4.2认识一次函数（第2课时）教学设计2025-2026学年北师大版数学八年级上册

4.2认识一次函数（第2课时） 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第四章“一次函数”的第二节。内容包括：核心是运用一次函数解决电话计费、水费/电费收取等实际分段计费问题，包括建立函数模型、分析函数关系、根据函数性质选择最优方案。 （二）教学内容解析 地位与作用：本节是一次函数概念和性质的实际应用延伸，是“数学建模”思想的关键载体，承接前两课时对一次函数表达式、图像的学习，为后续反比例函数、二次函数的应用奠定基础。 核心难点：突破“分段计费”中的临界点分析（如通话时间、用水量的分段节点），将实际计费规则转化为分段函数表达式，并通过函数对比选择最优方案。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】根据实际计费情境确定一次函数关系式及自变量取值范围；利用一次函数关系式解决简单的计费问题。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1、能根据分段计费规则列出一次函数表达式，会利用函数表达式或图像解决费用计算、最优方案选择问题。 2、通过分析计费问题的数量关系，经历“实际问题→建立函数模型→解决问题”的过程，提升数学建模能力。 3、感受一次函数在生活中的实用性，培养用数学眼光解决实际问题的意识，增强学习数学的兴趣。 （二）教学目标解析 1、学生能独立找出计费问题中的分段节点，正确写出不同区间的函数表达式，并能根据具体数据计算费用或通过对比函数值选择更省钱的方案。 2、学生能在教师引导下，自主梳理计费问题中的变量（如“通话时间”与“费用”），通过列表、画图等方式分析变量关系，逐步构建分段函数模型。 3、学生在小组讨论解决生活中的计费问题时，能积极参与，主动分享思路，体会数学与生活的紧密联系。 三、学生学情分析 已有基础 知识层面：学生已掌握一次函数的定义、表达式（y=kx+b，k≠0）及图像性质，能根据已知条件求函数表达式，具备初步的变量分析能力。 生活层面：学生对“分段计费”有生活体验（如手机套餐、水电费缴纳），但未从数学角度分析其本质。 存在困难 难以准确识别计费问题中的“分段节点”（如“每月通话100分钟以内”与“超过100分钟”的100分钟即为节点），易混淆不同区间的计费规则。 将文字描述的计费规则转化为分段函数表达式时，容易忽略自变量的取值范围，导致模型建立错误。 对比多个分段函数选择最优方案时，缺乏系统的分析方法（如代入特殊值、找函数交点）。 基于上述分析，确定本节课的教学难点为： 【教学难点】根据实际计费情境确定一次函数关系式及自变量取值范围；利用一次函数关系式解决简单的计费问题。 四、教学策略分析 1、情境导入策略 以学生熟悉的“手机套餐计费”为情境（如“套餐A：月租20元，通话0.1元/分钟；套餐B：月租30元，通话0.08元/分钟”），引发学生兴趣，自然引出“如何选择更省钱套餐”的问题，导入新课。 2. 问题驱动策略 设计阶梯式问题链，逐步引导学生突破难点： （1）该计费问题中，有哪些变量？哪个是自变量，哪个是因变量？ （2）计费规则是否随自变量变化而变化？分段节点是什么？ （3）如何根据不同区间的计费规则，写出对应的函数表达式？ （）当自变量取某一值时，如何计算费用？当需要对比两个套餐时，有哪些方法？ 3. 合作探究策略 针对“复杂分段计费问题”（如含“基础费用+超额计费”的水费问题），组织小组讨论，让学生分工梳理规则、列出表达式、计算费用，通过合作解决个体难以突破的难点，培养团队协作能力。 4. 直观教学策略 利用函数图像辅助分析：将分段函数的不同区间图像画出，通过观察图像的交点（即费用相等的临界点），直观判断不同自变量范围内的最优方案，降低抽象思维难度。 五、教学过程分析 （一）复习引入 展示生活中的分段计费案例：某手机运营商的两种套餐，具体规则如下： 套餐1：月租15元，包含100分钟免费通话，超过100分钟后，每分钟0.2元； 套餐2：无月租，每分钟0.3元。 提问：“若每月通话时间为80分钟、120分钟，选择哪个套餐更省钱？如何判断任意通话时间下的最优套餐？” 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 活动一： 某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元。乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元（不足1 km按1 km计算）。 （1）假设该单位用车里程为30 km，你建议租用哪家公司的客车？ （2）假设该单位用车里程为52 km，你建议租用哪家公司的客车？ （3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 本环节旨在通过实际问题引导学生自主构建一次函数模型，体会一次函数在解决实际问题中的应用价值，初步感知函数思想和模型思想，为后面探索分段计费问题奠定基础。 例1 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量x/m3 单价/（元/m3） 第一档 0＜x≤220 3.45 第二档 220＜x≤300 4.83 第三档 x＞300 5.83 （1）当220＜x≤300时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； （2）某户一年用水量是250 m3，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是1 000.5元，求该户去年一年的用水量。 解：（1）当 220＜ x ≤300 时，用水量属于第二档。 水费 y＝3.45×220＋4.83×(x－220)， 即 y＝4.83x－303.6。 （2）当 x＝250 时，y＝4.83×250－303.6＝903.9(元)。 （3）∵ 第一档水费最大值：3.45×220＝759, 第二档水费最大值：4.83×300－303.6＝1 145.4， 759＜1 000.5＜1 145.4， ∴该户用水量属于第二档。 设该用户用水量为 x m3，则 1 000.5＝4.83x－303.6。 解得 x＝270。 因此，该户去年一年的用水量为 270 m3。 （4）分析：此时水费y由三部分组成，第一档 220m³ 水费、第二档(300 - 220) m³水费以及超出 300 m³部分的水费。 所以 y = 3.45×220 + 4.83×(300 - 220)+5.83×(x - 300) y =5.83x - 603.6。 尝试·思考 （1）在例1中，当x＞300时，你能写出水费y（单位：元）与用水量x之间的关系式吗？ （2）像例1这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？生活中还有哪些情况用到类似的计费方法？ （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1.我市为鼓励居民节约用水，对家庭用水户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过 10 m3，则按每立方米 1.5 元收费；若每月用水量超过 10 m3，则超过部分按每立方米 3 元收费。如果某居民在某月缴纳了 45 元水费，那么这户居民在这个月的用水量为（ ） A.10 m3 B.15 m3 C.20 m3 D.25 m3 2.从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过1千克收费12元，超过1千克的部分每千克收费5元，设快递物品的重量为𝑥千克(𝑥>1)，那么从大连发快递到北京的快递费𝑦（元）与物品重量𝑥（千克）的函数表达式为 ． 3.某市出租车收费标准如下：3千米以内（含）收费10元，超过 3千米的部分每千米加收2元． (1)写出收费y（元）与行驶路程x（千米）（）之间的函数关系式 (2)若某人乘坐出租车付费22元，求其行驶的路程； 4.某市居民生活用电阶梯收费标准如表： 根据收费标准，解答下列问题： （1）小军家6月用电量为150度，求这个月应缴的电费； （2）小军家7月用电量在第2档的范围内，若设用电量为x度，则这个月应缴电费 （0.575x﹣8.5）元（用含x的代数式表示）； （3）8月出现了高温天气，小军家缴电费157.5元，求这个月的用电量． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $