1.3勾股定理的应用 （课件）2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件围绕勾股定理及其逆定理的应用展开，从旗杆高度测量、折叠问题到实际生活中的斜拉杆设计，层层递进地构建了从现实情境到数学建模的学习支架。通过具体问题引导学生抽象出直角三角形，再借助辅助线与几何直观分析数量关系，实现由感性观察到理性推理的过渡。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，例如在“绳子拉旗杆”问题中体现几何直观与抽象能力，在刻度尺检验垂直关系时展现逻辑推理与符号意识，在折叠问题中强化模型观念与运算能力。教学设计注重真实情境驱动，以任务为导向激发探究兴趣，既提升学生解决实际问题的能力，又帮助教师高效落实新课标要求，促进深度学习的发生。

第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 通过数轴应用的学习，可以培养学生的转化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在相似变换的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过数学交流的学习，可以培养学生的优化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解同位角关系的本质有助于更好地系统化。 1.能运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾股定理解决实际问题. 2.能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为数学问题. 学习目标 1．如图①，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为多少米？ 情境导入 3 通过数轴应用的学习，可以培养学生的转化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在相似变换的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过数学交流的学习，可以培养学生的优化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解同位角关系的本质有助于更好地系统化。 2．如图②是学校的旗杆示意图，旗杆上的绳子垂到了地面， 并多出一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗？说出你的设计方案． 情境导入 探究一：直角三角形的判定 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB. A B C D 新知探究 通过数轴应用的学习，可以培养学生的转化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在相似变换的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过数学交流的学习，可以培养学生的优化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解同位角关系的本质有助于更好地系统化。 (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ (2)李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB长是40 cm，点B，D之间的 距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗？ (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20 cm的刻度尺，那么他能 检验边AD是否垂直于边AB吗？ A B C D 新知探究 用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长， 若 AD2 + AB2＝DB2， 则 ∠A＝90°，即AD⊥AB. (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ A B C D 新知探究 通过数轴应用的学习，可以培养学生的转化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在相似变换的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过数学交流的学习，可以培养学生的优化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解同位角关系的本质有助于更好地系统化。 ∵ AD2 + AB2＝302 + 402＝2500，DB2＝502＝2500 ∴∠A＝90°，即AD⊥AB. 所以边 AD 垂直于边 AB (2)李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB长是40 cm，点B，D之间的距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗？ A B C D 新知探究 A B C D 能检验.在 AD 上从 A 点量取 12 cm 得点 E，在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F. 因为 12² + 16²= 20²， 用刻度尺测 EF 长度，若 EF = 20 cm， 根据勾股定理逆定理，AD⊥AB； 若 EF≠20 cm，则 AD 不垂直 AB. (3) 如果李叔叔随身只带了一个长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗? E F 新知探究 通过数轴应用的学习，可以培养学生的转化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在相似变换的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过数学交流的学习，可以培养学生的优化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解同位角关系的本质有助于更好地系统化。 例1：用一张直角三角形纸片折叠，你能发现折叠前后两部分图形有什么关系吗？说明理由. 如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC = 5 cm，BC = 10 cm，将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，你能求出 CD 的长吗？ A C B E D 分析：(1) 本题已知什么？求的是什么？ 5 10 例题讲解 A C B E D （3）观察 CD 在哪一个三角形中？你能表示出这个三角形的每一条边吗？ （2）本题将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，可得到什么？依据是什么？ AD = BD；依据：折叠的性质. 5 CD 在Rt△ACD 中； x 10-x 10-x 可设 CD = x， 则 AD = 10 - x. 10 例题讲解 通过数轴应用的学习，可以培养学生的转化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在相似变换的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过数学交流的学习，可以培养学生的优化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解同位角关系的本质有助于更好地系统化。 A C B E D 5 x 10-x 10-x 10 解：设 CD = x cm，则 DB = (10 - x) cm， 由题意，根据折叠的性质， 可得 AD = BD = 10 - x， 且 AC = 5. 在Rt△ACD 中， 由勾股定理得，AD² = AC² + CD²， (10 - x)² = 5² + x²， 解得 x = . 则 CD = . 例题讲解 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点， 将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F. 你能求出 DF 的长吗? 探究二：勾股定理的应用 新知探究 通过数轴应用的学习，可以培养学生的转化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在相似变换的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过数学交流的学习，可以培养学生的优化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解同位角关系的本质有助于更好地系统化。 解：设DF长x cm，则EF长为(8-x) cm， ∵正方形纸片ABCD的边长为8 cm，点E为AD中点， ∴ED＝AD＝4 cm. 在Rt△DEF中，由勾股定理， 得DE2＋DF2＝EF2， 即42＋x2＝(8-x)2， 解得x＝3. ∴DF的长为3 cm. 新知探究 1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为（ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm B 练一练 新知探究 通过数轴应用的学习，可以培养学生的转化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在相似变换的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过数学交流的学习，可以培养学生的优化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解同位角关系的本质有助于更好地系统化。 利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤： ①标已知，设未知； ②利用折叠，找相等； ③利用勾股定理，列方程； ④解方程，得解. 归纳 例2：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问:水深、葭长各几何?(选自《九章算术》)题目大意:有一个水池， 水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇， 它高出水面1尺(如图)。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的 顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度 各是多少? 例题讲解 通过数轴应用的学习，可以培养学生的转化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在相似变换的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过数学交流的学习，可以培养学生的优化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解同位角关系的本质有助于更好地系统化。 解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺. 由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺. 在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得 AC2 + OA2 = OC2， 即 52 + x2 = (x + 1)2. 解得 x = 12. 12 + 1 = 13. 因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺. 例题讲解 1. 强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部 落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是(　D　) A. 12m B. 13m C. 17m D. 18m D 随堂练习 通过数轴应用的学习，可以培养学生的转化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在相似变换的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过数学交流的学习，可以培养学生的优化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解同位角关系的本质有助于更好地系统化。 2. 如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入一只盛满 水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，则这只烧杯的底面直径是(　D　) A. 9cm B. 8cm C. 7cm D. 6cm D 随堂练习 3．小雨用竹竿扎了一个长40 cm、宽30 cm的长方形框架，由于 四边形容易变形，需要用一根竹竿作斜拉杆将四边形定形， 则斜拉杆最短需____cm. 50 随堂练习 通过数轴应用的学习，可以培养学生的转化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在相似变换的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过数学交流的学习，可以培养学生的优化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解同位角关系的本质有助于更好地系统化。 4．如图，有两棵树，一棵高13 m，另一棵高8 m，两树相距12 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少飞了____m. 13 随堂练习 5. 如图，阴影部分是一个正方形，它的面积是_____cm2. 64　 6. 如图，要在两幢楼房的房顶A，B间拉一根光缆线(按线段计算)，则至少需要光缆线____m. 10　 随堂练习 通过数轴应用的学习，可以培养学生的转化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在相似变换的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过数学交流的学习，可以培养学生的优化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解同位角关系的本质有助于更好地系统化。 勾股定理的应用 解决其他的实际问题 解决折纸问题、古文化问题 判断两直线是否垂直 勾股定理 勾股定理的逆定理 课堂小结 $