精品解析：四川省绵阳市三台博强外国语学校2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题

2025年秋九年级假期数学学情调研 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A. x2+1＝0 B. x+＝1 C. ax2+bx+c＝0 D. （x+1）（x﹣1）＝x2+x+1 2. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知拋物线，当时，y的最大值是（　　） A. 2 B. C. D. 4. 如图，的半径为3，圆心O到的距离为2，则弦的长为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 6. 若是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 7. 我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ） A. B. C. D. 8. 据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 11. 若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（　　） A. a＜6 B. a＞﹣6 C. a＞﹣6且a≠﹣4 D. a＜6且a≠﹣4 12. 若a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根，且a2＋b2＝12，则k的值是（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 若是关于x的二次函数，则m的值为______． 14. 如图，在中，，，则的度数为___________ 15. 已知m为一元二次方程的一个根，则代数式的值为______ 16. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出___________个小分支． 17. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____________． 18. 关于的不等式组有且只有4个整数解，则常数的取值范围是_____． 19. 已知矩形的一条边长为，对角线，相交于点．若，的长是关于的方程的两个根，则矩形的面积为______． 三、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. （）用配方法解方程； （）选择适当的方法解方程． 21. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求a的取值范围． （2）是否存在实数a，使成立？ 22. 已知，关于的方程的两个实数根. （1）若时，求的值； （2）若等腰的一边长，另两边长为、，求的周长. 23. 某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件元时，每天可售出件；售价每降低元，日销售量增加件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元． （1）请写出日销售量（单位：件）与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围） （2）每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利元？ （3）该商家希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 24. 如图，在中，，cm，cm若点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发． （1）问几秒后，的面积为？ （2）的面积能否为？若能，求出点移动的时间；若不能，请说明理由． 25. 定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． （1）下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ （2）若方程是“差积方程”，直接写出m的值； （3）当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 26. 如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G． （1）求证：CG=CE； （2）如图2，连接FC，AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE； （3）如图3，若G为DC中点，AB=2，求EF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋九年级假期数学学情调研 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A. x2+1＝0 B. x+＝1 C. ax2+bx+c＝0 D. （x+1）（x﹣1）＝x2+x+1 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意； B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的概念是解题的关键 2. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像的平移变换，“左加右减，上加下减”即可求解，本题考查了图像的平移变换，解题的关键是：熟记变换规则． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，可得：， 故答案为：． 3. 已知拋物线，当时，y的最大值是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式推断出函数的开口方向、对称轴，从而可根据函数的增减性求解． 【详解】解：∵拋物线y=-x2+2的二次项系数a=-＜0， ∴该抛物线图象的开口向下； 而对称轴就是y轴， ∴当1≤x≤5时，y随x的增大而减小， ∴当1≤x≤5时，y最大值=-+2=． 故选C． 4. 如图，的半径为3，圆心O到的距离为2，则弦的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂径定理是解此题的关键．连接半径，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而求出的长． 【详解】解：连接，过O点作于C，如图， 于C， ， 在中，，， ， ． 故选：B． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵，即 ∴，，， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6. 若是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系即可求出两根之和． 【详解】解：是一元二次方程的两根， ∴． 故选：D． 7. 我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把方程看作关于的一元二次方程，用换元法解题即可得到结果． 【详解】把方程看作关于的一元二次方程， ∴或， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键． 8. 据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该展览中心5月份的参观人数=该展览中心3月份的参观人数×（1+参观人数的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 9. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是解答本题的关键． 根据配方法，将一元二次方程常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，得到答案． 【详解】解：根据题意得： 一元二次方程， ， ， ， ，， ， 故选：． 10. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 11. 若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（　　） A. a＜6 B. a＞﹣6 C. a＞﹣6且a≠﹣4 D. a＜6且a≠﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】解分式方程，用a表示x，再根据关于x的分式方程的解是正数，列不等式组，解出即可． 【详解】解：原分式方程可化为：， 去分母，得x+2﹣2x+4＝﹣a， 解得x＝a+6， ∵关于x的分式方程的解是正数， ∴， 解得：a＞﹣6且a≠﹣4． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程、一元一次不等式组的步骤，根据关于x的分式方程的解是正数，列不等式组是解题关键，注意分式有意义的条件． 12. 若a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根，且a2＋b2＝12，则k的值是（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】先根据a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根，求出≥0，由一元二次方程根与系数关系得到a＋b＝2k，ab＝4k，利用a2＋b2＝12，求出k的值，再代入验证即可． 【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程x2kx＋4k0的两个实数根， ∴ a＋b＝2k，ab＝4k ∴＝12 解得， 当时， ∴符合题意， 当时， ∴不符合题意，应舍去， 综上，k的值是﹣1． 故选：A 【点睛】此题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，利用二次函数的概念是解题关键，注意二次项的系数不等于零．根据是不为0的常数）是二次函数，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ，且， 解得， 故答案为：3． 14. 如图，在中，，，则的度数为___________ 【答案】##45度 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 15. 已知m为一元二次方程的一个根，则代数式的值为______ 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ， ∴， ∴． 故答案为：2025． 16. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出___________个小分支． 【答案】8 【解析】 【分析】设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案． 【详解】解：设每个支干长出x根小分支， 根据题意可得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴每个支干长出8根小分支， 故答案是：8． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 17. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】由题意可知方程根的判别式△＞0，于是可得关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围，再结合二次项系数不为0即得答案． 【详解】解：根据题意，得：，且，解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元一次不等式的解法，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程根的判别式和方程根的个数之间的关系是解题的关键． 18. 关于的不等式组有且只有4个整数解，则常数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式组，再从不等式的解集中找出适合条件的整数解，再确定字母的取值范围即可． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组只有4个整数解， 即不等式组只有4个整数解为﹣1、0、1、2， 则有， 解得：， 故答案为： 【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 19. 已知矩形的一条边长为，对角线，相交于点．若，的长是关于的方程的两个根，则矩形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，由四边形是矩形，则，，又，的长是关于的方程的两个根，故有，求得，从而得，，然后通过勾股定理和面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，的长是关于的方程的两个根， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴矩形面积为， 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. （）用配方法解方程； （）选择适当的方法解方程． 【答案】（），；（）， 【解析】 【分析】（）把常数移到右边，再二次项系数化为，最后利用配方法解答即可； （）把右边的式子移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （）∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 21. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求a的取值范围． （2）是否存在实数a，使成立？ 【答案】（1）且； （2）不存在； 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，代入可得关于a的分式方程，即可求解． 【小问1详解】 解：且 解得：且 ∴ a的取值范围为：且. 【小问2详解】 不存在； 由题可知： ∴ 解得： 经检验是原分式方程的解； 又∵且； ∴不存在实数a使得等式成立. 22. 已知，关于的方程的两个实数根. （1）若时，求的值； （2）若等腰的一边长，另两边长为、，求的周长. 【答案】（1）30；（2）5 【解析】 【分析】（1）若k=3时，方程为x2-5x+6=0，方法一：先求出一元二次方程的两根a,b,再将a,b代入因式分解后的式子计算即可；方法二：利用根与系数的关系得到a+b=5，ab=6，再将因式分解，然后利用整体代入的方法计算； （2）分1为底边和1为腰两种情况讨论即可确定等腰三角形的周长． 【详解】解：（1）将代入原方程， 得：． 方法一： 解上述方程得： 因式分解，得：． 代入方程的解， 得：． 方法二：应用一元二次方程根与系数的关系 因式分解， 得：， 由根与系数的关系，得， 则有：． （2）①当与其中一个相等时，不妨设， 将代回原方程，得． 解得：， 此时，不满足三角形三边关系，不成立； ②当时，， 解得：， 解得：， ． 综上所述：△ABC的周长为5． 【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题的关键是熟知两根之和、两根之积与系数的关系． 23. 某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件元时，每天可售出件；售价每降低元，日销售量增加件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元． （1）请写出日销售量（单位：件）与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围） （2）每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利元？ （3）该商家希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）元 （3） 解：不能，理由如下： 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴不能平均每天盈利元． 【解析】 【分析】（）根据题意列出函数关系式即可； （）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （）根据题意列出一元二次方程，由方程的解的情况即可判断求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 即； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件汉服降价元时，该商家平均每天可盈利元； 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，，cm，cm若点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发． （1）问几秒后，的面积为？ （2）的面积能否为？若能，求出点移动的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）不能， 理由如下：设y秒时，的面积为， ， 即 ， ， ∴原方程无实数根，即的面积不能是． 【解析】 【分析】本题是一道几何动点问题，考查了三角形的面积公式的运用，一元二次方程解法的运用． （1）由题意，可设P、Q经过t秒，使的面积为，则，，根据三角形面积的计算公式，，列出表达式，解答出即可； （2）将的面积表示出来，根据来判断即可． 【小问1详解】 设后，的面积为， 则， ， ， 解得， ∴或时，的面积为； 【小问2详解】 略 25. 定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． （1）下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ （2）若方程是“差积方程”，直接写出m的值； （3）当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【答案】（1）①② （2）或， （3） 【解析】 【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，根据新定义列出方程即可求解． 本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：①， 即， 解得：， ， 是差积方程； ②， 即， 解得， ， 是差积方程； ③， 即， 解得：，，故③不是差积方程； 故答案为：①②； 【小问2详解】 解：， 即， 解得：，， 是差积方程， ， 即或． 解得：或， 【小问3详解】 解：， 解得：， ， 是差积方程， ， 即， 即． 26. 如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G． （1）求证：CG=CE； （2）如图2，连接FC，AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE； （3）如图3，若G为DC中点，AB=2，求EF的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由ASA证得△BCG≌△DCE，即可得出结论； （2）由等腰三角形三线合一得出DF＝EF，由CF是Rt△DCE的中线，得出CF＝EF，则∠E＝∠FCE，由角平分线的性质得出∠FBE∠DBE＝22.5°，推出∠E＝67.5°，则∠FCE＝67.5°，∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝67.5°，即可得出结论； （3）由正方形的性质得出∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD，由G为DC中点，得CG＝1，在Rt△BCG中，由勾股定理得，设 ，在和中，由勾股定理得 ，解得x，求出DF，由（1）知△BCG≌△DCE，得BG＝DE，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°， ∵BF⊥DE， ∴∠DFG＝∠BCG＝90°， ∵∠DGF＝∠BGC， ∴∠GBC＝∠EDC， 在△BCG和△DCE中， ， ∴△BCG≌△DCE（ASA）， ∴CG＝CE； 【小问2详解】 证明：∵BF平分∠DBE，BF⊥DE， ∴DF＝EF， ∴CF是Rt△DCE的中线， ∴CF＝EF， ∴∠E＝∠FCE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBE＝∠ACB＝45°， ∵BF平分∠DBE， ∴∠FBE∠DBE＝22.5°， ∴∠E＝90°﹣∠FBE＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠FCE＝67.5°， ∴∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°， ∴∠ACF＝∠FEC， ∴CF平分∠ACE； 【小问3详解】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD， ∵G为DC中点， ∴CG＝GDCD＝1， 在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG， 设GF＝x， 在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得：BD2﹣BF2＝DF2，DG2﹣GF2＝DF2， ∴， 解得：x， ∴DF2＝12﹣（）2， ∴DF， 由（1）知：△BCG≌△DCE， ∴BG＝DE， ∴EF＝DE﹣DF． 方法2： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD， ∵G为DC中点， ∴CG＝GDCD＝1， 由（1）知：△BCG≌△DCE， ∴BG＝DE， ∵△BGD面积BC×DGDF×BG， ∴DF， ∴EF＝DE﹣DF． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、角平分线的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $