精品解析：云南玉溪师范学院附属中学2026-2027学年高二上学期10月期中考试数学试题

玉溪师院附中2028届高二上学期期中考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 无论为何值，直线恒过定点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个正数a，b满足，则的最小值是　　 A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 7. 在直三棱柱中，，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程是（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率，则倾斜角 B. 过点且与直线垂直的直线方程为 C. 过任意两点，的直线都可以用方程表示 D. 直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程表示 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 11. 如图，二面角的大小为，点在半平面内，点，均在半平面内，于点，于点，于点，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某公司从名员工（含甲、乙两人)中随机选名参加消防知识竞赛，则甲、乙两人都没有被选中的概率为__________． 13. 已知点为圆上一点，点，则的最大值为__________． 14. 已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校对名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成，，五组，得到如图所示频率分布直方图． （1）求图中的值；估计该校高一学生这次数学成绩的众数； （2）估计该校高一学生这次数学成绩的分位数． 16. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程（一般式）. 17. 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上， （1）求圆心为C的圆的标准方程； （2）若线段的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求的中点M的轨迹方程． 18. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若，，求的值. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，平面平面，点是棱的中点，点是棱上的一点不包含端点． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪师院附中2028届高二上学期期中考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，. 2. 在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法法则化简，进而可得对应的点所在象限. 【详解】＝＝＝－＋i， ∴复数对应的点位于第二象限. 故选:B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算及复数的几何意义，是基础题. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 4. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，， 则，， 所以向量 在向量上的投影向量为. 故选：C. 5. 无论为何值，直线恒过定点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得，只有当时，无论为何值，恒等于1，故直线l过定点. 6. 已知两个正数a，b满足，则的最小值是　　 A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，正数a，b满足， 则， 当且仅当时等号成立. 即的最小值是25． 本题选择C选项. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 7. 在直三棱柱中，，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用直三棱柱的几何特征，结合长方体外接球半径公式最后应用球的表面积公式求解. 【详解】直三棱柱的所有顶点都在同一球面上， 且，，， 可将棱柱补成长方体，长方体的对角线，即为球的直径， 球的半径为，球的表面积为． 8. 若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两点坐标，为直径的圆的圆心是的中点，半径是的一半，由此可得到圆的方程. 【详解】由x＝0得y＝3，由y＝0得x＝－4， ∴A(－4,0)，B(0,3)， ∴以AB为直径的圆的圆心是(－2，)， 半径r＝＝， 以AB为直径的圆的方程是， 即，故选A． 【点睛】本题主要考查圆的方程，属于基础题. 求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率，则倾斜角 B. 过点且与直线垂直的直线方程为 C. 过任意两点，的直线都可以用方程表示 D. 直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程表示 【答案】AD 【解析】 【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A，由垂直关系可判断B，由特殊位置可判断C，由一般方程概念可判断D. 【详解】解析 对于A，由条件可知，又， 当时，， 当时，，A正确； 对于B，直线的斜率为，其垂线的斜率为3， 所以过点且与直线垂直的直线方程为， 即，故B错误； 对于C，当直线垂直于坐标轴时，不能用方程表示，故C错误； 对于D，任何直线的方程都有一般式，故D正确. 故选：AD 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由图知：，即，而，可得，A正确； 且，可得，B错误； 为对称轴，C正确； 由是函数的一个对称中心，则是函数的对称中心，D正确； 故选：ACD 11. 如图，二面角的大小为，点在半平面内，点，均在半平面内，于点，于点，于点，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用向量法判断直线与平面的位置关系与计算线段的长度. 【详解】以为原点，在平面内过作的垂线为轴，直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系． 由题意得，，，； 因为二面角的平面角为，，故． 对选项A，，与方向一致，又且， 由线面平行判定定理得，故A正确． 对选项B，由，，，得平面， 又，故平面，故B正确． 对选项C，，平面的法向量为， 因为与法向量不平行，故不垂直于，故C错误． 对选项D，，， 即，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某公司从名员工（含甲、乙两人)中随机选名参加消防知识竞赛，则甲、乙两人都没有被选中的概率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】从名员工中随机选名，总的选法数为. 如果甲、乙两人都没有被选中，即在除甲、乙之外的剩下两人中选两人的选法数为. 故甲、乙两人都没有被选中的概率为. 13. 已知点为圆上一点，点，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】圆，即， 记圆心为，半径， 因为点为圆上的点，又 所以. 14. 已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】画出分段函数图象，数形结合，再用图象交点问题解题即可. 【详解】画出的图象如图所示. 因为方程有四个不同的解， 故的图象与的图象有四个不同的交点，又由图，求得，， 故的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校对名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成，，五组，得到如图所示频率分布直方图． （1）求图中的值；估计该校高一学生这次数学成绩的众数； （2）估计该校高一学生这次数学成绩的分位数． 【答案】（1）；众数为 （2）分 【解析】 【分析】（1）由5个小矩形的面积之和为1，求的值；根据众数的定义求解即可； （2）先确定分位数在内，然后再求解即可. 【小问1详解】 由于组距为，所以有， 解得；可得众数为； 【小问2详解】 因为到的频率和为， 到的频率和为， 所以第百分位数位于内，为分. 16. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程（一般式）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； 【小问2详解】 当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 17. 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上， （1）求圆心为C的圆的标准方程； （2）若线段的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求的中点M的轨迹方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求标准方程； （2）用直接法求轨迹方程. 【小问1详解】 由题可设圆心的坐标为，则有，整理求得， 故圆心为，， 则圆的方程为； 【小问2详解】 设线段中点，， 由题意知，， ∵点P在圆上运动， ∴， ∴的轨迹方程为. 18. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若，，求的值. 【答案】（1）的最小正周期为； （2）最大值为，最小值为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的余弦公式结合二倍角公式，辅助角公式化简，然后由最小正周期的公式求解即可； （2）由求出，然后利用正弦函数的性质求解的最值即可； （3）由，得，求出，将转化为，然后利用两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以当时，； 当时，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 因为， 所以， 因为，所以，又， 所以，所以， 所以 . 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，平面平面，点是棱的中点，点是棱上的一点不包含端点． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：因为底面是边长为的正方形， 所以，， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面． （2）6 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，平面，由线面垂直的性质定理可得，，由线面垂直的判断定定理即可得证； （2）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值，再计算空间体积即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面， 又，平面， 所以，， 又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得：，，，，， 所以，，， 设， 则． 设平面的法向量为， 则， 即， 取，解得，，则， 因为平面， 所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或舍，所以， 所以三棱锥的体积 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $