广东省阳江市第三中学2025-2026学年高二上学期开学数学试题

阳江三中2025--2026学年度第一学期开学考试 高二数学试题解析版 2025年9月12日 一、单选题 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以． 2．已知是定义在上的偶函数，那么的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，解得，所以定义域为又，所以，所以，又，所以，所以. 3．若复数（为虚数单位），则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】由. 4．设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】由，，，所以. 5．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】因为，且，所以，，则. 6．已知向量，，若，则（     ） A．4 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由得，解得. 7．一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（     ） A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数 【答案】C 【详解】A，由题意，去掉一个最大值后，剩下的数据中可能有数据等于原来的最大值，此时极差不变，A错误；B，中位数不一定改变，如原数据为1，2，2，3，中位数为2，去掉3后，数据为1，2，2，中位数还是2，B错误；C，设原平均数为，假设去掉最大值后平均数不变，则， 所以，解得，由原数据不全相等，可得，矛盾，所以平均数一定改变，C正确； D，众数不一定改变，如数据为2，2，3，4，众数为2，去掉4后，众数仍为2，D错误． 8．已知为锐角，且，则的最大值（ ）. A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为为锐角，且，分式上下除以得，，，为锐角，，，当且仅当，即时取等号，最大值为． 二、多选题 9．已知复数，则（     ） A．若复数z为实数，则 B．若复数z为纯虚数，则 C．当时， D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 【答案】ACD 【详解】对于A，依题意可得，即，则，故A正确； 对于B，依题意可得，故B错误； 对于C，依题意可得，所以，故C正确； 对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则，所以D正确. 10．已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则（     ） A．这组数据的极差为4 B．这组数据的方差为2 C．这组数据的众数等于平均数 D．这组数据的第70百分位数为2025 【答案】ACD 【详解】A：由数据知，极差为，对； B：平均数为，则方差，错； C：众数为，即与平均数相等，对； D：由，则数据的第70百分位数为，对. 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（     ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】BC 【详解】依题意，函数的定义域为， 对于A，，，，函数不是偶函数，A错； 对于B，，则函数是奇函数，B正确； 对于C，函数在上单调递增，则函数在R上是增函数，C正确； 对于D，由，得，则，的值域为，D错误. 三、填空题 12．已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为 . 【答案】8 【详解】设圆柱的母线长为，则圆柱的侧面积为， 易知球的表面积为，所以，解得. 13．已知平面向量，，若，则 ． 【答案】【详解】由向量，，得，由，得，解得，所以. 14．已知正三棱锥的各顶点都在体积为的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为 . 【答案】4【详解】根据题意可得，正三棱锥的外接球的半径 ，设正三棱锥的底面边长为 ，高为 ， 则正三角形的外接圆的半径为 ，所以 ，即 ，所以 ，又正三棱锥体积为 ，当且仅当 即 时，等号成立， 所以当正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为4. 四、解答题 15(13分)．已知函数，其中． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)若时，的最小值为4，求的值． 【详解】（1），...................................................................................2分；．........................................................................................................................................................................4分；由，，求得，，.......................................................................6分； 函数的单调递增区间为．.........................................................................................................7分； （2）由时，，.........................................................................................................................9分；，..............................................11分；，解得．......................................13分. 16(15分)．某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1． (1)计算样本的平均数和方差； (2)判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标）． 【详解】（1），.............................................................3分； .................................................................7分； （2）因为，.................10分；，.....................................13分； 所以，故采用新工艺生产的药品的有效成分达标．.........................................................................15分. 17(15分)．记的内角的对边分别为，且. (1)求；(2)若的周长为，求的面积. 【详解】（1）由及正弦定理， 得..........................2分；又，得，............................................4分； 即...................................................................................................................................................................6分； 因为，所以....................................................................................................................................................7分； （2）由（1）得.由的周长为，得.......................................................................................9分； 由，..................................................................................................................................................11分； 所以，即，........................................................................................................................13分； 故，所以...........................................................................................................15分. 18(17分)．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点． (1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）在中，，分别是，的中点，，................................................................................................................2分；； 又平面，平面，平面． ......................4分； （2）四边形是正方形，，......................................................5分； 又平面，平面，    ，............................6分； 又，且平面，...........................................................9分； 平面．...................................................................................................10分； （3）由（2）知，平面，为斜线在平面上的射影，为直线与平面所成的角．.....................................................................12分； 由题意，在中，，，....................................................13分； ，............................................................................................................................................14分； ，......................16分；即直线与平面所成角的正弦值为．.................17分. 19(17分)．（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 【详解】（1）因为，，，所以，........................3分； 当且仅当，即，时，取到最大值..............................................................................................5分； （2）因为，所以，......................7分;又因为，，所以，......................9分;当且仅当，即时，等号成立.由得即当时，取得最小值16........................................................................................................11分; （3）因为，，所以恒成立等价于恒成立....................13分; 又，所以，当且仅当时等号成立，..........................................15分; 从而，解得（舍去）或，所以.......................................................................17分. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密 ★ 启用前 阳江三中2025--2026学年度第一学期开学考试 高二 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 使用时间：2025年9月9日 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上。 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。) 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的偶函数，那么的值是（     ） A． B． C． D． 3．若复数（为虚数单位），则（     ） A． B．1 C． D．2 4．设，，，则（     ） A． B． C． D． 5．已知，则（     ） A． B． C． D． 6．已知向量，，若，则（     ） A．4 B． C．1 D． 7．一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（     ） A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数 8．已知为锐角，且，则的最大值（ ）. A． B． C． D． 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9．已知复数，则（     ） A．若复数z为实数，则 B．若复数z为纯虚数，则 C．当时， D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 10．已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则（     ） A．这组数据的极差为4 B．这组数据的方差为2 C．这组数据的众数等于平均数 D．这组数据的第70百分位数为2025 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（     ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为 . 13．已知平面向量，，若，则 ． 14．已知正三棱锥的各顶点都在体积为的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为 ． 四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。） 15(13分)．已知函数，其中． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)若时，的最小值为4，求的值． 16(15分)．某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1． (1)计算样本的平均数和方差； (2)判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标）． 17(15分)．记的内角的对边分别为，且. (1)求；(2)若的周长为，求的面积. 18(17分)．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 19(17分)．（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $