精品解析：安徽省宣城市宣城中学2022-2023学年下学期九年级限时挑战数学卷

2023年安徽省宣城中学九年级限时挑战数学卷 一、选择题（共7小题，每小题6分，满分42分） 1. 已知，则的最大值与最小值的和是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 3. 如图，内接于，为直径，，，是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于，我们称为这个函数的不动点，如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知a是实数，并且，则代数式的值是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 6. 已知非零实数满足，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共7小题，每小题6分，满分42分） 8. 已知不相等的实数a、b满足，则__． 9. 已知关于x的分式方程＝有解，则a的取值范围是 ________． 10. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，，，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，连结BE．若，则的值为 _____． 11. 已知，且，则的值为 _____． 12. 如图，分别过点（，，）作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点，则的值为 ___． 13. 已知抛物线，若点，在抛物线上，均有，则的最大值与最小值的和为 ______． 14. 如图，在矩形中，，，点E是射线上一动点，点F是线段上一点，，以为边作等边，连接，则的最小值是_________． 三、解答题（共6小题，满分66分，解答时需要写出必要的步骤或文字说明） 15. 已知x，y，z，a，b，c均为实数，且（其中），求的值． 16. 如图，在中，，， （1）求的长． （2）利用此图求的精确值． 17. 已知正整数m大于，且满足能够整除，求m的值． 18. 已知、都是正实数，且． （1）证明：必在和之间； （2）请问和这两个数，哪一个更接近于，说明你的理由． 19. 如图1，地面上两根等长立柱，之间悬挂一根近似成抛物线． （1）因实际需要，在离为3米的位置处用一根立柱撑起绳子（如图2），使左边抛物线的最低点距为1米，离地面2米，求的长． （2）将立柱的长度提升为3米，通过调整的位置，使抛物线对应函数的二次项系数始终为，设离的距离为m米，抛物线的顶点离地面距离为k米，当时，求m的取值范围． 20. 锐角三角形的外心为O，外接圆直径为d，延长，分别与对边交于． （1）求的值； （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年安徽省宣城中学九年级限时挑战数学卷 一、选择题（共7小题，每小题6分，满分42分） 1. 已知，则的最大值与最小值的和是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的性质，二次根式的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后得到数轴上点x到和5的距离之和等于6，然后得到，然后根据一次函数的性质求出最大值和最小值，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即数轴上点x到和5的距离之和等于6， ∴， ∵函数中， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为； 当时，y有最大值，最大值为； ∴的最大值与最小值的和是． 故选：D． 2. 5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质的应用，关键是根据不等式的性质进行变形．根据已知得出，推出，求出，两边都除以2即可得出答案． 【详解】解：∵设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：B． 3. 如图，内接于，为直径，，，是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论以及相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．利用垂径定理的推论得出，，根据勾股定理和线段间的数量关系进而得出的长，易证，从而得到，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接，交于点， 是的中点， ，， ， ， 是的中位线，， 为直径， ， 在中，，， ，， ， ， ， ， ． 故选：C． 4. 对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于，我们称为这个函数的不动点，如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题以新定义为背景，考查了二次函数图象和一次函数图象的交点与系数间的关系，本题亦可以转化为方程的解来解题． 由题意得不动点的横坐标相等，即在直线上，故二次函数与直线有两个交点，且横坐标满足，可以理解为时，一次函数的值大于二次函数的值． 【详解】解：由题意得：不动点在一次函数图象上， ∴一次函数与二次函数的图象有两个不同的交点， ∵两个不动点，满足， 时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值， ， ． 故选：C． 5. 已知a是实数，并且，则代数式的值是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值等知识．根据题意得到，，把所求代数式变形为再整体代入，化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D 6. 已知非零实数满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的变形、完全平方公式的应用以及平方数的非负性，熟练掌握分式变形技巧、完全平方公式并利用平方数的非负性求解是解题的关键．先对已知的三个等式进行变形，得到关于、、的式子，再通过整理构造出完全平方的形式，利用平方数的非负性求出、、的值，最后计算． 【详解】解：∵满足，，， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， 即， ∴，即， ，即， ，即， ∴． 故选：A． 7. 如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆面积的计算，正方形的性质，勾股定理，正确识别图形是解题的关键． 延长交于，先根据勾股定理算出，根据圆和正方形的面积公式进行列式计算，即可得到结论． 【详解】解：延长交于，连接，过点O作于H． ∵边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合， ∴ 在中， ， ∵， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积 故选：A． 二、填空题（共7小题，每小题6分，满分42分） 8. 已知不相等的实数a、b满足，则__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，根据题意可得a、b可看作关于x的方程的两实数解，则由根与系数的关系可得，再把原式可变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵不相等的实数a、b，且满足， ∴a、b可看作关于x的方程的两实数解， ∴， ∴ ， 故答案为： 9. 已知关于x的分式方程＝有解，则a的取值范围是 ________． 【答案】且## a≠4且a≥1 【解析】 【分析】求出方程解的表达式，根据解的取值范围判断a的取值范围且使分式方程有意义； 【详解】解：＝， 2|2x|﹣2a＝|x|﹣2， 4|x|﹣|x|＝2a﹣2， 3|x|＝2a﹣2， |x|＝， ∵关于x的分式方程有解， ∴≥0，且|x|﹣2≠0，即≠2， 解得a≥1且a≠4； 故答案为： a≥1且a≠4． 【点睛】此题考查分式方程的解法，通分，移项，未知数系数化1；掌握绝对值的非负性和分式方程的分母不能为零是解题关键． 10. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，，，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，连结BE．若，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】设AC，BD交与点F，过点B作，交EA的延长线于点G，利用直角三角形的边角关系得到，设，则，利用勾股定理，相交弦定理，平行线分线段成比例定理求得BF，DF，AE，利用勾股定理求得线段CE，利用矩形的判定与性质和勾股定理求得BE，则结论可得． 【详解】解：设AC，BD交与点F，过点B作，交EA的延长线于点G，如图， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形AFBG为矩形， ∴，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相交弦定理，熟练掌握圆的相关性质，利用勾股定理求得对应相等的长度是解题的关键． 11. 已知，且，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案． 【详解】解：由，去分母，得 ， 则 ∵ ∴原式 故答案为： 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 12. 如图，分别过点（，，）作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点，则的值为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，规律探索，找出题中的规律是解本题的关键．先求出，再将各项分别表示出来，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ， ． 故答案为：． 13. 已知抛物线，若点，在抛物线上，均有，则的最大值与最小值的和为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线的解析式可得抛物线开口向下，对称轴是直线，即得到抛物线上的点离对称轴的距离越小，函数值越大，进而得到，解不等式求出的最大值与最小值即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越小，函数值越大， ∵点，在抛物线上，均有， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的最大值与最小值分别为和， ∴的最大值与最小值的和是， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，点E是射线上一动点，点F是线段上一点，，以为边作等边，连接，则的最小值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，等边三角形的性质及解直角三角形的相关内容，正确作出辅助线，找到点G的运动轨迹是解题的关键． 以为边作等边三角形，连接，并延长与交于点，与交于点，过点作于，过点作于，点的运动轨迹在直线上，解直角三角形即可求解． 【详解】解：以为边作等边三角形，连接，并延长与交于点，与交于点，过点作于，过点作于， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ，点的运动轨迹在直线上， 故当点与点重合时，最小， ． 三、解答题（共6小题，满分66分，解答时需要写出必要的步骤或文字说明） 15. 已知x，y，z，a，b，c均为实数，且（其中），求的值． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可求出，进而得到，，，再把所求式子变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， 同理可得， 当时，， ∴无意义， ∴， ∴ ． 16. 如图，在中，，， （1）求的长． （2）利用此图求的精确值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查应用解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识以及逻辑推理能力和运用能力． （1）利用已知条件可以证明，再利用其对应边成比例即可求出的长． （2）作边上的高，可将所求角的值转化在直角三角形中求出． 【小问1详解】 解：，， ，， ， ， ∵， ， ∴，即， ∴， ， （舍去）， ； 【小问2详解】 解：过点B作，交于点E， ， ，， ， ， ， ． 17. 已知正整数m大于，且满足能够整除，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整数的整除性质，确定数量关系确定的值是解题的关键，由能够整除，可得是的倍数，由，可得或，从而求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 又∵整除，而 与 m互质， ∴,,， 解得：．，． ∵m为整数， ∴． 18. 已知、都是正实数，且． （1）证明：必在和之间； （2）请问和这两个数，哪一个更接近于，说明你的理由． 【答案】（1） 证明： ， 、都是正实数，且， ，， ， ， 即， ①且或②且， 由①解得：； 由②解得：， 必在和之间； （2） 更接近，理由如下： ， 有以下两种情况： ①当时， ，， 在数轴上点表示，点表示，点表示， 如下图所示： ， ， ， ， ， 点离点更近， 更接近； ②当时， ，， 在数轴上点表示，点表示，点表示，如下图所示： ， ， ， ， ， 点离点更近， 更接近， 综上所述：更接近， 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，分式的混合运算： （1）先求出，再由、都是正实数，且，可得，从而得到且或且，即可解答； （2）分两种情况：当时，当时，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图1，地面上两根等长立柱，之间悬挂一根近似成抛物线． （1）因实际需要，在离为3米的位置处用一根立柱撑起绳子（如图2），使左边抛物线的最低点距为1米，离地面2米，求的长． （2）将立柱的长度提升为3米，通过调整的位置，使抛物线对应函数的二次项系数始终为，设离的距离为m米，抛物线的顶点离地面距离为k米，当时，求m的取值范围． 【答案】（1）2.25米 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的相关性质是解题的关键； (1) 观察图2可知点M在抛物线上，横坐标为3，根据题意可求得抛物线的最低点，继而可求得抛物线的解析式，那么的值便不难得到了； (2) 易得点的顶点坐标为，联系抛物线的二次项系数，由点C在抛物线上可得到m与k的函数关系式，接下来根据二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：由抛物线关系式可知：当时，， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ∵在离为3米的位置处用一根立柱撑起绳子，抛物线的最低点距为1米， ∴抛物线的顶点坐标为：， 设的解析式为， 将代入得： ， 解得：， ∴抛物线为：， 当时，， ∴的长度为2.25米； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， 令，则， 或， ． ∵离的距离为m米， ， ∴根据抛物线的对称性可知抛物线的顶点在的垂直平分线上， ∴的对称轴为． ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把代入得， 解得：， ． ∴k是关于m的二次函数， ∵由已知，符合条件的点在对称轴的左侧，又， ∴k随m的增大而增大， 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）． 当时，， 解得，（不符合题意）， ∴m的取值范围是． 20. 锐角三角形的外心为O，外接圆直径为d，延长，分别与对边交于． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1）1 （2） 证明：如图，延长交于M，设R为的外接圆半径，交于点O． ∵， 同理有：，， 代入， 得， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，进而可以解决问题； （2）延长交于M，由于交于点O．然后由，可以求得结论． 【小问1详解】 解：由于交于点O， ∴，，， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，分式的加减法，比例的性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $