论. 【小问1详解】 （i）当时，，则， ，， 在点处的切线方程为：，即. （ii）略. 【小问2详解】 略. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数的几何意义、利用导数证明不等式，第二问证明不等式的解题关键是能够利用第一问所证得的函数大小关系对已知方程进行合适的放缩，从而化简所证不等式. 19. 2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行.在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友.运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球､羽毛球､篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球､羽毛球､篮球）徽章.两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同.为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了次交换. （1）求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率； （2）求次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率（结果用含的式子表示）； （3）求次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动的概率（结果用含的式子表示），并求出这个概率的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件同时发生的乘法公式和互斥事件的概率加法公式即可求解； （2）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式； （3）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式，然后利用分类讨论思想求出最大值. 【小问1详解】 记3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章为事件A，交换过程包含两种情况： ①第一次甲用熊猫徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为1； 第二次甲用袋鼠徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为； 第三次甲用袋鼠徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为； 所以第一种情况的概率为； ②第一次甲用熊猫徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为1； 第二次甲用熊猫徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为； 第三次甲用袋鼠徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为； 所以第二种情况的概率为； 所以3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率为. 【小问2详解】 记“次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章”概率为， 则，第次交换后，乙的徽章只有两种可能，一种是3枚徽章都是相同动物， 另一种是3枚徽章中有1枚不同动物， 记第次交换后，乙的3枚徽章动物相同为事件，动物不同为事件， 则，记“次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章”为事件C，因为在第次交换后徽章动物相同的条件下再交换后不可能是相同动物，即， 在第次交换后徽章动物不同的条件下再交换后可以变为相同动物，即， 再根据全概率公式可得： ， 所以， 则是等比数列，即， 所以； 【小问3详解】 又记“次交换后，甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动”概率为， 则， 第次交换后，甲的徽章只有两种可能，一种是包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动， 另一种是不包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动， ①甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动，下次交换后还包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动， 此时发生的概率为； ②甲的徽章不包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动，则甲的3枚徽章中一定有两枚相同运动的徽章（比如两个乒乓球徽章，一个羽毛球徽章），乙的3枚徽章中也一定有两枚相同运动的徽章， 当甲、乙分别取出相同运动徽章中的一枚进行交换后， 甲的3枚徽章就可以变换为包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动，此时发生的概率为； 再根据全概率公式可得：， 所以有， 即是等比数列，即， 当为奇数时，，且， 当为偶数时，， 所以当时，取到最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市2026届高三年级第一次教学质量检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 3. 已知等比数列，则（ ） A. 14 B. 32 C. 16 D. 54 4. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 5. 已知，则（ ） A. -3 B. -5 C. 5 D. 3 6. 如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ） A. 为定值16 B. 为定值32 C. 最大值为32 D. 与的位置有关 7. 已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 10. 某高校组织全体学生参加以“庆祝中华人民共和国成立75周年”为主题的知识竞赛，随机抽取了100名学生的成绩（单位：分）进行统计，按成绩分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图. 根据图中数据，下列结论正确的是（ ） A. 这100名学生成绩的中位数约为75 B. 这100名学生成绩的平均数约为78 C. 从100名学生中随机抽取一名，估计其成绩不低于70分的概率为0.7 D. 从该校学生中随机抽取两名，在这两名学生成绩都不低于70分的条件下，恰有一名学生成绩在内的概率估计值为 11. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则的最小值为 C. 若，关于的方程在区间上最多有4个不相等的实数解 D. 当时，设在区间上的最大值为，最小值为，若，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则__________. 13. 已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是__________. 14. 对于任意的，不等式恒成立，则实数__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 16. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形，为的中点，且平面平面，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线交于两点.当时，轴，且. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 18. 已知函数，. （1）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）当时，证明：. （2）设，，若存在，使得.证明：. 19. 2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行.在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友.运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球､羽毛球､篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球､羽毛球､篮球）徽章.两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同.为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了次交换. （1）求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率； （2）求次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率（结果用含的式子表示）； （3）求次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动的概率（结果用含的式子表示），并求出这个概率的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $